| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | C 解析过程略. 最终结果是32 |
C |
| deepseekr1 | 设随机变量$X$和$Y$相互独立，且$X \sim N(0, 1)$，$Y \sim N(0, 2)$，求$D(X^2Y^2)$的值。 首先，由于$X$和$Y$相互独立，因此$X^2$和$Y^2$也相互独立。根据方差公式，$D(X^2Y^2) = E[(X^2Y^2)^2] - (E[X^2Y^2])^2$。 1. 计算$E[X^2Y^2]$： - $X$服从标准正态分布$N(0, 1)$，所以$E[X^2] = 1$。 - $Y$服从正态分布$N(0, 2)$，所以$E[Y^2] = 2$。 - 因此，$E[X^2Y^2] = E[X^2] \cdot E[Y^2] = 1 \cdot 2 = 2$。 2. 计算$E[(X^2Y^2)^2]$： - 对于标准正态分布$X \sim N(0, 1)$，$E[X^4] = 3$。 - $Y$可以表示为$\sqrt{2}Z$，其中$Z \sim N(0, 1)$，因此$Y^4 = (\sqrt{2})^4Z^4 = 4Z^4$。由于$Z$是标准正态分布，$E[Z^4] = 3$，所以$E[Y^4] = 4 \cdot 3 = 12$。 - 因此，$E[(X^2Y^2)^2] = E[X^4] \cdot E[Y^4] = 3 \cdot 12 = 36$。 3. 计算方差$D(X^2Y^2)$： - $D(X^2Y^2) = E[(X^2Y^2)^2] - (E[X^2Y^2])^2 = 36 - 2^2 = 36 - 4 = 32$。 因此，正确答案是选项C。 \boxed{C} |
C |
| gpto1 | To solve this problem, we need to compute the variance \( D(X^2Y^2) = E[(X^2Y^2)^2] - [E(X^2Y^2)]^2 \). Given that \( X \sim N(0,1) \) and \( Y \sim N(0,2) \), we can find the expected values and higher moments: 1. **Compute \( E(X^2) \) and \( E(X^4) \) for \( X \sim N(0,1) \)**: - \( E(X^2) = \text{Var}(X) = 1 \). - \( E(X^4) = 3 \) (since for a standard normal distribution, \( E(X^4) = 3\sigma^4 \) and \( \sigma^2 = 1 \)). 2. **Compute \( E(Y^2) \) and \( E(Y^4) \) for \( Y \sim N(0,2) \)**: - \( E(Y^2) = \text{Var}(Y) = 2 \). - \( E(Y^4) = 3 \times (\text{Var}(Y))^2 = 3 \times 2^2 = 12 \). 3. **Compute \( E(X^2Y^2) \) and \( E[(X^2Y^2)^2] \)**: - Since \( X \) and \( Y \) are independent, \( E(X^2Y^2) = E(X^2)E(Y^2) = 1 \times 2 = 2 \). - \( E[(X^2Y^2)^2] = E(X^4Y^4) = E(X^4)E(Y^4) = 3 \times 12 = 36 \). 4. **Calculate the variance \( D(X^2Y^2) \)**: - \( D(X^2Y^2) = E[(X^2Y^2)^2] - [E(X^2Y^2)]^2 = 36 - 2^2 = 36 - 4 = 32 \). Therefore, the correct answer is **32**. **Answer:** C |
C |
| GPT-4o | 我们需要计算随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的独立性和它们的分布来求解 \(D(X^2Y^2)\)。 随机变量 \(X \sim N(0, 1)\) 表示 \(X\) 是均值为0、方差为1的标准正态分布。 随机变量 \(Y \sim N(0, 2)\) 表示 \(Y\) 是均值为0、方差为2的正态分布。 首先我们计算 \(\mathbb{E}[X^2Y^2]\) 和 \(\mathbb{E}[(X^2Y^2)^2]\)。 由于 \(X\) 和 \(Y\) 是独立的： \[ \mathbb{E}[X^2Y^2] = \mathbb{E}[X^2] \cdot \mathbb{E}[Y^2]. \] 我们知道，对于正态分布 \(Z \sim N(0, \sigma^2)\)， \(\mathbb{E}[Z^2] = \sigma^2 + \mu^2\)。所以： \[ \mathbb{E}[X^2] = \mathbb{E}[X^2] = 1, \] \[ \mathbb{E}[Y^2] = 2. \] 因此： \[ \mathbb{E}[X^2Y^2] = \mathbb{E}[X^2] \cdot \mathbb{E}[Y^2] = 1 \cdot 2 = 2. \] 接下来我们计算 \(\mathbb{E}[(X^2Y^2)^2]\)： \[ \mathbb{E}[(X^2Y^2)^2] = \mathbb{E}[X^4] \cdot \mathbb{E}[Y^4]. \] 对于正态分布 \(Z \sim N(0, \sigma^2)\)，我们有： \[ \mathbb{E}[Z^4] = 3\sigma^4. \] 所以： \[ \mathbb{E}[X^4] = 3 \cdot 1^2 = 3, \] \[ \mathbb{E}[Y^4] = 3 \cdot 2^2 = 12. \] 因此： \[ \mathbb{E}[(X^2Y^2)^2] = \mathbb{E}[X^4] \cdot \mathbb{E}[Y^4] = 3 \cdot 12 = 36. \] 最后，方差 \(D(X^2Y^2)\) 为： \[ D(X^2Y^2) = \mathbb{E}[(X^2Y^2)^2] - (\mathbb{E}[X^2Y^2])^2. \] 带入计算： \[ D(X^2Y^2) = 36 - 2^2 = 36 - 4 = 32. \] 所以正确答案是 C. 32。 |
C |
| llama3.1-70B-Instruct | 答案是 D. 最终结果是45 |
C |
| llama3.1-405B-Instruct | C由题意可得E(X)=E(Y)=0,E(X^{2})=D(X)=1,E(Y^{2})=D(Y)=2,所以E(X^{2}Y^{2})=E(X^{2})E(Y^{2})=2,E(X^{4})=3,E(Y^{4})=3\times2^{2}=12,所以E(X^{4}Y^{4})=E(X^{4})E(Y^{4})=36,所以D(X^{2}Y^{2})=E(X^{4}Y^{4})-[E(X^{2}Y^{2})]^{2}=36-4=32. 最终结果是32 |
C |
| DeepSeek-Coder-V2 | 为了求解这个问题，我们需要使用一些概率论和统计学的知识，特别是关于随机变量和它们的方差的性质。 首先，我们知道随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 是相互独立的，并且它们的分布分别是 \(X \sim N(0, 1)\) 和 \(Y \sim N(0, 2)\)。这意味着 \(X\) 和 \(Y\) 的方差分别是 1 和 2。 我们需要求 \(D(X^2Y^2)\)，即 \(X^2Y^2\) 的方差。为了做到这一点，我们可以使用以下步骤： 1. **确定 \(X^2\) 和 \(Y^2\) 的分布**： - \(X \sim N(0, 1)\)，所以 \(X^2\) 服从自由度为 1 的卡方分布，即 \(X^2 \sim \chi^2(1)\)。 - \(Y \sim N(0, 2)\)，所以 \(Y^2\) 服从自由度为 1 的卡方分布，但方差是 2，即 \(Y^2 \sim 2\chi^2(1)\)。 2. **计算 \(X^2\) 和 \(Y^2\) 的期望和方差**： - 对于 \(X^2 \sim \chi^2(1)\)，期望 \(E(X^2) = 1\)，方差 \(D(X^2) = 2\)。 - 对于 \(Y^2 \sim 2\chi^2(1)\)，期望 \(E(Y^2) = 2\)，方差 \(D(Y^2) = 4 \times 2 = 8\)。 3. **使用独立性计算 \(X^2Y^2\) 的期望和方差**： - 由于 \(X\) 和 \(Y\) 独立，\(X^2\) 和 \(Y^2\) 也独立。 - 期望 \(E(X^2Y^2) = E(X^2) \cdot E(Y^2) = 1 \cdot 2 = 2\)。 - 方差 \(D(X^2Y^2) = E((X^2Y^2)^2) - (E(X^2Y^2))^2\)。 4. **计算 \(E((X^2Y^2)^2)\)**： - \(E((X^2Y^2)^2) = E(X^4) \cdot E(Y^4)\)。 - 对于 \(X^2 \sim \chi^2(1)\)，\(E(X^4) = 3 \cdot E(X^2)^2 = 3 \cdot 1^2 = 3\)。 - 对于 \(Y^2 \sim 2\chi^2(1)\)，\(E(Y^4) = 3 \cdot E(Y^2)^2 = 3 \cdot 2^2 = 12\)。 - 因此，\(E((X^2Y^2)^2) = 3 \cdot 12 = 36\)。 5. **计算方差**： - \(D(X^2Y^2) = E((X^2Y^2)^2) - (E(X^2Y^2))^2 = 36 - 2^2 = 36 - 4 = 32\)。 因此，\(D(X^2Y^2) = 32\)，正确答案是 \(\boxed{C}\)。 |
C |
| Qwen2-72B-Instruct | 对于两个独立的随机变量$X$和$Y$，我们有$X\sim N(0,1)$和$Y\sim N(0,2)$。首先，我们知道对于$X\sim N(0,1)$，$D(X)=1$，对于$Y\sim N(0,2)$，$D(Y)=2$。计算$D(X^2Y^2)$，我们首先需要知道$X^2$和$Y^2$的分布和方差。 对于$X\sim N(0,1)$，我们知道$X^2\sim\chi^2(1)$，即$X^2$服从自由度为1的卡方分布。对于卡方分布$\chi^2(n)$，我们知道其期望$E(\chi^2(n))=n$，方差$D(\chi^2(n))=2n$。因此，对于$X^2$我们有$E(X^2)=1$和$D(X^2)=2$。 对于$Y\sim N(0,2)$，我们知道$Y^2$服从自由度为1的卡方分布，但是由于$Y$的方差为2，我们可以通过变换得到$Y^2$的期望和方差。我们知道如果$Z\sim N(0,1)$，则$Z^2\sim\chi^2(1)$，而$Y=\sqrt{2}Z$。因此，$Y^2=2Z^2$，所以$E(Y^2)=E(2Z^2)=2E(Z^2)=2$，并且$D(Y^2)=D(2Z^2)=4D(Z^2)=8$。 现在我们知道了$X^2$和$Y^2$的期望和方差，我们可以计算$D(X^2Y^2)$。由于$X$和$Y$是独立的，$X^2$和$Y^2$也是独立的，所以$D(X^2Y^2)=D(X^2)D(Y^2)+E(X^2)^2D(Y^2)+E(Y^2)^2D(X^2)$。 将已知值代入上述公式得到 $$D(X^2Y^2)=2*8+1^2*8+2^2*2=16+8+8=32$$ 因此，正确答案是C. 32。 |
C |
| baichuan4 | 首先，我们知道方差公式为 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。 由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，我们可以将 $X^2Y^2$ 的期望值分解为 $E(X^2)E(Y^2)$。 对于标准正态分布 $N(0, 1)$，我们有 $E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = 1 + 0^2 = 1$。 对于正态分布 $N(0, 2)$，我们有 $E(Y^2) = Var(Y) + [E(Y)]^2 = 4 + 0^2 = 4$。 因此，$E(X^2Y^2) = E(X^2)E(Y^2) = 1 * 4 = 4$。 接下来，我们需要计算 $[E(XY)]^2$。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$E(XY) = E(X)E(Y) = 0 * 0 = 0$，所以 $[E(XY)]^2 = 0^2 = 0$。 最后，我们使用方差公式得到 $D(X^2Y^2) = E(X^2Y^2) - [E(XY)]^2 = 4 - 0 = 4$。 所以正确答案是选项之外的值，即 4。 |
C |
| doubao | 已知$X\sim N(0,1)$，则$D(X)=1$；$Y\sim N(0,2)$，则$D(Y)=2$。 因为$X$和$Y$相互独立，所以$D(X^2)=[E(X^4)-E^2(X^2)]$，$E(X^2)=D(X)+E^2(X)=1+0=1$，$E(X^4)=\int_{-\infty}^{\infty}x^4\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=3$（计算过程略），所以$D(X^2)=3-1=2$。 同理$D(Y^2)=[E(Y^4)-E^2(Y^2)]$，$E(Y^2)=D(Y)+E^2(Y)=2+0=2$，$E(Y^4)=\int_{-\infty}^{\infty}y^4\frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-\frac{y^2}{4}}dy=12$（计算过程略），所以$D(Y^2)=12-4=8$。 又因为$X$和$Y$相互独立，所以$D(X^2Y^2)=D(X^2)D(Y^2)=2\times8=16$，没有正确选项。 你检查一下题干信息是否准确。 |
C |
| minimax | 首先，我们知道随机变量$X$和$Y$相互独立，且$X\sim N(0,1)$意味着$X$服从均值为0，方差为1的正态分布；$Y\sim N(0,2)$意味着$Y$服从均值为0，方差为2的正态分布。 我们需要计算$D(X^2Y^2)$，即随机变量$X^2Y^2$的方差。由于$X$和$Y$是独立的，我们可以分别计算$X^2$和$Y^2$的方差，然后利用独立性来计算$X^2Y^2$的方差。 首先，我们知道如果$Z\sim N(0,1)$，那么$Z^2$遵循卡方分布，具体来说是自由度为1的卡方分布。对于标准正态分布的随机变量$Z$，$Z^2$的期望值$E(Z^2)$是1，方差$D(Z^2)$是2。 对于$X^2$，由于$X\sim N(0,1)$，我们有$E(X^2) = 1$和$D(X^2) = 2$。 对于$Y^2$，由于$Y\sim N(0,2)$，我们知道$Y$的方差是$2$，因此$Y$的标准差是$\sqrt{2}$。为了将$Y$标准化，我们定义$Z = \frac{Y}{\sqrt{2}}$，那么$Z\sim N(0,1)$。因此，$Y^2 = 2Z^2$，所以$E(Y^2) = 2E(Z^2) = 2$，$D(Y^2) = 2^2D(Z^2) = 4 \cdot 2 = 8$。 现在，我们来计算$X^2Y^2$的期望值和方差。由于$X$和$Y$是独立的，$X^2$和$Y^2$也是独立的。 $E(X^2Y^2) = E(X^2)E(Y^2) = 1 \cdot 2 = 2$ 接下来，我们使用独立随机变量乘积的方差公式： $D(X^2Y^2) = E(X^4)E(Y^4) - [E(X^2)E(Y^2)]^2$ 我们知道$E(X^4)$对于标准正态分布的随机变量是3（因为$X^4$的期望值是3倍的$X^2$的期望值的平方），同理$E(Y^4)$对于$Y$的标准正态分布是3倍的$Y^2$的期望值的平方，即$E(Y^4) = 3 \cdot (2^2) = 12$。 因此， $D(X^2Y^2) = E(X^4)E(Y^4) - [E(X^2)E(Y^2)]^2 = 3 \cdot 12 - (1 \cdot 2)^2 = 36 - 4 = 32$ 所以正确答案是： C. 32 |
C |
| kimi | 首先，我们知道随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，且 \(X \sim N(0,1)\)，\(Y \sim N(0,2)\)。 由于 \(X\) 和 \(Y\) 都是正态分布，我们可以计算它们的方差： - \(D(X) = 1\)，因为 \(X\) 的标准差是 1。 - \(D(Y) = 2^2 = 4\)，因为 \(Y\) 的标准差是 2。 接下来，我们需要计算 \(D(X^2Y^2)\)。由于 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，\(X^2\) 和 \(Y^2\) 也是相互独立的。我们可以利用方差的性质 \(D(aX) = a^2D(X)\) 来计算 \(X^2\) 和 \(Y^2\) 的方差。 对于 \(X^2\)： \[D(X^2) = D(X^2 - E(X^2)) = E((X^2 - E(X^2))^2)\] \[= E(X^4) - (E(X^2))^2\] 由于 \(X \sim N(0,1)\)，我们知道 \(E(X^2) = 1\)，且 \(E(X^4) = 3\)（因为 \(E(X^4) = (E(X^2))^2 + 2Var(X^2) = 1^2 + 2 \times 1 = 3\)）。 所以， \[D(X^2) = 3 - 1^2 = 2\] 对于 \(Y^2\)： \[D(Y^2) = D(Y^2 - E(Y^2)) = E((Y^2 - E(Y^2))^2)\] \[= E(Y^4) - (E(Y^2))^2\] 由于 \(Y \sim N(0,2)\)，我们知道 \(E(Y^2) = 2\)，且 \(E(Y^4) = 3 \times (2^2)^2 = 3 \times 16 = 48\)。 所以， \[D(Y^2) = 48 - 2^2 = 44\] 最后，由于 \(X^2\) 和 \(Y^2\) 相互独立，我们可以计算 \(D(X^2Y^2)\)： \[D(X^2Y^2) = D(X^2) \times D(Y^2) = 2 \times 44 = 88\] 但是，这个结果并不在选项中。我们需要重新检查计算过程。注意到 \(D(X^2)\) 和 \(D(Y^2)\) 的计算是基于 \(X^2\) 和 \(Y^2\) 都是 \(\chi^2\) 分布（卡方分布）的，其中 \(X^2 \sim \chi^2(1)\) 和 \(Y^2 \sim \chi^2(1)\)，因为它们是标准正态分布的平方。 对于 \(\chi^2\) 分布，方差是自由度的两倍，所以： \[D(X^2) = 2\] \[D(Y^2) = 2 \times 2 = 4\] 因此， \[D(X^2Y^2) = D(X^2) \times D(Y^2) = 2 \times 4 = 8\] 但是，这个结果也不在选项中。我们需要再次检查。注意到 \(X^2\) 和 \(Y^2\) 实际上是 \(\chi^2\) 分布的，但它们的自由度是 1，所以它们的方差是 2 和 4，而不是 2 和 8。 因此，正确的计算应该是： \[D(X^2Y^2) = D(X^2) \times D(Y^2) = 2 \times 4 = 8\] 这个结果仍然不在选项中。我们需要重新考虑 \(X^2\) 和 \(Y^2\) 的方差。实际上，我们应该使用 \(\chi^2\) 分布的性质来计算 \(D(X^2)\) 和 \(D(Y^2)\)。 对于 \(X^2 \sim \chi^2(1)\)，方差是 2。 对于 \(Y^2 |
C |
| wenxinyiyan | 首先，由于$X$和$Y$是相互独立的正态随机变量，我们有： $X \sim N(0,1)$ $Y \sim N(0,2)$ 这意味着： $E(X) = 0, D(X) = 1$ $E(Y) = 0, D(Y) = 2$ 接下来，我们需要计算$E(X^2)$和$E(Y^2)$。 由于$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，我们得到： $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 1 + 0 = 1$ 同理，$E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2 = 2 + 0 = 2$。 现在，我们来计算$E(X^4)$和$E(Y^4)$。 使用正态随机变量的四阶矩公式，我们有： $E(X^4) = 3[D(X)]^2 = 3 \times 1^2 = 3$ $E(Y^4) = 3[D(Y)]^2 = 3 \times 2^2 = 12$ 最后，我们来计算$D(X^2Y^2)$。 由于$X$和$Y$是相互独立的，我们得到： $E(X^2Y^2) = E(X^2)E(Y^2) = 1 \times 2 = 2$ $E[(X^2Y^2)^2] = E(X^4)E(Y^4) = 3 \times 12 = 36$ 因此， $D(X^2Y^2) = E[(X^2Y^2)^2] - [E(X^2Y^2)]^2 = 36 - 2^2 = 32$ 故答案为：C. $32$。 |
C |
| zhipu | 首先，我们知道随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，且 \(X \sim N(0, 1)\)，\(Y \sim N(0, 2)\)。我们需要求的是 \(D(X^2 Y^2)\)，即 \(X^2 Y^2\) 的方差。 由于 \(X\) 和 \(Y\) 独立，我们可以利用方差的性质来简化计算。 首先，计算 \(X^2\) 和 \(Y^2\) 的方差： 1. 对于 \(X \sim N(0, 1)\)，\(X^2\) 服从卡方分布，即 \(X^2 \sim \chi^2(1)\)。卡方分布 \(\chi^2(k)\) 的期望和方差分别为 \(k\) 和 \(2k\)。因此，对于 \(X^2\)，有： \[ E(X^2) = 1, \quad D(X^2) = 2 \] 2. 对于 \(Y \sim N(0, 2)\)，我们可以写成 \(Y = \sqrt{2} Z\)，其中 \(Z \sim N(0, 1)\)。因此，\(Y^2 = 2Z^2\)，而 \(Z^2 \sim \chi^2(1)\)。所以 \(Y^2\) 服从 \(2\chi^2(1)\) 分布。其期望和方差分别为： \[ E(Y^2) = 2 \cdot 1 = 2, \quad D(Y^2) = 2 \cdot 2 = 4 \] 由于 \(X^2\) 和 \(Y^2\) 独立，我们可以求 \(X^2 Y^2\) 的期望和方差： \[ E(X^2 Y^2) = E(X^2) E(Y^2) = 1 \cdot 2 = 2 \] 对于方差，利用独立随机变量乘积的方差公式 \(D(UV) = E(U^2) D(V) + E(V^2) D(U) + D(U) D(V)\)，其中 \(U = X^2\)，\(V = Y^2\)，有： \[ D(X^2 Y^2) = E(X^2)^2 D(Y^2) + E(Y^2)^2 D(X^2) + D(X^2) D(Y^2) \] 带入已知值： \[ D(X^2 Y^2) = (E(X^2))^2 D(Y^2) + (E(Y^2))^2 D(X^2) + D(X^2) D(Y^2) \] \[ = 1^2 \cdot 4 + 2^2 \cdot 2 + 2 \cdot 4 \] \[ = 4 + 8 + 8 = 20 \] 所以，\(D(X^2 Y^2) = 20\)。 因此，正确答案是 B. 20。 |
C |
| gpto1 | To solve this problem, we need to compute the variance \( D(X^2Y^2) = E[(X^2Y^2)^2] - [E(X^2Y^2)]^2 \). Given that \( X \sim N(0,1) \) and \( Y \sim N(0,2) \), we can find the expected values and higher moments: 1. **Compute \( E(X^2) \) and \( E(X^4) \) for \( X \sim N(0,1) \)**: - \( E(X^2) = \text{Var}(X) = 1 \). - \( E(X^4) = 3 \) (since for a standard normal distribution, \( E(X^4) = 3\sigma^4 \) and \( \sigma^2 = 1 \)). 2. **Compute \( E(Y^2) \) and \( E(Y^4) \) for \( Y \sim N(0,2) \)**: - \( E(Y^2) = \text{Var}(Y) = 2 \). - \( E(Y^4) = 3 \times (\text{Var}(Y))^2 = 3 \times 2^2 = 12 \). 3. **Compute \( E(X^2Y^2) \) and \( E[(X^2Y^2)^2] \)**: - Since \( X \) and \( Y \) are independent, \( E(X^2Y^2) = E(X^2)E(Y^2) = 1 \times 2 = 2 \). - \( E[(X^2Y^2)^2] = E(X^4Y^4) = E(X^4)E(Y^4) = 3 \times 12 = 36 \). 4. **Calculate the variance \( D(X^2Y^2) \)**: - \( D(X^2Y^2) = E[(X^2Y^2)^2] - [E(X^2Y^2)]^2 = 36 - 2^2 = 36 - 4 = 32 \). Therefore, the correct answer is **32**. **Answer:** C |
C |
| deepseekv3 | 要计算 \( D(X^2 Y^2) \)，我们首先需要利用 \( X \) 和 \( Y \) 的独立性以及它们的分布性质。 1. **已知条件**： - \( X \sim N(0, 1) \) ，即 \( X \) 服从均值为 0，方差为 1 的正态分布。 - \( Y \sim N(0, 2) \) ，即 \( Y \) 服从均值为 0，方差为 2 的正态分布。 - \( X \) 和 \( Y \) 相互独立。 2. **计算期望和方差**： - 对于正态分布 \( X \sim N(0, \sigma^2) \)，有 \( E(X^2) = \sigma^2 \) 和 \( E(X^4) = 3\sigma^4 \)。 - 因此： \[ E(X^2) = 1, \quad E(X^4) = 3 \times 1^2 = 3 \] \[ E(Y^2) = 2, \quad E(Y^4) = 3 \times 2^2 = 12 \] - 由于 \( X \) 和 \( Y \) 独立，\( X^2 \) 和 \( Y^2 \) 也独立： \[ E(X^2 Y^2) = E(X^2) E(Y^2) = 1 \times 2 = 2 \] \[ E(X^4 Y^4) = E(X^4) E(Y^4) = 3 \times 12 = 36 \] - 方差的计算公式为： \[ D(X^2 Y^2) = E(X^4 Y^4) - [E(X^2 Y^2)]^2 = 36 - 2^2 = 36 - 4 = 32 \] 3. **结论**： 因此，\( D(X^2 Y^2) = 32 \)。 最终答案是： \boxed{C} |
C |