问题


以下是中国关于概率统计考试的单项选择题,请选出其中的正确答案。
设总体$X$的分布列如下:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline$\boldsymbol{X}$&0&1&2\\
\hline$\boldsymbol{p}$&$2/5$&$1/5$&$2/5$\\
\hline
\end{tabular}

$\left(X_{1},X_{2},\cdots X_{n}\right)$是来自于该总体的样本,$X_{(n)}=\max\left(X_{1},X_{2},\cdots X_{n}\right)$,

(i)$P\left(\mathbf{X}_{(n)}=0\right)=\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$,
(ii)$P\left(X_{(n)}=1\right)=\frac{2}{5}\left(c_{0}^{1}\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\right.$,
(iii)$P\left(\mathbf{X}_{(n)}=2\right)=1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$,

上述(i)、(ii)、(iii)中正确个数为____
A. 2
B. 1
C. 0
D. 3
答案:

答案

模型 模型答案 正确答案
金声玉亮2.0

B
B
deepseekr1

设总体$X$的分布列为:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
X & 0 & 1 & 2 \\
\hline
p & 2/5 & 1/5 & 2/5 \\
\hline
\end{array}
\]
样本$(X_1, X_2, \ldots, X_n)$的最大值$X_{(n)}$的概率分析如下:

1. **命题(i)**:$P(X_{(n)}=0) = \left(\frac{2}{5}\right)^n$
$X_{(n)}=0$要求所有样本均为0。每个样本为0的概率为$2/5$,故$n$个独立样本全为0的概率为$\left(\frac{2}{5}\right)^n$。因此命题(i)正确。

2. **命题(ii)**:$P(X_{(n)}=1) = \frac{2}{5} \cdot C_0^1 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}$
$X_{(n)}=1$要求所有样本$\leq 1$且至少有一个样本为1。正确概率应为:
\[
P(X_{(n)}=1) = \left(\frac{3}{5}\right)^n - \left(\frac{2}{5}\right)^n,
\]
其中$\left(\frac{3}{5}\right)^n$为所有样本$\leq 1$的概率,$\left(\frac{2}{5}\right)^n$为所有样本为0的概率。原命题中组合数$C_0^1=0$,导致表达式值为0,显然错误。因此命题(ii)错误。

3. **命题(iii)**:$P(X_{(n)}=2) = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n$
$X_{(n)}=2$要求至少有一个样本为2。正确概率应为:
\[
P(X_{(n)}=2) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^n,
\]
其中$\left(\frac{3}{5}\right)^n$为所有样本$\leq 1$的概率。原命题中$1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n$与正确答案不符,故命题(iii)错误。

**结论**:仅命题(i)正确,正确个数为1。

答案:B
B
gpto1 To solve this, we need to examine each of the statements (i), (ii), and (iii) individually.

Given the distribution of \( X \):

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline\( X \)&0&1&2\\
\hline\( p \)&\( \frac{2}{5} \)&\( \frac{1}{5} \)&\( \frac{2}{5} \)\\
\hline
\end{tabular}
\]

We have a sample \( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) from this distribution, and \( X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n) \).

**Statement (i)**: \( P(X_{(n)} = 0) = \left( \frac{2}{5} \right)^n \)

- \( X_{(n)} = 0 \) occurs only if all \( X_i = 0 \).
- \( P(X_i = 0) = \frac{2}{5} \), so the probability all \( X_i = 0 \) is \( \left( \frac{2}{5} \right)^n \).
- Thus, statement (i) is **correct**.

**Statement (ii)**: \( P(X_{(n)} = 1) = \frac{2}{5} \cdot c_0^1 \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1} \)

This expression seems incorrect or misprinted.

- \( X_{(n)} = 1 \) means all \( X_i \leq 1 \) (probability \( \left( \frac{3}{5} \right)^n \)) and at least one \( X_i = 1 \).
- The probability that all \( X_i \leq 1 \) is \( \left( \frac{3}{5} \right)^n \).
- The probability that all \( X_i = 0 \) is \( \left( \frac{2}{5} \right)^n \).
- So, \( P(X_{(n)} = 1) = \left( \frac{3}{5} \right)^n - \left( \frac{2}{5} \right)^n \).
- Since the given formula doesn't match this, statement (ii) is **incorrect**.

**Statement (iii)**: \( P(X_{(n)} = 2) = 1 - \left( \frac{2}{5} \right)^n \)

- \( X_{(n)} \leq 1 \) has probability \( \left( \frac{3}{5} \right)^n \)
- So, \( P(X_{(n)} = 2) = 1 - P(X_{(n)} \leq 1) = 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^n \)
- The provided formula, \( 1 - \left( \frac{2}{5} \right)^n \), is incorrect.
- Therefore, statement (iii) is **incorrect**.

**Answer**: **B. 1** statement is correct.

Answer:
B
B
GPT-4o 我们逐一分析(i)、(ii)、(iii)的正确性:

(i) \( P(X_{(n)} = 0) = \left(\frac{2}{5}\right)^n \)

这是正确的,因为样本中所有的 \( X_i \) 都必须是0,概率是 \( \left(\frac{2}{5}\right)^n \)。

(ii) \( P(X_{(n)} = 1) = \frac{2}{5} \left( c_{0}^{1} \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} \right) \)

这不正确。需要考虑在样本中最大值是1的情况,这意味着至少有一个样本值是1,但没有样本值是2。具体计算可以分解为:

\[ P(X_{(n)} = 1) = P(\text{最大值为1}) = P(\text{所有样本值} \leq 1) - P(\text{所有样本值} = 0) \]
\[ = \left( \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \right)^n - \left( \frac{2}{5} \right)^n = \left(\frac{3}{5}\right)^n - \left(\frac{2}{5}\right)^n \]

这里并没有涉及组合公式 \( c_{0}^{1} \) 等表达式。

(iii) \( P(X_{(n)} = 2) = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n \)

这是正确的,因为样本中最大值不是0的概率是 \( 1 - P(X_{(n)} = 0) \),即 \( 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n \)。

所以,正确答案是(i)和(iii),正确个数为2。

答案是 A. 2
B
llama3.1-70B-Instruct

答案:(i)P(X_{(n)}=0)=P(X_{1}=0,X_{2}=0,\cdotsX_{n}=0)=\frac{2}{5}\times\frac{2}{5}\times\cdots\times\frac{2}{5}=(\frac{2}{5})^{n}(ii)P(X_{(n)}=1)=P(X_{1}\leqslant1,X_{2}\leqslant1,\cdotsX_{n}\leqslant1)-P(X_{1}=0,X_{2}=0,\cdotsX_{n}=0)=\frac{3}{5}\times\frac{3}{5}\times\cdots\times\frac{3}{5}-(\frac{2}{5})^{n}=(\frac{3}{5})^{n}-(\frac{2}{5})^{n}(iii)P(X_{(n)}=2)=1-P(X_{(n)}=0)-P(X_{(n)}=1)=1-(\frac{2}{5})^{n}-(\frac{3}{5})^{n}+(\frac{2}{5})^{n}=1-(\frac{3}{5})^{n}所以(i)正确,(ii)(iii)不正确. 最终结果是1
B
llama3.1-405B-Instruct

B
B
DeepSeek-Coder-V2 我们需要逐步分析每个选项的正确性。

首先,总体 \(X\) 的分布列如下:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
X & 0 & 1 & 2 \\
\hline
p & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\
\hline
\end{array}
\]

设 \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) 是来自该总体的样本,\(X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)\)。

### 分析 (i)
(i) \(P(X_{(n)} = 0) = \left(\frac{2}{5}\right)^n\)

如果 \(X_{(n)} = 0\),则所有样本 \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) 都必须等于 0。每个样本等于 0 的概率是 \(\frac{2}{5}\),因此:

\[
P(X_{(n)} = 0) = \left(\frac{2}{5}\right)^n
\]

这个选项是正确的。

### 分析 (ii)
(ii) \(P(X_{(n)} = 1) = \frac{2}{5} \left(c_0^1 \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\right)\)

如果 \(X_{(n)} = 1\),则所有样本中至少有一个等于 1,其余的样本可以等于 0 或 1。我们需要计算这种情况的概率。

首先,考虑至少有一个 1 的情况。我们可以用补集的方式计算:

\[
P(X_{(n)} = 1) = 1 - P(X_{(n)} \neq 1)
\]

\(P(X_{(n)} \neq 1)\) 包括 \(X_{(n)} = 0\) 和 \(X_{(n)} = 2\) 的情况:

\[
P(X_{(n)} = 0) = \left(\frac{2}{5}\right)^n
\]
\[
P(X_{(n)} = 2) = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n - \left(\frac{1}{5}\right)^n
\]

因此:

\[
P(X_{(n)} = 1) = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n - \left(1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n - \left(\frac{1}{5}\right)^n\right)
\]

这个选项的表达式不正确。

### 分析 (iii)
(iii) \(P(X_{(n)} = 2) = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n\)

如果 \(X_{(n)} = 2\),则所有样本中至少有一个等于 2。我们可以用补集的方式计算:

\[
P(X_{(n)} = 2) = 1 - P(X_{(n)} \neq 2)
\]

\(P(X_{(n)} \neq 2)\) 包括 \(X_{(n)} = 0\) 和 \(X_{(n)} = 1\) 的情况:

\[
P(X_{(n)} = 0) = \left(\frac{2}{5}\right)^n
\]
\[
P(X_{(n)} = 1) = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n - \left(\frac{1}{5}\right)^n
\]

因此:

\[
P(X_{(n)} = 2) = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n - \left(\frac{1}{5}\right)^n
\]

这个选项的表达式不正确。

### 结论
正确的选项个数为 1。

因此,答案是 \(\boxed{B}\)。
B
Qwen2-72B-Instruct 首先,我们分析给定的总体分布列:
\begin{align*}
P(X=0) &= \frac{2}{5}, \\
P(X=1) &= \frac{1}{5}, \\
P(X=2) &= \frac{2}{5}.
\end{align*}

接下来,我们检查每个给定的命题:

(i) $P\left(\mathbf{X}_{(n)}=0\right)=\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$

这个命题表示在$n$次独立的抽样中,最大值为0的概率。这实际上意味着在每一次抽样中,我们只抽到0。由于每次抽到0的概率是$\frac{2}{5}$,在$n$次独立抽样中都抽到0的概率确实是$\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$。因此,(i)是正确的。

(ii) $P\left(X_{(n)}=1\right)=\frac{2}{5}\left(c_{0}^{1}\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\right.$

这个命题的表达式看起来是错误的,因为$c_{0}^{1}\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}$实际上等于0(从0中选择1种方式是0)。正确的表达式应该是考虑在$n$次抽样中,最大值为1的概率。这可以通过计算在所有抽样中不抽到2(即抽到0或1)的概率,然后从这个概率中减去所有抽样结果都是0的概率来得到。即$P\left(X_{(n)}=1\right)=\left(\frac{3}{5}\right)^n - \left(\frac{2}{5}\right)^n$。因此,(ii)是错误的。

(iii) $P\left(\mathbf{X}_{(n)}=2\right)=1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$

这个命题表示在$n$次独立的抽样中,最大值为2的概率。这实际上意味着在至少一次抽样中,我们抽到了2。由于在$n$次独立抽样中,没有抽到2的概率是$\left(\frac{3}{5}\right)^n$,那么至少抽到一次2的概率就是$1-\left(\frac{3}{5}\right)^n$。因此,(iii)是不正确的,因为它应该表示为$P\left(\mathbf{X}_{(n)}=2\right)=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n}$。

综上所述,只有(i)是正确的。

答案是B. 1。
B
baichuan4 首先,我们计算每个事件的概率。

(i) $P(X_{(n)}=0)$:所有样本都取到0的概率。因为每个样本取到0的概率是$2/5$,所以所有样本都取到0的概率是$(2/5)^n$。因此,(i)是正确的。

(ii) $P(X_{(n)}=1)$:最大值为1,意味着至少有一个样本取到1,而其他样本都取到0或1。我们可以先计算所有样本都不取到1的概率,然后用1减去这个概率得到至少有一个样本取到1的概率。所有样本都不取到1的概率是$(2/5+2/5)^n = (4/5)^n$。因此,至少有一个样本取到1的概率是$1-(4/5)^n$。所以,(ii)是错误的。

(iii) $P(X_{(n)}=2)$:最大值为2,意味着至少有一个样本取到2,而其他样本可以取到0、1或2。我们可以先计算所有样本都不取到2的概率,然后用1减去这个概率得到至少有一个样本取到2的概率。所有样本都不取到2的概率是$(2/5+1/5)^n = (3/5)^n$。因此,至少有一个样本取到2的概率是$1-(3/5)^n$。所以,(iii)也是错误的。

综上所述,正确的选项是B. 1。
B
doubao 逐一分析:

对于(i),$X_{(n)}=0$表示样本中所有的$X_i$都为$0$,每个$X_i$取$0$的概率为$\frac{2}{5}$,所以$P(X_{(n)}=0)=(\frac{2}{5})^n$,(i)正确。

对于(ii),$P(X_{(n)}=1)$应该是从$n$个中选一个$X_i$为$1$,其他$n-1$个都不为$1$的概率,即$P(X_{(n)}=1)=C_n^1(\frac{1}{5})(\frac{2}{5})^{n-1}$,而不是$C_0^1(\frac{1}{5})^{n-1}$,所以(ii)错误。

对于(iii),$P(X_{(n)}=2)=1-P(X_{(n)}\lt2)=1-P(X_{(n)}=0)-P(X_{(n)}=1)=1-(\frac{2}{5})^n-C_n^1(\frac{1}{5})(\frac{2}{5})^{n-1}\neq1-(\frac{2}{5})^n$,所以(iii)错误。

所以正确的只有(i),正确答案是 B。
B
minimax 首先,我们来分析每个选项的正确性。

(i) $P(X_{(n)}=0)=\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$

这个表达式表示所有样本值都为0的概率。由于$X$的分布列中$P(X=0)=\frac{2}{5}$,那么在n个独立的样本中,每个样本取值为0的概率都是$\frac{2}{5}$。因此,所有样本值都为0的概率确实是$\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$。所以,(i)是正确的。

(ii) $P(X_{(n)}=1)=\frac{2}{5}\left(c_{0}^{1}\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\right.$

这个表达式看起来是错误的。首先,$c_{0}^{1}$这个组合数没有意义,因为组合数$c_{n}^{k}$表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数,而这里没有指定是从多少个元素中取。其次,$P(X_{(n)}=1)$应该表示至少有一个样本值为1的概率,而不是一个样本值为1的概率。正确的表达式应该是所有样本值都不大于1的概率,即$P(X_{(n)} \leq 1)$,这需要考虑所有样本值为0或1的情况。

(iii) $P(X_{(n)}=2)=1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$

这个表达式表示至少有一个样本值为2的概率。由于$P(X=2)=\frac{2}{5}$,那么所有样本值都不为2的概率是所有样本值都为0或1的概率,即$P(X_{(n)} \leq 1)$。因此,至少有一个样本值为2的概率应该是$1 - P(X_{(n)} \leq 1)$。由于$P(X_{(n)} \leq 1)$不等于$\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$,所以(iii)也是错误的。

综上所述,只有(i)是正确的。因此,正确个数为1。

答案: B. 1
B
kimi 我们来逐个分析这三个选项:

(i) $P(X_{(n)}=0)$ 表示所有样本值都为0的概率。由于样本来自总体,且总体中取值为0的概率为$2/5$,那么所有样本都取值为0的概率为$(2/5)^n$。因此,选项(i)是正确的。

(ii) $P(X_{(n)}=1)$ 表示所有样本中的最大值为1的概率。这需要至少有一个样本值为1,并且其余样本值都小于等于1。在这种情况下,至少有一个样本值为1的概率可以通过计算没有样本值为1的概率,然后用1减去这个概率来得到。没有样本值为1的概率是所有样本值都为0的概率,即$(2/5)^n$。因此,至少有一个样本值为1的概率是$1 - (2/5)^n$。但是,选项(ii)中给出的表达式是错误的,因为它没有考虑到所有样本值都为0的情况。

(iii) $P(X_{(n)}=2)$ 表示所有样本中的最大值为2的概率。这需要所有样本值都小于等于2,并且至少有一个样本值为2。没有样本值为2的概率是所有样本值都为0或1的概率,即$(2/5)^n + (1/5)^n$。因此,至少有一个样本值为2的概率是$1 - [(2/5)^n + (1/5)^n]$。但是,选项(iii)中给出的表达式是错误的,因为它没有考虑到样本值可能为1的情况。

综上所述,只有选项(i)是正确的。

答案:B. 1
B
wenxinyiyan (i) 考虑事件$P\left(X_{(n)}=0\right)$,这意味着所有的样本观察值都是0。由于每个观察值独立的来自总体,且$P(X=0)=\frac{2}{5}$,所以$P\left(X_{(n)}=0\right)=\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$。因此,(i)是正确的。

(ii) 考虑事件$P\left(X_{(n)}=1\right)$,这意味着所有的样本观察值都不大于1,但至少有一个观察值是1。这可以分解为两部分:一部分是所有观察值都是0的概率,另一部分是至少有一个观察值是1的概率。计算这个概率稍微复杂一些,因为需要排除所有观察值都是0的情况。因此,给出的表达式$P\left(X_{(n)}=1\right)=\frac{2}{5}\left(c_{0}^{1}\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\right.$是不完整的,并且看起来是错误的。因此,(ii)是错误的。

(iii) 考虑事件$P\left(X_{(n)}=2\right)$,这意味着至少有一个样本观察值是2。由于$P(X=2)=\frac{2}{5}$,我们可以使用对立事件的概率来计算这个概率,即$P\left(X_{(n)}=2\right)=1-P\left(X_{(n)}<2\right)$。由于$P\left(X_{(n)}<2\right)$就是所有观察值都不大于1的概率,即$P\left(X_{(n)}=0\right)+P\left(X_{(n)}=1\right)$。因此,$P\left(X_{(n)}=2\right)=1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n}-P\left(X_{(n)}=1\right)$。由于(ii)是错误的,所以给出的表达式$P\left(\mathbf{X}_{(n)}=2\right)=1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$也是错误的。因此,(iii)是错误的。

综上所述,只有(i)是正确的,所以正确的个数是1。

故选B。
B
zhipu 我们来逐一验证(i)、(ii)、(iii)中的概率公式是否正确。

首先,设总体 \(X\) 的分布列为:

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$X$ & 0 & 1 & 2 \\
\hline
$p$ & $\frac{2}{5}$ & $\frac{1}{5}$ & $\frac{2}{5}$ \\
\hline
\end{tabular}
\]

样本 \((X_1, X_2, \cdots, X_n)\) 来自该总体,且 \(X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \cdots, X_n)\)。

### 验证(i) \(P(X_{(n)} = 0)\)

\(X_{(n)} = 0\) 表示所有样本 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 都为0。

\[
P(X_{(n)} = 0) = P(X_1 = 0, X_2 = 0, \cdots, X_n = 0) = \left(\frac{2}{5}\right)^n
\]

所以(i)是正确的。

### 验证(ii) \(P(X_{(n)} = 1)\)

\(X_{(n)} = 1\) 表示样本中最大值为1,这意味着至少有一个样本值为1,且所有样本值不超过1。

\[
P(X_{(n)} = 1) = P(\text{至少一个} X_i = 1 \text{且所有} X_i \leq 1)
\]

这可以分解为:

\[
P(X_{(n)} = 1) = \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \left(\frac{1}{5}\right)^k \left(\frac{2}{5}\right)^{n-k}
\]

但(ii)中的表达式为:

\[
P(X_{(n)} = 1) = \frac{2}{5} \left( \binom{n}{1} \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} \right)
\]

这显然是不正确的,因为公式形式和实际计算不符。

所以(ii)是错误的。

### 验证(iii) \(P(X_{(n)} = 2)\)

\(X_{(n)} = 2\) 表示样本中至少有一个值为2。

\[
P(X_{(n)} = 2) = 1 - P(X_{(n)} \leq 1)
\]

其中 \(P(X_{(n)} \leq 1) = P(X_{(n)} = 0) + P(X_{(n)} = 1)\)。

已知 \(P(X_{(n)} = 0) = \left(\frac{2}{5}\right)^n\),而 \(P(X_{(n)} = 1)\) 是错误的,但我们可以直接计算:

\[
P(X_{(n)} = 2) = 1 - P(\text{所有} X_i \leq 1) = 1 - \left( \left(\frac{2}{5}\right)^n + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \left(\frac{1}{5}\right)^k \left(\frac{2}{5}\right)^{n-k} \right)
\]

但更简单的方法是:

\[
P(X_{(n)} = 2) = 1 - \left( \left(\frac{2}{5}\right)^n + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \left(\frac{1}{5}\right)^k \left(\frac{2}{5}\right)^{n-k} \right) = 1 - \left( \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \right)^n = 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^n
\]

但题目给出的(iii)是:

\[
P(X_{(n)} = 2) = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n
\]

这显然是不正确的。

所以(iii)是错误的。

### 总结

只有(i)是正确的,故正确个数为1。

答案为:B. 1
B
gpto1 To solve this, we need to examine each of the statements (i), (ii), and (iii) individually.

Given the distribution of \( X \):

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline\( X \)&0&1&2\\
\hline\( p \)&\( \frac{2}{5} \)&\( \frac{1}{5} \)&\( \frac{2}{5} \)\\
\hline
\end{tabular}
\]

We have a sample \( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) from this distribution, and \( X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n) \).

**Statement (i)**: \( P(X_{(n)} = 0) = \left( \frac{2}{5} \right)^n \)

- \( X_{(n)} = 0 \) occurs only if all \( X_i = 0 \).
- \( P(X_i = 0) = \frac{2}{5} \), so the probability all \( X_i = 0 \) is \( \left( \frac{2}{5} \right)^n \).
- Thus, statement (i) is **correct**.

**Statement (ii)**: \( P(X_{(n)} = 1) = \frac{2}{5} \cdot c_0^1 \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1} \)

This expression seems incorrect or misprinted.

- \( X_{(n)} = 1 \) means all \( X_i \leq 1 \) (probability \( \left( \frac{3}{5} \right)^n \)) and at least one \( X_i = 1 \).
- The probability that all \( X_i \leq 1 \) is \( \left( \frac{3}{5} \right)^n \).
- The probability that all \( X_i = 0 \) is \( \left( \frac{2}{5} \right)^n \).
- So, \( P(X_{(n)} = 1) = \left( \frac{3}{5} \right)^n - \left( \frac{2}{5} \right)^n \).
- Since the given formula doesn't match this, statement (ii) is **incorrect**.

**Statement (iii)**: \( P(X_{(n)} = 2) = 1 - \left( \frac{2}{5} \right)^n \)

- \( X_{(n)} \leq 1 \) has probability \( \left( \frac{3}{5} \right)^n \)
- So, \( P(X_{(n)} = 2) = 1 - P(X_{(n)} \leq 1) = 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^n \)
- The provided formula, \( 1 - \left( \frac{2}{5} \right)^n \), is incorrect.
- Therefore, statement (iii) is **incorrect**.

**Answer**: **B. 1** statement is correct.

Answer:
B
B
deepseekv3 server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-9f97b451-96f4-9509-9bd0-c1f3c7f71657', 'request_id': '9f97b451-96f4-9509-9bd0-c1f3c7f71657'} B