| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | B |
D |
| deepseekr1 | 函数 $f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$ 的间断点出现在分母为零的位置，即 $x$ 为整数时（$x = n$，$n \in \mathbb{Z}$）。可去间断点的条件是分子和分母在该点同时为零，且极限存在。 1. **分析分子和分母的零点**： - 分子 $x - x^3 = x(1 - x^2)$ 在 $x = 0, \pm 1$ 处为零。 - 分母 $\sin \pi x$ 在所有整数点 $x = n$ 处为零。 因此，仅当 $x = 0, \pm 1$ 时，分子和分母同时为零，可能存在可去间断点。其他整数点处分子不为零，极限为无穷大，属于无穷间断点。 2. **验证可去间断点**： - **当 $x \to 0$ 时**： 使用等价无穷小 $\sin \pi x \sim \pi x$，则 $$f(x) \approx \frac{x - x^3}{\pi x} = \frac{1 - x^2}{\pi} \to \frac{1}{\pi} \quad (\text{极限存在})$$ 故 $x = 0$ 是可去间断点。 - **当 $x \to 1$ 时**： 令 $t = x - 1$，则 $\sin \pi x = -\sin \pi t \sim -\pi t$，分子展开为 $-2t - 3t^2 - t^3 \sim -2t$。 极限为 $\frac{-2t}{-\pi t} = \frac{2}{\pi}$，存在，故 $x = 1$ 是可去间断点。 - **当 $x \to -1$ 时**： 令 $t = x + 1$，则 $\sin \pi x = -\sin \pi t \sim -\π t$，分子展开为 $-2t + 3t^2 - t^3 \sim -2t$。 极限为 $\frac{-2t}{-\pi t} = \frac{2}{\pi}$，存在，故 $x = -1$ 是可去间断点。 3. **结论**： $x = 0, \pm 1$ 均为可去间断点，共 **3 个**。 答案：D. 3 |
D |
| gpto1 | 通过分析函数 \( f(x)=\dfrac{x - x^3}{\sin \pi x} \)，我们首先找到分母为零的点，即 \(\sin \pi x = 0\)，这发生在 \( x = n \)（\( n \) 为整数）时。 接下来，我们注意到分子 \( x - x^3 = x(1 - x^2) \)，它在 \( x = 0, \pm1 \) 处为零。 在 \( x = 0, \pm1 \) 处，我们有 \( 0/0 \) 的不确定形式，可以通过洛必达法则计算极限，发现极限存在，因此这些点是可去间断点。 对于其他整数点，分子不为零而分母趋于零，函数在这些点附近无限大，极限不存在，因此它们是不可去间断点。 因此，函数 \( f(x) \) 的可去间断点共有 3 个，分别在 \( x = -1, 0, 1 \)。 **答案是：D. 3** Answer: D |
D |
| GPT-4o | 答案是: A. 2 | D |
| llama3.1-70B-Instruct | B |
D |
| llama3.1-405B-Instruct | B |
D |
| DeepSeek-Coder-V2 | 答案是: A | D |
| Qwen2-72B-Instruct | C. 1 解析：函数 $f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$ 在 $\sin \pi x = 0$ 的点上未定义，即在 $x=n$，$n \in \mathbb{Z}$ 的点上未定义。但在这些点中，$x=0$ 是一个特殊点，因为当 $x \to 0$ 时，分子和分母都趋向于0。通过洛必达法则或观察分子分母的泰勒展开，可以发现 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的极限存在，因此 $x=0$ 是一个可去间断点。对于其他整数点 $x=n, n \neq 0$，由于分子在这些点的值不为0，而分母为0，因此这些点是无穷间断点。所以，可去间断点的个数为1。 |
D |
| baichuan4 | B | D |
| doubao | 这道题主要考查可去间断点的概念。 函数的间断点是指在该点处不连续的点。 可去间断点是指函数在该点处的左极限与右极限都存在且相等，但不等于该点处的函数值。 对于函数\(f(x)=\frac{x-x^3}{\sin\pi x}\)，当\(\sin\pi x=0\)时，函数无定义，即\(\pi x=k\pi(k\in Z)\)，解得\(x=k(k\in Z)\)。 当\(x=0\)时，\(\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{x-x^3}{\sin\pi x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-3x^2}{\pi\cos\pi x}=\frac{1}{\pi}\)，所以\(x=0\)是可去间断点。 当\(x=1\)时，\(\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}\frac{x-x^3}{\sin\pi x}=\lim\limits_{x\to1}\frac{1-3x^2}{\pi\cos\pi x}=-\frac{2}{\pi}\)，所以\(x=1\)是可去间断点。 当\(x=-1\)时，\(\lim\limits_{x\to-1}f(x)=\lim\limits_{x\to-1}\frac{x-x^3}{\sin\pi x}=\lim\limits_{x\to-1}\frac{1-3x^2}{\pi\cos\pi x}=-\frac{2}{\pi}\)，所以\(x=-1\)是可去间断点。 综上，函数有 3 个可去间断点，答案是 D 选项。 |
D |
| minimax | 首先，我们需要找出函数 $f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$ 的间断点。函数的间断点发生在分母为零的位置，即 $\sin \pi x = 0$。由于 $\sin \pi x = 0$ 当且仅当 $\pi x = n\pi$，其中 $n$ 是整数，我们可以得出 $x = n$，其中 $n$ 是整数。 然而，我们还需要考虑分子 $x - x^3$。当 $x = n$ 时，分子为 $n - n^3$。对于 $n = 0$，分子为 $0$，因此 $x = 0$ 是一个零点，但不是分母的零点，所以 $x = 0$ 不是间断点。对于 $n \neq 0$，分子不为零，因此这些点不是函数的零点。 接下来，我们需要确定这些间断点的类型。由于 $\sin \pi x$ 在 $x = n$ 处为零，且在这些点附近不改变符号（因为 $\sin \pi x$ 是周期函数，且在 $x = n$ 处有绝对值极小值），所以这些点是函数的可去间断点。 因此，可去间断点发生在所有整数点 $x = n$，其中 $n$ 是非零整数。由于整数有无穷多个，所以可去间断点的个数也是无穷多个。 正确答案是： B. 无穷多个 |
D |
| kimi | C. 1 | D |
| wenxinyiyan | A. 2 | D |
| zhipu | 正确答案是：D. 3 解析： 函数 \( f(x) = \frac{x - x^3}{\sin \pi x} \) 的可去间断点出现在 \(\sin \pi x = 0\) 的位置，即 \( x = k \)（其中 \( k \) 为整数），因为在这些点上分母为零。 首先，考虑 \( x = k \) 时分子 \( x - x^3 = k - k^3 \)。若 \( k \) 为整数，则分子为零当且仅当 \( k(k^2 - 1) = 0 \)，即 \( k = 0, \pm 1 \)。 接下来，检查这些点是否为可去间断点： 1. 当 \( x = 0 \) 时，\( \lim_{x \to 0} \frac{x - x^3}{\sin \pi x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(1 - x^2)}{\sin \pi x} \)。利用洛必达法则，可以得到极限存在且有限，因此 \( x = 0 \) 是可去间断点。 2. 当 \( x = 1 \) 时，\( \lim_{x \to 1} \frac{x - x^3}{\sin \pi x} = \lim_{x \to 1} \frac{1 - 1^3}{\sin \pi} = 0 \)，因此 \( x = 1 \) 是可去间断点。 3. 当 \( x = -1 \) 时，\( \lim_{x \to -1} \frac{x - x^3}{\sin \pi x} = \lim_{x \to -1} \frac{-1 - (-1)^3}{\sin (-\pi)} = 0 \)，因此 \( x = -1 \) 是可去间断点。 综上所述，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0, 1, -1 \) 处有可去间断点，共有3个。 因此，正确答案是 D. 3。 |
D |
| gpto1 | 通过分析函数 \( f(x)=\dfrac{x - x^3}{\sin \pi x} \)，我们首先找到分母为零的点，即 \(\sin \pi x = 0\)，这发生在 \( x = n \)（\( n \) 为整数）时。 接下来，我们注意到分子 \( x - x^3 = x(1 - x^2) \)，它在 \( x = 0, \pm1 \) 处为零。 在 \( x = 0, \pm1 \) 处，我们有 \( 0/0 \) 的不确定形式，可以通过洛必达法则计算极限，发现极限存在，因此这些点是可去间断点。 对于其他整数点，分子不为零而分母趋于零，函数在这些点附近无限大，极限不存在，因此它们是不可去间断点。 因此，函数 \( f(x) \) 的可去间断点共有 3 个，分别在 \( x = -1, 0, 1 \)。 **答案是：D. 3** Answer: D |
D |
| deepseekv3 | C | D |