| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 答案是: D. $y'''-6y''+11y'-6y=0$ | B |
| deepseekr1 | 根据题目中给出的特解 \( y_1 = e^{-x} \)、\( y_2 = 2xe^{-x} \)、\( y_3 = 3e^x \)，分析对应的特征根： 1. \( y_1 = e^{-x} \) 和 \( y_2 = 2xe^{-x} \) 表明特征根 \( r = -1 \) 是二重根（重根次数为2）。 2. \( y_3 = 3e^x \) 对应单根 \( r = 1 \)。 因此，特征方程为： \[ (r + 1)^2 (r - 1) = 0 \] 展开后为： \[ (r + 1)^2 (r - 1) = (r^2 + 2r + 1)(r - 1) = r^3 + r^2 - r - 1 \] 对应的微分方程为： \[ y''' + y'' - y' - y = 0 \] 验证选项： - **选项B** 的方程为 \( y''' + y'' - y' - y = 0 \)，其特征方程 \( r^3 + r^2 - r - 1 = 0 \) 的根为 \( r = -1 \)（二重根）和 \( r = 1 \)，与题目特解完全匹配。 - 其他选项的特征根均不符合题目特解形式。 **答案：B** |
B |
| gpto1 | B | B |
| GPT-4o | D. $y'''-6y''+11y'-6y=0$ | B |
| llama3.1-70B-Instruct | A |
B |
| llama3.1-405B-Instruct | C |
B |
| DeepSeek-Coder-V2 | 答案是: A | B |
| Qwen2-72B-Instruct | 答案是: D. $y'''-6y''+11y'-6y=0$ | B |
| baichuan4 | C | B |
| doubao | 已知特解$y_1=e^{-x}$，$y_2=2xe^{-x}$，$y_3=3e^x$。 $e^{-x}$对应的特征根为$r=-1$，且是单根；$2xe^{-x}$是$e^{-x}$的一阶导数乘以$x$得到，所以$-1$是特征方程的二重根；$3e^x$对应的特征根为$r=1$。 所以特征方程为$(r+1)^2(r-1)=0$，即$(r^2+2r+1)(r-1)=r^3+r^2-r-1=0$，对应的微分方程为$y'''-y''-y'+y=0$。 所以正确答案是 C。 |
B |
| minimax | 为了确定正确的微分方程，我们可以使用特征方程的方法。给定的特解 $y_1=e^{-x}$，$y_2=2xe^{-x}$，$y_3=3e^x$ 暗示了对应的特征根。 首先，$y_1=e^{-x}$ 对应于特征根 $r=-1$，因为 $e^{-x}$ 是 $e^{rx}$ 的形式，其中 $r=-1$。 其次，$y_2=2xe^{-x}$ 对应于重根 $r=-1$，因为 $xe^{-x}$ 是 $e^{rx}$ 的形式，其中 $r=-1$，并且由于 $x$ 的存在，这表明 $r=-1$ 是一个二重根。 最后，$y_3=3e^x$ 对应于特征根 $r=1$，因为 $e^x$ 是 $e^{rx}$ 的形式，其中 $r=1$。 因此，特征方程是 $(r+1)^2(r-1)=0$，展开后得到 $r^3 - r^2 - r + 1 = 0$。 将特征方程的左侧与给定的微分方程选项比较，我们可以看到选项A $y'''-2y''-y'+2y=0$ 的左侧展开后是 $r^3 - 2r^2 - r + 2$，这与我们的特征方程不匹配。 选项B $y'''+y''-y'-y=0$ 的左侧展开后是 $r^3 + r^2 - r - 1$，这也不匹配。 选项C $y'''-y''-y'+y=0$ 的左侧展开后是 $r^3 - r^2 - r + 1$，这同样不匹配。 选项D $y'''-6y''+11y'-6y=0$ 的左侧展开后是 $r^3 - 6r^2 + 11r - 6$，这与我们的特征方程 $r^3 - r^2 - r + 1 = 0$ 相匹配，因为如果我们将 $r^3 - r^2 - r + 1$ 重写为 $r^3 - 6r^2 + 11r - 6$，我们可以看到它们是相同的，只是因为 $r^2$ 的系数是 $-6$ 而不是 $-1$，这是因为 $r=-1$ 是一个二重根，所以 $r^2$ 的系数是 $-1$ 的两倍。 因此，正确答案是 D. $y'''-6y''+11y'-6y=0$。 |
B |
| kimi | C. $y'''-y''-y'+y=0$ | B |
| wenxinyiyan | D | B |
| zhipu | 正确答案是 D. $y'''-6y''+11y'-6y=0$。 解析： 给定特解 $y_1 = e^{-x}$，$y_2 = 2xe^{-x}$，$y_3 = 3e^x$，我们需要找到对应的特征方程。 1. 对于 $y_1 = e^{-x}$，其对应的特征根是 $r = -1$。 2. 对于 $y_2 = 2xe^{-x}$，这是 $e^{-x}$ 的形式乘以 $x$，表明特征根 $r = -1$ 是重根。 3. 对于 $y_3 = 3e^x$，其对应的特征根是 $r = 1$。 因此，特征方程应该具有根 $r = -1$（重根）和 $r = 1$。 特征方程可以写成： \[ (r + 1)^2 (r - 1) = 0 \] 展开得到： \[ (r + 1)^2 (r - 1) = (r^2 + 2r + 1)(r - 1) = r^3 + r^2 - r - 1 \] 对应的微分方程是： \[ y''' + y'' - y' - y = 0 \] 但是在选项中，我们需要找到与这个特征方程对应的正确形式。通过检查选项，我们发现选项 D 的特征方程为： \[ r^3 - 6r^2 + 11r - 6 = 0 \] 其根为 $r = 1, r = -1, r = -1$（即 $r = -1$ 为重根，$r = 1$ 为单根），这与我们分析的特解对应。 因此，正确答案是 D. $y'''-6y''+11y'-6y=0$。 |
B |
| gpto1 | B | B |
| deepseekv3 | C | B |