| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | D |
D |
| deepseekr1 | 答案是：D. $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2}$ **解析**： 对于广义积分 $\int_e^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$，可通过变量替换 $u = \ln x$（此时 $\mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{d}x$）简化分析： - **选项A**：$\int_e^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \mathrm{d}x$ 替换后为 $\int_1^{+\infty} u \mathrm{d}u$，结果为 $\frac{1}{2}u^2 \bigg|_1^{+\infty}$，发散。 - **选项B**：$\int_e^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{d}x$ 替换后为 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{u} \mathrm{d}u$，结果为 $\ln u \bigg|_1^{+\infty}$，发散。 - **选项C**：$\int_e^{+\infty} \frac{1}{x (\ln x)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{d}x$ 替换后为 $\int_1^{+\infty} u^{-\frac{1}{2}} \mathrm{d}u$，结果为 $2u^{\frac{1}{2}} \bigg|_1^{+\infty}$，发散。 - **选项D**：$\int_e^{+\infty} \frac{1}{x (\ln x)^2} \mathrm{d}x$ 替换后为 $\int_1^{+\infty} u^{-2} \mathrm{d}u$，结果为 $-\frac{1}{u} \bigg|_1^{+\infty} = 0 - (-1) = 1$，收敛。 因此，**选项D** 是唯一收敛的积分。 |
D |
| gpto1 | 从给出的四个积分中，我们需要判断哪个积分是收敛的。为了判断积分在无穷远处的收敛性，我们可以进行变量代换，将积分的变量变换为易于分析的形式。 对于选项 D： \[ \int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2} \] 令 \( t = \ln x \)，则当 \( x \to +\infty \) 时，\( t \to +\infty \)。同时，\( \mathrm{d} x = x \mathrm{d} t \)。代入积分得到： \[ \int_1^{+\infty} \frac{x \mathrm{d} t}{x t^2} = \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^2} \] 此积分为从 1 到无穷大的 \( t^{-2} \) 的积分，由于 \( p = 2 > 1 \)，因此积分收敛。 对于其他选项，通过类似的方法可以发现相应的积分要么等价于对 \( t^{-1} \)（当 \( p = 1 \) 时发散），要么等价于对 \( t^{-1/2} \)（当 \( p = 1/2 < 1 \) 时发散）的积分，因此它们都是发散的。 综上所述，唯一收敛的积分是选项 D。 **答案是：D** |
D |
| GPT-4o | 答案是: D. $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2}$ | D |
| llama3.1-70B-Instruct | A |
D |
| llama3.1-405B-Instruct | D |
D |
| DeepSeek-Coder-V2 | 答案是: D | D |
| Qwen2-72B-Instruct | 答案是: B. $\int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$ 解析： A. $\int_e^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$ 的积分是发散的，因为 $\frac{\ln x}{x}$ 当 $x \to +\infty$ 时的行为类似于 $\frac{1}{x}$，而 $\int_e^{+\infty} \frac{1}{x} \mathrm{d}x$ 是发散的。 B. $\int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$ 的积分是收敛的，可以使用变量替换 $u = \ln x$，那么 $\mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{d}x$，原积分变为 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{u} \mathrm{d}u = \ln|u| \Big|_1^{+\infty} = \lim_{b\to+\infty} \ln|b| - \ln|1| = \lim_{b\to+\infty} \ln b$，这个极限是有限的（尽管形式上是无穷大，但是在这个上下文中理解为积分收敛到某个确定的值）。 C. $\int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^{\frac{1}{2}}}$ 的积分是发散的，因为当 $x \to +\infty$ 时，积分项的行为类似于 $\frac{1}{x^{1-\epsilon}}$ 的形式，其中 $\epsilon > 0$ 但很小，这导致积分发散。 D. $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2}$ 的积分也是收敛的，但是根据题目要求选择的是“下列广义积分中收敛的是”，在给出的选项中，B 选项的积分是直接通过基本的积分技巧可以证明收敛的，因此 B 选项是正确的。 然而，根据题目的要求，选择“下列广义积分中收敛的是”，在给出的选项中最直接且明确收敛的是 B 选项。因此，B 选项是正确答案。但是，如果要指出所有收敛的积分，D 选项也是收敛的。但是根据题目要求，我们选择一个答案，故选 B. |
D |
| baichuan4 | D | D |
| doubao | 逐一计算各选项： A. 对于$\int_e^{+\infty} \frac{\ln x}{x}dx$，令$u=\ln x$，则$du=\frac{1}{x}dx$，原式可化为$\int_1^{+\infty}udu=\frac{1}{2}u^2\mid_1^{+\infty}=\infty$，发散。 B. 对于$\int_e^{+\infty} \frac{dx}{x\ln x}$，令$u=\ln x$，则$du=\frac{1}{x}dx$，原式可化为$\int_1^{+\infty}\frac{du}{u}=\ln u\mid_1^{+\infty}=\infty$，发散。 C. 对于$\int_e^{+\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^{\frac{1}{2}}}$，令$u=\ln x$，则$du=\frac{1}{x}dx$，原式可化为$\int_1^{+\infty}\frac{du}{u^{\frac{1}{2}}}=2u^{\frac{1}{2}}\mid_1^{+\infty}=\infty$，发散。 D. 对于$\int_e^{+\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^2}$，令$u=\ln x$，则$du=\frac{1}{x}dx$，原式可化为$\int_1^{+\infty}\frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}\mid_1^{+\infty}=1$，收敛。 所以答案是 D。 |
D |
| minimax | 为了确定哪个广义积分收敛，我们需要检查每个选项的积分区间和被积函数。 A. $\int_e^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$ 的被积函数在 $x \to +\infty$ 时趋于0，因为 $\ln x$ 的增长速度慢于 $x$ 的增长速度。这个积分是收敛的。 B. $\int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$ 的被积函数在 $x \to +\infty$ 时趋于0，但是当 $x$ 接近 $e$ 时，$\ln x$ 接近0，导致被积函数趋于无穷大。这个积分是发散的。 C. $\int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^{\frac{1}{2}}}$ 的被积函数在 $x \to +\infty$ 时趋于无穷大，因为 $(\ln x)^{\frac{1}{2}}$ 的增长速度慢于 $x$ 的增长速度。这个积分是发散的。 D. $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2}$ 的被积函数在 $x \to +\infty$ 时趋于0，因为 $(\ln x)^2$ 的增长速度快于 $x$ 的增长速度。这个积分是收敛的。 因此，收敛的广义积分是选项 A 和 D。但是题目要求选择单个正确答案，所以我们需要进一步分析。由于选项 A 中的被积函数 $\frac{\ln x}{x}$ 在 $x \to +\infty$ 时的衰减速率慢于 $x$ 的倒数，而选项 D 中的被积函数 $\frac{1}{x(\ln x)^2}$ 在 $x \to +\infty$ 时的衰减速率快于 $x$ 的倒数，根据比较判别法，我们可以确定选项 D 的积分收敛性更强。 答案是: D. $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2}$ |
D |
| kimi | 正确答案是：**D**. $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2}$ | D |
| wenxinyiyan | D | D |
| zhipu | D. $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2}$ 解析： 我们需要判断每个选项中的广义积分是否收敛。 A. $\int_e^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$ 令 $u = \ln x$，则 $\mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{d}x$，积分变为 $\int_1^{+\infty} u \mathrm{d}u$。这个积分显然发散，因为 $\int_1^{+\infty} u \mathrm{d}u = \left. \frac{u^2}{2} \right|_1^{+\infty} = \infty$。 B. $\int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$ 令 $u = \ln x$，则 $\mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{d}x$，积分变为 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u}$。这个积分也发散，因为 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u} = \left. \ln |u| \right|_1^{+\infty} = \infty$。 C. $\int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^{\frac{1}{2}}}$ 令 $u = \ln x$，则 $\mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{d}x$，积分变为 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u^{1/2}}$。这个积分发散，因为 $\int_1^{+\infty} u^{-1/2} \mathrm{d}u = \left. 2u^{1/2} \right|_1^{+\infty} = \infty$。 D. $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2}$ 令 $u = \ln x$，则 $\mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{d}x$，积分变为 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u^2}$。这个积分收敛，因为 $\int_1^{+\infty} u^{-2} \mathrm{d}u = \left. -u^{-1} \right|_1^{+\infty} = 1$。 因此，正确答案是 D。 |
D |
| gpto1 | 从给出的四个积分中，我们需要判断哪个积分是收敛的。为了判断积分在无穷远处的收敛性，我们可以进行变量代换，将积分的变量变换为易于分析的形式。 对于选项 D： \[ \int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2} \] 令 \( t = \ln x \)，则当 \( x \to +\infty \) 时，\( t \to +\infty \)。同时，\( \mathrm{d} x = x \mathrm{d} t \)。代入积分得到： \[ \int_1^{+\infty} \frac{x \mathrm{d} t}{x t^2} = \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^2} \] 此积分为从 1 到无穷大的 \( t^{-2} \) 的积分，由于 \( p = 2 > 1 \)，因此积分收敛。 对于其他选项，通过类似的方法可以发现相应的积分要么等价于对 \( t^{-1} \)（当 \( p = 1 \) 时发散），要么等价于对 \( t^{-1/2} \)（当 \( p = 1/2 < 1 \) 时发散）的积分，因此它们都是发散的。 综上所述，唯一收敛的积分是选项 D。 **答案是：D** |
D |
| deepseekv3 | D | D |