| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | C |
B |
| deepseekr1 | 当 \( x \rightarrow 0 \) 时，题目要求 \(\arctan x - (ax + bx^3)\) 是比 \( x(1 - \cos x) \) 高阶的无穷小量。为此，需满足： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - ax - bx^3}{x(1 - \cos x)} = 0. \] 1. **展开关键泰勒级数**： - \(\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots\) - \(1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots\)，故分母为 \(x(1 - \cos x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + \cdots\) 2. **代入分子并整理**： \[ \arctan x - (ax + bx^3) = \left(x - \frac{x^3}{3} + \cdots\right) - ax - bx^3 = (1 - a)x + \left(-\frac{1}{3} - b\right)x^3 + \cdots \] 3. **分析极限条件**： - 分子比分母高阶无穷小要求分子中低于分母最低次项（\(x^3\)）的系数必须为零： - \(x\) 的系数：\(1 - a = 0 \Rightarrow a = 1\) - \(x^3\) 的系数：\(-\frac{1}{3} - b = 0 \Rightarrow b = -\frac{1}{3}\) 4. **验证高阶性**： - 分子消除一次项和三次项后，剩余项为 \(x^5\) 及更高阶项。分母最低次项为 \(x^3\)，故分子除以分母后趋向于 \(x^2\)，极限为 \(0\)，满足条件。 因此，正确答案为 **B. \(a=1，b=-\frac{1}{3}\)**。 答案是：B |
B |
| gpto1 | 要使 \(\arctan x - (ax + bx^3)\) 比 \(x(1-\cos x)\) 高阶，小于主要项的无穷小，必须消去其展开式中低阶项的系数。 首先，展开 \(\arctan x\) 的泰勒级数至 \(x^5\) 项： \[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5) \] 然后，展开 \(x(1 - \cos x)\)： \[ 1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^4) \] \[ x(1 - \cos x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + o(x^5) \] 因此，我们需要 \(\arctan x - (ax + bx^3)\) 中的 \(x\) 项和 \(x^3\) 项系数为零。 计算差： \[ \arctan x - (ax + bx^3) = (1 - a)x + \left(-\frac{1}{3} - b\right)x^3 + \frac{x^5}{5} + o(x^5) \] 令 \(x\) 和 \(x^3\) 项的系数为零： \[ 1 - a = 0 \implies a = 1 \] \[ -\frac{1}{3} - b = 0 \implies b = -\frac{1}{3} \] 因此，正确答案是 B. \(a = 1, \quad b = -\dfrac{1}{3}\) 答案是: B |
B |
| GPT-4o | 答案是：A. \( a=1， b=-\frac{1}{6} \) | B |
| llama3.1-70B-Instruct | A |
B |
| llama3.1-405B-Instruct | C |
B |
| DeepSeek-Coder-V2 | 答案是: D. $a=1， b=\frac{1}{6}$ | B |
| Qwen2-72B-Instruct | A. $a=1， b=-\frac{1}{6}$ 解析如下： 我们知道 $\arctan x$ 在 $x \rightarrow 0$ 时的泰勒展开式为 \[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots \] 所以 $\arctan x - (ax + bx^3)$ 的展开式为 \[ \arctan x - (ax + bx^3) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots - ax - bx^3 \] \[ = (1-a)x + (-\frac{1}{3}-b)x^3 + \frac{x^5}{5} - \cdots \] 要使 $\arctan x - (ax + bx^3)$ 是比 $x(1-\cos x)$ 高阶的无穷小量，我们需要 $x(1-\cos x)$ 的泰勒展开式。 我们知道 $1-\cos x$ 在 $x \rightarrow 0$ 时的泰勒展开式为 \[ 1-\cos x = \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \cdots = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots \] 所以 $x(1-\cos x)$ 的泰勒展开式为 \[ x(1-\cos x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + \cdots \] 要使 $\arctan x - (ax + bx^3)$ 是比 $x(1-\cos x)$ 高阶的无穷小量，需要保证 $(1-a)x + (-\frac{1}{3}-b)x^3$ 的系数为0，即 \[ 1-a = 0 \] \[ -\frac{1}{3}-b = 0 \] 解得 $a=1$，$b=-\frac{1}{3}$。但是，我们还需要保证比 $x^3$ 高阶的项的系数与 $x(1-\cos x)$ 的对应项的系数相等或更高阶，即 \[ \frac{x^5}{5} - \cdots \] 的系数应该比 \[ -\frac{x^5}{24} + \cdots \] 的系数大，或者更高阶。 由于 \[ x(1-\cos x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + \cdots \] 的 $x^5$ 项的系数为 $-\frac{1}{24}$，而 \[ \arctan x - (ax + bx^3) = (1-a)x + (-\frac{1}{3}-b)x^3 + \frac{x^5}{5} - \cdots \] 的 $x^5$ 项的系数为 $\frac{1}{5}$，显然 $\frac{1}{5} > -\frac{1}{24}$，满足条件。 综上所述，$a=1$，$b=-\frac{1}{3}$，但是题目选项中的 $b$ 的值应该是 $-\frac{1}{6}$，这是因为题目中的条件是 $\arctan x - (ax + bx^3)$ 是比 $x(1-\cos x)$ 高阶的无穷小量，而 $x(1-\cos x)$ 的 $x^3$ 项的系数是 $\frac{1}{2}$，为了使 $\arctan x - (ax + bx^3)$ 的 $x^3$ 项的系数为 $-\frac{1}{3}$，我们需要 $-\frac{1}{3}-b=0$，解得 $b=-\frac{1}{3}$，但是为了与 $x(1-\cos x)$ 的 $x^5$ 项的系数相匹配，$b$ 的值应该是 $-\frac{1}{6}$，因此正确答案是 A. $a=1， b=-\frac{1}{6}$。 题目中的条件是 $\arctan x - (ax + bx^3)$ 是比 $x(1-\cos x)$ 高阶的无穷小量，意味着 $\arctan x - (ax + bx^3)$ 的 $x^3$ 项的系数应该与 $x(1-\cos x)$ 的 $x^3$ 项的系数相等，即 $-\frac{1}{3}-b=\frac{1}{2}$，解得 $b=-\frac{1}{6}$，因此正确答案是 A. $a=1， b=-\frac{1}{6}$。 |
B |
| baichuan4 | D | B |
| doubao | 这道题主要考查了无穷小比阶的知识点。 当\(x\to0\)时，\(\arctan x\sim x\)，\(1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^{2}\)。 \[ \begin{align*} &\lim\limits_{x\to0}\frac{\arctan x-(ax+bx^{3})}{x(1-\cos x)}\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{x-(ax+bx^{3})}{x\cdot\frac{1}{2}x^{2}}\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{(1-a)x-bx^{3}}{\frac{1}{2}x^{3}} \end{align*} \] 要使它是比\(x(1-\cos x)\)高阶的无穷小量，则分子的阶数要小于分母的阶数，即\(1-a=0\)且\(-b\neq0\)，解得\(a=1\)，\(b\neq0\)。 逐一分析选项，只有 A 选项符合。 所以，答案是 A 选项。 |
B |
| minimax | 为了确定 $a$ 和 $b$ 的值，我们需要比较 $\arctan x-(ax+bx^3)$ 和 $x(1-\cos x)$ 当 $x \rightarrow 0$ 时的无穷小量的阶。 首先，我们知道 $\arctan x$ 在 $x \rightarrow 0$ 时的泰勒展开式为： $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ 其中 $o(x^3)$ 表示比 $x^3$ 高阶的无穷小量。 另外，$1-\cos x$ 的泰勒展开式为： $$1-\cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^4)$$ 因此，$x(1-\cos x)$ 的展开式为： $$x(1-\cos x) = x\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + o(x^5)$$ 现在，我们比较 $\arctan x-(ax+bx^3)$ 和 $x(1-\cos x)$ 的展开式： $$\arctan x-(ax+bx^3) = \left(x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) - (ax+bx^3)$$ $$= (1-a)x + \left(-\frac{1}{3}-b\right)x^3 + o(x^3)$$ 为了使 $\arctan x-(ax+bx^3)$ 成为比 $x(1-\cos x)$ 高阶的无穷小量，系数 $(1-a)$ 必须为零，且 $-\frac{1}{3}-b$ 必须不为零。同时，$x^3$ 的系数在 $\arctan x-(ax+bx^3)$ 中必须为零，即 $-\frac{1}{3}-b = 0$。 解这个方程得到 $b = -\frac{1}{3}$。由于 $(1-a)$ 必须为零，我们得到 $a = 1$。 因此，正确答案是： B. $a=1， b=-\frac{1}{3}$ |
B |
| kimi | 为了解决这个问题，我们首先需要理解题目中的条件。题目说当 $x \rightarrow 0$ 时，$\arctan x - (ax + bx^3)$ 是比 $x(1 - \cos x)$ 高阶的无穷小量。这意味着 $\arctan x - (ax + bx^3)$ 比 $x(1 - \cos x)$ 趋向于0的速度更快。 我们知道 $\arctan x$ 在 $x \rightarrow 0$ 时可以近似为 $x$，因为 $\arctan x$ 的一阶泰勒展开就是 $x$。同样，$1 - \cos x$ 在 $x \rightarrow 0$ 时可以近似为 $x^2/2$，因为 $\cos x$ 的一阶泰勒展开是 $1 - x^2/2$。 所以，我们有： $$\arctan x - (ax + bx^3) \approx x - ax - bx^3$$ $$x(1 - \cos x) \approx x \left(1 - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)\right) = \frac{x^3}{2}$$ 由于 $\arctan x - (ax + bx^3)$ 是比 $\frac{x^3}{2}$ 高阶的无穷小量，这意味着 $x - ax - bx^3$ 必须在 $x \rightarrow 0$ 时趋向于0的速度比 $\frac{x^3}{2}$ 快。这意味着 $a$ 必须等于1，因为如果 $a$ 不等于1，那么 $x - ax$ 将不会在 $x \rightarrow 0$ 时趋向于0。 现在我们只需要找到 $b$ 的值。由于 $x - x - bx^3$ 必须比 $\frac{x^3}{2}$ 趋向于0的速度快，我们可以忽略 $x$ 项，因为它的阶数比 $bx^3$ 低。因此，我们只需要考虑 $bx^3$ 项。 为了使 $bx^3$ 在 $x \rightarrow 0$ 时比 $\frac{x^3}{2}$ 趋向于0的速度快，$b$ 必须是一个负数。现在我们来比较 $bx^3$ 和 $\frac{x^3}{2}$ 的系数。由于 $bx^3$ 必须比 $\frac{x^3}{2}$ 趋向于0的速度快，$b$ 必须小于 $-\frac{1}{2}$。 现在我们来检查选项： A. $a=1， b=-\frac{1}{6}$ 不符合，因为 $-\frac{1}{6}$ 大于 $-\frac{1}{2}$。 B. $a=1， b=-\frac{1}{3}$ 符合，因为 $-\frac{1}{3}$ 小于 $-\frac{1}{2}$。 C. $a=1， b=\frac{1}{3}$ 不符合，因为 $b$ 必须是负数。 D. $a=1， b=\frac{1}{6}$ 不符合，因为 $b$ 必须是负数。 因此，正确答案是： B. $a=1， b=-\frac{1}{3}$ |
B |
| wenxinyiyan | D. $a=1， b=\frac{1}{6}$。 | B |
| zhipu | 首先，我们需要分析题目中的两个表达式在 \( x \rightarrow 0 \) 时的泰勒展开。 1. 对于 \(\arctan x\) 的泰勒展开： \[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5) \] 2. 对于 \( ax + bx^3 \)： \[ ax + bx^3 \] 因此， \[ \arctan x - (ax + bx^3) = (x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)) - (ax + bx^3) = (1-a)x + (-\frac{1}{3}-b)x^3 + O(x^5) \] 3. 对于 \( x(1 - \cos x) \) 的泰勒展开： \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \] \[ 1 - \cos x = \frac{x^2}{2} + O(x^4) \] \[ x(1 - \cos x) = x \cdot \frac{x^2}{2} + O(x^6) = \frac{x^3}{2} + O(x^6) \] 题目要求 \(\arctan x - (ax + bx^3)\) 是比 \( x(1 - \cos x) \) 高阶的无穷小量，这意味着 \(\arctan x - (ax + bx^3)\) 中最低阶项的阶数要高于 \( x(1 - \cos x) \) 的最低阶项。 从上面的展开式可以看出，\( x(1 - \cos x) \) 的最低阶项是 \( x^3 \)，所以我们需要 \(\arctan x - (ax + bx^3)\) 中没有 \( x \) 和 \( x^3 \) 项。 比较系数： \[ 1 - a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 1 \] \[ -\frac{1}{3} - b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{1}{3} \] 所以，正确答案是 B. \( a = 1, b = -\frac{1}{3} \)。 因此，正确答案是：B |
B |
| gpto1 | 要使 \(\arctan x - (ax + bx^3)\) 比 \(x(1-\cos x)\) 高阶，小于主要项的无穷小，必须消去其展开式中低阶项的系数。 首先，展开 \(\arctan x\) 的泰勒级数至 \(x^5\) 项： \[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5) \] 然后，展开 \(x(1 - \cos x)\)： \[ 1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^4) \] \[ x(1 - \cos x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + o(x^5) \] 因此，我们需要 \(\arctan x - (ax + bx^3)\) 中的 \(x\) 项和 \(x^3\) 项系数为零。 计算差： \[ \arctan x - (ax + bx^3) = (1 - a)x + \left(-\frac{1}{3} - b\right)x^3 + \frac{x^5}{5} + o(x^5) \] 令 \(x\) 和 \(x^3\) 项的系数为零： \[ 1 - a = 0 \implies a = 1 \] \[ -\frac{1}{3} - b = 0 \implies b = -\frac{1}{3} \] 因此，正确答案是 B. \(a = 1, \quad b = -\dfrac{1}{3}\) 答案是: B |
B |
| deepseekv3 | C | B |