| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | A |
A |
| deepseekr1 | 答案是：A. 减小 **解析**： 当随机变量 \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \) 时，事件 \( \{|X - \mu| < 1\} \) 对应的概率可通过标准化转换为标准正态分布： \[ P\{|X - \mu| < 1\} = P\left\{\left|\frac{X - \mu}{\sigma}\right| < \frac{1}{\sigma}\right\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma}\right) - 1, \] 其中 \(\Phi\) 是标准正态分布的累积分布函数。 当 \(\sigma\) 增大时，\(\frac{1}{\sigma}\) 减小，导致积分区间 \((-1/\sigma, 1/\sigma)\) 变窄。此时，标准正态分布在该区间的面积（即概率）会减小。特别地： - 当 \(\sigma \to 0\) 时，\(\frac{1}{\sigma} \to +\infty\)，概率趋近于 1； - 当 \(\sigma \to +\infty\) 时，\(\frac{1}{\sigma} \to 0\)，概率趋近于 0。 因此，随着 \(\sigma\) 的增大，\( P\{|X - \mu| < 1\} \) 会单调减小，正确答案为 **A**。 |
A |
| gpto1 | 答案是: A. 减小 --- 解释： 因随机变量 \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)，当 \( \sigma \) 增大时，正态分布的标准差增大，分布曲线变得更“平坦”，数据分布得更分散。 计算概率 \( P\{|X - \mu| < 1\} \) 可转换为标准正态分布 \( Z \)： \[ P\{|X - \mu| < 1\} = P\left\{-1 < X - \mu < 1\right\} = P\left\{-\frac{1}{\sigma} < Z < \frac{1}{\sigma}\right\} \] 由于标准正态分布的性质，得： \[ P\{|X - \mu| < 1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma}\right) - 1 \] 这里 \( \Phi \) 是标准正态分布函数。当 \( \sigma \) 增大时，\( \frac{1}{\sigma} \) 减小，\( \Phi\left(\frac{1}{\sigma}\right) \) 减小，因此整个概率减小。 因此，随着 \( \sigma \) 的增大，\( P\{|X - \mu| < 1\} \) 减小。 **答案是：A. 减小** |
A |
| GPT-4o | A. 减小 | A |
| llama3.1-70B-Instruct | A |
A |
| llama3.1-405B-Instruct | A |
A |
| DeepSeek-Coder-V2 | 答案是: A. 减小 | A |
| Qwen2-72B-Instruct | A. 减小 解析：概率 $P\{|X-\mu|<1\}$ 实际上是 $X$ 在区间 $(\mu-1, \mu+1)$ 内的概率。对于正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，随着 $\sigma$ 的增大，分布的“宽度”或“扩散”程度增加，使得在固定区间 $(\mu-1, \mu+1)$ 内的概率密度函数下的面积减小，因此 $P\{|X-\mu|<1\}$ 减小。 |
A |
| baichuan4 | A. 减小 | A |
| doubao | D。 在正态分布中，$P\{|X-\mu|<1\}$的值只与区间的长度有关，而与$\sigma$的大小无关，所以概率$P\{|X-\mu|<1\}$保持不变。 |
A |
| minimax | A. 减小 随着标准差 $\sigma$ 的增大，正态分布的曲线变得更宽，分布的离散程度增加，因此在均值 $\mu$ 附近，即区间 $[\mu-1, \mu+1]$ 内的概率会减小。 |
A |
| kimi | A. 减小 | A |
| wenxinyiyan | A | A |
| zhipu | A. 减小 解释：随机变量 \( X \) 服从正态分布 \( N(\mu, \sigma^2) \)，其概率密度函数的形状由均值 \( \mu \) 和标准差 \( \sigma \) 决定。随着 \( \sigma \) 的增大，分布的宽度增加，数据变得更加分散。因此，\( X \) 落在 \( \mu \) 附近某个固定区间（如 \( |X - \mu| < 1 \)）内的概率会减小。具体来说，\( P\{|X - \mu| < 1\} \) 表示 \( X \) 落在 \( (\mu - 1, \mu + 1) \) 区间内的概率，当 \( \sigma \) 增大时，这个区间的相对宽度变窄，所以概率减小。 |
A |
| gpto1 | 答案是: A. 减小 --- 解释： 因随机变量 \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)，当 \( \sigma \) 增大时，正态分布的标准差增大，分布曲线变得更“平坦”，数据分布得更分散。 计算概率 \( P\{|X - \mu| < 1\} \) 可转换为标准正态分布 \( Z \)： \[ P\{|X - \mu| < 1\} = P\left\{-1 < X - \mu < 1\right\} = P\left\{-\frac{1}{\sigma} < Z < \frac{1}{\sigma}\right\} \] 由于标准正态分布的性质，得： \[ P\{|X - \mu| < 1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma}\right) - 1 \] 这里 \( \Phi \) 是标准正态分布函数。当 \( \sigma \) 增大时，\( \frac{1}{\sigma} \) 减小，\( \Phi\left(\frac{1}{\sigma}\right) \) 减小，因此整个概率减小。 因此，随着 \( \sigma \) 的增大，\( P\{|X - \mu| < 1\} \) 减小。 **答案是：A. 减小** |
A |
| deepseekv3 | A | A |