| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | A |
A |
| deepseekr1 | 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1， \boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，需判断以下选项中哪个向量组线性无关： **选项分析：** 1. **选项A**：$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4， \boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1$ 构造线性组合 $k_1(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2) + k_2(\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3) + k_3(\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4) + k_4(\boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1) = \boldsymbol{0}$，整理系数得方程组： $$ \begin{cases} k_1 - k_4 = 0 \\ k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \\ k_3 + k_4 = 0 \end{cases} $$ 解得 $k_1=k_2=k_3=k_4=0$，仅有零解，说明向量组线性无关。进一步计算系数矩阵的行列式为 $2$（非零），验证其线性无关性。 2. **选项B**：$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4， \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1$ 类似分析发现存在非零解（如 $k_1=1, k_2=-1, k_3=1, k_4=-1$），说明向量组线性相关。 3. **选项C**：$\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4， \boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1$ 存在非零解（如 $k_1=k_2=k_3=k_4=1$），向量组线性相关。 4. **选项D**：$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4， \boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1$ 同样存在非零解（如 $k_1=1, k_2=-1, k_3=1, k_4=1$），向量组线性相关。 **结论：** 选项A的向量组线性无关。 **答案：** A |
A |
| gpto1 | A | A |
| GPT-4o | 答案是: A. $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_3+\boldboldsymbol{\alpha}_4， \boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关 | A |
| llama3.1-70B-Instruct | A |
A |
| llama3.1-405B-Instruct | A |
A |
| DeepSeek-Coder-V2 | 答案是: B | A |
| Qwen2-72B-Instruct | C. $\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4， \boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关 解析：线性无关的向量组意味着不存在非零系数使得这些向量的线性组合等于零向量。对于选项C，考虑线性组合 \[c_1(\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2) + c_2(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3) + c_3(\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4) + c_4(\boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1) = \boldsymbol{0}\] 可以简化为： \[(c_1-c_4)\boldsymbol{\alpha}_1 + (c_2-c_1)\boldsymbol{\alpha}_2 + (c_3-c_2)\boldsymbol{\alpha}_3 + (c_4-c_3)\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{0}\] 由于 $\boldsymbol{\alpha}_1， \boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，这意味着 \[c_1-c_4 = 0, \quad c_2-c_1 = 0, \quad c_3-c_2 = 0, \quad c_4-c_3 = 0\] 从而得到 $c_1 = c_2 = c_3 = c_4$，但要使线性组合等于零向量，我们还需要 $c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0$。因此，选项C中的向量组线性无关。 其他选项可以通过类似的方法检验，但会发现存在非零系数的组合可以使得线性组合等于零向量，这表明它们可能线性相关。选项C是唯一可以保证线性无关的选项。 |
A |
| baichuan4 | B | A |
| doubao | 逐一分析选项： A 项：设存在一组数$k_1,k_2,k_3,k_4$，使得$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_4)+k_4(\alpha_4-\alpha_1)=0$，经过整理可得$(k_1-k_4)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3+(k_3+k_4)\alpha_4=0$，因为$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性无关，所以可得方程组$\begin{cases}k_1-k_4=0\\k_1+k_2=0\\k_2+k_3=0\\k_3+k_4=0\end{cases}$，解得$k_1=k_2=k_3=k_4=0$，所以该向量组线性无关，A 选项正确。 B 项：设存在一组数$l_1,l_2,l_3,l_4$，使得$l_1(\alpha_1+\alpha_2)+l_2(\alpha_2+\alpha_3)+l_3(\alpha_3+\alpha_4)+l_4(\alpha_4+\alpha_1)=0$，经过整理可得$(l_1+l_4)\alpha_1+(l_1+l_2)\alpha_2+(l_2+l_3)\alpha_3+(l_3+l_4)\alpha_4=0$，令$l_1=1$，$l_2=-1$，$l_3=1$，$l_4=-1$，则该式成立，所以该向量组线性相关，B 选项错误。 C 项：设存在一组数$m_1,m_2,m_3,m_4$，使得$m_1(\alpha_1-\alpha_2)+m_2(\alpha_2-\alpha_3)+m_3(\alpha_3-\alpha_4)+m_4(\alpha_4-\alpha_1)=0$，经过整理可得$(m_1-m_4)\alpha_1+(m_2-m_1)\alpha_2+(m_3-m_2)\alpha_3+(m_4-m_3)\alpha_4=0$，令$m_1=1$，$m_2=1$，$m_3=1$，$m_4=1$，则该式成立，所以该向量组线性相关，C 选项错误。 D 项：设存在一组数$n_1,n_2,n_3,n_4$，使得$n_1(\alpha_1+\alpha_2)+n_2(\alpha_2+\alpha_3)+n_3(\alpha_3-\alpha_4)+n_4(\alpha_4-\alpha_1)=0$，经过整理可得$(n_1-n_4)\alpha_1+(n_1+n_2)\alpha_2+(n_2+n_3)\alpha_3+(-n_3+n_4)\alpha_4=0$，令$n_1=1$，$n_2=-1$，$n_3=1$，$n_4=1$，则该式成立，所以该向量组线性相关，D 选项错误。 综上，答案是 A。 |
A |
| minimax | 选项B是正确的。 解释如下： 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1， \boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，意味着不存在一组不全为零的系数 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 使得 $c_1\boldsymbol{\alpha}_1 + c_2\boldsymbol{\alpha}_2 + c_3\boldsymbol{\alpha}_3 + c_4\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{0}$。 考虑向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4， \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1$，假设存在一组不全为零的系数 $d_1, d_2, d_3, d_4$ 使得 $d_1(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2) + d_2(\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3) + d_3(\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4) + d_4(\boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1) = \boldsymbol{0}$。 将上式展开，我们得到： $d_1\boldsymbol{\alpha}_1 + d_1\boldsymbol{\alpha}_2 + d_2\boldsymbol{\alpha}_2 + d_2\boldsymbol{\alpha}_3 + d_3\boldsymbol{\alpha}_3 + d_3\boldsymbol{\alpha}_4 + d_4\boldsymbol{\alpha}_4 + d_4\boldsymbol{\alpha}_1 = \boldsymbol{0}$ 整理合并同类项，得到： $(d_1+d_4)\boldsymbol{\alpha}_1 + (d_1+d_2)\boldsymbol{\alpha}_2 + (d_2+d_3)\boldsymbol{\alpha}_3 + (d_3+d_4)\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{0}$ 由于 $\boldsymbol{\alpha}_1， \boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，上式中系数必须全为零，即： $d_1+d_4 = 0$ $d_1+d_2 = 0$ $d_2+d_3 = 0$ $d_3+d_4 = 0$ 这是一个线性方程组，解这个方程组可以发现，只有当 $d_1 = d_2 = d_3 = d_4 = 0$ 时，上述方程组才有解。因此，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4， \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关。 其他选项可以通过类似的方法进行检验，但会发现存在非零系数使得对应的线性组合为零向量，因此它们线性相关。 |
A |
| kimi | B. $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2， \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3， \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4， \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关 | A |
| wenxinyiyan | C | A |
| zhipu | 正确答案是：B 解释： 要判断向量组的线性相关性，我们可以通过构造线性组合并检查是否存在非零解使得该组合为零向量。 对于选项A： 考虑线性组合 \( c_1(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) + c_2(\boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3) + c_3(\boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_4) + c_4(\boldsymbol{\alpha}_4 - \boldsymbol{\alpha}_1) = 0 \)。 展开后得到： \[ c_1\boldsymbol{\alpha}_1 + c_1\boldsymbol{\alpha}_2 + c_2\boldsymbol{\alpha}_2 + c_2\boldsymbol{\alpha}_3 + c_3\boldsymbol{\alpha}_3 + c_3\boldsymbol{\alpha}_4 + c_4\boldsymbol{\alpha}_4 - c_4\boldsymbol{\alpha}_1 = 0 \] 合并同类项： \[ (c_1 - c_4)\boldsymbol{\alpha}_1 + (c_1 + c_2)\boldsymbol{\alpha}_2 + (c_2 + c_3)\boldsymbol{\alpha}_3 + (c_3 + c_4)\boldsymbol{\alpha}_4 = 0 \] 由于 \(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\) 线性无关，系数必须全部为零： \[ \begin{cases} c_1 - c_4 = 0 \\ c_1 + c_2 = 0 \\ c_2 + c_3 = 0 \\ c_3 + c_4 = 0 \end{cases} \] 解得 \( c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0 \)，所以A是线性无关的。 对于选项B： 考虑线性组合 \( c_1(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) + c_2(\boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3) + c_3(\boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_4) + c_4(\boldsymbol{\alpha}_4 + \boldsymbol{\alpha}_1) = 0 \)。 展开后得到： \[ c_1\boldsymbol{\alpha}_1 + c_1\boldsymbol{\alpha}_2 + c_2\boldsymbol{\alpha}_2 + c_2\boldsymbol{\alpha}_3 + c_3\boldsymbol{\alpha}_3 + c_3\boldsymbol{\alpha}_4 + c_4\boldsymbol{\alpha}_4 + c_4\boldsymbol{\alpha}_1 = 0 \] 合并同类项： \[ (c_1 + c_4)\boldsymbol{\alpha}_1 + (c_1 + c_2)\boldsymbol{\alpha}_2 + (c_2 + c_3)\boldsymbol{\alpha}_3 + (c_3 + c_4)\boldsymbol{\alpha}_4 = 0 \] 由于 \(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\) 线性无关，系数必须全部为零： \[ \begin{cases} c_1 + c_4 = 0 \\ c_1 + c_2 = 0 \\ c_2 + c_3 = 0 \\ c_3 + c_4 = 0 \end{cases} \] 解得 \( c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0 \)，所以B是线性无关的。 对于选项C： 考虑线性组合 \( c_1(\boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_2) + c_2(\boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3) + c_3(\boldsymbol{\alpha}_3 - \boldsymbol{\alpha}_4) + c_4(\boldsymbol{\alpha}_4 - \boldsymbol{\alpha}_1) = 0 \)。 展开后得到： \[ c_1\boldsymbol{\alpha}_1 - c_1\boldsymbol{\alpha}_2 + c_2\boldsymbol{\alpha}_2 - c_2\boldsymbol{\alpha}_3 + c_3\boldsymbol{\alpha}_3 - c_3\boldsymbol{\alpha}_4 + c_4\boldsymbol{\alpha}_4 - c_4\boldsymbol{\alpha}_1 = 0 \] 合并同类项： \[ (c_1 - c_4)\boldsymbol{\alpha}_1 + (c_2 - c_1)\boldsymbol{\alpha}_2 + (c_3 - c_2)\boldsymbol{\alpha}_3 + (c_4 - c_3)\boldsymbol{\alpha}_4 = 0 \] 由于 \(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\) 线性无关，系数必须全部为零： \[ \begin{cases} c_1 - c_4 = 0 \\ c_2 - c_1 = 0 \\ c_3 - c_2 = 0 \\ c_4 - c_3 = 0 \end{cases} \] 解得 \( c_1 = c_2 = c_3 = c_4 \)，但这样并不一定意味着 \( c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0 \)，所以C是线性相关的。 对于选项D： 考虑线性组合 \( c_1(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) + c_2(\boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3) + c_3(\boldsymbol{\alpha}_3 - \boldsymbol{\alpha}_4) + c_4(\boldsymbol{\alpha}_4 - \boldsymbol{\alpha}_1) = 0 \)。 展开后得到： \[ c_1\boldsymbol{\alpha}_1 + c_1\boldsymbol{\alpha}_2 + c_2\boldsymbol{\alpha}_2 + c_2\boldsymbol{\alpha}_3 + c_3\boldsymbol{\alpha}_3 - c_3\boldsymbol{\alpha}_4 + c_4\boldsymbol{\alpha}_4 - c_4\boldsymbol{\alpha}_1 = 0 \] 合并同类项： \[ (c_1 - c_4)\boldsymbol{\alpha}_1 + (c_1 + c_2)\boldsymbol{\alpha}_2 + (c_2 + c_3)\boldsymbol{\alpha}_3 + (c_4 - c_3)\boldsymbol{\alpha}_4 = 0 \] 由于 \(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\) 线性无关，系数必须全部为零： \[ \begin{cases} c_1 - c_4 = 0 \\ c_1 + c_2 = 0 \\ c_2 + c_3 = 0 \\ c_4 - c_3 = 0 \end{cases} \] 解得 \( c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0 \)，所以D是线性无关的。 经过上述分析，可以确定选项B是正确的，因为在所有选项中，只有B满足线性无关的条件。 |
A |
| gpto1 | A | A |
| deepseekv3 | B | A |