| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | D. $P\{X+Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$ 解析：由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$X+Y$ 也服从正态分布，其均值为 $0+1=1$，方差为 $1+1=2$。因此，$X+Y$ 服从 $N(1,2)$。当随机变量的均值等于比较值时（本题中为 $1$），随机变量小于等于该值的概率为 $1/2$。因此，$P\{X+Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$。 |
D |
| deepseekr1 | 答案是：D **解析：** 对于独立的正态分布随机变量 $X \sim N(0,1)$ 和 $Y \sim N(1,1)$，线性组合 $X+Y$ 和 $X-Y$ 的分布分别为： - $X + Y \sim N(0+1, 1+1) = N(1, 2)$， - $X - Y \sim N(0-1, 1+1) = N(-1, 2)$。 **选项分析：** 1. **选项A**：$P\{X-Y \leq 0\}$ $X-Y \sim N(-1, 2)$，求其小于等于 $0$ 的概率。标准化后 $Z = \frac{0 - (-1)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$，对应概率约为 $0.76 \neq \frac{1}{2}$，故错误。 2. **选项B**：$P\{X+Y \leq 0\}$ $X+Y \sim N(1, 2)$，求其小于等于 $0$ 的概率。标准化后 $Z = \frac{0 - 1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$，对应概率约为 $0.24 \neq \frac{1}{2}$，故错误。 3. **选项C**：$P\{X-Y \leq 1\}$ $X-Y \sim N(-1, 2)$，求其小于等于 $1$ 的概率。标准化后 $Z = \frac{1 - (-1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$，对应概率约为 $0.921 \neq \frac{1}{2}$，故错误。 4. **选项D**：$P\{X+Y \leq 1\}$ $X+Y \sim N(1, 2)$，求其小于等于均值 $1$ 的概率。标准化后 $Z = \frac{1 - 1}{\sqrt{2}} = 0$，对应概率为 $\frac{1}{2}$，故正确。 **结论：正确答案为D。** |
D |
| gpto1 | 答案是D。 评析： 两个独立的正态随机变量相加或相减仍然是正态分布。具体地： - \( X \) 服从 \( N(0,1) \)，\( Y \) 服从 \( N(1,1) \)，则 - \( X+Y \) 服从 \( N(0+1,1+1)=N(1,2) \) - \( X-Y \) 服从 \( N(0-1,1+1)=N(-1,2) \) 对于选项D，计算： \[ P\{X+Y \leq 1\} = P\left\{ \frac{X+Y - 1}{\sqrt{2}} \leq 0 \right\} = P\{Z \leq 0\} = 0.5 \] 因此，选项D是正确的。 **答案：D** |
D |
| GPT-4o | D. $P\{X+Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$ | D |
| llama3.1-70B-Instruct | 由题意,可得X-Y\simN(-1,2),X+Y\simN(1,2),则P\{X-Y\leqslant0\}=P\{\frac{X-Y+1}{\sqrt{2}}\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}\}=\Phi(\frac{1}{\sqrt{2}})>\frac{1}{2},P\{X+Y\leqslant0\}=P\{\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}}\leqslant-\frac{1}{\sqrt{2}}\}=1-\Phi(\frac{1}{\sqrt{2}})<\frac{1}{2},P\{X-Y\leqslant1\}=P\{\frac{X-Y+1}{\sqrt{2}}\leqslant\frac{2}{\sqrt{2}}\}=\Phi(\sqrt{2})>\frac{1}{2},P\{X+Y\leqslant1\}=P\{\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}}\leqslant0\}=\Phi(0)=\frac{1}{2}故选D. 最终结果是D |
D |
| llama3.1-405B-Instruct | A |
D |
| DeepSeek-Coder-V2 | 答案是: A | D |
| Qwen2-72B-Instruct | 选项 D. $P\{X+Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$ 解释：由于 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的随机变量，且分别服从 $N(0,1)$ 和 $N(1,1)$，则 $X+Y$ 服从 $N(0+1,1^2+1^2)=N(1,2)$。在正态分布 $N(1,2)$ 中，随机变量的均值为1，所以 $X+Y\leq1$ 的概率即为随机变量小于等于其均值的概率，对于任何正态分布，这个概率都是 $\frac{1}{2}$。因此，选项 D 是正确的。 |
D |
| baichuan4 | C | D |
| doubao | 设$Z=X-Y$，则$Z$服从正态分布，$E(Z)=E(X)-E(Y)=0-1=-1$，$D(Z)=D(X)+D(Y)=1+1=2$，则$Z\sim N(-1,2)$。 $P\{Z\leq 0\}=P\{\frac{Z+1}{\sqrt{2}}\leq \frac{0+1}{\sqrt{2}}\}=\Phi(\frac{1}{\sqrt{2}})\neq \frac{1}{2}$，A 选项错误。 设$W=X+Y$，则$W$服从正态分布，$E(W)=E(X)+E(Y)=0+1=1$，$D(W)=D(X)+D(Y)=1+1=2$，则$W\sim N(1,2)$。 $P\{W\leq 1\}=P\{\frac{W-1}{\sqrt{2}}\leq \frac{1-1}{\sqrt{2}}\}=\Phi(0)=\frac{1}{2}$，D 选项正确。 B、C 选项计算同理可证错误。 综上，答案是 D。 |
D |
| minimax | 首先，我们知道 $X$ 和 $Y$ 是独立的正态分布随机变量，其中 $X \sim N(0,1)$ 和 $Y \sim N(1,1)$。 对于选项A，$P\{X-Y \leq 0\}$，我们可以考虑随机变量 $Z = X - Y$ 的分布。由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，$Z$ 的分布是 $X$ 和 $Y$ 分布的差，即 $Z \sim N(0-1, 1^2+1^2) = N(-1, 2)$。计算 $P\{X-Y \leq 0\}$ 相当于计算 $Z$ 的累积分布函数（CDF）在 $0$ 处的值。由于 $Z$ 的均值是 $-1$，$0$ 大于均值，所以 $P\{X-Y \leq 0\}$ 小于 $0.5$。 对于选项B，$P\{X+Y \leq 0\}$，考虑随机变量 $W = X + Y$ 的分布。$W$ 的分布是 $X$ 和 $Y$ 分布的和，即 $W \sim N(0+1, 1^2+1^2) = N(1, 2)$。计算 $P\{X+Y \leq 0\}$ 相当于计算 $W$ 的CDF在 $0$ 处的值。由于 $W$ 的均值是 $1$，$0$ 小于均值，所以 $P\{X+Y \leq 0\}$ 小于 $0.5$。 对于选项C，$P\{X-Y \leq 1\}$，我们已经知道 $Z \sim N(-1, 2)$。计算 $P\{X-Y \leq 1\}$ 相当于计算 $Z$ 的CDF在 $1$ 处的值。由于 $1$ 大于 $Z$ 的均值 $-1$，这个概率大于 $0.5$。 对于选项D，$P\{X+Y \leq 1\}$，我们已经知道 $W \sim N(1, 2)$。计算 $P\{X+Y \leq 1\}$ 相当于计算 $W$ 的CDF在 $1$ 处的值。由于 $1$ 接近 $W$ 的均值 $1$，这个概率接近 $0.5$。 由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，$X+Y$ 的分布是对称的，其均值为 $1$，因此 $P\{X+Y \leq 1\}$ 实际上等于 $0.5$。所以正确答案是： D. $P\{X+Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$ |
D |
| kimi | A. $P\{X-Y \leq 0\}=\frac{1}{2}$ | D |
| wenxinyiyan | D. $P{X+Y \leq 1}=\frac{1}{2}$ | D |
| zhipu | 正确答案是：C. $P\{X-Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$ 解释如下： 首先，考虑随机变量 $X$ 和 $Y$ 的分布： - $X \sim N(0, 1)$，即均值为0，方差为1的正态分布。 - $Y \sim N(1, 1)$，即均值为1，方差为1的正态分布。 由于 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的，我们可以利用正态分布的性质来分析各个选项。 ### 选项 A: $P\{X-Y \leq 0\}=\frac{1}{2}$ 考虑 $Z = X - Y$，则 $Z$ 的均值为 $E(Z) = E(X) - E(Y) = 0 - 1 = -1$，方差为 $\text{Var}(Z) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) = 1 + 1 = 2$。因此，$Z \sim N(-1, 2)$。 $P\{X - Y \leq 0\} = P\{Z \leq 0\}$，由于 $Z \sim N(-1, 2)$，其累积分布函数在0处的值不是$\frac{1}{2}$，所以选项A不正确。 ### 选项 B: $P\{X+Y \leq 0\}=\frac{1}{2}$ 考虑 $W = X + Y$，则 $W$ 的均值为 $E(W) = E(X) + E(Y) = 0 + 1 = 1$，方差为 $\text{Var}(W) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) = 1 + 1 = 2$。因此，$W \sim N(1, 2)$。 $P\{X + Y \leq 0\} = P\{W \leq 0\}$，由于 $W \sim N(1, 2)$，其累积分布函数在0处的值也不是$\frac{1}{2}$，所以选项B不正确。 ### 选项 C: $P\{X-Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$ 再次考虑 $Z = X - Y \sim N(-1, 2)$。 $P\{X - Y \leq 1\} = P\{Z \leq 1\}$，我们需要标准化 $Z$： \[ Z \sim N(-1, 2) \implies \frac{Z + 1}{\sqrt{2}} \sim N(0, 1) \] 所以 \[ P\{Z \leq 1\} = P\left\{\frac{Z + 1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1 + 1}{\sqrt{2}}\right\} = P\left\{\frac{Z + 1}{\sqrt{2}} \leq \frac{2}{\sqrt{2}}\right\} = P\left\{\frac{Z + 1}{\sqrt{2}} \leq \sqrt{2}\right\} \] 由于标准正态分布 $N(0, 1)$ 的累积分布函数在 $\sqrt{2}$ 处的值恰好为 $\frac{1}{2}$，所以 $P\{X - Y \leq 1\} = \frac{1}{2}$，选项C正确。 ### 选项 D: $P\{X+Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$ 再次考虑 $W = X + Y \sim N(1, 2)$。 $P\{X + Y \leq 1\} = P\{W \leq 1\}$，我们需要标准化 $W$： \[ W \sim N(1, 2) \implies \frac{W - 1}{\sqrt{2}} \sim N(0, 1) \] 所以 \[ P\{W \leq 1\} = P\left\{\frac{W - 1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1 - 1}{\sqrt{2}}\right\} = P\left\{\frac{W - 1}{\sqrt{2}} \leq 0\right\} \] 由于标准正态分布 $N(0, 1)$ 的累积分布函数在0处的值是 $\frac{1}{2}$，所以 $P\{X + Y \leq 1\} = \frac{1}{2}$，选项D也正确。 但是，根据题目要求选择一个正确答案，选项C更符合直观解释和标准化过程，因此更推荐选项C。 综上所述，最准确的答案是C。 |
D |
| gpto1 | 答案是D。 评析： 两个独立的正态随机变量相加或相减仍然是正态分布。具体地： - \( X \) 服从 \( N(0,1) \)，\( Y \) 服从 \( N(1,1) \)，则 - \( X+Y \) 服从 \( N(0+1,1+1)=N(1,2) \) - \( X-Y \) 服从 \( N(0-1,1+1)=N(-1,2) \) 对于选项D，计算： \[ P\{X+Y \leq 1\} = P\left\{ \frac{X+Y - 1}{\sqrt{2}} \leq 0 \right\} = P\{Z \leq 0\} = 0.5 \] 因此，选项D是正确的。 **答案：D** |
D |
| deepseekv3 | A | D |