| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | A |
D |
| deepseekr1 | 在分析各选项于$x=0$处的可导性后： - **选项A**：$f(x)=|x|\sin|x|$在$x=0$附近近似于$x^2$，左右导数均为0，可导。 - **选项B**：$f(x)=|x|\sin\sqrt{|x|}$在$x=0$附近近似于$|x|^{3/2}$，左右导数均为0，可导。 - **选项C**：$f(x)=\cos|x|$等价于$\cos x$，导数在$x=0$处为0，可导。 - **选项D**：$f(x)=\cos\sqrt{|x|}$在$x=0$处左右导数分别为$-\frac{1}{2}$和$\frac{1}{2}$，不相等，故不可导。 正确答案是：**D**。 |
D |
| gpto1 | D | D |
| GPT-4o | 答案是 B. $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$. | D |
| llama3.1-70B-Instruct | B |
D |
| llama3.1-405B-Instruct | A |
D |
| DeepSeek-Coder-V2 | 答案是: B. $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$. | D |
| Qwen2-72B-Instruct | B. $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$. | D |
| baichuan4 | B | D |
| doubao | 逐一分析选项： - 选项 A：$f(x)=|x|\sin|x|$，根据导数的定义可以求出在$x=0$处可导。 - 选项 B：$f(x)=|x|\sin\sqrt{|x|}$，同理可证在$x=0$处可导。 - 选项 C：$f(x)=\cos|x|=\cos x$，在$x=0$处可导。 - 选项 D：$f(x)=\cos\sqrt{|x|}$，在$x=0$处左导数和右导数不相等，所以不可导。 综上，答案是 D。 |
D |
| minimax | 选项B中的函数 $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ 在 $x=0$ 处不可导。 这是因为当 $x$ 接近0时，$\sqrt{|x|}$ 也接近0，而 $\sin \sqrt{|x|}$ 在 $\sqrt{|x|}$ 接近0时的值接近 $\sqrt{|x|}$。因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 附近的行为类似于 $|x| \cdot \sqrt{|x|} = |x|^{3/2}$，这是一个在 $x=0$ 处不可导的函数，因为其导数在 $x=0$ 处不连续。 其他选项中的函数在 $x=0$ 处都是可导的。选项A和C中的函数在 $x=0$ 处都是偶函数，它们在 $x=0$ 处的导数为0。选项D中的函数在 $x=0$ 处也是可导的，因为 $\cos \sqrt{|x|}$ 在 $x=0$ 处连续，且其导数在 $x=0$ 处也连续。 因此，正确答案是 B. $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$。 |
D |
| kimi | A. $f(x)=|x| \sin |x|$. 在 $x=0$ 处，$f(x)=|x| \sin |x|$ 的导数不存在，因为 $|x| \sin |x|$ 在 $x=0$ 处的导数不连续。其他选项在 $x=0$ 处都是可导的。 |
D |
| wenxinyiyan | B | D |
| zhipu | B 解释：在 $x=0$ 处，函数的可导性主要取决于函数在该点附近的平滑性。 A. $f(x)=|x| \sin |x|$: 在 $x=0$ 处，$|x|=0$，所以 $f(x)=0$。我们可以通过导数定义来检查其可导性： \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h| \sin |h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h| \sin |h|}{h}. \] 由于 $|\sin |h|| \leq 1$，我们有 \[ \left| \frac{|h| \sin |h|}{h} \right| = |\sin |h|| \leq 1. \] 所以该极限存在且为0，因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。 B. $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$: 在 $x=0$ 处，$|x|=0$，所以 $f(x)=0$。我们同样通过导数定义来检查其可导性： \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h| \sin \sqrt{|h|} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h| \sin \sqrt{|h|}}{h}. \] 考虑 $h \to 0^+$ 的情况，我们有 \[ \frac{|h| \sin \sqrt{|h|}}{h} = \sin \sqrt{h}. \] 当 $h \to 0^+$ 时，$\sqrt{h} \to 0$，所以 $\sin \sqrt{h} \to \sin 0 = 0$。 但是，考虑 $h \to 0^-$ 的情况，我们有 \[ \frac{|h| \sin \sqrt{|h|}}{h} = -\sin \sqrt{h}. \] 当 $h \to 0^-$ 时，$\sqrt{h} \to 0$，所以 $-\sin \sqrt{h} \to -\sin 0 = 0$。 虽然左右极限都趋于0，但由于 $\sin \sqrt{h}$ 的振荡性质，其变化率在接近0时并不平滑，导致导数不存在。因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。 C. $f(x)=\cos |x|$: 在 $x=0$ 处，$|x|=0$，所以 $f(x)=\cos 0 = 1$。我们通过导数定义来检查其可导性： \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos |h| - 1}{h}. \] 由于 $\cos |h| \to 1$ 当 $h \to 0$，我们有 \[ \lim_{h \to 0} \frac{\cos |h| - 1}{h} = 0. \] 因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。 D. $f(x)=\cos \sqrt{|x|}$: 在 $x=0$ 处，$|x|=0$，所以 $f(x)=\cos 0 = 1$。我们通过导数定义来检查其可导性： \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos \sqrt{|h|} - 1}{h}. \] 由于 $\cos \sqrt{|h|} \to 1$ 当 $h \to 0$，我们有 \[ \lim_{h \to 0} \frac{\cos \sqrt{|h|} - 1}{h} = 0. \] 因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。 综上所述，选项 B 是在 $x=0$ 处不可导的函数。 |
D |
| gpto1 | D | D |
| deepseekv3 | A | D |