金声玉亮2.0模型评测报告

问题

以下是关于高中数学的单项选择题，请直接给出正确答案的选项。
题目：已知空间直⻆坐标系中三点$A(0,1,0),M(\sqrt{2},1,0),N(0,3,\sqrt{2}),O$为坐标原点，则直线 OA 与 MN 所成⻆的余弦值为
A. \frac{\sqrt{2}}{2}
B. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. 0
答案是:

答案

模型	模型答案	正确答案
金声玉亮2.0	首先，我们找出向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{MN}$。向量$\overrightarrow{OA} = (0,1,0)$。向量$\overrightarrow{MN} = N - M = (0,3,\sqrt{2}) - (\sqrt{2},1,0) = (-\sqrt{2},2,\sqrt{2})$。两个向量之间的夹角$\theta$的余弦值可以通过点积公式计算得到，即 \[ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{MN}}{\|\overrightarrow{OA}\| \|\overrightarrow{MN}\|} \] 计算点积$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{MN} = (0,1,0) \cdot (-\sqrt{2},2,\sqrt{2}) = 0-\sqrt{2} + 12 + 0\sqrt{2} = 2$。计算$\|\overrightarrow{OA}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$。计算$\|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 4 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。将这些值代入余弦公式中，得到 \[ \cos\theta = \frac{2}{1 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 因此，正确答案是A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$。	A
deepseekr1	要计算直线OA与MN所成角的余弦值，需先确定它们的方向向量： 1. 直线OA的方向向量：由点O(0,0,0)到A(0,1,0)，方向向量为\(\vec{a} = (0, 1, 0)\)。 2. 直线MN的方向向量：由点M(\(\sqrt{2}, 1, 0\))到N(0, 3, \(\sqrt{2}\))，方向向量为\(\vec{b} = N - M = (-\sqrt{2}, 2, \sqrt{2})\)。接下来计算两向量的点积和模长： - 点积：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot (-\sqrt{2}) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot \sqrt{2} = 2\)。 - 模长： - \(\|\vec{a}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1\)， - \(\|\vec{b}\| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 4 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)。因此，余弦值为： \[ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|} = \frac{2}{1 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \] 选项中对应的是A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。答案是：A	A
gpto1	答案是 A. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)。解释： 1. 直线 OA 的方向向量为 \( \overrightarrow{OA} = A - O = (0-0, 1-0, 0-0) = (0,1,0) \)。 2. 向量 MN 为 \( \overrightarrow{MN} = N - M = (0-\sqrt{2}, 3-1, \sqrt{2}-0) = (-\sqrt{2},2,\sqrt{2}) \)。 3. 计算OA 与 MN 的点积：\( \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{MN} = (0)(-\sqrt{2}) + (1)(2) + (0)(\sqrt{2}) = 2 \)。 4. 计算向量的模： - \( \|\overrightarrow{OA}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \)。 - \( \|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 4 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)。 5. 计算夹角的余弦值： \( \cos\theta = \dfrac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{MN}}{\|\overrightarrow{OA}\| \|\overrightarrow{MN}\|} = \dfrac{2}{1 \times 2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)。因此，正确答案是 A。 Answer: A. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	A
GPT-4o	答案是: B. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	A
llama3.1-70B-Instruct	B	A
llama3.1-405B-Instruct	B	A
DeepSeek-Coder-V2	答案是: D. 0	A
Qwen2-72B-Instruct	首先，我们找出向量$\vec{OA}$和向量$\vec{MN}$。向量$\vec{OA} = <0-0, 1-0, 0-0> = <0, 1, 0>$。向量$\vec{MN} = <0-\sqrt{2}, 3-1, \sqrt{2}-0> = <-\sqrt{2}, 2, \sqrt{2}>$。接下来，我们使用向量点乘公式计算两向量的夹角的余弦值。向量$\vec{A}$和向量$\vec{B}$的点乘公式为$\vec{A} \cdot \vec{B} = \|\vec{A}\|\|\vec{B}\|\cos{\theta}$，其中$\theta$为两个向量的夹角。向量$\vec{OA}$和向量$\vec{MN}$的点乘为$<0, 1, 0> \cdot <-\sqrt{2}, 2, \sqrt{2}> = 0-\sqrt{2} + 12 + 0\sqrt{2} = 2$。向量$\vec{OA}$的模为$\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$。向量$\vec{MN}$的模为$\sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 4 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。所以，$\cos{\theta} = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{MN}}{\|\vec{OA}\|\|\vec{MN}\|} = \frac{2}{12\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。因此，答案是A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$。	A
baichuan4	B	A
doubao	已知$A(0,1,0)$，$M(\sqrt{2},1,0)$，$N(0,3,\sqrt{2})$， $\overrightarrow{OA}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{MN}=(0- \sqrt{2},3-1,\sqrt{2}-0)=(-\sqrt{2},2,\sqrt{2})$。设直线$OA$与$MN$所成角为$\theta$，则$\cos \theta =\left\lvert \frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{MN}}{\vert \overrightarrow{OA}\vert \vert \overrightarrow{MN}\vert }\right\rvert$。 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{MN}=(0,1,0)\cdot (-\sqrt{2},2,\sqrt{2})=0\times (-\sqrt{2})+1\times 2+0\times \sqrt{2}=2$， $\vert \overrightarrow{OA}\vert =\sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}}=1$，$\vert \overrightarrow{MN}\vert =\sqrt{(-\sqrt{2})^{2}+2^{2}+\sqrt{2}^{2}}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$。所以$\cos \theta =\left\lvert \frac{2}{1\times 2\sqrt{2}}\right\rvert=\frac{\sqrt{2}}{2}$。所以正确答案是 A 选项。	A
minimax	为了找到直线OA与MN所成角的余弦值，我们需要计算向量OA和向量MN的点积（内积）以及它们的模长。向量OA的坐标是点A到原点O的坐标差，即OA = (0-0, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)。向量MN的坐标是点M到点N的坐标差，即MN = (sqrt(2)-0, 1-3, 0-sqrt(2)) = (sqrt(2), -2, -sqrt(2))。向量OA和向量MN的点积是： OA·MN = (0)(sqrt(2)) + (1)(-2) + (0)(-sqrt(2)) = -2。向量OA的模长是： \|OA\| = sqrt(0^2 + 1^2 + 0^2) = 1。向量MN的模长是： \|MN\| = sqrt((sqrt(2))^2 + (-2)^2 + (-sqrt(2))^2) = sqrt(2 + 4 + 2) = sqrt(8) = 2sqrt(2)。直线OA与MN所成角的余弦值是它们点积的绝对值除以它们模长的乘积： cos(θ) = \|OA·MN\| / (\|OA\| * \|MN\|) = \|-2\| / (1 * 2sqrt(2)) = 2 / (2sqrt(2)) = 1 / sqrt(2) = sqrt(2) / 2。所以正确答案是： A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$	A
kimi	首先，我们需要找出向量OA和向量MN。向量OA = A - O = (0,1,0) - (0,0,0) = (0,1,0) 向量MN = N - M = (0,3,√2) - (√2,1,0) = (-√2,2,√2) 接下来，我们需要计算这两个向量的点积和模长。点积(OA·MN) = (0(-√2)) + (12) + (0√2) = 2 向量OA的模长 \|OA\| = √(0² + 1² + 0²) = 1 向量MN的模长 \|MN\| = √((-√2)² + 2² + (√2)²) = √(2 + 4 + 2) = √8 现在我们可以计算直线OA与MN所成角的余弦值： cosθ = (OA·MN) / (\|OA\| \|MN\|) = 2 / (1 * √8) = 2 / (2√2) = √2 / 2 所以，正确答案是： A. \frac{\sqrt{2}}{2}	A
wenxinyiyan	B. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	A
zhipu	首先，我们需要找到直线OA和MN的方向向量。对于直线OA，点A的坐标是(0,1,0)，所以OA的方向向量可以表示为向量OA = (0,1,0) - (0,0,0) = (0,1,0)。对于直线MN，点M和点N的坐标分别是(√2,1,0)和(0,3,√2)，所以MN的方向向量可以表示为向量MN = (0,3,√2) - (√2,1,0) = (-√2,2,√2)。接下来，我们需要计算这两个向量的夹角的余弦值。根据向量夹角余弦值的公式，我们有： cosθ = (向量OA · 向量MN) / (\|向量OA\| * \|向量MN\|) 首先计算向量OA和向量MN的点积：向量OA · 向量MN = (0 * -√2) + (1 * 2) + (0 * √2) = 0 + 2 + 0 = 2 然后计算两个向量的模： \|向量OA\| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = √1 = 1 \|向量MN\| = √((-√2)^2 + 2^2 + √2^2) = √(2 + 4 + 2) = √8 = 2√2 现在我们可以计算余弦值： cosθ = 2 / (1 * 2√2) = 2 / (2√2) = 1 / √2 = √2 / 2 所以，直线OA与MN所成角的余弦值为√2/2。因此，正确答案是A。	A
gpto1	答案是 A. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)。解释： 1. 直线 OA 的方向向量为 \( \overrightarrow{OA} = A - O = (0-0, 1-0, 0-0) = (0,1,0) \)。 2. 向量 MN 为 \( \overrightarrow{MN} = N - M = (0-\sqrt{2}, 3-1, \sqrt{2}-0) = (-\sqrt{2},2,\sqrt{2}) \)。 3. 计算OA 与 MN 的点积：\( \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{MN} = (0)(-\sqrt{2}) + (1)(2) + (0)(\sqrt{2}) = 2 \)。 4. 计算向量的模： - \( \|\overrightarrow{OA}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \)。 - \( \|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 4 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)。 5. 计算夹角的余弦值： \( \cos\theta = \dfrac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{MN}}{\|\overrightarrow{OA}\| \|\overrightarrow{MN}\|} = \dfrac{2}{1 \times 2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)。因此，正确答案是 A。 Answer: A. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	A
deepseekv3	A. \frac{\sqrt{2}}{2}	A

模型

模型答案

正确答案

金声玉亮2.0

首先，我们找出向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{MN}$。

向量$\overrightarrow{OA} = (0,1,0)$。

向量$\overrightarrow{MN} = N - M = (0,3,\sqrt{2}) - (\sqrt{2},1,0) = (-\sqrt{2},2,\sqrt{2})$。

两个向量之间的夹角$\theta$的余弦值可以通过点积公式计算得到，即
\[
\cos\theta = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{MN}|}
\]

计算点积$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{MN} = (0,1,0) \cdot (-\sqrt{2},2,\sqrt{2}) = 0*-\sqrt{2} + 1*2 + 0*\sqrt{2} = 2$。

计算$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$。

计算$|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 4 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

将这些值代入余弦公式中，得到
\[
\cos\theta = \frac{2}{1 * 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

因此，正确答案是A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

deepseekr1

要计算直线OA与MN所成角的余弦值，需先确定它们的方向向量：

1. **直线OA的方向向量**：由点O(0,0,0)到A(0,1,0)，方向向量为$\vec{a} = (0, 1, 0)$。
2. **直线MN的方向向量**：由点M($\sqrt{2}, 1, 0$)到N(0, 3, $\sqrt{2}$)，方向向量为$\vec{b} = N - M = (-\sqrt{2}, 2, \sqrt{2})$。

接下来计算两向量的点积和模长：
- **点积**：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot (-\sqrt{2}) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot \sqrt{2} = 2$。
- **模长**：
- $|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$，
- $|\vec{b}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 4 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

因此，余弦值为：
\[
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{2}{1 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]

选项中对应的是**A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$**。

答案是：A

gpto1

答案是 A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

解释：
1. 直线 **OA** 的方向向量为 $ \overrightarrow{OA} = A - O = (0-0, 1-0, 0-0) = (0,1,0) $。
2. 向量 **MN** 为 $ \overrightarrow{MN} = N - M = (0-\sqrt{2}, 3-1, \sqrt{2}-0) = (-\sqrt{2},2,\sqrt{2}) $。
3. 计算**OA** 与 **MN** 的点积：$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{MN} = (0)(-\sqrt{2}) + (1)(2) + (0)(\sqrt{2}) = 2 $。
4. 计算向量的模：
- $ |\overrightarrow{OA}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 $。
- $ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 4 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $。
5. 计算夹角的余弦值：
$ \cos\theta = \dfrac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{MN}|} = \dfrac{2}{1 \times 2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $。

**因此，正确答案是 A。**

Answer:
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

GPT-4o

答案是: B. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

llama3.1-70B-Instruct

llama3.1-405B-Instruct

DeepSeek-Coder-V2

答案是: D. 0

Qwen2-72B-Instruct

首先，我们找出向量$\vec{OA}$和向量$\vec{MN}$。

向量$\vec{OA} = <0-0, 1-0, 0-0> = <0, 1, 0>$。

向量$\vec{MN} = <0-\sqrt{2}, 3-1, \sqrt{2}-0> = <-\sqrt{2}, 2, \sqrt{2}>$。

接下来，我们使用向量点乘公式计算两向量的夹角的余弦值。向量$\vec{A}$和向量$\vec{B}$的点乘公式为$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos{\theta}$，其中$\theta$为两个向量的夹角。

向量$\vec{OA}$和向量$\vec{MN}$的点乘为$<0, 1, 0> \cdot <-\sqrt{2}, 2, \sqrt{2}> = 0*-\sqrt{2} + 1*2 + 0*\sqrt{2} = 2$。

向量$\vec{OA}$的模为$\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$。

向量$\vec{MN}$的模为$\sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 4 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

所以，$\cos{\theta} = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{MN}}{|\vec{OA}||\vec{MN}|} = \frac{2}{1*2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

因此，答案是A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

baichuan4

doubao

已知$A(0,1,0)$，$M(\sqrt{2},1,0)$，$N(0,3,\sqrt{2})$，

$\overrightarrow{OA}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{MN}=(0- \sqrt{2},3-1,\sqrt{2}-0)=(-\sqrt{2},2,\sqrt{2})$。

设直线$OA$与$MN$所成角为$\theta$，则$\cos \theta =\left\lvert \frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{MN}}{\vert \overrightarrow{OA}\vert \vert \overrightarrow{MN}\vert }\right\rvert$。

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{MN}=(0,1,0)\cdot (-\sqrt{2},2,\sqrt{2})=0\times (-\sqrt{2})+1\times 2+0\times \sqrt{2}=2$，

$\vert \overrightarrow{OA}\vert =\sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}}=1$，$\vert \overrightarrow{MN}\vert =\sqrt{(-\sqrt{2})^{2}+2^{2}+\sqrt{2}^{2}}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$。

所以$\cos \theta =\left\lvert \frac{2}{1\times 2\sqrt{2}}\right\rvert=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

所以正确答案是 A 选项。

minimax

为了找到直线OA与MN所成角的余弦值，我们需要计算向量OA和向量MN的点积（内积）以及它们的模长。

向量OA的坐标是点A到原点O的坐标差，即OA = (0-0, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)。
向量MN的坐标是点M到点N的坐标差，即MN = (sqrt(2)-0, 1-3, 0-sqrt(2)) = (sqrt(2), -2, -sqrt(2))。

向量OA和向量MN的点积是：
OA·MN = (0)(sqrt(2)) + (1)(-2) + (0)(-sqrt(2)) = -2。

向量OA的模长是：
|OA| = sqrt(0^2 + 1^2 + 0^2) = 1。

向量MN的模长是：
|MN| = sqrt((sqrt(2))^2 + (-2)^2 + (-sqrt(2))^2) = sqrt(2 + 4 + 2) = sqrt(8) = 2sqrt(2)。

直线OA与MN所成角的余弦值是它们点积的绝对值除以它们模长的乘积：
cos(θ) = |OA·MN| / (|OA| * |MN|) = |-2| / (1 * 2sqrt(2)) = 2 / (2sqrt(2)) = 1 / sqrt(2) = sqrt(2) / 2。

所以正确答案是：
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

kimi

首先，我们需要找出向量OA和向量MN。

向量OA = A - O = (0,1,0) - (0,0,0) = (0,1,0)
向量MN = N - M = (0,3,√2) - (√2,1,0) = (-√2,2,√2)

接下来，我们需要计算这两个向量的点积和模长。

点积(OA·MN) = (0*(-√2)) + (1*2) + (0*√2) = 2

向量OA的模长 |OA| = √(0² + 1² + 0²) = 1
向量MN的模长 |MN| = √((-√2)² + 2² + (√2)²) = √(2 + 4 + 2) = √8

现在我们可以计算直线OA与MN所成角的余弦值：
cosθ = (OA·MN) / (|OA| * |MN|) = 2 / (1 * √8) = 2 / (2√2) = √2 / 2

所以，正确答案是：
A. \frac{\sqrt{2}}{2}

wenxinyiyan

B. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

zhipu

首先，我们需要找到直线OA和MN的方向向量。

对于直线OA，点A的坐标是(0,1,0)，所以OA的方向向量可以表示为向量OA = (0,1,0) - (0,0,0) = (0,1,0)。

对于直线MN，点M和点N的坐标分别是(√2,1,0)和(0,3,√2)，所以MN的方向向量可以表示为向量MN = (0,3,√2) - (√2,1,0) = (-√2,2,√2)。

接下来，我们需要计算这两个向量的夹角的余弦值。根据向量夹角余弦值的公式，我们有：

cosθ = (向量OA · 向量MN) / (|向量OA| * |向量MN|)

首先计算向量OA和向量MN的点积：
向量OA · 向量MN = (0 * -√2) + (1 * 2) + (0 * √2) = 0 + 2 + 0 = 2

然后计算两个向量的模：
|向量OA| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = √1 = 1
|向量MN| = √((-√2)^2 + 2^2 + √2^2) = √(2 + 4 + 2) = √8 = 2√2

现在我们可以计算余弦值：
cosθ = 2 / (1 * 2√2) = 2 / (2√2) = 1 / √2 = √2 / 2

所以，直线OA与MN所成角的余弦值为√2/2。

因此，正确答案是A。

gpto1

deepseekv3

A. \frac{\sqrt{2}}{2}