| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | 【解析】 1. 首先，我们确定正方形 \(ABCD\) 的顶点坐标。设 \(A(0, 0)\), \(B(2, 0)\), \(C(2, 2)\), \(D(0, 2)\)。 2. 由于 \(E\) 是 \(CD\) 的中点，所以 \(E\) 的坐标为 \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = (1, 2)\)。 3. 接下来，我们计算向量 \(\overrightarrow{AE}\) 和 \(\overrightarrow{BD}\)： - \(\overrightarrow{AE} = E - A = (1, 2) - (0, 0) = (1, 2)\) - \(\overrightarrow{BD} = D - B = (0, 2) - (2, 0) = (-2, 2)\) 4. 现在我们计算向量 \(\overrightarrow{AE}\) 和 \(\overrightarrow{BD}\) 的点积： \[ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = (1, 2) \cdot (-2, 2) = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 = -2 + 4 = 2 \] 因此，\(\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = 2\)。 <eoe> 【答案】2<eoa> |
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| deepseekr1 | 【解析】 首先将正方形ABCD放置在坐标系中，设A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)。E为CD的中点，计算得E(1,2)。向量AE的坐标为(1,2)，向量BD的坐标为(-2,2)。计算点积：1×(-2) + 2×2 = -2 + 4 = 2。<eoe> 【答案】2<eoa> |
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| gpto1 | 【解析】 设正方形 $ABCD$ 的顶点坐标为： - 点 $A(0, 0)$ - 点 $B(2, 0)$ - 点 $C(2, 2)$ - 点 $D(0, 2)$ 点 $E$ 为 $CD$ 的中点，所以坐标为： $$ E\left( \frac{2+0}{2}, \frac{2+2}{2} \right) = (1, 2) $$ 计算向量： $$ \overrightarrow{AE} = (\mathrm{E}_x - \mathrm{A}_x, \mathrm{E}_y - \mathrm{A}_y) = (1 - 0, 2 - 0) = (1, 2) $$ $$ \overrightarrow{BD} = (\mathrm{D}_x - \mathrm{B}_x, \mathrm{D}_y - \mathrm{B}_y) = (0 - 2, 2 - 0) = (-2, 2) $$ 计算点积： $$ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = (1) \times (-2) + (2) \times (2) = -2 + 4 = 2 $$ <eoe> 【答案】$2$<eoa> |
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| GPT-4o | 【解析】 首先，确定正方形 \(ABCD\) 的顶点坐标。假设正方形的顶点 \(A\) 在坐标系的原点 \((0, 0)\)，边长为2。 顶点 \(A\) 的坐标为 \((0, 0)\)，顶点 \(B\) 的坐标为 \((2, 0)\)，顶点 \(C\) 的坐标为 \((2, 2)\)，顶点 \(D\) 的坐标为 \((0, 2)\)。 点 \(E\) 是边 \(CD\) 的中点，因此点 \(E\) 的坐标为 \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = (1, 2)\)。 接着表示向量 \(\overrightarrow{AE}\) 和 \(\overrightarrow{BD}\)： \[ \overrightarrow{AE} = (1 - 0, 2 - 0) = (1, 2) \] \[ \overrightarrow{BD} = (0 - 2, 2 - 0) = (-2, 2) \] 计算这两个向量的点积： \[ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = (1 \cdot -2) + (2 \cdot 2) = -2 + 4 = 2 \] 因此，\(\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD}\) 的值为2。 <eoe> 【答案】2<eoa> |
2 |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 由题意可知,正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AE}\cdot(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE})=\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\cdot(-\overrightarrow{AE})=\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}-|\overrightarrow{AE}|^{2}=\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}-2^{2}=\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}-4,由图可知,AE\botAD,所以\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}=0,所以\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}=-4. 最终结果是-4 |
2 |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 由题意,设A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2),则\overrightarrow{AE}=(1,2),\overrightarrow{BD}=(-2,2),\therefore\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}=(1,2)\cdot(-2,2)=-2+4=2.. 最终结果是2 |
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| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 首先，我们需要确定正方形 $ABCD$ 的顶点坐标。假设 $A$ 在原点 $(0, 0)$，$B$ 在 $(2, 0)$，$C$ 在 $(2, 2)$，$D$ 在 $(0, 2)$。\n\n接下来，找到 $E$ 点的坐标。$E$ 是 $CD$ 的中点，所以 $E$ 的坐标是 $\\left(\\frac{2+0}{2}, \\frac{2+2}{2}\\right) = (1, 2)$。\n\n然后，计算向量 $\\overrightarrow{AE}$ 和 $\\overrightarrow{BD}$。\n- $\\overrightarrow{AE} = E - A = (1, 2) - (0, 0) = (1, 2)$\n- $\\overrightarrow{BD} = D - B = (0, 2) - (2, 0) = (-2, 2)$\n\n最后，计算 $\\overrightarrow{AE} \\cdot \\overrightarrow{BD}$，即两个向量的点积：\n\\[\n\\overrightarrow{AE} \\cdot \\overrightarrow{BD} = (1, 2) \\cdot (-2, 2) = 1 \\cdot (-2) + 2 \\cdot 2 = -2 + 4 = 2\n\\]\n<eoe>\n【答案】2<eoa>" | 2 |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】\n首先，我们明确题目中的几何关系。正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，所以CE=ED=1。向量$\\overrightarrow{AE}$和$\\overrightarrow{BD}$是题目中要求解的点积的两个向量。\n\n我们可以将$\\overrightarrow{AE}$和$\\overrightarrow{BD}$分别表示为$\\overrightarrow{AE} = \\overrightarrow{AC} + \\overrightarrow{CE}$和$\\overrightarrow{BD} = \\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{CD}$。\n\n由于正方形ABCD的边长为2，所以$\\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{BC} = 2\\overrightarrow{i}$（假设正方形的边与x轴平行），$\\overrightarrow{CD} = 2\\overrightarrow{j}$，$\\overrightarrow{CE} = \\frac{1}{2}\\overrightarrow{CD} = \\overrightarrow{j}$。\n\n因此，$\\overrightarrow{AE} = 2\\overrightarrow{i} + \\overrightarrow{j}$，$\\overrightarrow{BD} = 2\\overrightarrow{i} + 2\\overrightarrow{j}$。\n\n点积的定义为$\\overrightarrow{a} \\cdot \\overrightarrow{b} = |a||b|\\cos\\theta$，其中$\\theta$是两个向量之间的夹角。但在这个情况下，我们直接利用向量的坐标表示计算点积更为简便，即$\\overrightarrow{a} \\cdot \\overrightarrow{b} = a_xb_x + a_yb_y$。\n\n将$\\overrightarrow{AE}$和$\\overrightarrow{BD}$的坐标代入上述公式，我们得到$\\overrightarrow{AE} \\cdot \\overrightarrow{BD} = (2\\overrightarrow{i} + \\overrightarrow{j}) \\cdot (2\\overrightarrow{i} + 2\\overrightarrow{j}) = 2*2 + 1*2 = 4 + 2 = 6$。\n\n因此，$\\overrightarrow{AE} \\cdot \\overrightarrow{BD} = 6$。<eoe>\n\n【答案】6<eoa>" | 2 |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们知道正方形的边长为2，E为CD的中点，所以CE=ED=1。我们可以把向量$\overrightarrow{AE}$和向量$\overrightarrow{BD}$分解为更简单的向量的和。 对于$\overrightarrow{AE}$，我们可以写成$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}$。由于E是CD的中点，$\overrightarrow{BE}$可以写成$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$。 所以，$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$。 对于$\overrightarrow{BD}$，我们可以写成$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}$。 现在，我们需要计算这两个向量的点积： $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}) \cdot (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD})$。 由于$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BA}$是相反向量，它们的点积为-2*2=-4。同样，$\overrightarrow{BC}$和$\overrightarrow{AD}$也是相反向量，它们的点积为-2*2=-4。但是，由于$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，这个点积应该乘以$\frac{1}{2}$，所以是-2。 最后，我们需要加上$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AD}$的点积，由于它们都是边长为2的正方形的边，所以它们的点积为2*2=4。 所以，$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = -4 + (-2) + 4 = -2$。 【答案】-2 |
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| doubao | 【解析】以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴建立平面直角坐标系。则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)。$\overrightarrow{AE}=(1,2)$，$\overrightarrow{BD}=(0-2,2-0)=(-2,2)$，则$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}=1\times(-2)+2\times2=2$。<eoe> 【答案】2<eoa> |
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| minimax | 【解析】 首先，我们需要知道向量点积（也称为内积或数量积）的定义。两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的点积定义为 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$，其中 $|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别是向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的模长，$\theta$ 是这两个向量之间的夹角。 在正方形 $ABCD$ 中，$AB$ 和 $CD$ 是对边，且长度相等，都是 $2$。由于 $E$ 是 $CD$ 的中点，所以 $CE = ED = \frac{2}{2} = 1$。 向量 $\overrightarrow{AE}$ 可以看作是从点 $A$ 到点 $E$ 的位移向量。由于 $A$ 和 $E$ 都在正方形的边上，我们可以将 $\overrightarrow{AE}$ 分解为两个分量：一个沿着 $AB$ 的方向，另一个沿着 $AD$ 的方向。但是，由于 $E$ 在 $CD$ 上，而 $CD$ 与 $AB$ 垂直，所以 $\overrightarrow{AE}$ 只有一个分量沿着 $AD$ 的方向，长度为 $1$（因为 $AE$ 的长度等于 $ED$ 的长度，即 $1$）。 向量 $\overrightarrow{BD}$ 是从点 $B$ 到点 $D$ 的位移向量。在正方形中，$BD$ 的长度等于边长，即 $2$，并且 $\overrightarrow{BD}$ 的方向是从左下角到右上角，与 $\overrightarrow{AE}$ 的方向垂直。 由于 $\overrightarrow{AE}$ 和 $\overrightarrow{BD}$ 垂直，它们之间的夹角 $\theta$ 是 $90^\circ$。因此，$\cos \theta = \cos 90^\circ = 0$。 现在我们可以计算点积 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD}$： $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = |\overrightarrow{AE}| |\overrightarrow{BD}| \cos \theta = 1 \cdot 2 \cdot 0 = 0$$ 所以，$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD}$ 的值为 $0$。<eoe> 【答案】0<eoa> |
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| kimi | 【解析】首先，我们需要理解题目中的向量点乘的概念。向量点乘的定义是：如果有两个向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)\)，那么它们的点乘 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) 定义为 \(a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n\)。 在这个问题中，我们有一个正方形 \(ABCD\)，边长为2，点 \(E\) 是 \(CD\) 的中点。我们需要计算向量 \(\overrightarrow{AE}\) 和 \(\overrightarrow{BD}\) 的点乘。 首先，我们确定向量 \(\overrightarrow{AE}\) 和 \(\overrightarrow{BD}\) 的坐标。由于 \(E\) 是 \(CD\) 的中点，所以 \(E\) 的坐标是 \((2, 0)\)（因为 \(C\) 的坐标是 \((2, 0)\) 而 \(D\) 的坐标是 \((2, 2)\)）。所以，向量 \(\overrightarrow{AE} = (2, 0) - (0, 0) = (2, 0)\)。 接下来，我们确定向量 \(\overrightarrow{BD}\) 的坐标。向量 \(\overrightarrow{BD} = (2, 2) - (0, 0) = (2, 2)\)。 现在我们可以计算这两个向量的点乘： \[ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = (2, 0) \cdot (2, 2) = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 4 \] <eoe> 【答案】4<eoa> |
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| wenxinyiyan | 【解析】 首先，由题意知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点。因此，我们可以得到向量$\overrightarrow{AE}$和$\overrightarrow{BD}$的表示。 正方形ABCD中，由于E是CD的中点，所以$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$。 根据向量的加法，有 $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$ $= \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$ 由于正方形的对角线性质，知道 $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ 并且，在正方形中，$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AD}$ 且 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$（因为正方形的对边平行且等长）。 所以， $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BC}$ $= \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD}$ $= \overrightarrow{0}$ 但考虑到方向，我们可以表示为 $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CB}$ 接下来，我们计算两向量的数量积： $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD}$ $= (\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}) \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CB})$ 由于$\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CB}$（正方形的对边平行且等长，但方向相反），上式可以简化为： $= (\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}) \cdot (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC})$ $= {\overrightarrow{AD}}^{2} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC} + \frac{1}{2}{\overrightarrow{DC}}^{2}$ 考虑到正方形的边长为2，所以${\overrightarrow{AD}}^{2} = 4$，且$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC} = 0$（因为它们是垂直的），所以 $= 4 + 0 + \frac{1}{2} \times 4$ $= 4 + 2$ $= 6$ 但考虑到$\overrightarrow{BD}$的方向与$\overrightarrow{AE}$的夹角为$135^{\circ}$，所以实际的数量积为： $= 6 \times \cos135^{\circ}$ $= 6 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2})$ $= -3\sqrt{2}$ 【答案】 $-3\sqrt{2}$ |
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| zhipu | 【解析】 首先，我们设定正方形 \(ABCD\) 的顶点坐标： - \(A(0, 0)\) - \(B(2, 0)\) - \(C(2, 2)\) - \(D(0, 2)\) 由于 \(E\) 是 \(CD\) 的中点，因此 \(E\) 的坐标为： \[ E\left( \frac{2+0}{2}, \frac{2+2}{2} \right) = (1, 2) \] 接下来，我们求向量 \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) 和 \(\overrightarrow{\mathrm{BD}}\)： \[ \overrightarrow{\mathrm{AE}} = E - A = (1, 2) - (0, 0) = (1, 2) \] \[ \overrightarrow{\mathrm{BD}} = D - B = (0, 2) - (2, 0) = (-2, 2) \] 现在我们计算这两个向量的点积（数量积）： \[ \overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}} = (1, 2) \cdot (-2, 2) \] \[ = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 \] \[ = -2 + 4 \] \[ = 2 \] <eoe> 【答案】2<eoa> |
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| gpto1 | 【解析】 设正方形 $ABCD$ 的顶点坐标为： - 点 $A(0, 0)$ - 点 $B(2, 0)$ - 点 $C(2, 2)$ - 点 $D(0, 2)$ 点 $E$ 为 $CD$ 的中点，所以坐标为： $$ E\left( \frac{2+0}{2}, \frac{2+2}{2} \right) = (1, 2) $$ 计算向量： $$ \overrightarrow{AE} = (\mathrm{E}_x - \mathrm{A}_x, \mathrm{E}_y - \mathrm{A}_y) = (1 - 0, 2 - 0) = (1, 2) $$ $$ \overrightarrow{BD} = (\mathrm{D}_x - \mathrm{B}_x, \mathrm{D}_y - \mathrm{B}_y) = (0 - 2, 2 - 0) = (-2, 2) $$ 计算点积： $$ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = (1) \times (-2) + (2) \times (2) = -2 + 4 = 2 $$ <eoe> 【答案】$2$<eoa> |
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| deepseekv3 | 【解析】 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$E$ 为 $CD$ 的中点。我们需要计算向量 $\overrightarrow{AE}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 的点积。 首先，我们确定各点的坐标： - 设点 $A$ 的坐标为 $(0, 0)$。 - 由于边长为 $2$，点 $B$ 的坐标为 $(2, 0)$，点 $C$ 的坐标为 $(2, 2)$，点 $D$ 的坐标为 $(0, 2)$。 - 点 $E$ 为 $CD$ 的中点，因此 $E$ 的坐标为 $\left(\frac{2+0}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = (1, 2)$。 接下来，我们计算向量 $\overrightarrow{AE}$ 和 $\overrightarrow{BD}$： - 向量 $\overrightarrow{AE} = E - A = (1 - 0, 2 - 0) = (1, 2)$。 - 向量 $\overrightarrow{BD} = D - B = (0 - 2, 2 - 0) = (-2, 2)$。 然后，我们计算这两个向量的点积： \[ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = (1)(-2) + (2)(2) = -2 + 4 = 2 \] <eoe> 【答案】2<eoa> |
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