| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 我们知道，$\sin x = -\frac{2}{3}$。为了求 $\cos 2x$，我们可以使用三角恒等式。 首先，我们需要求 $\cos x$。根据三角函数的基本关系： \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] 将 $\sin x = -\frac{2}{3}$ 代入上式： \[ \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{4}{9} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{4}{9} \] \[ \cos^2 x = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} \] \[ \cos^2 x = \frac{5}{9} \] 因此，$\cos x$ 有两个可能的值： \[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \] 接下来，我们使用 $\cos 2x$ 的公式： \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \] 将 $\cos^2 x = \frac{5}{9}$ 代入上式： \[ \cos 2x = 2 \cdot \frac{5}{9} - 1 \] \[ \cos 2x = \frac{10}{9} - 1 \] \[ \cos 2x = \frac{10}{9} - \frac{9}{9} \] \[ \cos 2x = \frac{1}{9} \] 因此，$\cos 2x = \frac{1}{9}$。 <eoe> 【答案】$\frac{1}{9}$<eoa> |
$\frac{1}{9}$ |
| deepseekr1 | 【解析】已知 $\sin x = -\frac{2}{3}$，需要求 $\cos 2x$。使用双角公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$： 1. 计算 $\sin^2 x = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$。 2. 代入公式：$\cos 2x = 1 - 2 \times \frac{4}{9} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$。 通过另一公式 $\cos 2x = 2\cos^2 x -1$ 验证： 1. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$。 2. $\cos 2x = 2 \times \frac{5}{9} -1 = \frac{10}{9} -1 = \frac{1}{9}$。 两种方法结果一致，故答案正确。<eoe> 【答案】$\dfrac{1}{9}$<eoa> |
$\frac{1}{9}$ |
| gpto1 | 【解析】 已知 $\sin x = -\dfrac{2}{3}$。 首先，我们根据三角恒等式 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ 来求 $\sin^2 x$： $\sin^2 x = \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$。 因此， $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$。 接下来，考虑 $\cos x$ 的正负号。 由于 $\sin x = -\dfrac{2}{3}$ 为负，$\sin x$ 为负的象限是第三和第四象限。 - 在第三象限，$\cos x$ 也为负，因此 $\cos x = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}$。 - 在第四象限，$\cos x$ 为正，因此 $\cos x = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$。 计算 $\cos 2x$，可以使用恒等式： $\cos 2x = 2\cos^2 x -1$。 无论 $\cos x$ 是正是负，$\cos^2 x = \dfrac{5}{9}$，所以： $\cos 2x = 2 \times \dfrac{5}{9} - 1 = \dfrac{10}{9} - 1 = \dfrac{1}{9}$。 因此，$\cos 2x = \dfrac{1}{9}$。 <eoe> 【答案】$\dfrac{1}{9}$<eoa> |
$\frac{1}{9}$ |
| GPT-4o | 【解析】 题目给出了 $\sin x = -\frac{2}{3}$，我们需要找到 $\cos 2x$ 的值。我们可以使用三角函数的倍角公式来求解： 首先，我们知道三角函数的基本恒等式： \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] 将 $\sin x = -\frac{2}{3}$ 代入，可以求得 $\cos x$： \[ \left( -\frac{2}{3} \right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{4}{9} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{4}{9} \] \[ \cos^2 x = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} \] \[ \cos^2 x = \frac{5}{9} \] 因此，$\cos x$ 有两个可能的值： \[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \] 接下来，我们利用 $\cos 2x$ 的倍角公式： \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \] 将 $\cos^2 x = \frac{5}{9}$ 代入： \[ \cos 2x = 2 \left( \frac{5}{9} \right) - 1 \] \[ \cos 2x = \frac{10}{9} - 1 \] \[ \cos 2x = \frac{10}{9} - \frac{9}{9} \] \[ \cos 2x = \frac{1}{9} \] 因此，$\cos 2x = \frac{1}{9}$。 【答案】$\frac{1}{9}$<eoa> |
$\frac{1}{9}$ |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 最终结果是-5/9 |
$\frac{1}{9}$ |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是-7/9<eoe> 【答案】 -7/9<eoa> |
$\frac{1}{9}$ |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 首先，我们知道 $\\cos 2x$ 可以通过 $\\sin x$ 和 $\\cos x$ 的值来计算。具体公式为 $\\cos 2x = 1 - 2\\sin^2 x$。题目给出了 $\\sin x = -\\frac{2}{3}$，我们可以直接代入公式进行计算。\n\n1. 代入 $\\sin x = -\\frac{2}{3}$ 到公式 $\\cos 2x = 1 - 2\\sin^2 x$ 中：\n \\[\n \\cos 2x = 1 - 2\\left(-\\frac{2}{3}\\right)^2\n \\]\n\n2. 计算 $\\left(-\\frac{2}{3}\\right)^2$：\n \\[\n \\left(-\\frac{2}{3}\\right)^2 = \\frac{4}{9}\n \\]\n\n3. 继续计算 $\\cos 2x$：\n \\[\n \\cos 2x = 1 - 2 \\cdot \\frac{4}{9} = 1 - \\frac{8}{9}\n \\]\n\n4. 最后一步，计算 $1 - \\frac{8}{9}$：\n \\[\n 1 - \\frac{8}{9} = \\frac{9}{9} - \\frac{8}{9} = \\frac{1}{9}\n \\]\n\n因此，$\\cos 2x$ 的值为 $\\frac{1}{9}$。<eoe>\n【答案】$\\frac{1}{9}$<eoa>" | $\frac{1}{9}$ |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】\n已知 \\(\\sin x = -\\frac{2}{3}\\)，要求 \\(\\cos 2x\\) 的值。\n\n我们知道，二倍角的余弦公式为 \\(\\cos 2x = 1 - 2\\sin^2 x\\) 或 \\(\\cos 2x = 2\\cos^2 x - 1\\)，但这里更直接的是使用第一个公式，因为已知 \\(\\sin x\\)。\n\n首先，将 \\(\\sin x = -\\frac{2}{3}\\) 代入二倍角的余弦公式中：\n\\[\n\\cos 2x = 1 - 2\\sin^2 x = 1 - 2\\left(-\\frac{2}{3}\\right)^2\n\\]\n\n计算 \\(\\sin^2 x\\)：\n\\[\n\\sin^2 x = \\left(-\\frac{2}{3}\\right)^2 = \\frac{4}{9}\n\\]\n\n所以，\n\\[\n\\cos 2x = 1 - 2\\left(\\frac{4}{9}\\right) = 1 - \\frac{8}{9} = \\frac{1}{9}\n\\]<eoe>\n【答案】\\(\\cos 2x = \\frac{1}{9}\\)<eoa>" | $\frac{1}{9}$ |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们知道正弦函数的值域是[-1, 1]，所以给定的$\sin x = -\frac{2}{3}$是有效的。接下来，我们需要找到$\cos 2x$的值。我们可以使用二倍角公式： $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$ 将给定的$\sin x$值代入公式中： $$\cos 2x = 1 - 2(-\frac{2}{3})^2$$ $$\cos 2x = 1 - 2(\frac{4}{9})$$ $$\cos 2x = 1 - \frac{8}{9}$$ $$\cos 2x = \frac{1}{9}$$ 因此，$\cos 2x$的值为$\frac{1}{9}$。 |
$\frac{1}{9}$ |
| doubao | 【解析】根据二倍角余弦公式$\cos 2x=1-2\sin^{2}x$，已知$\sin x=-\frac{2}{3}$，将其代入可得。<eoe> 【答案】$1-2\times(-\frac{2}{3})^{2}=1-2\times\frac{4}{9}=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$<eoa> |
$\frac{1}{9}$ |
| minimax | 【解析】 首先，我们知道三角恒等式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$。这个公式可以从二倍角公式 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ 推导出来，因为 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$，所以 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，代入二倍角公式得到 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$。 现在，已知 $\sin x = -\frac{2}{3}$，我们需要计算 $\sin^2 x$，然后代入上述恒等式计算 $\cos 2x$。 $\sin^2 x = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$。 接下来，我们将 $\sin^2 x$ 的值代入 $\cos 2x$ 的公式中： $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2\left(\frac{4}{9}\right) = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$。 因此，$\cos 2x = \frac{1}{9}$。 <eoe> 【答案】$\frac{1}{9}$<eoa> |
$\frac{1}{9}$ |
| kimi | 【解析】 首先，我们需要使用二倍角公式来求解 $\cos 2x$。二倍角公式是 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$。 已知 $\sin x = -\frac{2}{3}$，我们可以将这个值代入二倍角公式中。 1. 计算 $\sin^2 x$： $\sin^2 x = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ 2. 代入二倍角公式： $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2 \times \frac{4}{9} = 1 - \frac{8}{9}$ 3. 计算结果： $\cos 2x = \frac{9}{9} - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$ <eoe> 【答案】$\frac{1}{9}$<eoa> |
$\frac{1}{9}$ |
| wenxinyiyan | 【解析】根据二倍角公式，我们有 $\cos 2x = 1 - 2\sin^{2}x$。已知 $\sin x = -\frac{2}{3}$，代入公式得 $\cos 2x = 1 - 2 \times \left(-\frac{2}{3}\right)^{2} = 1 - 2 \times \frac{4}{9} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$。<eoe> 【答案】$\frac{1}{9}$<eoa> |
$\frac{1}{9}$ |
| zhipu | 【解析】首先，我们需要利用三角函数的基本关系式来求解 $\cos 2x$。已知 $\sin x = -\frac{2}{3}$，我们可以使用以下公式： \[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \] 接下来，我们将已知的 $\sin x$ 值代入公式中进行计算： 1. 计算 $\sin^2 x$： \[ \sin^2 x = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \] 2. 将 $\sin^2 x$ 代入 $\cos 2x$ 的公式中： \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x = 1 - 2 \cdot \frac{4}{9} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{9}{9} - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \] 因此，$\cos 2x$ 的值为 $\frac{1}{9}$。 <eoe> 【答案】$\frac{1}{9}$<eoa> |
$\frac{1}{9}$ |
| gpto1 | 【解析】 已知 $\sin x = -\dfrac{2}{3}$。 首先，我们根据三角恒等式 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ 来求 $\sin^2 x$： $\sin^2 x = \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$。 因此， $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$。 接下来，考虑 $\cos x$ 的正负号。 由于 $\sin x = -\dfrac{2}{3}$ 为负，$\sin x$ 为负的象限是第三和第四象限。 - 在第三象限，$\cos x$ 也为负，因此 $\cos x = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}$。 - 在第四象限，$\cos x$ 为正，因此 $\cos x = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$。 计算 $\cos 2x$，可以使用恒等式： $\cos 2x = 2\cos^2 x -1$。 无论 $\cos x$ 是正是负，$\cos^2 x = \dfrac{5}{9}$，所以： $\cos 2x = 2 \times \dfrac{5}{9} - 1 = \dfrac{10}{9} - 1 = \dfrac{1}{9}$。 因此，$\cos 2x = \dfrac{1}{9}$。 <eoe> 【答案】$\dfrac{1}{9}$<eoa> |
$\frac{1}{9}$ |
| deepseekv3 | 【解析】 已知 $\sin x = -\frac{2}{3}$，要求 $\cos 2x$。我们可以使用余弦的倍角公式来解决这个问题。余弦的倍角公式有几种形式，其中一种形式是： \[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \] 将已知的 $\sin x = -\frac{2}{3}$ 代入公式中，我们得到： \[ \cos 2x = 1 - 2\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{4}{9}\right) = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \] 因此，$\cos 2x$ 的值为 $\frac{1}{9}$。 <eoe> 【答案】$\frac{1}{9}$<eoa> |
$\frac{1}{9}$ |