| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 为了确定函数 $f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x-8\right)$ 的单调递增区间，我们首先需要找到其导数 $f'(x)$，并确定 $f'(x) > 0$ 的区间。函数 $f(x)$ 的定义域由 $x^{2}-2 x-8 > 0$ 确定，解这个不等式得到 $x < -2$ 或 $x > 4$。 计算 $f(x)$ 的导数： \[f'(x) = \frac{1}{x^{2}-2 x-8} \cdot (2x-2) = \frac{2x-2}{x^{2}-2 x-8}\] 为了使 $f'(x) > 0$，分子和分母的符号必须相同。分子 $2x-2$ 的零点是 $x=1$，而分母 $x^{2}-2 x-8$ 的零点是 $x=-2$ 和 $x=4$。因此，我们考虑三个关键点：$x=-2$，$x=1$ 和 $x=4$，它们将实数轴分为四个区间：$(-\infty, -2)$，$(-2, 1)$，$(1, 4)$ 和 $(4, +\infty)$。 在区间 $(-\infty, -2)$ 和 $(4, +\infty)$ 上，$x^{2}-2 x-8 > 0$，而在区间 $(-2, 1)$ 和 $(1, 4)$ 上，$x^{2}-2 x-8 < 0$。同时，$2x-2 > 0$ 当 $x > 1$，$2x-2 < 0$ 当 $x < 1$。 因此，$f'(x) > 0$ 当 $x > 4$，即在区间 $(4, +\infty)$ 上，函数 $f(x)$ 单调递增。 【答案】: D. $(4,+\infty)$ <eoa> |
D |
| deepseekr1 | 【解析】 首先确定函数$f(x)=\ln(x^2-2x-8)$的定义域。由$x^2-2x-8>0$解得$x\in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$。接着求导数$f'(x)=\frac{2x-2}{x^2-2x-8}$。分母在定义域内恒为正，故导数的符号由分子$2x-2$决定。当$x>1$时分子为正，但需结合定义域，仅当$x>4$时导数为正，函数递增。区间$(-\infty, -2)$内分子为负，函数递减。因此单调递增区间为$(4, +\infty)$。<eoe> 【答案】D <eoa> |
D |
| gpto1 | 【解析】首先，求函数的定义域： \[ x^{2} - 2x -8 > 0 \] 因式分解： \[ (x - 4)(x + 2) > 0 \] 解不等式： 1. 当 \( x - 4 > 0 \) 且 \( x + 2 > 0 \) 时，\( x > 4 \) 2. 当 \( x - 4 < 0 \) 且 \( x + 2 < 0 \) 时，\( x < -2 \) 所以函数的定义域为 \( (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \)。 接下来，求导数： \[ f(x) = \ln(x^{2} - 2x -8) \] \[ f'(x) = \frac{2x -2}{x^{2} -2x -8} = \frac{2(x -1)}{(x -4)(x +2)} \] 在定义域内分析导数的符号： 1. 当 \( x \in (-\infty, -2) \) 时，取 \( x = -3 \)： \[ f'(-3) = \frac{2(-3 -1)}{(-3 -4)(-3 +2)} = \frac{2(-4)}{(-7)(-1)} = \frac{-8}{7} < 0 \] 所以函数在 \( (-\infty, -2) \) 上单调递减。 2. 当 \( x \in (4, +\infty) \) 时，取 \( x = 5 \)： \[ f'(5) = \frac{2(5 -1)}{(5 -4)(5 +2)} = \frac{2(4)}{(1)(7)} = \frac{8}{7} > 0 \] 所以函数在 \( (4, +\infty) \) 上单调递增。 因此，函数的单调递增区间是 \( (4, +\infty) \)。 <eoe> 【答案】D <eoa> |
D |
| GPT-4o | 【解析】 要确定函数 \( f(x) = \ln(x^2 - 2x - 8) \) 的单调递增区间，我们首先需要找到函数的导数，并且确定导数大于零的区间。 1. 先将 \( x^2 - 2x - 8 \) 进行因式分解： \[ x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) \] 2. 因此，函数可以重写为： \[ f(x) = \ln((x - 4)(x + 2)) \] 3. 求导： \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \ln((x - 4)(x + 2)) = \frac{1}{(x - 4)(x + 2)} \cdot ( (x - 4)'(x + 2) + (x - 4)(x + 2)' ) \] \[ f'(x) = \frac{1}{(x - 4)(x + 2)} \cdot ( (x + 2) + (x - 4) ) \] \[ f'(x) = \frac{1}{(x - 4)(x + 2)} \cdot (2x - 2) \] \[ f'(x) = \frac{2(x - 1)}{(x - 4)(x + 2)} \] 4. 要使 \( f'(x) > 0 \)，需要： \[ \frac{2(x - 1)}{(x - 4)(x + 2)} > 0 \] 5. 分析不等式： \[ \frac{2(x - 1)}{(x - 4)(x + 2)} > 0 \] 分母和分子均为多项式，确定不等式成立的区间可以通过分析分子和分母符号的变化来确定。 - 分子 \( 2(x - 1) \) 在 \( x = 1 \) 处变号。 - 分母 \( (x - 4)(x + 2) \) 在 \( x = 4 \) 和 \( x = -2 \) 处变号。 设定这些关键点在数轴上并分析各区间的符号变化： \[ \begin{array}{ccc} \text{区间} & (-\infty, -2) & (-2, 1) & (1, 4) & (4, +\infty) \\ \text{符号} & - & + & - & + \\ \end{array} \] 从上表可知，函数 \( f'(x) > 0 \) 在区间 \( (-2, 1) \) 和 \( (4, +\infty) \) 上成立。 由于题目给出的选项中只有一个符合这个区间，即 \( (4, +\infty) \)。 【答案】 D <eoa> |
['D'] |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】由题意可得f(x)=\ln(x^{2}-2x-8)=\ln((x-4)(x+2))=\ln(x-4)+\ln(x+2),x\in(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)所以f'(x)=\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x+2}=\frac{2x-2}{(x-4)(x+2)}=\frac{2(x-1)}{(x-4)(x+2)}所以当x\in(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)时,当x\in(-\infty,-2)\cup(1,4)\cup(4,+\infty)时,f'(x)>0,即函数在(-\infty,-2)\cup(1,4)\cup(4,+\infty)单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间是(-\infty,-2)\cup(4,+\infty). 最终结果是(-oo,-2)+(4,+oo) |
['D'] |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是(-oo, -2)+(4, +oo) <eoe> 【答案】: D <eoa> |
['D'] |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 首先，我们需要确定函数 \\( f(x) = \\ln(x^2 - 2x - 8) \\) 的定义域。为了使对数函数有意义，必须满足对数的真数大于零，即：\n\n\\[ x^2 - 2x - 8 > 0 \\]\n\n我们解这个不等式。首先，找到方程 \\( x^2 - 2x - 8 = 0 \\) 的根：\n\n\\[ x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) = 0 \\]\n\n因此，方程的根是 \\( x = 4 \\) 和 \\( x = -2 \\)。我们可以将不等式 \\( x^2 - 2x - 8 > 0 \\) 分解为：\n\n\\[ (x - 4)(x + 2) > 0 \\]\n\n通过分析这个不等式的解，我们知道当 \\( x < -2 \\) 或 \\( x > 4 \\) 时，不等式成立。因此，函数的定义域是：\n\n\\[ (-\\infty, -2) \\cup (4, +\\infty) \\]\n\n接下来，我们需要确定函数 \\( f(x) \\) 在这些区间内的单调性。我们计算函数的导数：\n\n\\[ f'(x) = \\frac{d}{dx} \\ln(x^2 - 2x - 8) = \\frac{2x - 2}{x^2 - 2x - 8} \\]\n\n我们需要分析 \\( f'(x) \\) 的符号。首先，考虑 \\( x \\in (-\\infty, -2) \\)：\n\n在这个区间内，\\( x < -2 \\)，所以 \\( 2x - 2 < 0 \\)。同时，\\( x^2 - 2x - 8 > 0 \\) 在这个区间内成立。因此，\\( f'(x) = \\frac{2x - 2}{x^2 - 2x - 8} < 0 \\)，函数在这个区间内是单调递减的。\n\n接下来，考虑 \\( x \\in (4, +\\infty) \\)：\n\n在这个区间内，\\( x > 4 \\)，所以 \\( 2x - 2 > 0 \\)。同时，\\( x^2 - 2x - 8 > 0 \\) 在这个区间内成立。因此，\\( f'(x) = \\frac{2x - 2}{x^2 - 2x - 8} > 0 \\)，函数在这个区间内是单调递增的。\n\n综上所述，函数 \\( f(x) = \\ln(x^2 - 2x - 8) \\) 的单调递增区间是 \\( (4, +\\infty) \\)。\n\n<eoe>\n【答案】: D <eoa>" | ['D'] |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】为了确定函数 $f(x)=\\ln(x^2-2x-8)$ 的单调递增区间，我们首先需要找到函数的导数，因为函数的增减性可以通过导数的正负来判断。函数的导数为：\n\\[f'(x) = \\frac{1}{x^2-2x-8} \\cdot (2x-2) = \\frac{2x-2}{x^2-2x-8}\\]\n接下来，我们需要确定导数的符号，这将帮助我们找到函数的增减区间。导数的分母为 $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$，因此导数的符号将由分子 $2x-2$ 和分母 $(x-4)(x+2)$ 的符号共同决定。\n\n分子 $2x-2$ 的零点为 $x=1$，而分母 $(x-4)(x+2)$ 的零点为 $x=4$ 和 $x=-2$。这意味着当 $x$ 的值变化时，导数的符号可能在 $x=1$，$x=4$ 和 $x=-2$ 处改变。\n\n我们可以通过测试区间来确定导数在各个区间内的符号。对于 $x \\in (-\\infty, -2)$，导数为正；对于 $x \\in (-2, 1)$，导数为负；对于 $x \\in (1, 4)$，导数为正；对于 $x \\in (4, +\\infty)$，导数也为正。但是，由于原函数定义域为 $x^2-2x-8>0$，即 $(x-4)(x+2)>0$，这意味着定义域为 $x \\in (-\\infty, -2) \\cup (4, +\\infty)$。\n\n结合上述分析，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为导数为正的区间，同时需要在函数的定义域内。因此，正确的单调递增区间为 $(4, +\\infty)$。\n\n【答案】D. $(4,+\\infty)$ <eoa>" | ['D'] |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们需要找到函数 $f(x)=\ln(x^2-2x-8)$ 的定义域。由于对数函数的定义要求对数内的表达式必须大于零，所以我们解不等式 $x^2-2x-8>0$。 将不等式因式分解得到：$(x-4)(x+2)>0$。 根据这个不等式，我们可以得出函数的定义域为 $x<-2$ 或 $x>4$。 接下来，我们需要确定函数的单调性。由于 $f(x)$ 是对数函数，其单调性将由内部的多项式 $x^2-2x-8$ 决定。这个多项式是一个开口向上的抛物线，其顶点可以通过公式 $-\frac{b}{2a}$ 计算得到，其中 $a=1$, $b=-2$，所以顶点的横坐标是 $x=-\frac{-2}{2*1}=1$。 在顶点左侧，抛物线是递减的，在顶点右侧，抛物线是递增的。因此，对于 $f(x)$ 来说，当 $x>1$ 时，函数是单调递增的。 结合定义域和单调性，我们可以得出函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(4,+\infty)$。 【答案】: D <eoa> |
['D'] |
| doubao | 【解析】：先求函数$f(x)=\ln(x^2-2x-8)$的定义域，令$x^2-2x-8>0$，即$(x-4)(x+2)>0$，解得$x<-2$或$x>4$。设$t=x^2-2x-8$，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为$x=1$，在$(4,+\infty)$上单调递增。函数$y=\ln t$在$(0,+\infty)$上单调递增。根据复合函数同增异减原则，函数$f(x)$的单调递增区间是$(4,+\infty)$。<eoe> 【答案】：D <eoa> |
['D'] |
| minimax | 【解析】首先，我们需要找到函数 $f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x-8 ）\right.$ 的定义域。由于对数函数的定义要求对数内的表达式必须大于零，我们需要解不等式 $x^{2}-2 x-8 > 0$。 解这个不等式，我们首先找到对应的二次方程 $x^{2}-2 x-8 = 0$ 的根。这个方程可以通过分解因式或者使用求根公式来解。因式分解得到 $(x-4)(x+2)=0$，所以方程的根是 $x=4$ 和 $x=-2$。 根据二次函数的性质，我们知道在 $x=-2$ 和 $x=4$ 之间，$x^{2}-2 x-8$ 的值是负的，而在 $x<-2$ 和 $x>4$ 时，$x^{2}-2 x-8$ 的值是正的。因此，函数 $f(x)$ 的定义域是 $(-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$。 接下来，我们需要确定函数在定义域内的单调性。由于对数函数 $\ln x$ 是在其定义域内单调递增的，我们只需要考虑内部函数 $x^{2}-2 x-8$ 的单调性。这是一个二次函数，其导数为 $2x-2$。令导数等于零，解得 $x=1$。这意味着在 $x=1$ 处，内部函数 $x^{2}-2 x-8$ 可能有一个极值点。 由于二次函数的开口方向向上（因为二次项系数为正），我们知道在 $x=1$ 左侧，函数是单调递减的，在 $x=1$ 右侧，函数是单调递增的。因此，对于 $f(x)$ 来说，在 $x=1$ 左侧，即 $(-\infty, 1)$ 区间内，函数是单调递减的；而在 $x=1$ 右侧，即 $(1, +\infty)$ 区间内，函数是单调递增的。 结合定义域和单调性，我们可以得出结论，函数 $f(x)$ 在 $(4, +\infty)$ 区间内是单调递增的。因此，正确答案是 D。 <eoe> 【答案】: D <eoa> |
['D'] |
| kimi | 【解析】首先，我们需要确定函数$f(x)=\ln(x^2-2x-8)$的定义域。由于对数函数的自变量必须大于0，所以我们需要解不等式$x^2-2x-8>0$。 将不等式$x^2-2x-8>0$进行因式分解，得到$(x-4)(x+2)>0$。解这个不等式，我们可以得到$x<-2$或$x>4$。所以函数的定义域是$(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)$。 接下来，我们需要确定函数的单调性。函数$f(x)$是由$y=\ln u$和$u=x^2-2x-8$复合而成的。我们知道$y=\ln u$在其定义域内是单调递增的，所以我们只需要确定$u=x^2-2x-8$的单调递增区间。 观察$u=x^2-2x-8$，这是一个开口向上的二次函数，其对称轴为$x=1$。因此，在$x>4$的区间内，$u$是单调递增的。 综合以上分析，函数$f(x)=\ln(x^2-2x-8)$的单调递增区间是$(4,+\infty)$。 <eoe> 【答案】: D <eoa> |
['D'] |
| wenxinyiyan | 【解析】 首先，我们需要找到函数$f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x-8 ）\right.$的定义域。由于对数函数的定义域要求其内部函数大于0，所以我们有$x^{2}-2 x-8>0$，解这个不等式我们得到$x<-2$或$x>4$，即函数的定义域为$(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)$。 然后，我们令$t=x^{2}-2 x-8$，这样我们就将原函数转化为了$y=\ln t$。我们知道，对数函数在其定义域内是单调递增的，所以$y=\ln t$在$(0,+\infty)$上是单调递增的。 再者，我们观察$t=x^{2}-2 x-8$，这是一个二次函数，其开口向上，对称轴为$x=1$，所以$t=x^{2}-2 x-8$在$(-\infty,-2)$上是单调递减的，在$(4,+\infty)$上是单调递增的。 最后，由于$y=\ln t$在$(0,+\infty)$上是单调递增的，所以原函数$f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x-8 ）\right.$在$(4,+\infty)$上是单调递增的。 综上，函数$f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x-8 ）\right.$的单调递增区间是$(4,+\infty)$。 【答案】 D |
['D'] |
| zhipu | 【解析】 首先，我们需要确定函数 \( f(x) = \ln(x^2 - 2x - 8) \) 的定义域。由于对数函数的定义域要求其内部的表达式必须大于零，即 \( x^2 - 2x - 8 > 0 \)。 我们来解不等式 \( x^2 - 2x - 8 > 0 \)： 1. 将不等式转化为方程 \( x^2 - 2x - 8 = 0 \)。 2. 解方程 \( x^2 - 2x - 8 = 0 \)： \[ x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) = 0 \] 得到根 \( x = 4 \) 和 \( x = -2 \)。 3. 根据根 \( x = 4 \) 和 \( x = -2 \)，将数轴分成三个区间：\( (-\infty, -2) \)、\( (-2, 4) \) 和 \( (4, +\infty) \)。 4. 选取每个区间内的一个测试点，判断不等式 \( x^2 - 2x - 8 > 0 \) 的符号： - 在区间 \( (-\infty, -2) \) 内，取 \( x = -3 \)： \[ (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0 \] - 在区间 \( (-2, 4) \) 内，取 \( x = 0 \)： \[ 0^2 - 2(0) - 8 = -8 < 0 \] - 在区间 \( (4, +\infty) \) 内，取 \( x = 5 \)： \[ 5^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0 \] 因此，不等式 \( x^2 - 2x - 8 > 0 \) 的解集为 \( (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \)，即函数 \( f(x) \) 的定义域为 \( (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \)。 接下来，我们研究函数 \( f(x) \) 的单调性。求导数 \( f'(x) \)： \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(x^2 - 2x - 8) = \frac{1}{x^2 - 2x - 8} \cdot (2x - 2) = \frac{2(x - 1)}{x^2 - 2x - 8} \] 分析导数 \( f'(x) \) 的符号： - 在区间 \( (-\infty, -2) \) 内，\( x - 1 < 0 \) 且 \( x^2 - 2x - 8 > 0 \)，所以 \( f'(x) < 0 \)，函数在该区间单调递减。 - 在区间 \( (4, +\infty) \) 内，\( x - 1 > 0 \) 且 \( x^2 - 2x - 8 > 0 \)，所以 \( f'(x) > 0 \)，函数在该区间单调递增。 综上所述，函数 \( f(x) = \ln(x^2 - 2x - 8) \) 的单调递增区间是 \( (4, +\infty) \)。 <eoe> 【答案】: D <eoa> |
['D'] |
| gpto1 | 【解析】首先，求函数的定义域： \[ x^{2} - 2x -8 > 0 \] 因式分解： \[ (x - 4)(x + 2) > 0 \] 解不等式： 1. 当 \( x - 4 > 0 \) 且 \( x + 2 > 0 \) 时，\( x > 4 \) 2. 当 \( x - 4 < 0 \) 且 \( x + 2 < 0 \) 时，\( x < -2 \) 所以函数的定义域为 \( (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \)。 接下来，求导数： \[ f(x) = \ln(x^{2} - 2x -8) \] \[ f'(x) = \frac{2x -2}{x^{2} -2x -8} = \frac{2(x -1)}{(x -4)(x +2)} \] 在定义域内分析导数的符号： 1. 当 \( x \in (-\infty, -2) \) 时，取 \( x = -3 \)： \[ f'(-3) = \frac{2(-3 -1)}{(-3 -4)(-3 +2)} = \frac{2(-4)}{(-7)(-1)} = \frac{-8}{7} < 0 \] 所以函数在 \( (-\infty, -2) \) 上单调递减。 2. 当 \( x \in (4, +\infty) \) 时，取 \( x = 5 \)： \[ f'(5) = \frac{2(5 -1)}{(5 -4)(5 +2)} = \frac{2(4)}{(1)(7)} = \frac{8}{7} > 0 \] 所以函数在 \( (4, +\infty) \) 上单调递增。 因此，函数的单调递增区间是 \( (4, +\infty) \)。 <eoe> 【答案】D <eoa> |
D |
| deepseekv3 | 【解析】 首先，我们需要确定函数 \( f(x) = \ln(x^2 - 2x - 8) \) 的定义域。因为对数函数的定义域要求其内部表达式大于零，所以有： \[ x^2 - 2x - 8 > 0 \] 解这个不等式： \[ x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) > 0 \] 根据二次函数的图像，我们知道不等式 \( (x - 4)(x + 2) > 0 \) 的解集是 \( x < -2 \) 或 \( x > 4 \)。因此，函数 \( f(x) \) 的定义域是 \( (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \)。 接下来，我们求函数 \( f(x) \) 的导数，以确定其单调性。函数的导数为： \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(x^2 - 2x - 8) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x - 8} \] 为了使函数单调递增，导数 \( f'(x) \) 必须大于零： \[ \frac{2x - 2}{x^2 - 2x - 8} > 0 \] 分析不等式 \( \frac{2x - 2}{x^2 - 2x - 8} > 0 \)： 1. 分子 \( 2x - 2 = 2(x - 1) \)，在 \( x > 1 \) 时为正，\( x < 1 \) 时为负。 2. 分母 \( x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) \)，根据前面的分析，在 \( x < -2 \) 和 \( x > 4 \) 时为正，在 \( -2 < x < 4 \) 时为负。 综合以上分析，不等式 \( \frac{2x - 2}{x^2 - 2x - 8} > 0 \) 在 \( x > 4 \) 时成立，因为此时分子和分母都为正。在 \( x < -2 \) 时，分子为负，分母为正，因此导数为负，函数单调递减。 因此，函数 \( f(x) \) 的单调递增区间是 \( (4, +\infty) \)。 <eoe> 【答案】D <eoa> |
D |