| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 为了找到函数 $f(x)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的最大值，我们首先需要理解函数的性质。给定的函数是正弦和余弦函数的线性组合，我们知道正弦和余弦函数的值域都是 $[-1, 1]$。 函数 $f(x)$ 可以被看作是两个振幅分别为 $\frac{1}{5}$ 和 $1$ 的正弦和余弦函数的和。为了使 $f(x)$ 达到最大值，我们需要两个函数同时达到它们的最大值。正弦函数的最大值为 $1$，余弦函数的最大值也为 $1$。 因此，当 $\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) = 1$ 和 $\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 1$ 时，$f(x)$ 达到最大值。此时，$f(x)$ 的值为 $\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 = \frac{1}{5} + 1 = \frac{6}{5}$。 【答案】: A <eoa> |
A |
| deepseekr1 | 【解析】 首先，将函数 $f(x)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 展开： - $\sin(x+\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$ - $\cos(x-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x$ 代入原式并整理同类项： $$ f(x) = \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{2}\right)\sin x + \left(\frac{\sqrt{3}}{10} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cos x = \frac{3}{5}\sin x + \frac{3\sqrt{3}}{5}\cos x $$ 根据三角函数合成公式，最大值为： $$ \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{27}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} $$ <eoe> 【答案】A <eoa> |
A |
| gpto1 | 【解析】 首先，将$f(x)$展开并合并同类项。 1. 展开$\sin\left( x + \frac{ \pi }{ 3 } \right )$： \[ \sin\left( x + \frac{ \pi }{ 3 } \right ) = \sin x \cos \frac{ \pi }{ 3 } + \cos x \sin \frac{ \pi }{ 3 } = \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \] 2. 展开$\cos\left( x - \frac{ \pi }{ 6 } \right )$： \[ \cos\left( x - \frac{ \pi }{ 6 } \right ) = \cos x \cos \frac{ \pi }{ 6 } + \sin x \sin \frac{ \pi }{ 6 } = \cos x \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } + \sin x \cdot \frac{1}{2} \] 3. 将上述结果代入$f(x)$并合并同类项： \[ \begin{align*} f(x) &= \frac{1}{5} \left( \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \right ) + \left( \cos x \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } + \sin x \cdot \frac{1}{2} \right ) \\ &= \left( \frac{1}{10} \sin x + \frac{ \sqrt{3} }{10} \cos x \right ) + \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \right ) \\ &= \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \right ) \sin x + \left( \frac{ \sqrt{3} }{10} + \frac{ \sqrt{3} }{2 } \right ) \cos x \\ &= \frac{3}{5} \sin x + \frac{3 \sqrt{3} }{5} \cos x \end{align*} \] 4. 将$f(x)$表示为单个正弦函数： 设$A = \frac{3}{5}$，$B = \frac{3 \sqrt{3} }{5}$，则 \[ R = \sqrt{ A^2 + B^2 } = \frac{3}{5} \sqrt{1 + 3} = \frac{6}{5} \] \[ \phi = \arctan\left( \frac{B}{A} \right ) = \arctan\left( \sqrt{3} \right ) = \frac{ \pi }{3 } \] 因此， \[ f(x) = R \sin( x + \phi ) = \frac{6}{5} \sin\left( x + \frac{ \pi }{ 3 } \right ) \] 5. 由此可知，$f(x)$的最大值为： \[ f_{\max} = \frac{6}{5} \] **故正确答案为A。** <eoe> 【答案】 A <eoa> |
A |
| GPT-4o | 【解析】 首先，我们需要找到函数 $f(x)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的最大值。为此，我们需要分析每个三角函数的最大值。 1. 分析 $\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$: - $\sin(x+\frac{\pi}{3})$ 的值域是 $[-1, 1]$。 - 因此 $\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的值域是 $[-\frac{1}{5}, \frac{1}{5}]$。 2. 分析 $\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$: - $\cos(x-\frac{\pi}{6})$ 的值域是 $[-1, 1]$。 3. 将两个部分相加： - 最小值：$-\frac{1}{5} + (-1) = -\frac{6}{5}$。 - 最大值：$\frac{1}{5} + 1 = \frac{6}{5}$。 因此，函数 $f(x)$ 的最大值为 $\frac{6}{5}$。 <eoe> 【答案】 A <eoa> |
['A'] |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 最终结果是sqrt(6)/5 |
['A'] |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是sqrt(26)/5 <eoe> 【答案】 : A <eoa> |
['A'] |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 首先，我们需要找到函数 \\( f(x) = \\frac{1}{5} \\sin \\left(x + \\frac{\\pi}{3}\\right) + \\cos \\left(x - \\frac{\\pi}{6}\\right) \\) 的最大值。\n\n我们可以使用三角函数的和角公式来简化这个表达式。首先，考虑 \\(\\sin \\left(x + \\frac{\\pi}{3}\\right)\\) 和 \\(\\cos \\left(x - \\frac{\\pi}{6}\\right)\\) 的展开：\n\n\\[\n\\sin \\left(x + \\frac{\\pi}{3}\\right) = \\sin x \\cos \\frac{\\pi}{3} + \\cos x \\sin \\frac{\\pi}{3} = \\sin x \\cdot \\frac{1}{2} + \\cos x \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\n\\]\n\n\\[\n\\cos \\left(x - \\frac{\\pi}{6}\\right) = \\cos x \\cos \\frac{\\pi}{6} + \\sin x \\sin \\frac{\\pi}{6} = \\cos x \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\sin x \\cdot \\frac{1}{2}\n\\]\n\n将这些展开式代入原函数 \\( f(x) \\) 中：\n\n\\[\nf(x) = \\frac{1}{5} \\left( \\sin x \\cdot \\frac{1}{2} + \\cos x \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\right) + \\left( \\cos x \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\sin x \\cdot \\frac{1}{2} \\right)\n\\]\n\n合并同类项：\n\n\\[\nf(x) = \\frac{1}{5} \\left( \\frac{1}{2} \\sin x + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cos x \\right) + \\left( \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cos x + \\frac{1}{2} \\sin x \\right)\n\\]\n\n\\[\nf(x) = \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{2} \\sin x + \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cos x + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cos x + \\frac{1}{2} \\sin x\n\\]\n\n\\[\nf(x) = \\frac{1}{10} \\sin x + \\frac{\\sqrt{3}}{10} \\cos x + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cos x + \\frac{1}{2} \\sin x\n\\]\n\n\\[\nf(x) = \\left( \\frac{1}{10} + \\frac{1}{2} \\right) \\sin x + \\left( \\frac{\\sqrt{3}}{10} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\right) \\cos x\n\\]\n\n\\[\nf(x) = \\frac{6}{10} \\sin x + \\frac{6\\sqrt{3}}{10} \\cos x\n\\]\n\n\\[\nf(x) = \\frac{3}{5} \\sin x + \\frac{3\\sqrt{3}}{5} \\cos x\n\\]\n\n为了找到最大值，我们可以将其表示为一个单一的正弦函数的形式。注意到 \\(\\sin x\\) 和 \\(\\cos x\\) 的系数分别是 \\(\\frac{3}{5}\\) 和 \\(\\frac{3\\sqrt{3}}{5}\\)，我们可以将其合并为一个正弦函数：\n\n\\[\nf(x) = \\frac{3}{5} \\left( \\sin x + \\sqrt{3} \\cos x \\right)\n\\]\n\n我们知道 \\(\\sin x + \\sqrt{3} \\cos x\\) 的最大值是 \\(\\sqrt{1^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{1 + 3} = 2\\)，因此：\n\n\\[\nf(x) = \\frac{3}{5} \\cdot 2 = \\frac{6}{5}\n\\]\n\n所以，函数 \\( f(x) \\) 的最大值是 \\(\\frac{6}{5}\\)。\n\n<eoe>\n【答案】: A <eoa>" | ['A'] |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】为了求函数 $f(x)=\\frac{1}{5} \\sin \\left(x+\\frac{\\pi}{3}\\right)+\\cos \\left(x-\\frac{\\pi}{6}\\right)$ 的最大值，我们首先需要认识到 $\\sin$ 和 $\\cos$ 函数的值域都是 $[-1,1]$。这意味着 $\\frac{1}{5} \\sin \\left(x+\\frac{\\pi}{3}\\right)$ 的值域是 $[-\\frac{1}{5},\\frac{1}{5}]$，而 $\\cos \\left(x-\\frac{\\pi}{6}\\right)$ 的值域是 $[-1,1]$。\n\n函数 $f(x)$ 的最大值发生在 $\\frac{1}{5} \\sin \\left(x+\\frac{\\pi}{3}\\right)$ 和 $\\cos \\left(x-\\frac{\\pi}{6}\\right)$ 都取到它们的最大值时。$\\frac{1}{5} \\sin \\left(x+\\frac{\\pi}{3}\\right)$ 的最大值为 $\\frac{1}{5}$，而 $\\cos \\left(x-\\frac{\\pi}{6}\\right)$ 的最大值为 $1$。\n\n因此，$f(x)$ 的最大值为 $\\frac{1}{5} + 1 = \\frac{6}{5}$。\n\n【答案】: A <eoa>" | ['A'] |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们知道正弦函数和余弦函数的最大值都是1，最小值都是-1。对于函数$f(x)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$，我们分别考虑两个部分的最大值。 对于$\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$，最大值为$\frac{1}{5} \times 1 = \frac{1}{5}$。 对于$\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$，最大值为$1$。 因此，函数$f(x)$的最大值为$\frac{1}{5} + 1 = \frac{6}{5}$。 所以，正确答案是A。 |
['A'] |
| doubao | 【解析】：根据三角函数诱导公式：$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha$，可得$\cos(x-\frac{\pi}{6})=\cos((x+\frac{\pi}{3})-\frac{\pi}{2})=\sin(x+\frac{\pi}{3})$，所以$f(x)=\frac{1}{5}\sin(x+\frac{\pi}{3})+\sin(x+\frac{\pi}{3})=\frac{6}{5}\sin(x+\frac{\pi}{3})$，因为正弦函数的值域是$[-1,1]$，所以$f(x)$的最大值为$\frac{6}{5}$。<eoe> 【答案】：A <eoa> |
['A'] |
| minimax | 【解析】 首先，我们知道正弦函数 $\sin(x)$ 和余弦函数 $\cos(x)$ 的最大值都是1，最小值都是-1。 函数 $f(x)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 是两个三角函数的线性组合。由于正弦函数和余弦函数的最大值都是1，所以 $\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的最大值是 $\frac{1}{5}$，$\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的最大值是1。 因此，$f(x)$ 的最大值不会超过 $\frac{1}{5} + 1 = \frac{6}{5}$。 接下来，我们需要确定 $f(x)$ 是否能达到 $\frac{6}{5}$ 这个值。由于 $\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 的周期性，它们可以在不同的相位下取到最大值。但是，由于 $\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的系数是 $\frac{1}{5}$，即使 $\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 取到最大值1，$\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 也只能取到 $\frac{1}{5}$。因此，$f(x)$ 的最大值不可能超过 $\frac{1}{5} + 1 = \frac{6}{5}$。 现在我们需要检查 $f(x)$ 是否能够取到 $\frac{6}{5}$。由于 $\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 的最大值是1，我们可以设 $\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) = 1$ 和 $\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 1$，这样 $f(x)$ 就能达到最大值 $\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 = \frac{6}{5}$。 因此，$f(x)$ 的最大值为 $\frac{6}{5}$。 <eoe> 【答案】: A <eoa> |
['A'] |
| kimi | 【解析】首先，我们需要将函数$f(x)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$化简。为了化简，我们可以使用三角恒等式，将$\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$转换为$\sin$函数的形式。 我们知道$\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$，因为$\cos(\theta) = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$。 所以，$f(x) = \frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) + \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$。 将它们合并为一个正弦函数，我们得到： $f(x) = \frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) + \frac{5}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{6}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$。 正弦函数的最大值是1，所以$f(x)$的最大值是$\frac{6}{5}$。 <eoe> 【答案】: A <eoa> |
['A'] |
| wenxinyiyan | 【解析】 首先，我们将函数$f(x)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$进行化简。 利用三角函数的和差化积公式，我们有： $\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x$， $\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right) = \cos x \cos \frac{\pi}{6} + \sin x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$。 将上述两个表达式代入原函数，得到： $f(x) = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \right)$ $= \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) + \frac{5}{5} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \right)$ $= \frac{6}{5} \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$ $= \frac{6}{5} \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$。 由于$\sin$函数的取值范围为$[-1,1]$，所以$\frac{6}{5} \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$的取值范围为$\left[ -\frac{6}{5}, \frac{6}{5} \right]$。 因此，函数$f(x)$的最大值为$\frac{6}{5}$。 <eoe> 【答案】A <eoa> |
['A'] |
| zhipu | 【解析】 首先，我们需要简化函数 $f(x)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$。 我们知道三角函数的和差公式： \[ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \] \[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \] 应用这些公式，我们可以展开 $f(x)$： \[ \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right) = \cos x \cos \frac{\pi}{6} + \sin x \sin \frac{\pi}{6} = \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin x \cdot \frac{1}{2} \] 将这些代入 $f(x)$： \[ f(x) = \frac{1}{5} \left( \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin x \cdot \frac{1}{2} \right) \] \[ = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \] \[ = \frac{1}{10} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{10} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \] \[ = \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \right) \sin x + \left( \frac{\sqrt{3}}{10} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cos x \] \[ = \frac{6}{10} \sin x + \frac{6\sqrt{3}}{10} \cos x \] \[ = \frac{3}{5} \sin x + \frac{3\sqrt{3}}{5} \cos x \] 我们可以将其写成： \[ f(x) = \frac{3}{5} (\sin x + \sqrt{3} \cos x) \] 为了找到这个函数的最大值，我们注意到 $\sin x + \sqrt{3} \cos x$ 的形式类似于 $R \sin(x + \phi)$ 的形式，其中 $R$ 是振幅。 我们可以找到 $R$： \[ R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \] 所以： \[ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin \left( x + \phi \right) \] 因此： \[ f(x) = \frac{3}{5} \cdot 2 \sin \left( x + \phi \right) = \frac{6}{5} \sin \left( x + \phi \right) \] 由于 $\sin \left( x + \phi \right)$ 的最大值为 1，所以 $f(x)$ 的最大值为： \[ \frac{6}{5} \] <eoe> 【答案】: A <eoa> |
['A'] |
| gpto1 | 【解析】 首先，将$f(x)$展开并合并同类项。 1. 展开$\sin\left( x + \frac{ \pi }{ 3 } \right )$： \[ \sin\left( x + \frac{ \pi }{ 3 } \right ) = \sin x \cos \frac{ \pi }{ 3 } + \cos x \sin \frac{ \pi }{ 3 } = \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \] 2. 展开$\cos\left( x - \frac{ \pi }{ 6 } \right )$： \[ \cos\left( x - \frac{ \pi }{ 6 } \right ) = \cos x \cos \frac{ \pi }{ 6 } + \sin x \sin \frac{ \pi }{ 6 } = \cos x \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } + \sin x \cdot \frac{1}{2} \] 3. 将上述结果代入$f(x)$并合并同类项： \[ \begin{align*} f(x) &= \frac{1}{5} \left( \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \right ) + \left( \cos x \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } + \sin x \cdot \frac{1}{2} \right ) \\ &= \left( \frac{1}{10} \sin x + \frac{ \sqrt{3} }{10} \cos x \right ) + \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \right ) \\ &= \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \right ) \sin x + \left( \frac{ \sqrt{3} }{10} + \frac{ \sqrt{3} }{2 } \right ) \cos x \\ &= \frac{3}{5} \sin x + \frac{3 \sqrt{3} }{5} \cos x \end{align*} \] 4. 将$f(x)$表示为单个正弦函数： 设$A = \frac{3}{5}$，$B = \frac{3 \sqrt{3} }{5}$，则 \[ R = \sqrt{ A^2 + B^2 } = \frac{3}{5} \sqrt{1 + 3} = \frac{6}{5} \] \[ \phi = \arctan\left( \frac{B}{A} \right ) = \arctan\left( \sqrt{3} \right ) = \frac{ \pi }{3 } \] 因此， \[ f(x) = R \sin( x + \phi ) = \frac{6}{5} \sin\left( x + \frac{ \pi }{ 3 } \right ) \] 5. 由此可知，$f(x)$的最大值为： \[ f_{\max} = \frac{6}{5} \] **故正确答案为A。** <eoe> 【答案】 A <eoa> |
A |
| deepseekv3 | 【解析】 我们需要求函数 \( f(x) = \frac{1}{5} \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \) 的最大值。 首先，我们利用三角函数的和角公式来简化表达式。 1. 对 \(\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\) 使用和角公式： \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] 2. 对 \(\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\) 使用和角公式： \[ \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos x \cos \frac{\pi}{6} + \sin x \sin \frac{\pi}{6} = \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin x \cdot \frac{1}{2} \] 将上述结果代入原函数： \[ f(x) = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x\right) \] 合并同类项： \[ f(x) = \left(\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \sin x + \left(\frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cos x \] \[ f(x) = \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{2}\right) \sin x + \left(\frac{\sqrt{3}}{10} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cos x \] \[ f(x) = \frac{3}{5} \sin x + \frac{3\sqrt{3}}{5} \cos x \] 将表达式写成单一正弦函数的形式： \[ f(x) = A \sin x + B \cos x = R \sin(x + \alpha) \] 其中 \( R = \sqrt{A^2 + B^2} \)，且 \( \tan \alpha = \frac{B}{A} \)。 计算 \( R \)： \[ R = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{27}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} \] 因此，函数 \( f(x) \) 的最大值为 \( R \)，即 \( \frac{6}{5} \)。 <eoe> 【答案】 A <eoa> |
A |