金声玉亮2.0模型评测报告

问题

请你做一道数学选择题
请你一步一步思考并将思考过程写在【解析】和<eoe>之间。你将从A，B，C，D中选出正确的答案，并写在【答案】和<eoa>之间。
例如：【答案】: A <eoa>
完整的题目回答的格式如下：
【解析】 ... <eoe>
【答案】 ... <eoa>
请你严格按照上述格式作答。
题目如下：7. (5 分) 在 $\triangle A B C$ 中, $A D$ 为 $B C$ 边上的中线, $E$ 为 $A D$ 的中点, 则 $\overrightarrow{E B}=(\quad)$
A. $\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
B. $\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
C. $\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
D. $\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

答案

模型	模型答案	正确答案
金声玉亮2.0	【解析】在 $\triangle A B C$ 中，$A D$ 为 $B C$ 边上的中线，意味着 $D$ 是 $B C$ 的中点。因此，$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。又因为 $E$ 是 $A D$ 的中点，所以 $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。根据向量的性质，我们可以写出 $\overrightarrow{EB}$ 的表达式。首先，$\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE}$。由于 $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，我们可以进一步将 $\overrightarrow{AD}$ 用 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 表示，即 $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。因此，$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。将 $\overrightarrow{AE}$ 的表达式代入 $\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE}$，得到 $\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。化简得到 $\overrightarrow{EB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。【答案】: A <eoa>	A
deepseekr1	【解析】首先，确定点D为BC的中点，因此D的向量为$\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。E是AD的中点，所以E的向量为$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。向量$\overrightarrow{EB}$等于B的向量减去E的向量，即$\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。对应选项A。 <eoe> 【答案】A <eoa>	A
gpto1	【解析】（1）设点 \( A \) 的位置为原点 \( O \)，则有： \[ \overrightarrow{OA} = \mathbf{0} \] （2）则： \[ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AC} \] （3）因为点 \( D \) 是边 \( BC \) 的中点，所以： \[ \overrightarrow{OD} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} \] （4）点 \( E \) 是线段 \( AD \) 的中点，所以： \[ \overrightarrow{OE} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}}{2} = \frac{\mathbf{0} + \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}}{2} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{4} \] （5）求向量 \( \overrightarrow{EB} \)： \[ \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{AB} - \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{4} \] （6）化简： \[ \overrightarrow{EB} = \left(1 - \frac{1}{4}\right) \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} \] 因此，正确答案是 A。 <eoe> 【答案】A<eoa>	A
GPT-4o	【解析】首先，我们知道 \(AD\) 是 \(BC\) 边上的中线，所以 \(D\) 是 \(BC\) 的中点。接下来，设 \(\overrightarrow{A}\)、\(\overrightarrow{B}\)、\(\overrightarrow{C}\) 分别是点 \(A\)、\(B\)、\(C\) 的位置向量。根据中点的性质，我们可以得到： \[ \overrightarrow{D} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) \] 接着，\(E\) 是 \(AD\) 的中点，所以： \[ \overrightarrow{E} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}) = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{A} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) \right) = \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) \] 然后，我们要求 \(\overrightarrow{E B}\)，即： \[ \overrightarrow{E B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{E} \] 代入 \(\overrightarrow{E}\) 的表达式： \[ \overrightarrow{E B} = \overrightarrow{B} - \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} \overrightarrow{B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{C} \right) \] 整理得到： \[ \overrightarrow{E B} = \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} \] 进一步简化： \[ \overrightarrow{E B} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} \] 将 \(\overrightarrow{B}\) 和 \(\overrightarrow{C}\) 用 \(\overrightarrow{A}\) 和 \(\overrightarrow{B}\) 的向量表示： \[ \overrightarrow{EB} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} \] 所以答案是： \[ \overrightarrow{E B} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} \] 【答案】A <eoa>	['A']
llama3.1-70B-Instruct	【解析】由题意,设B(x_{1},y_{1}),C(x_{2},y_{2}),A(x_{3},y_{3}),则D(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}),E(\frac{x_{1}+x_{2}}{4},\frac{y_{1}+y_{2}}{4})所以\overrightarrow{EB}=(x_{1}-\frac{x_{1}+x_{2}}{4},y_{1}-\frac{y_{1}+y_{2}}{4})=\frac{3}{4}(x_{1}-\frac{x_{1}+x_{2}}{2},y_{1}-\frac{y_{1}+y_{2}}{2})-\frac{1}{4}(x_{2}-\frac{x_{1}+x_{2}}{2},y_{2}-\frac{y_{1}+y_{2}}{2})=\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{4}\overrightarrow{CD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}.. 最终结果是3/4AB-1/4AC	['A']
llama3.1-405B-Instruct	【解析】最终结果是A<eoe> 【答案】: A <eoa>	['A']
DeepSeek-Coder-V2	"【解析】 \n首先，我们需要理解题目中的几何关系。在三角形 \\( \\triangle ABC \\) 中，\\( AD \\) 是 \\( BC \\) 边上的中线，这意味着 \\( D \\) 是 \\( BC \\) 的中点。同时，\\( E \\) 是 \\( AD \\) 的中点。\n\n我们可以用向量来表示这些点。设 \\( \\overrightarrow{A} = \\overrightarrow{0} \\)，则 \\( \\overrightarrow{B} = \\overrightarrow{AB} \\) 和 \\( \\overrightarrow{C} = \\overrightarrow{AC} \\)。\n\n由于 \\( D \\) 是 \\( BC \\) 的中点，我们有：\n\\[ \\overrightarrow{D} = \\frac{\\overrightarrow{B} + \\overrightarrow{C}}{2} = \\frac{\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC}}{2} \\]\n\n接下来，\\( E \\) 是 \\( AD \\) 的中点，因此：\n\\[ \\overrightarrow{E} = \\frac{\\overrightarrow{A} + \\overrightarrow{D}}{2} = \\frac{\\overrightarrow{0} + \\frac{\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC}}{2}}{2} = \\frac{\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC}}{4} \\]\n\n现在我们需要求 \\( \\overrightarrow{EB} \\)。根据向量的减法，我们有：\n\\[ \\overrightarrow{EB} = \\overrightarrow{B} - \\overrightarrow{E} = \\overrightarrow{AB} - \\frac{\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC}}{4} \\]\n\n将上式展开并化简：\n\\[ \\overrightarrow{EB} = \\overrightarrow{AB} - \\frac{\\overrightarrow{AB}}{4} - \\frac{\\overrightarrow{AC}}{4} = \\frac{4\\overrightarrow{AB}}{4} - \\frac{\\overrightarrow{AB}}{4} - \\frac{\\overrightarrow{AC}}{4} = \\frac{3\\overrightarrow{AB}}{4} - \\frac{\\overrightarrow{AC}}{4} \\]\n\n因此，最终的表达式为：\n\\[ \\overrightarrow{EB} = \\frac{3}{4} \\overrightarrow{AB} - \\frac{1}{4} \\overrightarrow{AC} \\]\n\n根据选项，我们可以看到这与选项 A 完全一致。\n<eoe>\n【答案】: A <eoa>"	['A']
Qwen2-72B-Instruct	"【解析】\n由题意知道，$E$为$AD$的中点，$AD$为$BC$边上的中线。根据向量的几何意义和向量的中点公式，我们可以得到以下关系：\n\n首先，根据向量的中点公式，有\n\\[\n\\overrightarrow{AD} = \\frac{1}{2} (\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC})\n\\]\n因为$E$为$AD$的中点，所以\n\\[\n\\overrightarrow{AE} = \\frac{1}{2} \\overrightarrow{AD} = \\frac{1}{4} (\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC})\n\\]\n接下来，我们来表示$\\overrightarrow{EB}$。由于$\\overrightarrow{EB} = \\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AE}$，代入$\\overrightarrow{AE}$的值，得到\n\\[\n\\overrightarrow{EB} = \\overrightarrow{AB} - \\frac{1}{4} (\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC})\n\\]\n进行化简，得到\n\\[\n\\overrightarrow{EB} = \\frac{3}{4} \\overrightarrow{AB} - \\frac{1}{4} \\overrightarrow{AC}\n\\]\n所以选项A是正确的。\n<eoe>\n\n【答案】: A <eoa>"	['A']
baichuan4	【解析】首先，我们知道在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，这意味着D是BC的中点，因此BD = DC。由于E是AD的中点，我们可以说AE = ED。现在，我们需要用向量表示EB。向量EB可以表示为向量AB减去向量AE。由于E是AD的中点，向量AE是向量AD的一半。向量AD可以用向量AB减去向量AC来表示，因为它们都在同一条直线上。所以，我们有： $\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE}$ 由于E是AD的中点，我们有： $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ 将$\overrightarrow{AD}$替换为$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$，我们得到： $\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})$ 这进一步简化为： $\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{EB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ 现在，我们将这个表达式与选项进行比较，以找到匹配项。我们可以看到，选项D与我们的表达式相符： D. $\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 然而，我们的计算结果是$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，这意味着没有一个选项完全匹配我们的结果。似乎我们的计算与预期不符。让我们重新审视问题并检查我们的计算。我们注意到，由于D是BC的中点，向量AD实际上是向量AB和向量AC的平均值，因此： $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ 由于E是AD的中点，我们之前正确地得出： $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ 将$\overrightarrow{AD}$的表达式代入，我们得到： $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC})$ $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ 现在，我们再次计算$\overrightarrow{EB}$： $\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE}$ $\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - (\frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC})$ $\overrightarrow{EB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ 这与选项A相匹配。看来我们最初的计算有误。正确的表达式应该是： A. $\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 【答案】: A <eoa>	['A']
doubao	【解析】：因为$E$是$AD$的中点，所以$\overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{ED}$。又因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，那么$\overrightarrow{ED}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。所以$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。<eoe> 【答案】：A <eoa>	['A']
minimax	【解析】首先，我们知道中线的性质是将对边分为两段，这两段的长度是相等的。在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，所以BD=DC。接下来，我们考虑向量$\overrightarrow{EB}$。由于E是AD的中点，我们可以将$\overrightarrow{EB}$表示为从E到B的向量。根据向量的加法，我们可以将$\overrightarrow{EB}$表示为从E到A的向量加上从A到B的向量，即$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}$。由于E是AD的中点，$\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ED}$。而$\overrightarrow{ED}$可以表示为从E到D的向量，即$\overrightarrow{ED}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。因为AD是BC的中线，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$。由于BD=DC，我们可以将$\overrightarrow{AD}$表示为$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$。现在我们可以将$\overrightarrow{EB}$表示为： $$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{AB}$$ 由于$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，我们可以将$\overrightarrow{EB}$进一步表示为： $$\overrightarrow{EB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}))+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$$ 整理得到： $$\overrightarrow{EB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$$ 因此，正确答案是C。 <eoe> 【答案】: C <eoa>	['A']
kimi	【解析】首先，我们知道在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，这意味着D是BC的中点。根据向量的性质，我们可以得到向量AD是向量AB和向量AC的和的一半，即： \[ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] 接下来，E是AD的中点，因此向量AE是向量AD的一半，即： \[ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] 现在，我们要求的是向量EB，根据向量加法的交换律，我们可以得到： \[ \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] 将向量AB的系数合并，我们得到： \[ \overrightarrow{EB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} \] 因此，我们可以看到选项A与我们计算的结果相符。 <eoe> 【答案】A <eoa>	['A']
wenxinyiyan	【解析】首先，根据向量的平行四边形法则，有 $\overrightarrow{EB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED})$。然后，由于 $E$ 是 $AD$ 的中点，所以 $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。再次应用向量的平行四边形法则，有 $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。将 $\overrightarrow{AD}$ 的表达式代入 $\overrightarrow{ED}$ 的表达式，得到 $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。最后，将 $\overrightarrow{ED}$ 的表达式代入 $\overrightarrow{EB}$ 的表达式，得到 $\overrightarrow{EB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}) = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。 <eoe> 【答案】C <eoa>	['A']
zhipu	【解析】首先，我们明确题目中的几何关系和向量表示： 1. \(AD\) 是 \(BC\) 边上的中线，意味着 \(D\) 是 \(B\) 和 \(C\) 的中点。因此，向量 \(\overrightarrow{AD}\) 可以表示为： \[ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] 2. \(E\) 是 \(AD\) 的中点，所以向量 \(\overrightarrow{AE}\) 是 \(\overrightarrow{AD}\) 的一半： \[ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \right) = \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] 3. 我们需要求的是 \(\overrightarrow{EB}\)。根据向量的加减法，有： \[ \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{B} = (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AE}) - \overrightarrow{B} \] 由于 \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\)，代入上式： \[ \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{B} \] 进一步简化，注意到 \(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = -\overrightarrow{AB}\)，所以： \[ \overrightarrow{EB} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] 分配和合并同类项： \[ \overrightarrow{EB} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} \] 也就是： \[ \overrightarrow{EB} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} \] 这与选项 B 的表达式一致。 <eoe> 【答案】: B <eoa>	['A']
gpto1	【解析】（1）设点 \( A \) 的位置为原点 \( O \)，则有： \[ \overrightarrow{OA} = \mathbf{0} \] （2）则： \[ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AC} \] （3）因为点 \( D \) 是边 \( BC \) 的中点，所以： \[ \overrightarrow{OD} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} \] （4）点 \( E \) 是线段 \( AD \) 的中点，所以： \[ \overrightarrow{OE} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}}{2} = \frac{\mathbf{0} + \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}}{2} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{4} \] （5）求向量 \( \overrightarrow{EB} \)： \[ \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{AB} - \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{4} \] （6）化简： \[ \overrightarrow{EB} = \left(1 - \frac{1}{4}\right) \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} \] 因此，正确答案是 A。 <eoe> 【答案】A<eoa>	A
deepseekv3	【解析】首先，我们需要理解题目中的几何关系。在三角形 \( ABC \) 中，\( AD \) 是边 \( BC \) 上的中线，意味着 \( D \) 是 \( BC \) 的中点。因此，根据中点公式，\( D \) 的向量可以表示为： \[ \overrightarrow{D} = \frac{1}{2} \overrightarrow{B} + \frac{1}{2} \overrightarrow{C} \] 接下来，\( E \) 是 \( AD \) 的中点，因此 \( E \) 的向量可以表示为： \[ \overrightarrow{E} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{1}{2} \overrightarrow{D} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{B} + \frac{1}{2} \overrightarrow{C} \right) = \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} \overrightarrow{B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{C} \] 现在，我们需要求向量 \( \overrightarrow{EB} \)，即从 \( E \) 指向 \( B \) 的向量。根据向量的定义： \[ \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{E} = \overrightarrow{B} - \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} \overrightarrow{B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{C} \right) = \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} \] 简化上式： \[ \overrightarrow{EB} = \left(1 - \frac{1}{4}\right) \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} \] 注意到 \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \) 和 \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \)，我们可以将 \( \overrightarrow{EB} \) 用 \( \overrightarrow{AB} \) 和 \( \overrightarrow{AC} \) 表示： \[ \overrightarrow{EB} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} = \frac{3}{4} (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB}) - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AC}) \] 简化上式： \[ \overrightarrow{EB} = \frac{3}{4} \overrightarrow{A} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} = \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \overrightarrow{A} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} \] 进一步简化： \[ \overrightarrow{EB} = 0 \overrightarrow{A} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} \] 因此，正确答案是 A。 <eoe> 【答案】A <eoa>	A

模型

模型答案

正确答案

金声玉亮2.0

【解析】
在 $\triangle A B C$ 中，$A D$ 为 $B C$ 边上的中线，意味着 $D$ 是 $B C$ 的中点。因此，$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。又因为 $E$ 是 $A D$ 的中点，所以 $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。

根据向量的性质，我们可以写出 $\overrightarrow{EB}$ 的表达式。首先，$\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE}$。由于 $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，我们可以进一步将 $\overrightarrow{AD}$ 用 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 表示，即 $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。

因此，$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。

将 $\overrightarrow{AE}$ 的表达式代入 $\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE}$，得到 $\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。

化简得到 $\overrightarrow{EB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。

【答案】: A <eoa>

deepseekr1

【解析】
首先，确定点D为BC的中点，因此D的向量为$\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。E是AD的中点，所以E的向量为$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。向量$\overrightarrow{EB}$等于B的向量减去E的向量，即$\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。对应选项A。
<eoe>
【答案】A <eoa>

gpto1

【解析】
（1）设点 $ A $ 的位置为原点 $ O $，则有：
\[
\overrightarrow{OA} = \mathbf{0}
\]

（2）则：
\[
\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AC}
\]

（3）因为点 $ D $ 是边 $ BC $ 的中点，所以：
\[
\overrightarrow{OD} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}
\]

（4）点 $ E $ 是线段 $ AD $ 的中点，所以：
\[
\overrightarrow{OE} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}}{2} = \frac{\mathbf{0} + \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}}{2} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{4}
\]

（5）求向量 $ \overrightarrow{EB} $：
\[
\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{AB} - \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{4}
\]

（6）化简：
\[
\overrightarrow{EB} = \left(1 - \frac{1}{4}\right) \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}
\]

因此，正确答案是 A。

<eoe>

【答案】A<eoa>

GPT-4o

【解析】
首先，我们知道 $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，所以 $D$ 是 $BC$ 的中点。接下来，设 $\overrightarrow{A}$、$\overrightarrow{B}$、$\overrightarrow{C}$ 分别是点 $A$、$B$、$C$ 的位置向量。

根据中点的性质，我们可以得到：
\[
\overrightarrow{D} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})
\]

接着，$E$ 是 $AD$ 的中点，所以：
\[
\overrightarrow{E} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}) = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{A} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) \right) = \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})
\]

然后，我们要求 $\overrightarrow{E B}$，即：
\[
\overrightarrow{E B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{E}
\]

代入 $\overrightarrow{E}$ 的表达式：
\[
\overrightarrow{E B} = \overrightarrow{B} - \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} \overrightarrow{B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{C} \right)
\]

整理得到：
\[
\overrightarrow{E B} = \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C}
\]

进一步简化：
\[
\overrightarrow{E B} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C}
\]

将 $\overrightarrow{B}$ 和 $\overrightarrow{C}$ 用 $\overrightarrow{A}$ 和 $\overrightarrow{B}$ 的向量表示：
\[
\overrightarrow{EB} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C}
\]

所以答案是：
\[
\overrightarrow{E B} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}
\]

【答案】A <eoa>

['A']

llama3.1-70B-Instruct

【解析】
由题意,设B(x_{1},y_{1}),C(x_{2},y_{2}),A(x_{3},y_{3}),则D(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}),E(\frac{x_{1}+x_{2}}{4},\frac{y_{1}+y_{2}}{4})所以\overrightarrow{EB}=(x_{1}-\frac{x_{1}+x_{2}}{4},y_{1}-\frac{y_{1}+y_{2}}{4})=\frac{3}{4}(x_{1}-\frac{x_{1}+x_{2}}{2},y_{1}-\frac{y_{1}+y_{2}}{2})-\frac{1}{4}(x_{2}-\frac{x_{1}+x_{2}}{2},y_{2}-\frac{y_{1}+y_{2}}{2})=\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{4}\overrightarrow{CD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}.. 最终结果是3/4*AB-1/4*AC

['A']

llama3.1-405B-Instruct

【解析】最终结果是A<eoe>
【答案】: A <eoa>

['A']

DeepSeek-Coder-V2

"【解析】 \n首先，我们需要理解题目中的几何关系。在三角形 \$ \\triangle ABC \$ 中，\$ AD \$ 是 \$ BC \$ 边上的中线，这意味着 \$ D \$ 是 \$ BC \$ 的中点。同时，\$ E \$ 是 \$ AD \$ 的中点。\n\n我们可以用向量来表示这些点。设 \$ \\overrightarrow{A} = \\overrightarrow{0} \$，则 \$ \\overrightarrow{B} = \\overrightarrow{AB} \$ 和 \$ \\overrightarrow{C} = \\overrightarrow{AC} \$。\n\n由于 \$ D \$ 是 \$ BC \$ 的中点，我们有：\n\\[ \\overrightarrow{D} = \\frac{\\overrightarrow{B} + \\overrightarrow{C}}{2} = \\frac{\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC}}{2} \\]\n\n接下来，\$ E \$ 是 \$ AD \$ 的中点，因此：\n\\[ \\overrightarrow{E} = \\frac{\\overrightarrow{A} + \\overrightarrow{D}}{2} = \\frac{\\overrightarrow{0} + \\frac{\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC}}{2}}{2} = \\frac{\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC}}{4} \\]\n\n现在我们需要求 \$ \\overrightarrow{EB} \$。根据向量的减法，我们有：\n\\[ \\overrightarrow{EB} = \\overrightarrow{B} - \\overrightarrow{E} = \\overrightarrow{AB} - \\frac{\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC}}{4} \\]\n\n将上式展开并化简：\n\\[ \\overrightarrow{EB} = \\overrightarrow{AB} - \\frac{\\overrightarrow{AB}}{4} - \\frac{\\overrightarrow{AC}}{4} = \\frac{4\\overrightarrow{AB}}{4} - \\frac{\\overrightarrow{AB}}{4} - \\frac{\\overrightarrow{AC}}{4} = \\frac{3\\overrightarrow{AB}}{4} - \\frac{\\overrightarrow{AC}}{4} \\]\n\n因此，最终的表达式为：\n\\[ \\overrightarrow{EB} = \\frac{3}{4} \\overrightarrow{AB} - \\frac{1}{4} \\overrightarrow{AC} \\]\n\n根据选项，我们可以看到这与选项 A 完全一致。\n<eoe>\n【答案】: A <eoa>"

['A']

Qwen2-72B-Instruct

"【解析】\n由题意知道，$E$为$AD$的中点，$AD$为$BC$边上的中线。根据向量的几何意义和向量的中点公式，我们可以得到以下关系：\n\n首先，根据向量的中点公式，有\n\\[\n\\overrightarrow{AD} = \\frac{1}{2} (\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC})\n\\]\n因为$E$为$AD$的中点，所以\n\\[\n\\overrightarrow{AE} = \\frac{1}{2} \\overrightarrow{AD} = \\frac{1}{4} (\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC})\n\\]\n接下来，我们来表示$\\overrightarrow{EB}$。由于$\\overrightarrow{EB} = \\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AE}$，代入$\\overrightarrow{AE}$的值，得到\n\\[\n\\overrightarrow{EB} = \\overrightarrow{AB} - \\frac{1}{4} (\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AC})\n\\]\n进行化简，得到\n\\[\n\\overrightarrow{EB} = \\frac{3}{4} \\overrightarrow{AB} - \\frac{1}{4} \\overrightarrow{AC}\n\\]\n所以选项A是正确的。\n<eoe>\n\n【答案】: A <eoa>"

['A']

baichuan4

【解析】首先，我们知道在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，这意味着D是BC的中点，因此BD = DC。由于E是AD的中点，我们可以说AE = ED。现在，我们需要用向量表示EB。

向量EB可以表示为向量AB减去向量AE。由于E是AD的中点，向量AE是向量AD的一半。向量AD可以用向量AB减去向量AC来表示，因为它们都在同一条直线上。所以，我们有：

$\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE}$

由于E是AD的中点，我们有：

$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

将$\overrightarrow{AD}$替换为$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$，我们得到：

$\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})$

这进一步简化为：

$\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{EB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

现在，我们将这个表达式与选项进行比较，以找到匹配项。我们可以看到，选项D与我们的表达式相符：

D. $\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

然而，我们的计算结果是$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，这意味着没有一个选项完全匹配我们的结果。似乎我们的计算与预期不符。让我们重新审视问题并检查我们的计算。

我们注意到，由于D是BC的中点，向量AD实际上是向量AB和向量AC的平均值，因此：

$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

由于E是AD的中点，我们之前正确地得出：

$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

将$\overrightarrow{AD}$的表达式代入，我们得到：

$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

现在，我们再次计算$\overrightarrow{EB}$：

$\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE}$

$\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - (\frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{EB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

这与选项A相匹配。看来我们最初的计算有误。正确的表达式应该是：

A. $\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

【答案】: A <eoa>

['A']

doubao

【解析】：因为$E$是$AD$的中点，所以$\overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{ED}$。又因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，那么$\overrightarrow{ED}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。所以$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。<eoe>
【答案】：A <eoa>

['A']

minimax

【解析】
首先，我们知道中线的性质是将对边分为两段，这两段的长度是相等的。在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，所以BD=DC。

接下来，我们考虑向量$\overrightarrow{EB}$。由于E是AD的中点，我们可以将$\overrightarrow{EB}$表示为从E到B的向量。根据向量的加法，我们可以将$\overrightarrow{EB}$表示为从E到A的向量加上从A到B的向量，即$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}$。

由于E是AD的中点，$\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ED}$。而$\overrightarrow{ED}$可以表示为从E到D的向量，即$\overrightarrow{ED}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。因为AD是BC的中线，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$。由于BD=DC，我们可以将$\overrightarrow{AD}$表示为$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$。

现在我们可以将$\overrightarrow{EB}$表示为：
$$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{AB}$$

由于$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，我们可以将$\overrightarrow{EB}$进一步表示为：
$$\overrightarrow{EB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}))+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$$

整理得到：
$$\overrightarrow{EB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$$

因此，正确答案是C。
<eoe>
【答案】: C <eoa>

['A']

kimi

【解析】首先，我们知道在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，这意味着D是BC的中点。根据向量的性质，我们可以得到向量AD是向量AB和向量AC的和的一半，即：

\[
\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})
\]

接下来，E是AD的中点，因此向量AE是向量AD的一半，即：

\[
\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})
\]

现在，我们要求的是向量EB，根据向量加法的交换律，我们可以得到：

\[
\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})
\]

将向量AB的系数合并，我们得到：

\[
\overrightarrow{EB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}
\]

因此，我们可以看到选项A与我们计算的结果相符。

<eoe>
【答案】A <eoa>

['A']

wenxinyiyan

【解析】
首先，根据向量的平行四边形法则，有 $\overrightarrow{EB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED})$。
然后，由于 $E$ 是 $AD$ 的中点，所以 $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。
再次应用向量的平行四边形法则，有 $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。
将 $\overrightarrow{AD}$ 的表达式代入 $\overrightarrow{ED}$ 的表达式，得到 $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。
最后，将 $\overrightarrow{ED}$ 的表达式代入 $\overrightarrow{EB}$ 的表达式，得到 $\overrightarrow{EB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}) = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。

<eoe>
【答案】C
<eoa>

['A']

zhipu

【解析】
首先，我们明确题目中的几何关系和向量表示：

1. $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，意味着 $D$ 是 $B$ 和 $C$ 的中点。因此，向量 $\overrightarrow{AD}$ 可以表示为：
\[
\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})
\]

2. $E$ 是 $AD$ 的中点，所以向量 $\overrightarrow{AE}$ 是 $\overrightarrow{AD}$ 的一半：
\[
\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \right) = \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})
\]

3. 我们需要求的是 $\overrightarrow{EB}$。根据向量的加减法，有：
\[
\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{B} = (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AE}) - \overrightarrow{B}
\]
由于 $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$，代入上式：
\[
\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{B}
\]
进一步简化，注意到 $\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = -\overrightarrow{AB}$，所以：
\[
\overrightarrow{EB} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})
\]
分配和合并同类项：
\[
\overrightarrow{EB} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}
\]
也就是：
\[
\overrightarrow{EB} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4} \overrightarrow{AB}
\]
这与选项 B 的表达式一致。

<eoe>
【答案】: B <eoa>

['A']

gpto1

deepseekv3

【解析】
首先，我们需要理解题目中的几何关系。在三角形 $ ABC $ 中，$ AD $ 是边 $ BC $ 上的中线，意味着 $ D $ 是 $ BC $ 的中点。因此，根据中点公式，$ D $ 的向量可以表示为：
\[
\overrightarrow{D} = \frac{1}{2} \overrightarrow{B} + \frac{1}{2} \overrightarrow{C}
\]
接下来，$ E $ 是 $ AD $ 的中点，因此 $ E $ 的向量可以表示为：
\[
\overrightarrow{E} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{1}{2} \overrightarrow{D} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{B} + \frac{1}{2} \overrightarrow{C} \right) = \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} \overrightarrow{B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{C}
\]
现在，我们需要求向量 $ \overrightarrow{EB} $，即从 $ E $ 指向 $ B $ 的向量。根据向量的定义：
\[
\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{E} = \overrightarrow{B} - \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} \overrightarrow{B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{C} \right) = \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C}
\]
简化上式：
\[
\overrightarrow{EB} = \left(1 - \frac{1}{4}\right) \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C}
\]
注意到 $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} $ 和 $ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} $，我们可以将 $ \overrightarrow{EB} $ 用 $ \overrightarrow{AB} $ 和 $ \overrightarrow{AC} $ 表示：
\[
\overrightarrow{EB} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{C} = \frac{3}{4} (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB}) - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AC})
\]
简化上式：
\[
\overrightarrow{EB} = \frac{3}{4} \overrightarrow{A} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{A} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} = \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \overrightarrow{A} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}
\]
进一步简化：
\[
\overrightarrow{EB} = 0 \overrightarrow{A} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}
\]
因此，正确答案是 A。
<eoe>
【答案】A <eoa>