| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 首先，我们找出直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2px$ 的交点 $D$ 和 $E$。将 $x=2$ 代入抛物线方程中，得到 $y^{2}=4p$。因此，$y=\pm\sqrt{4p}=\pm2\sqrt{p}$。所以，交点 $D$ 和 $E$ 的坐标分别为 $(2, 2\sqrt{p})$ 和 $(2, -2\sqrt{p})$。 接下来，我们利用条件 $OD \perp OE$。向量 $OD$ 和 $OE$ 的坐标分别为 $(2, 2\sqrt{p})$ 和 $(2, -2\sqrt{p})$。两个向量垂直的条件是它们的点积为零，即 $OD \cdot OE = 0$。计算点积得到 $4 - 4p = 0$，从而解得 $p=1$。 抛物线 $y^{2}=2px$ 的焦点坐标为 $(\frac{p}{2}, 0)$。将 $p=1$ 代入，得到焦点坐标为 $(\frac{1}{2}, 0)$。 【答案】: B. $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ <eoa> |
B |
| deepseekr1 | 【解析】 将x=2代入抛物线方程得到y²=4p，解得D(2, 2√p)和E(2, -2√p)。向量OD=(2,2√p)，OE=(2,-2√p)。由于OD⊥OE，其点积为0：2×2 + (2√p)(-2√p) =4-4p=0，解得p=1。抛物线焦点坐标为(p/2,0)，即(1/2,0)。选项B正确。 <eoe> 【答案】 B <eoa> |
B |
| gpto1 | 【解析】 首先，直线 $x=2$ 与抛物线 $y^2=2px$ 相交于点 $D$ 和 $E$。将 $x=2$ 代入抛物线方程，得到： $$ y^2 = 2p \times 2 \\ y^2 = 4p $$ 因此，$y = \pm 2\sqrt{p}$。 所以，点 $D(2, 2\sqrt{p})$，点 $E(2, -2\sqrt{p})$。 向量 $\vec{OD} = (2, 2\sqrt{p})$，向量 $\vec{OE} = (2, -2\sqrt{p})$。 根据题意，$OD \perp OE$，则有向量内积为零： $$ \vec{OD} \cdot \vec{OE} = 0 $$ 计算内积： $$ \vec{OD} \cdot \vec{OE} = (2)(2) + (2\sqrt{p})(-2\sqrt{p}) = 4 - 4p $$ 令内积等于零： $$ 4 - 4p = 0 $$ 解得： $$ 4p = 4 \\ p = 1 $$ 抛物线的焦点坐标对于标准形式 $y^2 = 2px$ 是 $\left( \dfrac{p}{2}, 0 \right)$。 因此，焦点坐标为： $$ \left( \dfrac{1}{2}, 0 \right) $$ <eoe> 【答案】B <eoa> |
B |
| GPT-4o | 【解析】 1. 直线 \(x = 2\) 与抛物线 \(C: y^2 = 2px\) 相交，我们代入 \(x = 2\) 到抛物线方程中，得到： \[ y^2 = 2p \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 4p \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{4p} = \pm 2\sqrt{p} \] 因此，交点 \(D\) 和 \(E\) 的坐标为 \((2, 2\sqrt{p})\) 和 \((2, -2\sqrt{p})\)。 2. 现在我们考虑 \(OD\) 和 \(OE\) 是否垂直。因为 \(O\) 是原点 \((0,0)\)，所以 \(OD\) 的斜率为： \[ \text{斜率}_{OD} = \frac{2\sqrt{p} - 0}{2 - 0} = \frac{2\sqrt{p}}{2} = \sqrt{p} \] 类似地，\(OE\) 的斜率为： \[ \text{斜率}_{OE} = \frac{-2\sqrt{p} - 0}{2 - 0} = \frac{-2\sqrt{p}}{2} = -\sqrt{p} \] 3. 由于 \(OD\) 和 \(OE\) 垂直，根据斜率乘积为-1的性质，我们有： \[ \sqrt{p} \cdot (-\sqrt{p}) = -1 \quad \Rightarrow \quad -p = -1 \quad \Rightarrow \quad p = 1 \] 4. 焦点坐标计算：抛物线 \(y^2 = 2px\) 的焦点坐标是 \((\frac{p}{2}, 0)\)。因此我们可以得到： \[ \text{焦点坐标} = \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \] 【答案】B <eoa> |
['B'] |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 由题意,设D(2,y_{1}),E(2,y_{2}),则y_{1}y_{2}=-4p,由OD\botOE,得y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=16,即y_{1}^{2}+\frac{16}{y_{1}^{2}}=16,解得y_{1}^{2}=4,即p=1,所以C的焦点坐标为(1,0).<eoe>【答案】: C <eoa> |
['B'] |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是(1,0) <eoe> 【答案】 C <eoa> |
['B'] |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】\n首先，我们需要找到直线 \\( x = 2 \\) 与抛物线 \\( y^2 = 2px \\) 的交点。将 \\( x = 2 \\) 代入抛物线方程，得到：\n\\[ y^2 = 2p \\cdot 2 \\]\n\\[ y^2 = 4p \\]\n因此，交点 \\( D \\) 和 \\( E \\) 的坐标分别为 \\( (2, \\sqrt{4p}) \\) 和 \\( (2, -\\sqrt{4p}) \\)。\n\n接下来，我们需要验证 \\( OD \\perp OE \\)。点 \\( O \\) 是原点 \\( (0, 0) \\)，点 \\( D \\) 的坐标是 \\( (2, \\sqrt{4p}) \\)，点 \\( E \\) 的坐标是 \\( (2, -\\sqrt{4p}) \\)。\n\n向量 \\( \\overrightarrow{OD} \\) 和 \\( \\overrightarrow{OE} \\) 分别为：\n\\[ \\overrightarrow{OD} = (2, \\sqrt{4p}) \\]\n\\[ \\overrightarrow{OE} = (2, -\\sqrt{4p}) \\]\n\n向量 \\( \\overrightarrow{OD} \\) 和 \\( \\overrightarrow{OE} \\) 的点积为：\n\\[ \\overrightarrow{OD} \\cdot \\overrightarrow{OE} = 2 \\cdot 2 + \\sqrt{4p} \\cdot (-\\sqrt{4p}) \\]\n\\[ = 4 - 4p \\]\n\n为了使 \\( OD \\perp OE \\)，点积必须为零：\n\\[ 4 - 4p = 0 \\]\n\\[ 4p = 4 \\]\n\\[ p = 1 \\]\n\n现在我们知道 \\( p = 1 \\)，所以抛物线的方程为 \\( y^2 = 2x \\)。抛物线的焦点坐标为 \\( \\left( \\frac{p}{2}, 0 \\right) \\)，即：\n\\[ \\left( \\frac{1}{2}, 0 \\right) \\]\n\n因此，抛物线 \\( y^2 = 2x \\) 的焦点坐标为 \\( \\left( \\frac{1}{2}, 0 \\right) \\)。\n<eoe>\n【答案】: B <eoa>" | ['B'] |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】由题意知，直线$x=2$与抛物线$C: y^{2}=2px$交于$D, E$两点，由于$x=2$是垂直于$x$轴的直线，故交点的$x$坐标为2。将$x=2$代入抛物线方程得到$y^{2}=4p$，从而得到$y=\\pm2\\sqrt{p}$。因此，$D$和$E$两点的坐标可以表示为$(2, 2\\sqrt{p})$和$(2, -2\\sqrt{p})$。\n\n由于$OD\\perp OE$，即$\\overrightarrow{OD}\\cdot\\overrightarrow{OE}=0$。计算$\\overrightarrow{OD}\\cdot\\overrightarrow{OE}$，得到$(2, 2\\sqrt{p})\\cdot(2, -2\\sqrt{p})=4-4p=0$。解得$p=1$。\n\n抛物线$y^{2}=2px$的焦点坐标为$(\\frac{p}{2}, 0)$，将$p=1$代入，得到焦点坐标为$(\\frac{1}{2}, 0)$。\n\n【答案】: B. $\\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)$ <eoa>" | ['B'] |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们知道抛物线 $C: y^{2}=2px$ 的焦点坐标是 $(\frac{p}{2}, 0)$。直线 $x=2$ 与抛物线交于 $D, E$ 两点，说明这两点的横坐标都是 2。将 $x=2$ 代入抛物线方程得到 $y^{2}=4p$，所以 $y=\pm 2\sqrt{p}$。因此，$D, E$ 两点的坐标分别是 $(2, 2\sqrt{p})$ 和 $(2, -2\sqrt{p})$。 由于 $OD \perp OE$，根据直角三角形的性质，斜率之积应该等于 -1。$OD$ 的斜率是 $\frac{2\sqrt{p}}{2}=\sqrt{p}$，$OE$ 的斜率是 $\frac{-2\sqrt{p}}{2}=-\sqrt{p}$。两者乘积确实是 -1，满足垂直条件。 接下来，我们需要找到 $p$ 的值来确定焦点坐标。由于 $D, E$ 在抛物线上，且 $OD \perp OE$，根据抛物线的对称性质，$OD$ 和 $OE$ 的中点应该在 $x$ 轴上，且这个中点的横坐标就是抛物线焦点的横坐标。$D, E$ 的中点横坐标是 2，所以抛物线焦点的横坐标也是 2。 因此，我们有 $\frac{p}{2}=2$，解得 $p=4$。所以焦点坐标是 $(2, 0)$。 【答案】: D <eoa> |
['B'] |
| doubao | 【解析】：把$x=2$代入抛物线方程$y^{2}=2px$可得$y^{2}=4p$，则$y=\pm 2\sqrt{p}$，所以$D(2,2\sqrt{p})$，$E(2,-2\sqrt{p})$或$D(2,-2\sqrt{p})$，$E(2,2\sqrt{p})$。所以$\overrightarrow{OD}=(2,2\sqrt{p})$，$\overrightarrow{OE}=(2,-2\sqrt{p})$或$\overrightarrow{OD}=(2,-2\sqrt{p})$，$\overrightarrow{OE}=(2,2\sqrt{p})$。因为$OD\perp OE$，所以$\overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{OE}=0$，即$2\times2+2\sqrt{p}\times(-2\sqrt{p})=0$或$2\times2+(-2\sqrt{p})\times2\sqrt{p}=0$，$4-4p=0$，$p=1$。则抛物线方程为$y^{2}=2x$，焦点坐标为$(\frac{1}{2},0)$。<eoe> 【答案】：B <eoa> |
['B'] |
| minimax | 【解析】 首先，我们知道抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 的焦点坐标是 $(\frac{p}{2}, 0)$。 由于直线 $x=2$ 与抛物线相交，我们可以将 $x=2$ 代入抛物线方程中，得到交点的 $y$ 坐标满足的方程： $$y^{2} = 2p \cdot 2 = 4p$$ 因此，交点 $D$ 和 $E$ 的 $y$ 坐标分别是 $\sqrt{4p}$ 和 $-\sqrt{4p}$。 由于 $OD \perp OE$，即 $OD$ 和 $OE$ 是垂直的，我们可以利用勾股定理来求解 $p$ 的值。$OD$ 和 $OE$ 的长度分别是 $\sqrt{4p}$，所以 $OD^2 + OE^2$ 应该等于 $O$ 到直线 $x=2$ 的距离的平方，即 $2^2$。 所以我们有： $$OD^2 + OE^2 = (\sqrt{4p})^2 + (-\sqrt{4p})^2 = 4p + 4p = 8p = 2^2 = 4$$ 解这个方程得到： $$8p = 4$$ $$p = \frac{1}{2}$$ 因此，抛物线 $C$ 的焦点坐标是 $(\frac{p}{2}, 0)$，将 $p = \frac{1}{2}$ 代入得到焦点坐标为 $(\frac{1}{4}, 0)$。 所以正确答案是 A。 <eoe> 【答案】: A <eoa> |
['B'] |
| kimi | 【解析】首先，我们需要找到抛物线$C: y^2 = 2px$与直线$x=2$的交点$D$和$E$。将$x=2$代入抛物线方程，得到$y^2 = 4p$。解得$y = \pm 2\sqrt{p}$。 所以，交点$D$和$E$的坐标分别为$(2, 2\sqrt{p})$和$(2, -2\sqrt{p})$。 接下来，我们需要利用条件$OD \perp OE$。根据向量垂直的性质，两个向量的点积为0。设$O$为原点$(0,0)$，则向量$OD$和$OE$分别为$(2, 2\sqrt{p})$和$(2, -2\sqrt{p})$。 计算向量$OD$和$OE$的点积： $$OD \cdot OE = (2)(2) + (2\sqrt{p})(-2\sqrt{p}) = 4 - 4p = 0$$ 解得$p = 1$。 抛物线$C$的焦点坐标为$(\frac{p}{2}, 0)$。将$p = 1$代入，得到焦点坐标为$(\frac{1}{2}, 0)$。 <eoe> 【答案】B <eoa> |
['B'] |
| wenxinyiyan | 【解析】 首先，由题意知直线$x=2$与抛物线$C: y^{2}=2px(p>0)$交于$D, E$两点，解这个联立方程可以得到$D$和$E$的坐标。 联立方程为： $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\y^{2} = 2px \\ \end{array} \right.$ 解得： $\left\{ \begin{array}{l} x_{1} = 2 \\y_{1} = 2\sqrt{p} \\ \end{array} \right.$ 和 $\left\{ \begin{array}{l} x_{2} = 2 \\y_{2} = -2\sqrt{p} \\ \end{array} \right.$ 所以，$D(2,2\sqrt{p})$，$E(2,-2\sqrt{p})$。 然后，由题意知$OD \perp OE$，根据向量的知识，两个向量垂直当且仅当它们的点积为0。 设$\overset{\longrightarrow}{OD}=(2,2\sqrt{p})$，$\overset{\longrightarrow}{OE}=(2,-2\sqrt{p})$，则$\overset{\longrightarrow}{OD} \cdot \overset{\longrightarrow}{OE}=0$。 即$2 \times 2 + 2\sqrt{p} \times (-2\sqrt{p}) = 0$，解得$p=1$。 最后，根据抛物线的性质，焦点坐标为$(\frac{p}{2},0)$，代入$p=1$，得到焦点坐标为$(\frac{1}{2},0)$。 【答案】 B |
['B'] |
| zhipu | 【解析】 首先，我们确定直线 \(x = 2\) 与抛物线 \(C: y^2 = 2px (p > 0)\) 的交点。将 \(x = 2\) 代入抛物线方程，得到： \[ y^2 = 2p \cdot 2 = 4p \] 因此，交点的坐标为 \((2, \sqrt{4p})\) 和 \((2, -\sqrt{4p})\)，即 \((2, 2\sqrt{p})\) 和 \((2, -2\sqrt{p})\)。 设交点 \(D\) 和 \(E\) 的坐标分别为 \((2, 2\sqrt{p})\) 和 \((2, -2\sqrt{p})\)。 接下来，考虑点 \(O(0,0)\) 与点 \(D\) 和 \(E\) 的位置关系。根据题意，\(OD \perp OE\)，即向量 \(\overrightarrow{OD}\) 和 \(\overrightarrow{OE}\) 互相垂直。 向量 \(\overrightarrow{OD} = (2, 2\sqrt{p})\)，向量 \(\overrightarrow{OE} = (2, -2\sqrt{p})\)。 两个向量垂直的条件是它们的点积为零，即： \[ \overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE} = 2 \cdot 2 + 2\sqrt{p} \cdot (-2\sqrt{p}) = 4 - 4p = 0 \] 解这个方程，得到： \[ 4 - 4p = 0 \] \[ p = 1 \] 现在我们知道了 \(p = 1\)，抛物线的方程变为 \(y^2 = 2x\)。 抛物线 \(y^2 = 2px\) 的焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。将 \(p = 1\) 代入，得到焦点坐标为： \[ \left(\frac{1}{2}, 0\right) \] 所以正确答案是 B。 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
['B'] |
| gpto1 | 【解析】 首先，直线 $x=2$ 与抛物线 $y^2=2px$ 相交于点 $D$ 和 $E$。将 $x=2$ 代入抛物线方程，得到： $$ y^2 = 2p \times 2 \\ y^2 = 4p $$ 因此，$y = \pm 2\sqrt{p}$。 所以，点 $D(2, 2\sqrt{p})$，点 $E(2, -2\sqrt{p})$。 向量 $\vec{OD} = (2, 2\sqrt{p})$，向量 $\vec{OE} = (2, -2\sqrt{p})$。 根据题意，$OD \perp OE$，则有向量内积为零： $$ \vec{OD} \cdot \vec{OE} = 0 $$ 计算内积： $$ \vec{OD} \cdot \vec{OE} = (2)(2) + (2\sqrt{p})(-2\sqrt{p}) = 4 - 4p $$ 令内积等于零： $$ 4 - 4p = 0 $$ 解得： $$ 4p = 4 \\ p = 1 $$ 抛物线的焦点坐标对于标准形式 $y^2 = 2px$ 是 $\left( \dfrac{p}{2}, 0 \right)$。 因此，焦点坐标为： $$ \left( \dfrac{1}{2}, 0 \right) $$ <eoe> 【答案】B <eoa> |
B |
| deepseekv3 | 【解析】 首先，我们分析题目给出的信息： 1. 坐标原点为 $O$。 2. 直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $D, E$ 两点。 3. $O D \perp O E$。 我们需要找到抛物线 $C$ 的焦点坐标。 **步骤一：求交点 $D$ 和 $E$ 的坐标** 直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 相交，将 $x=2$ 代入抛物线方程： \[ y^{2} = 2 p \times 2 = 4 p \] 所以， \[ y = \pm 2 \sqrt{p} \] 因此，交点 $D$ 和 $E$ 的坐标分别为： \[ D(2, 2\sqrt{p}), \quad E(2, -2\sqrt{p}) \] **步骤二：利用垂直条件求 $p$** 由于 $O D \perp O E$，向量 $\overrightarrow{OD}$ 和 $\overrightarrow{OE}$ 满足： \[ \overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE} = 0 \] 计算向量点积： \[ \overrightarrow{OD} = (2, 2\sqrt{p}), \quad \overrightarrow{OE} = (2, -2\sqrt{p}) \] \[ \overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE} = 2 \times 2 + 2\sqrt{p} \times (-2\sqrt{p}) = 4 - 4p = 0 \] 解方程： \[ 4 - 4p = 0 \implies p = 1 \] **步骤三：求抛物线的焦点坐标** 抛物线 $C: y^{2} = 2 p x$ 的焦点坐标为 $(p/2, 0)$。当 $p=1$ 时，焦点坐标为： \[ \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \] 因此，正确答案是 B。 <eoe> 【答案】B <eoa> |
B |