| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 首先，确定椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的上顶点 $B$。由于椭圆的一般方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，我们可以看出，对于椭圆 $C$，$a^2 = 5$ 和 $b^2 = 1$。因此，椭圆的上顶点 $B$ 的坐标为 $(0, b) = (0, 1)$。 接下来，考虑点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，设 $P(x, y)$。根据椭圆的方程，我们有 $\frac{x^2}{5} + y^2 = 1$。我们需要找到 $|PB|$ 的最大值，即点 $P$ 到点 $B$ 的距离的最大值。点 $P$ 到点 $B$ 的距离 $|PB|$ 可以表示为 $\sqrt{(x-0)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$。 由于 $P$ 在椭圆上，我们有 $x^2 = 5(1-y^2)$，代入 $|PB|$ 的表达式中，得到 $|PB| = \sqrt{5(1-y^2) + (y-1)^2} = \sqrt{5 - 4y^2 - 2y + 1} = \sqrt{6 - 4y^2 - 2y}$。 为了使 $|PB|$ 最大，我们需要使 $6 - 4y^2 - 2y$ 的值尽可能大，即 $-4y^2 - 2y + 6$ 的值尽可能大。这是一个关于 $y$ 的二次函数，其开口向下，因此最大值出现在顶点处。二次函数 $-4y^2 - 2y + 6$ 的顶点坐标可以通过公式 $y = -\frac{b}{2a}$ 计算，其中 $a = -4$ 和 $b = -2$，得到 $y = -\frac{-2}{2 \cdot (-4)} = -\frac{1}{4}$。 将 $y = -\frac{1}{4}$ 代入 $|PB|$ 的表达式中，得到 $|PB| = \sqrt{6 - 4(-\frac{1}{4})^2 - 2(-\frac{1}{4})} = \sqrt{6 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = \sqrt{6 - \frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{6 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$。 因此，$|PB|$ 的最大值为 $\frac{5}{2}$。 <eoe> 【答案】: A <eoa> |
A |
| deepseekr1 | 【解析】 首先，椭圆方程是$\frac{x^2}{5} + y^2 = 1$，可知$a^2 = 5$，$b^2 = 1$，因此上顶点$B$的坐标为$(0, 1)$。设点$P$的参数为$(\sqrt{5}\cos\theta, \sin\theta)$。计算$|PB|$的平方： \[ |PB|^2 = (\sqrt{5}\cos\theta - 0)^2 + (\sin\theta - 1)^2 = 5\cos^2\theta + (\sin\theta - 1)^2. \] 展开并化简： \[ 5\cos^2\theta + \sin^2\theta - 2\sin\theta + 1 = 5(1 - \sin^2\theta) + \sin^2\theta - 2\sin\theta + 1 = 6 - 4\sin^2\theta - 2\sin\theta. \] 设$u = \sin\theta$，则函数变为$f(u) = -4u^2 - 2u + 6$，$u \in [-1, 1]$。该二次函数开口向下，顶点在$u = -\frac{1}{4}$，代入计算得最大值： \[ f\left(-\frac{1}{4}\right) = 6.25 \implies |PB| = \sqrt{6.25} = \frac{5}{2}. \] 验证$x=0$时$y=-1$的距离为$2$，但$\frac{5}{2} > 2$，故最大值为$\frac{5}{2}$，对应选项A。 <eoe> 【答案】A <eoa> |
A |
| gpto1 | 【解析】 首先，椭圆 $C$ 的方程是 $\frac{x^2}{5} + y^2 = 1$。这表示椭圆中心在原点，长轴在 $x$ 轴方向，短轴在 $y$ 轴方向。 椭圆的半长轴为 $a = \sqrt{5}$，半短轴为 $b = 1$。 点 $B$ 是椭圆的上顶点，因此 $B(0, 1)$。 设椭圆上的任意一点 $P$ 的参数方程为： \[ x = \sqrt{5} \cos \theta \\ y = \sin \theta \] 则线段 $PB$ 的长度平方为： \[ |PB|^2 = (x - 0)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5} \cos \theta)^2 + (\sin \theta - 1)^2 \] 展开并计算得： \[ |PB|^2 = 5 \cos^2 \theta + (\sin^2 \theta - 2 \sin \theta + 1) \] 利用恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，将 $\cos^2 \theta$ 用 $1 - \sin^2 \theta$ 替换： \[ |PB|^2 = 5 (1 - \sin^2 \theta) + \sin^2 \theta - 2 \sin \theta + 1 = 5 - 5 \sin^2 \theta + \sin^2 \theta - 2 \sin \theta + 1 \] 合并同类项： \[ |PB|^2 = 6 - 4 \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \] 将其视为关于 $\sin \theta$ 的二次函数： \[ |PB|^2 = -4 (\sin^2 \theta + \frac{1}{2} \sin \theta) + 6 \] 对二次项完成平方式： \[ \sin^2 \theta + \frac{1}{2} \sin \theta = \left( \sin \theta + \frac{1}{4} \right)^2 - \left( \frac{1}{4} \right)^2 \] 代入得： \[ |PB|^2 = -4 \left[ \left( \sin \theta + \frac{1}{4} \right)^2 - \left( \frac{1}{4} \right)^2 \right] + 6 = -4 \left( \sin \theta + \frac{1}{4} \right)^2 + 1 + 6 \] 计算常数项： \[ |PB|^2 = -4 \left( \sin \theta + \frac{1}{4} \right)^2 + \frac{25}{4} \] 因此，$|PB|^2$ 的最大值为： \[ |PB|_{\text{max}}^2 = \frac{25}{4} \] \[ |PB|_{\text{max}} = \frac{5}{2} \] 所以，$|PB|$ 的最大值是 $\dfrac{5}{2}$。 **答案选 A。** <eoe> 【答案】A <eoa> |
A |
| GPT-4o | 【解析】首先，椭圆的方程是 $\frac{x^2}{5} + y^2 = 1$。这是一个标准形式的椭圆方程，其中长轴的半径 $a = \sqrt{5}$，短轴的半径 $b = 1$。 点 $B$ 是椭圆的上顶点，所以 $B$ 的坐标为 $(0, 1)$。 点 $P$ 在椭圆上，可以表示为 $(x, y)$ 满足 $\frac{x^2}{5} + y^2 = 1$。 我们需要计算 $|PB|$ 的最大值。$|PB|$ 是点 $P$ 和点 $B$ 之间的距离，可以用距离公式表示为 \[ |PB| = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} \] 因为 $P$ 在椭圆上，所以有 $\frac{x^2}{5} + y^2 = 1$。将 $y = 1$ 代入我们要最大化的表达式： \[ |PB| = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{x^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{x^2} \] 这意味着当 $y = 1$ 时， \[ x^2 \leq 5 \] 所以 $|x| \leq \sqrt{5}$，即 $x$ 的取值范围是 $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$。 现在考虑任意 $y$ 值： \[ |PB| = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} \] 我们可以通过代入 $y = 0$ 计算： \[ \frac{x^2}{5} + 0^2 = 1 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm \sqrt{5} \] 此时 \[ |PB| = \sqrt{5 + (0 - 1)^2} = \sqrt{5 + 1} = \sqrt{6} \] 所以 $|PB|$ 的最大值为 $\sqrt{6}$。 【答案】B <eoa> |
['A'] |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 由题意,椭圆C:\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1的上顶点B(0,1),设P(x_{0},y_{0})在C上,则\frac{x_{0}^{2}}{5}+y_{0}^{2}=1,则|PB|=\sqrt{x_{0}^{2}+(y_{0}-1)^{2}}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-2y_{0}+1}=\sqrt{1-2y_{0}+1}=\sqrt{2-2y_{0}}=\sqrt{2(1-y_{0})}当y_{0}=-1时,|PB|取得最大值\sqrt{2(1-(-1))}=2. 最终结果是2 |
['A'] |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是sqrt(5) <eoe> 【答案】: C <eoa> |
['A'] |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 \n首先，我们需要确定椭圆 $C: \\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的上顶点 $B$ 的坐标。椭圆的标准形式是 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，其中 $a^{2}=5$ 和 $b^{2}=1$。因此，椭圆的长轴在 $x$ 轴上，短轴在 $y$ 轴上。上顶点 $B$ 是椭圆在 $y$ 轴上的顶点，其坐标为 $(0, b)$，即 $(0, 1)$。\n\n接下来，我们考虑点 $P$ 在椭圆上的任意位置。设 $P$ 的坐标为 $(x, y)$，满足椭圆方程 $\\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$。我们需要找到 $|P B|$ 的最大值，即点 $P$ 到上顶点 $B$ 的距离的最大值。\n\n点 $P$ 到点 $B$ 的距离公式为：\n\\[\n|P B| = \\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2} = \\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}\n\\]\n\n由于 $P$ 在椭圆上，$y$ 可以表示为 $y = \\sqrt{1 - \\frac{x^2}{5}}$。将 $y$ 代入距离公式中，我们得到：\n\\[\n|P B| = \\sqrt{x^2 + \\left(\\sqrt{1 - \\frac{x^2}{5}} - 1\\right)^2}\n\\]\n\n为了简化计算，我们考虑 $x$ 的取值范围。由于 $x^2 \\leq 5$，$x$ 的取值范围是 $[- \\sqrt{5}, \\sqrt{5}]$。我们需要找到 $|P B|$ 的最大值。\n\n通过观察和计算，我们发现当 $x = 0$ 时，$y = \\pm 1$，此时 $|P B| = \\sqrt{0^2 + (1 - 1)^2} = 0$，这不是最大值。我们需要进一步分析 $x$ 的其他取值。\n\n通过进一步计算和分析，我们发现当 $x = \\pm \\sqrt{5}$ 时，$y = 0$，此时 $|P B| = \\sqrt{(\\sqrt{5})^2 + (0 - 1)^2} = \\sqrt{5 + 1} = \\sqrt{6}$。\n\n因此，$|P B|$ 的最大值为 $\\sqrt{6}$。\n<eoe>\n【答案】: B <eoa>" | ['A'] |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】 首先确定椭圆 $C: \\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的上顶点 $B$。由于椭圆的一般形式为 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，且 $a \\geq b$。对于给定的椭圆，$a^2=5$ 和 $b^2=1$，因此这是一个水平椭圆，其上顶点的坐标为 $(0,b)=(0,1)$。\n\n接下来，我们要求椭圆上任意一点 $P(x,y)$ 到上顶点 $B(0,1)$ 的距离 $|PB|$ 的最大值。两点间的距离公式为 $|PB| = \\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2} = \\sqrt{x^2+(y-1)^2}$。\n\n由于点 $P$ 在椭圆上，它满足椭圆方程 $\\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$，即 $x^2=5(1-y^2)$。将这个关系代入距离公式中，得：\n\n\\[|PB| = \\sqrt{5(1-y^2)+(y-1)^2} = \\sqrt{5-5y^2+y^2-2y+1} = \\sqrt{6-4y^2-2y}\\]\n\n为了使 $|PB|$ 最大，我们需要使根号下的表达式 $6-4y^2-2y$ 最大，这等价于最小化 $4y^2+2y$。这是一个关于 $y$ 的二次函数，其开口向上，因此函数的最小值出现在其顶点处。二次函数 $f(y)=4y^2+2y$ 的顶点坐标为 $y = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{2}{2*4} = -\\frac{1}{4}$。\n\n将 $y = -\\frac{1}{4}$ 代入 $|PB|$ 的表达式中，得：\n\n\\[|PB| = \\sqrt{6-4\\left(-\\frac{1}{4}\\right)^2-2\\left(-\\frac{1}{4}\\right)} = \\sqrt{6-\\frac{1}{4}+\\frac{1}{2}} = \\sqrt{\\frac{24-1+2}{4}} = \\sqrt{\\frac{25}{4}} = \\frac{5}{2}\\]\n\n因此，$|PB|$ 的最大值为 $\\frac{5}{2}$。\n<eoe>\n【答案】: A <eoa>" | ['A'] |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们知道椭圆的一般方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。对于给定的椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$，我们可以看出 $a^2 = 5$ 和 $b^2 = 1$，因此 $a = \sqrt{5}$ 和 $b = 1$。椭圆的上下顶点分别位于 $y$ 轴上的 $(0, b)$ 和 $(0, -b)$，所以上顶点 $B$ 的坐标是 $(0, 1)$。 接下来，我们需要找到椭圆上的一点 $P$，使得 $|PB|$ 达到最大值。由于椭圆是对称的，$|PB|$ 的最大值将在椭圆的右顶点或左顶点处取得，这两个点分别是 $(a, 0)$ 和 $(-a, 0)$，即 $(\sqrt{5}, 0)$ 和 $(-\sqrt{5}, 0)$。由于题目只要求上顶点，我们只考虑右顶点 $(\sqrt{5}, 0)$。 现在，我们计算右顶点 $P(\sqrt{5}, 0)$ 到上顶点 $B(0, 1)$ 的距离： $$|PB| = \sqrt{(\sqrt{5} - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{5 + 1} = \sqrt{6}.$$ 因此，$|PB|$ 的最大值是 $\sqrt{6}$。 |
['A'] |
| doubao | 【解析】椭圆方程为$\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$，则$a=\sqrt{5}$，$b=1$，上顶点$B(0,1)$。设$P(x,y)$，因为点$P$在椭圆上，所以$\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$，则$x^{2}=5-5y^{2}$。则$|PB|=\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{5-5y^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{-4y^{2}-2y+6}=\sqrt{-4(y^{2}+\frac{y}{2})+6}=\sqrt{-4(y^{2}+\frac{y}{2}+\frac{1}{16})+\frac{1}{4}+6}=\sqrt{-4(y+\frac{1}{4})^{2}+\frac{25}{4}}$，当$y=-\frac{1}{4}$时，$|PB|$取得最大值为$\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。 <eoe> 【答案】: A <eoa> |
['A'] |
| minimax | 【解析】 首先，我们需要知道椭圆的上顶点是指椭圆上距离x轴最近的点。对于椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$，其上顶点 $B$ 的坐标可以通过将 $y$ 设为椭圆的半长轴来找到。由于椭圆的方程是关于 $x$ 和 $y$ 对称的，我们可以知道上顶点 $B$ 的坐标是 $(0,1)$。 接下来，我们需要找到点 $P$ 在椭圆上的位置，使得 $|PB|$（即点 $P$ 到点 $B$ 的距离）最大。由于 $B$ 是上顶点，$|PB|$ 的最大值将在椭圆的下顶点处取得，因为这是距离上顶点最远的点。 椭圆的下顶点是关于 $x$ 轴对称的点，所以它的坐标是 $(0,-1)$。 现在我们可以计算 $|PB|$ 的最大值，即点 $(0,1)$ 到点 $(0,-1)$ 的距离。两点之间的距离公式是 $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$。将点 $B(0,1)$ 和下顶点 $(0,-1)$ 的坐标代入，我们得到： $d = \sqrt{(0-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{0 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$ 因此，$|PB|$ 的最大值是 2。 <eoe> 【答案】: D <eoa> |
['A'] |
| kimi | 【解析】首先，我们需要确定椭圆的上顶点 $B$ 的坐标。椭圆的标准方程是 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的长半轴和短半轴。在这个问题中，我们有 $\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$，所以 $a^2 = 5$ 和 $b^2 = 1$。因此，$a = \sqrt{5}$ 和 $b = 1$。 椭圆的上顶点 $B$ 位于 $y$ 轴上，且 $y$ 坐标为 $b$，所以 $B$ 的坐标是 $(0, b)$ 或 $(0, 1)$。 接下来，我们需要找到点 $P$ 在椭圆上时，$|PB|$ 的最大值。由于 $P$ 在椭圆上，我们可以设 $P$ 的坐标为 $(x, y)$，满足椭圆方程 $\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$。 $|PB|$ 的距离公式是 $\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2} = \sqrt{x^2+(y-1)^2}$。 为了找到 $|PB|$ 的最大值，我们需要最大化 $x^2+(y-1)^2$。由于 $P$ 在椭圆上，我们知道 $y^2 \leq 1 - \frac{x^2}{5}$，所以 $y \leq \sqrt{1 - \frac{x^2}{5}}$。 将 $y$ 的表达式代入 $|PB|$ 的公式中，我们得到 $|PB| = \sqrt{x^2 + (\sqrt{1 - \frac{x^2}{5}} - 1)^2}$。 为了最大化这个表达式，我们可以观察到当 $x^2$ 最大时，$|PB|$ 达到最大值。由于椭圆的长半轴 $a = \sqrt{5}$，当 $x = a$ 或 $x = -a$ 时，$x^2$ 达到最大值。此时 $y = 0$，因为椭圆的方程变为 $y^2 = 1 - \frac{5}{5} = 0$。 所以，$|PB|$ 的最大值发生在 $P$ 在椭圆的右顶点或左顶点时，即 $P(\sqrt{5}, 0)$ 或 $P(-\sqrt{5}, 0)$。此时，$|PB| = \sqrt{(\sqrt{5}-0)^2+(0-1)^2} = \sqrt{5+1} = \sqrt{6}$。 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
['A'] |
| wenxinyiyan | 【解析】 首先，根据椭圆的标准方程$\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$，我们可以得出椭圆的半长轴$a = \sqrt{5}$，半短轴$b = 1$。 由于$B$是椭圆的上顶点，所以$B$的坐标是$(0,1)$。 设$P$的坐标为$(m,n)$，由于$P$在椭圆上，所以$P$的坐标满足椭圆的方程，即$\frac{m^{2}}{5} + n^{2} = 1$。 然后，利用两点间距离公式，我们可以得出$|PB| = \sqrt{{(m - 0)}^{2} + {(n - 1)}^{2}} = \sqrt{m^{2} + {(n - 1)}^{2}}$。 将$n^{2}$用$1 - \frac{m^{2}}{5}$替换，得到$|PB| = \sqrt{m^{2} + {(n - 1)}^{2}} = \sqrt{m^{2} + \left( 1 - \frac{m^{2}}{5} - 1 \right)^{2}} = \sqrt{\frac{4}{25}m^{2} + 1}$。 由于$m^{2}$的取值范围是$[0,5]$，所以$\frac{4}{25}m^{2} + 1$的取值范围是$[1,2]$，所以$|PB|$的取值范围是$[\sqrt{1},\sqrt{2}]$，即$|PB|$的最大值为$\sqrt{2}$。 故选D. 【答案】 D<eoa> |
['A'] |
| zhipu | 【解析】 首先，我们需要明确椭圆 \( C \) 的方程为 \( \frac{x^2}{5} + y^2 = 1 \)。这是一个标准形式的椭圆方程，其中长轴在 \( y \) 轴方向，短轴在 \( x \) 轴方向。 椭圆的上顶点 \( B \) 是椭圆长轴上的一个端点，由于长轴在 \( y \) 轴方向，且椭圆的中心在原点，因此 \( B \) 的坐标为 \( (0, 1) \)。 设点 \( P \) 在椭圆 \( C \) 上，其坐标为 \( (x, y) \)，满足方程 \( \frac{x^2}{5} + y^2 = 1 \)。 我们需要求 \( |PB| \) 的最大值，其中 \( |PB| \) 表示点 \( P \) 到点 \( B \) 的距离。根据两点间距离公式，有 \[ |PB| = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} \] 将椭圆方程 \( \frac{x^2}{5} + y^2 = 1 \) 变形为 \( x^2 = 5(1 - y^2) \)，代入距离公式中，得到 \[ |PB| = \sqrt{5(1 - y^2) + (y - 1)^2} \] 进一步展开并简化表达式： \[ |PB| = \sqrt{5 - 5y^2 + y^2 - 2y + 1} = \sqrt{6 - 4y^2 - 2y} \] 令 \( f(y) = 6 - 4y^2 - 2y \)，我们需要求 \( f(y) \) 的最大值。首先求导数 \( f'(y) \)： \[ f'(y) = -8y - 2 \] 令 \( f'(y) = 0 \)，解得 \[ -8y - 2 = 0 \implies y = -\frac{1}{4} \] 将 \( y = -\frac{1}{4} \) 代入 \( f(y) \) 中，得到 \[ f\left(-\frac{1}{4}\right) = 6 - 4\left(-\frac{1}{4}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{4}\right) = 6 - 4 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{2} = 6 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 6 + \frac{1}{4} = \frac{25}{4} \] 因此，\( |PB| \) 的最大值为 \[ \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \] 综上所述，\( |PB| \) 的最大值为 \( \frac{5}{2} \)。 <eoe> 【答案】: A <eoa> |
['A'] |
| gpto1 | 【解析】 首先，椭圆 $C$ 的方程是 $\frac{x^2}{5} + y^2 = 1$。这表示椭圆中心在原点，长轴在 $x$ 轴方向，短轴在 $y$ 轴方向。 椭圆的半长轴为 $a = \sqrt{5}$，半短轴为 $b = 1$。 点 $B$ 是椭圆的上顶点，因此 $B(0, 1)$。 设椭圆上的任意一点 $P$ 的参数方程为： \[ x = \sqrt{5} \cos \theta \\ y = \sin \theta \] 则线段 $PB$ 的长度平方为： \[ |PB|^2 = (x - 0)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5} \cos \theta)^2 + (\sin \theta - 1)^2 \] 展开并计算得： \[ |PB|^2 = 5 \cos^2 \theta + (\sin^2 \theta - 2 \sin \theta + 1) \] 利用恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，将 $\cos^2 \theta$ 用 $1 - \sin^2 \theta$ 替换： \[ |PB|^2 = 5 (1 - \sin^2 \theta) + \sin^2 \theta - 2 \sin \theta + 1 = 5 - 5 \sin^2 \theta + \sin^2 \theta - 2 \sin \theta + 1 \] 合并同类项： \[ |PB|^2 = 6 - 4 \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \] 将其视为关于 $\sin \theta$ 的二次函数： \[ |PB|^2 = -4 (\sin^2 \theta + \frac{1}{2} \sin \theta) + 6 \] 对二次项完成平方式： \[ \sin^2 \theta + \frac{1}{2} \sin \theta = \left( \sin \theta + \frac{1}{4} \right)^2 - \left( \frac{1}{4} \right)^2 \] 代入得： \[ |PB|^2 = -4 \left[ \left( \sin \theta + \frac{1}{4} \right)^2 - \left( \frac{1}{4} \right)^2 \right] + 6 = -4 \left( \sin \theta + \frac{1}{4} \right)^2 + 1 + 6 \] 计算常数项： \[ |PB|^2 = -4 \left( \sin \theta + \frac{1}{4} \right)^2 + \frac{25}{4} \] 因此，$|PB|^2$ 的最大值为： \[ |PB|_{\text{max}}^2 = \frac{25}{4} \] \[ |PB|_{\text{max}} = \frac{5}{2} \] 所以，$|PB|$ 的最大值是 $\dfrac{5}{2}$。 **答案选 A。** <eoe> 【答案】A <eoa> |
A |
| deepseekv3 | 【解析】 首先，给定椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$。这是一个标准的椭圆方程，其半长轴为 $\sqrt{5}$，半短轴为 $1$。椭圆的上顶点 $B$ 的坐标为 $(0, 1)$。 我们需要找到椭圆上任意一点 $P(x, y)$ 到点 $B(0, 1)$ 的距离 $|PB|$ 的最大值。距离公式为： \[ |PB| = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} \] 根据椭圆方程，$x^2 = 5(1 - y^2)$。将其代入距离公式中，得到： \[ |PB| = \sqrt{5(1 - y^2) + (y - 1)^2} = \sqrt{5 - 5y^2 + y^2 - 2y + 1} = \sqrt{6 - 4y^2 - 2y} \] 为了找到 $|PB|$ 的最大值，我们需要找到函数 $f(y) = 6 - 4y^2 - 2y$ 的最大值。由于 $y$ 的取值范围为 $[-1, 1]$，我们可以在该区间内寻找 $f(y)$ 的极值。 求导数： \[ f'(y) = -8y - 2 \] 令 $f'(y) = 0$，解得： \[ -8y - 2 = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{4} \] 验证 $y = -\frac{1}{4}$ 是否为最大值点： \[ f''(y) = -8 < 0 \] 因此，$y = -\frac{1}{4}$ 是 $f(y)$ 的极大值点。 计算 $f(y)$ 在 $y = -\frac{1}{4}$ 时的值： \[ f\left(-\frac{1}{4}\right) = 6 - 4\left(-\frac{1}{4}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{4}\right) = 6 - 4 \times \frac{1}{16} + \frac{1}{2} = 6 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 6.25 \] 因此，$|PB|$ 的最大值为 $\sqrt{6.25} = 2.5 = \frac{5}{2}$。 <eoe> 【答案】A <eoa> |
A |