| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 设等差数列 \(\{a_n\}\) 的首项为 \(a\)，公差为 \(d\)。根据等差数列的性质，有： \[ a_n = a + (n-1)d \] 题目给出 \(a_3 = 5\) 和 \(a_10 = -9\)，代入通项公式得到： \[ a + 2d = 5 \] \[ a + 9d = -9 \] 解这组方程： \[ a + 2d = 5 \] \[ a + 9d = -9 \] 用第二个方程减去第一个方程： \[ (a + 9d) - (a + 2d) = -9 - 5 \] \[ 7d = -14 \] \[ d = -2 \] 将 \(d = -2\) 代入第一个方程： \[ a + 2(-2) = 5 \] \[ a - 4 = 5 \] \[ a = 9 \] 所以，等差数列的通项公式为： \[ a_n = 9 + (n-1)(-2) \] \[ a_n = 9 - 2(n-1) \] \[ a_n = 11 - 2n \] <eoe> 【答案】\(a_n = 11 - 2n\)<eoa> (2)【解析】 等差数列的前 \(n\) 项和公式为： \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] 已知首项 \(a_1 = 9\)，通项公式为 \(a_n = 11 - 2n\)，所以： \[ S_n = \frac{n}{2} (9 + (11 - 2n)) \] \[ S_n = \frac{n}{2} (20 - 2n) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot 2(10 - n) \] \[ S_n = n(10 - n) \] \[ S_n = 10n - n^2 \] 为了使 \(S_n\) 最大，我们需要找到这个二次函数的顶点。二次函数 \(S_n = -n^2 + 10n\) 的顶点在： \[ n = -\frac{b}{2a} \] 其中 \(a = -1\)，\(b = 10\)，所以： \[ n = -\frac{10}{2(-1)} \] \[ n = 5 \] 所以，前 \(n\) 项和 \(S_n\) 最大时，\(n = 5\)。 <eoe> 【答案】\(S_n = 10n - n^2\)，使得 \(S_n\) 最大的序号 \(n\) 的值为 5。<eoa> |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 已知等差数列{aₙ}中，a₃=5，a₁₀=-9。设首项为a₁，公差为d，则通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。代入已知条件： - 当n=3时，a₁ + 2d = 5； - 当n=10时，a₁ + 9d = -9。 通过解方程组： 1. a₁ + 2d = 5 2. a₁ + 9d = -9 用第二个方程减第一个方程得7d = -14 → d = -2。代入第一个方程得a₁ = 9。因此通项公式为aₙ = 9 + (n-1)(-2) = 11 - 2n。<eoe> 【答案】 (I) 通项公式为 \( a_n = 11 - 2n \)<eoa> (2)【解析】 等差数列前n项和公式为 \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \)。代入a₁=9和aₙ=11-2n： \[ S_n = \frac{n}{2}(9 + 11 - 2n) = \frac{n}{2}(20 - 2n) = 10n - n^2 \] 求Sₙ的最大值。由于 \( S_n = -n^2 + 10n \) 是开口向下的抛物线，顶点在 \( n = -\frac{b}{2a} = \frac{10}{2} = 5 \)。验证n=5时： - S₅ = 10×5 - 5² = 25； - S₄ = 24，S₆ = 24。 故当n=5时，Sₙ最大。<eoe> 【答案】 (II) 前n项和为 \( S_n = -n^2 + 10n \)，当 \( n = 5 \) 时，\( S_n \) 取得最大值。<eoa> |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| gpto1 | (1)【解析】 等差数列的通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] 已知 $a_3 = 5$，代入公式： \[ a_3 = a_1 + 2d = 5 \quad \text{(1)} \] 已知 $a_{10} = -9$，代入公式： \[ a_{10} = a_1 + 9d = -9 \quad \text{(2)} \] 用 (2) 式减去 (1) 式： \[ (a_1 + 9d) - (a_1 + 2d) = -9 - 5 \] \[ 7d = -14 \] \[ d = -2 \] 将 $d = -2$ 代入 (1) 式： \[ a_1 + 2(-2) = 5 \] \[ a_1 - 4 = 5 \] \[ a_1 = 9 \] 所以，等差数列的通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] \[ a_n = 9 + (n - 1)(-2) \] \[ a_n = 9 - 2n + 2 \] \[ a_n = 11 - 2n \] <eoe> 【答案】 (1) 数列的通项公式为：\[ a_n = 11 - 2n \] <eoa> (2)【解析** 数列的前 $n$ 项和公式为： \[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \] 已知 $a_1 = 9$，$a_n = 11 - 2n$，代入得到： \[ S_n = \frac{n}{2}(9 + 11 - 2n) \] \[ S_n = \frac{n}{2}(20 - 2n) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \times 2(10 - n) \] \[ S_n = n(10 - n) \] \[ S_n = -n^2 + 10n \] $S_n$ 关于 $n$ 是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在抛物线的顶点。 顶点的 $n$ 坐标为： \[ n = -\frac{b}{2a} \] \[ n = -\frac{10}{2 \times (-1)} \] \[ n = 5 \] 因此，当 $n = 5$ 时，$S_n$ 取得最大值。 <eoe> 【答案** (2) 数列的前 $n$ 项和为：\[ S_n = -n^2 + 10n \]，当 $n = 5$ 时，$S_n$ 取得最大值。 <eoa> |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| GPT-4o | (1)【解析】 等差数列的通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] 已知 \( a_3 = 5 \) 和 \( a_10 = -9 \)，我们可以列出以下两个方程： \[ a_1 + 2d = 5 \] \[ a_1 + 9d = -9 \] 我们可以将这两个方程联立解出 \( a_1 \) 和 \( d \)。 先用第二个方程减去第一个方程： \[ (a_1 + 9d) - (a_1 + 2d) = -9 - 5 \] \[ 7d = -14 \] \[ d = -2 \] 将 \( d = -2 \) 代入第一个方程： \[ a_1 + 2(-2) = 5 \] \[ a_1 - 4 = 5 \] \[ a_1 = 9 \] 因此，等差数列的通项公式为： \[ a_n = 9 + (n-1)(-2) \] \[ a_n = 9 - 2(n-1) \] \[ a_n = 11 - 2n \]<eoe> 【答案】\[ a_n = 11 - 2n \]<eoa> (2)【解析】 等差数列的前 \( n \) 项和公式为： \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] 我们已经知道 \( a_1 = 9 \) 和 \( a_n = 11 - 2n \)，将这些值代入公式： \[ S_n = \frac{n}{2} (9 + 11 - 2n) \] \[ S_n = \frac{n}{2} (20 - 2n) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot 2(10 - n) \] \[ S_n = n(10 - n) \] \[ S_n = 10n - n^2 \] 这是一个二次函数，开口向下，最大值出现在其顶点。顶点的 \( n \) 值为： \[ n = \frac{-b}{2a} \] 这里，\( a = -1 \)，\( b = 10 \)，所以： \[ n = \frac{-10}{2(-1)} \] \[ n = 5 \] 因此，使前 \( n \) 项和 \( S_n \) 最大的序号 \( n \) 为 5。<eoe> 【答案】\[ S_n = 10n - n^2 \] 使得 \( S_n \) 最大的序号 \( n \) 的值为 5。<eoa> |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 (I) 由题意可得a_{10}-a_{3}=(10-3)d=-14,解得d=-2,又a_{3}=5,所以a_{1}=9,所以a_{n}=9-2(n-1)=11-2n,(II)由(I)可得S_{n}=\frac{n}{2}[2\times11+(n-1)(-4)]=n(14-n),当n=7时,S_{n}取得最大值. 最终结果是(I) an=11-2*n;(II) Sn=n*(14-n),n=7 |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)【解析】 因为a_{3}=5,a_{10}=-9,所以a_{1}+2d=5,a_{1}+9d=-9,所以a_{1}=17,d=-2,所以a_{n}=17-2(n-1)=19-2n.(2)【解析】 因为a_{n}=19-2n,所以S_{n}=\frac{n}{2}[2\times19-(n-1)\times2]=\frac{n}{2}(38-2n)=19n-n^{2},令S_{n}=19n-n^{2}=-(n^{2}-19n)=-[(n-\frac{19}{2})^{2}-\frac{361}{4}]=\frac{361}{4}-(n-\frac{19}{2})^{2},当n=9时,S_{n}取得最大值,此时S_{ |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(I) 求 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式;\n\n【解析】 等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。已知 $a_3 = 5$ 和 $a_10 = -9$，我们可以列出以下两个方程：\n\n1. $a_3 = a_1 + 2d = 5$\n2. $a_10 = a_1 + 9d = -9$\n\n我们可以通过解这两个方程来找到 $a_1$ 和 $d$。首先，用第二个方程减去第一个方程：\n\n$(a_1 + 9d) - (a_1 + 2d) = -9 - 5$\n$7d = -14$\n$d = -2$\n\n将 $d = -2$ 代入第一个方程：\n\n$a_1 + 2(-2) = 5$\n$a_1 - 4 = 5$\n$a_1 = 9$\n\n因此，等差数列的通项公式为：\n\n$a_n = 9 + (n-1)(-2)$\n$a_n = 9 - 2n + 2$\n$a_n = 11 - 2n$\n<eoe>\n\n【答案】 $a_n = 11 - 2n$<eoa>\n\n(II) 求 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 及使得 $S_{n}$ 最大的序号 $n$ 的值.\n\n【解析】 等差数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \\frac{n}{2} (a_1 + a_n)$。我们已经知道 $a_1 = 9$ 和 $a_n = 11 - 2n$，所以：\n\n$S_n = \\frac{n}{2} (9 + (11 - 2n))$\n$S_n = \\frac{n}{2} (20 - 2n)$\n$S_n = n (10 - n)$\n\n为了找到使得 $S_n$ 最大的 $n$，我们需要对 $S_n = n (10 - n)$ 进行分析。这是一个开口向下的抛物线，其顶点在 $n = \\frac{-b}{2a}$，其中 $a = -1$，$b = 10$。因此：\n\n$n = \\frac{10}{2 \\times 1}$\n$n = 5$\n\n所以，使得 $S_n$ 最大的序号 $n$ 的值是 5。\n<eoe>\n\n【答案】 $S_n = n (10 - n)$，使得 $S_n$ 最大的序号 $n$ 的值是 5<eoa>" | 解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 首先，我们要找到等差数列的通项公式。由等差数列的性质，我们知道通项公式可以表示为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。我们有 $a_3 = a_1 + 2d = 5$ 和 $a_{10} = a_1 + 9d = -9$。通过这两个方程，我们可以解出 $a_1$ 和 $d$。<eoe>\n【答案】\n由 $a_3 = a_1 + 2d = 5$ 和 $a_{10} = a_1 + 9d = -9$，我们得到两个方程组：\n\\[a_1 + 2d = 5\\]\n\\[a_1 + 9d = -9\\]\n从第一个方程中解出 $a_1$ 得到 $a_1 = 5 - 2d$。将这个表达式代入第二个方程中，得到：\n\\[5 - 2d + 9d = -9\\]\n\\[5 + 7d = -9\\]\n\\[7d = -14\\]\n\\[d = -2\\]\n再将 $d = -2$ 代入 $a_1 = 5 - 2d$ 得到：\n\\[a_1 = 5 - 2(-2) = 5 + 4 = 9\\]\n所以等差数列的通项公式为 $a_n = 9 + (n-1)(-2) = 11 - 2n$。<eoa>\n\n(2)【解析】 接下来，我们要求等差数列的前 $n$ 项和 $S_n$。等差数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$。将 $a_1 = 9$ 和 $d = -2$ 代入，得到 $S_n$ 的表达式。为了找到 $S_n$ 最大时的 $n$ 的值，我们需要分析 $S_n$ 的变化趋势。由于 $d < 0$，数列是递减的，$S_n$ 在数列变正为负之前达到最大值。这意味着 $a_n \\geq 0$ 时，$S_n$ 增加；而当 $a_n < 0$ 时，$S_n$ 开始减少。因此，我们找到 $a_n = 0$ 的 $n$ 值，即 $11 - 2n = 0$，解出 $n$，$n$ 的整数部分即为所求。<eoe>\n【答案】\n等差数列前 $n$ 项和公式为：\n\\[S_n = \\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] = \\frac{n}{2}[2(9) + (n-1)(-2)] = \\frac{n}{2}[18 - 2n + 2] = \\frac{n}{2}[20 - 2n] = n(10 - n)\\]\n为了找到 $S_n$ 最大时的 $n$ 的值，我们找到 $a_n = 0$ 的 $n$ 值，即：\n\\[11 - 2n = 0\\]\n\\[2n = 11\\]\n\\[n = \\frac{11}{2}\\]\n由于 $n$ 必须是整数，$n$ 的最大值发生在 $n = 5$ 或 $n = 6$ 时，我们比较 $S_5$ 和 $S_6$ 的值：\n\\[S_5 = 5(10 - 5) = 25\\]\n\\[S_6 = 6(10 - 6) = 24\\]\n所以 $S_n$ 最大值发生在 $n = 5$ 时。<eoa>" | 解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| baichuan4 | (I) 首先，我们知道等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。 由于 $a_3 = 5$ 和 $a_{10} = -9$，我们可以建立两个方程： $$a_1 + 2d = 5$$ $$a_1 + 9d = -9$$ 接下来，我们解这个方程组来找到 $a_1$ 和 $d$ 的值。 【解析】从上面的两个方程中，我们可以通过相减消去 $a_1$： $$7d = -14$$ $$d = -2$$ 将 $d = -2$ 代入任意一个方程，比如第一个方程，得到： $$a_1 + 2(-2) = 5$$ $$a_1 - 4 = 5$$ $$a_1 = 9$$ 所以，首项 $a_1 = 9$，公差 $d = -2$。因此，$\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为： $$a_n = 9 - 2(n-1) = 11 - 2n$$ 【答案】$\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_n = 11 - 2n$。 (II) 接下来，我们要求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$。等差数列的前 $n$ 项和公式为： $$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$$ 将 $a_1 = 9$ 和 $d = -2$ 代入公式，得到： $$S_n = \frac{n}{2} [2(9) + (n-1)(-2)]$$ $$S_n = \frac{n}{2} [18 - 2n + 2]$$ $$S_n = \frac{n}{2} [20 - 2n]$$ $$S_n = n(10 - n)$$ $$S_n = 10n - n^2$$ 为了使 $S_n$ 最大，我们需要找到 $S_n$ 的最大值。由于 $S_n$ 是一个开口向下的二次函数，它的最大值发生在对称轴上，即 $n = \frac{-b}{2a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是二次函数的系数。 【解析】在我们的情况下，$a = -1$，$b = 10$，所以： $$n = \frac{-10}{2(-1)}$$ $$n = 5$$ 这意味着当 $n = 5$ 时，$S_n$ 达到最大值。 【答案】$\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 为 $S_n = 10n - n^2$，使得 $S_{n}$ 最大的序号 $n$ 的值为 $5$。 |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| doubao | (1)【解析】设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，则$a_n=a_1+(n-1)d$。已知$a_3=5$，$a_{10}=-9$，可列出方程组$\begin{cases}a_1+2d=5\\a_1+9d=-9\end{cases}$，用第一个方程减去第二个方程可得：$a_1+2d-(a_1+9d)=5-(-9)$，$a_1+2d-a_1-9d=5+9$，$-7d=14$，解得$d=-2$，将$d=-2$代入$a_1+2d=5$可得$a_1+2\times(-2)=5$，$a_1-4=5$，$a_1=5+4=9$，所以$a_n=9-2(n-1)=9-2n+2=11-2n$。<eoe> 【答案】由上述解析可得等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=11-2n$。<eoa> (2)【解析】等差数列的前$n$项和公式为$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，将$a_1=9$，$d=-2$代入可得$S_n=9n+\frac{n(n-1)}{2}\times(-2)=9n-n(n-1)=9n-n^2+n=10n-n^2$。对于二次函数$y=10n-n^2$，其对称轴为$n=-\frac{10}{2\times(-1)}=5$，因为二次项系数小于$0$，所以当$n=5$时，$S_n$最大。<eoe> 【答案】$S_n=10n-n^2$，使得$S_n$最大的序号$n$的值为$5$。<eoa> |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| minimax | (1)【解析】首先，我们知道等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。根据题目给出的条件，我们可以列出两个方程来求解 $a_1$ 和 $d$。 由 $a_3 = a_1 + 2d = 5$ 和 $a_{10} = a_1 + 9d = -9$，我们可以解这个二元一次方程组来找到 $a_1$ 和 $d$ 的值。然后，我们可以将 $a_1$ 和 $d$ 的值代入通项公式中得到 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。<eoe> 【答案】根据等差数列的通项公式，我们有： $$a_3 = a_1 + 2d = 5$$ $$a_{10} = a_1 + 9d = -9$$ 我们可以通过解这个方程组来找到 $a_1$ 和 $d$ 的值。首先，我们可以从第一个方程中解出 $a_1$： $$a_1 = 5 - 2d$$ 然后将 $a_1$ 的表达式代入第二个方程中： $$5 - 2d + 9d = -9$$ $$7d = -14$$ $$d = -2$$ 现在我们知道了公差 $d = -2$，我们可以将其代入 $a_1$ 的表达式中求得首项： $$a_1 = 5 - 2(-2) = 5 + 4 = 9$$ 因此，等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为： $$a_n = a_1 + (n-1)d = 9 + (n-1)(-2) = 9 - 2n + 2 = 11 - 2n$$<eoa> (2)【解析】等差数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。我们已经求得了通项公式 $a_n = 11 - 2n$，因此我们可以将 $a_n$ 和 $a_1$ 的值代入前 $n$ 项和公式中求得 $S_n$。为了找到使得 $S_n$ 最大的序号 $n$ 的值，我们需要考虑等差数列的性质。由于公差为负，数列是递减的，所以 $S_n$ 在数列的前半部分是递增的，在后半部分是递减的。因此，$S_n$ 最大时对应的 $n$ 应该是数列项数的一半，即 $\frac{n}{2}$。 我们可以将 $a_n$ 的表达式代入 $S_n$ 的公式中，然后对 $n$ 求导，找到导数为零的点，这个点就是 $S_n$ 最大时对应的 $n$ 的值。但是由于我们已经知道数列是递减的，我们可以直接计算出数列的项数的一半，即 $\frac{n}{2}$，然后验证这个点是否在数列的定义域内。<eoe> 【答案】根据等差数列的前 $n$ 项和公式，我们有： $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$ 将通项公式 $a_n = 11 - 2n$ 和首项 $a_1 = 9$ 代入上式，得到： $$S_n = \frac{n}{2}(9 + (11 - 2n))$$ $$S_n = \frac{n}{2}(20 - 2n)$$ $$S_n = \frac{n}{2}(20 - 2n) = 10n - n^2$$ 为了找到 $S_n$ 最大的 $n$，我们需要找到函数 $S_n(n) = 10n - n^2$ 的最大值。这是一个开口向下的二次函数，其最大值在对称轴上，对称轴的公式为 $n = -\frac{b}{2a}$，其中 $a$ 是二次项系数，$b$ 是一次项系数。在这个情况下，$a = -1$，$b = 10$，所以： $$n = -\frac{10}{2(-1)} = \frac{10}{2} = 5$$ 因此，当 $n = 5$ 时，$S_n$ 达到最大值。由于 $n$ 必须是正整数，且 $n = 5$ 在数列的定义域内（因为 $a_3$ 和 $a_{10}$ 都是数列中的项），所以 $n = 5$ 是使得 $S_n$ 最大的序号。<eoa> |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| kimi | (1)【解析】首先，我们需要找到等差数列的通项公式。等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。我们已知 $a_3 = 5$ 和 $a_{10} = -9$，可以列出两个方程： 1. $a_1 + 2d = 5$ 2. $a_1 + 9d = -9$ 接下来，我们解这个方程组来找到 $a_1$ 和 $d$ 的值。 <eoe> 【答案】解方程组： 1. $a_1 + 2d = 5$ 2. $a_1 + 9d = -9$ 将第一个方程乘以3得到 $3a_1 + 6d = 15$，然后从第二个方程中减去得到： $3a_1 + 6d - (a_1 + 9d) = 15 - (-9)$ $2a_1 - 3d = 24$ $a_1 - 1.5d = 12$ 将 $a_1 + 2d = 5$ 代入得到： $12 + 0.5d = 5$ $0.5d = -7$ $d = -14$ 将 $d$ 的值代入 $a_1 + 2d = 5$ 得到： $a_1 - 28 = 5$ $a_1 = 33$ 所以，通项公式为： $a_n = 33 + (n-1)(-14) = 47 - 14n$ <eoa> (2)【解析】现在我们需要找到等差数列的前 $n$ 项和 $S_n$。等差数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。我们已经知道 $a_1 = 33$ 和 $a_n = 47 - 14n$，所以： $S_n = \frac{n}{2}(33 + (47 - 14n))$ $S_n = \frac{n}{2}(80 - 14n)$ $S_n = 40n - 7n^2$ 为了找到使得 $S_n$ 最大的序号 $n$ 的值，我们需要找到这个二次函数的最大值。由于二次项系数为负，这个函数是一个开口向下的抛物线，最大值出现在顶点处。顶点的 $n$ 坐标可以通过公式 $n = -\frac{b}{2a}$ 计算，其中 $a = -7$ 和 $b = 40$： $n = -\frac{40}{2(-7)}$ $n = -\frac{40}{-14}$ $n = \frac{20}{7}$ 由于 $n$ 必须是整数，我们取最接近 $\frac{20}{7}$ 的整数，即 $n = 3$。 <eoe> 【答案】前 $n$ 项和 $S_n$ 的公式为： $S_n = 40n - 7n^2$ 使得 $S_n$ 最大的序号 $n$ 的值为 $n = 3$。 <eoa> |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| wenxinyiyan | (I)【解析】根据等差数列的性质，我们有$a_{n} = a_{1} + (n-1)d$，其中$d$是公差。由题目给出的$a_{3}=5$和$a_{10}=-9$，我们可以列出方程组$\left\{ \begin{array}{l} a_{1} + 2d = 5 \\ a_{1} + 9d = -9 \end{array} \right.$，解这个方程组我们可以得到$a_{1}$和$d$的值，然后代入等差数列的通项公式即可得到答案。 <eoe> 【答案】解方程组$\left\{ \begin{array}{l} a_{1} + 2d = 5 \\ a_{1} + 9d = -9 \end{array} \right.$，得到$\left\{ \begin{array}{l} a_{1} = 9 \\ d = -2 \end{array} \right.$。 所以，等差数列的通项公式为$a_{n} = 9 - 2(n - 1) = 11 - 2n$。 (II)【解析】等差数列的前$n$项和公式为$S_{n} = \frac{n}{2}(a_{1} + a_{n})$，将$a_{1}$和$a_{n}$的值代入公式，我们可以得到$S_{n}$的表达式。然后，我们可以通过观察$S_{n}$的表达式，找出使得$S_{n}$最大的$n$的值。 <eoe> 【答案】等差数列的前$n$项和公式为$S_{n} = \frac{n}{2}(a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2}(9 + 11 - 2n) = - n^{2} + 10n = - (n - 5)^{2} + 25$。 显然，当$n = 5$时，$S_{n}$取得最大值。所以，使得$S_{n}$最大的序号$n$的值为$5$。 |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 根据等差数列的定义，通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] 已知 $a_3 = 5$，代入通项公式得： \[ a_3 = a_1 + 2d = 5 \quad \text{(1)} \] 已知 $a_{10} = -9$，代入通项公式得： \[ a_{10} = a_1 + 9d = -9 \quad \text{(2)} \] 现在我们有两个方程： \[ \begin{cases} a_1 + 2d = 5 \\ a_1 + 9d = -9 \end{cases} \] 通过解这个二元一次方程组，我们可以先用第二个方程减去第一个方程： \[ (a_1 + 9d) - (a_1 + 2d) = -9 - 5 \] \[ 7d = -14 \] \[ d = -2 \] 将 $d = -2$ 代入第一个方程： \[ a_1 + 2(-2) = 5 \] \[ a_1 - 4 = 5 \] \[ a_1 = 9 \] 因此，等差数列的通项公式为： \[ a_n = 9 + (n-1)(-2) \] \[ a_n = 9 - 2n + 2 \] \[ a_n = 11 - 2n \] <eoe> 【答案】等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_n = 11 - 2n$。<eoa> (2)【解析】 等差数列的前 $n$ 项和公式为： \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] 我们已经知道 $a_1 = 9$，通项公式 $a_n = 11 - 2n$，所以： \[ S_n = \frac{n}{2} \left( 9 + (11 - 2n) \right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} (20 - 2n) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot 2(10 - n) \] \[ S_n = n(10 - n) \] \[ S_n = 10n - n^2 \] 这是一个关于 $n$ 的二次函数，开口向下，其最大值出现在顶点处。二次函数 $S_n = -n^2 + 10n$ 的顶点 $n$ 的值为： \[ n = -\frac{b}{2a} \] 其中 $a = -1$，$b = 10$，所以： \[ n = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} \] \[ n = \frac{10}{2} \] \[ n = 5 \] <eoe> 【答案】等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 为 $S_n = 10n - n^2$，使得 $S_n$ 最大的序号 $n$ 的值为 5。<eoa> |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| gpto1 | (1)【解析】 等差数列的通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] 已知 $a_3 = 5$，代入公式： \[ a_3 = a_1 + 2d = 5 \quad \text{(1)} \] 已知 $a_{10} = -9$，代入公式： \[ a_{10} = a_1 + 9d = -9 \quad \text{(2)} \] 用 (2) 式减去 (1) 式： \[ (a_1 + 9d) - (a_1 + 2d) = -9 - 5 \] \[ 7d = -14 \] \[ d = -2 \] 将 $d = -2$ 代入 (1) 式： \[ a_1 + 2(-2) = 5 \] \[ a_1 - 4 = 5 \] \[ a_1 = 9 \] 所以，等差数列的通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] \[ a_n = 9 + (n - 1)(-2) \] \[ a_n = 9 - 2n + 2 \] \[ a_n = 11 - 2n \] <eoe> 【答案】 (1) 数列的通项公式为：\[ a_n = 11 - 2n \] <eoa> (2)【解析** 数列的前 $n$ 项和公式为： \[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \] 已知 $a_1 = 9$，$a_n = 11 - 2n$，代入得到： \[ S_n = \frac{n}{2}(9 + 11 - 2n) \] \[ S_n = \frac{n}{2}(20 - 2n) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \times 2(10 - n) \] \[ S_n = n(10 - n) \] \[ S_n = -n^2 + 10n \] $S_n$ 关于 $n$ 是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在抛物线的顶点。 顶点的 $n$ 坐标为： \[ n = -\frac{b}{2a} \] \[ n = -\frac{10}{2 \times (-1)} \] \[ n = 5 \] 因此，当 $n = 5$ 时，$S_n$ 取得最大值。 <eoe> 【答案** (2) 数列的前 $n$ 项和为：\[ S_n = -n^2 + 10n \]，当 $n = 5$ 时，$S_n$ 取得最大值。 <eoa> |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |
| deepseekv3 | (1)【解析】 题目给出等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{3}=5, a_{10}=-9$。首先，我们设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$。根据等差数列的通项公式： \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] 根据题意，可以得到以下两个方程： \[ a_3 = a_1 + 2d = 5 \] \[ a_{10} = a_1 + 9d = -9 \] 将这两个方程联立，解方程组： \[ \begin{cases} a_1 + 2d = 5 \\ a_1 + 9d = -9 \end{cases} \] 用第二个方程减去第一个方程： \[ (a_1 + 9d) - (a_1 + 2d) = -9 - 5 \] \[ 7d = -14 \] \[ d = -2 \] 将 $d = -2$ 代入第一个方程： \[ a_1 + 2(-2) = 5 \] \[ a_1 - 4 = 5 \] \[ a_1 = 9 \] 因此，等差数列的通项公式为： \[ a_n = 9 + (n-1)(-2) = 11 - 2n \] <eoe> 【答案】$\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_n = 11 - 2n$。<eoa> (2)【解析】 接下来，我们求等差数列的前 $n$ 项和 $S_n$。等差数列的前 $n$ 项和公式为： \[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \] 我们已知 $a_1 = 9$，$a_n = 11 - 2n$，因此： \[ S_n = \frac{n}{2}(9 + 11 - 2n) = \frac{n}{2}(20 - 2n) = n(10 - n) = 10n - n^2 \] 为了找到使得 $S_n$ 最大的序号 $n$ 的值，我们需要找到 $S_n$ 的最大值。这是一个关于 $n$ 的二次函数，开口向下，其最大值出现在顶点处。顶点的横坐标为： \[ n = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{-2} = 5 \] 因此，当 $n = 5$ 时，$S_n$ 取得最大值。 <eoe> 【答案】$\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = 10n - n^2$，使得 $S_n$ 最大的序号 $n$ 的值为 $n = 5$。<eoa> |
解: (1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得 $a_{1}+9 d=-9, a_{1}+2 d=5$ 解得 $d=-2, a_{1}=9$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$ （2）由（1）知 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$. 因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$. 所以 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值. |