| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们知道等比数列的前 \( n \) 项和公式为： \[ S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \] 题目中给定 \( a_1 = \frac{1}{3} \) 和 \( q = \frac{1}{3} \)，代入公式得到： \[ S_n = \frac{1}{3} \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n}{1 - \frac{1}{3}} \] 化简分母： \[ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] 所以： \[ S_n = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right) = \frac{1}{2} \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right) \] 注意到 \( a_n = a_1 q^{n-1} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^n \)，所以： \[ S_n = \frac{1}{2} \left(1 - a_n\right) \] 因此，证明了： \[ S_n = \frac{1 - a_n}{2} \] <eoe> 【答案】 \( S_n = \frac{1 - a_n}{2} \) <eoa> (2)【解析】 首先，我们知道 \( a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n \)，所以： \[ \log_3 a_n = \log_3 \left(\frac{1}{3}\right)^n = n \log_3 \left(\frac{1}{3}\right) = n \cdot (-1) = -n \] 因此，数列 \( \left\{b_n\right\} \) 的通项公式为： \[ b_n = \log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \ldots + \log_3 a_n \] 代入每一项的值： \[ b_n = -1 - 2 - 3 - \ldots - n \] 这是一个等差数列的前 \( n \) 项和，等差数列的前 \( n \) 项和公式为： \[ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \] 所以： \[ b_n = -\left(1 + 2 + 3 + \ldots + n\right) = -\frac{n(n+1)}{2} \] 因此，数列 \( \left\{b_n\right\} \) 的通项公式为： \[ b_n = -\frac{n(n+1)}{2} \] <eoe> 【答案】 \( b_n = -\frac{n(n+1)}{2} \) <eoa> |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| deepseekr1 | (1)【解析】 已知等比数列首项a₁=1/3，公比q=1/3。前n项和Sₙ的公式为： \[ S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \] 代入已知值： \[ S_n = \frac{\frac{1}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right) \] 而数列的通项aₙ为： \[ a_n = a_1 q^{n-1} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{3^n} \] 因此： \[ \frac{1 - a_n}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3^n}}{2} \] 与Sₙ表达式一致，故得证。 <eoe> 【答案】 证明：由等比数列求和公式， \[ S_n = \frac{\frac{1}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right) \] 又因为 \[ a_n = \frac{1}{3^n} \] 所以 \[ \frac{1 - a_n}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3^n}}{2} = S_n \] 得证。 <eoa> (2)【解析】 首先求aₖ的通项： \[ a_k = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} = \frac{1}{3^k} \] 则 \[ \log_3 a_k = \log_3 \left(\frac{1}{3^k}\right) = \log_3 3^{-k} = -k \] 因此： \[ b_n = \sum_{k=1}^n \log_3 a_k = \sum_{k=1}^n (-k) = -\sum_{k=1}^n k \] 等差数列求和得： \[ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \] 故 \[ b_n = -\frac{n(n+1)}{2} \] <eoe> 【答案】 由题设， \[ a_k = \frac{1}{3^k} \] 故 \[ \log_3 a_k = -k \] 所以 \[ b_n = -1 -2 - \cdots -n = -\frac{n(n+1)}{2} \] 数列的通项公式为： \[ b_n = -\frac{n(n+1)}{2} \] <eoa> |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| gpto1 | (1)【解析】 已知等比数列的首项 \( a_1 = \dfrac{1}{3} \)，公比 \( q = \dfrac{1}{3} \)。 首先，求第 \( n \) 项： \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = \left( \dfrac{1}{3} \right) \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n-1} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n} \] 接下来，求前 \( n \) 项和 \( S_n \)： \[ S_n = \dfrac{a_1 \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q} \] 代入已知值： \[ S_n = \dfrac{\dfrac{1}{3} \left(1 - \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n}\right)}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{1}{3} \left(1 - \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n}\right)}{\dfrac{2}{3}} \] 化简分母： \[ \dfrac{1}{3} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2} \] 因此： \[ S_n = \dfrac{1 - \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n}}{2} \] 因为 \( \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n} = a_n \)，所以： \[ S_n = \dfrac{1 - a_n}{2} \] <eoe> 【答案】 证明：\( S_n = \dfrac{1 - a_n}{2} \) <eoa> (2)【解析】 首先，计算每一项的对数： \[ \log_3 a_n = \log_3 \left( \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n} \right) = n \log_3 \left( \dfrac{1}{3} \right) \] 由于： \[ \log_3 \left( \dfrac{1}{3} \right) = \log_3 \left( 3^{-1} \right) = -1 \] 所以： \[ \log_3 a_n = n \times (-1) = -n \] 因此，数列 \( \{ b_n \} \) 的前 \( n \) 项和为： \[ b_n = \sum_{k=1}^{n} \log_3 a_k = \sum_{k=1}^{n} (-k) = -\sum_{k=1}^{n} k = -\dfrac{n(n+1)}{2} \] <eoe> 【答案】 数列 \( \{ b_n \} \) 的通项公式为：\( b_n = -\dfrac{n(n+1)}{2} \) <eoa> |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| GPT-4o | (1)【解析】 我们需要先找到等比数列前 \( n \) 项的和 \( S_n \) 的表达式。等比数列前 \( n \) 项和的公式为： \[ S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} \] 已知 \( a_1 = \frac{1}{3} \), 公比 \( q = \frac{1}{3} \)，代入公式： \[ S_n = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n}{1 - \frac{1}{3}} \] \[ S_n = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n}{\frac{2}{3}} \] \[ S_n = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \left(1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) \] \[ S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) \] 注意到 \( a_n = a_1 q^{n-1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \left( \frac{1}{3} \right)^n \)，因此我们有： \[ S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - a_n \right) \] 我们已经证明了 \( S_n = \frac{1 - a_n}{2} \)。<eoe> 【答案】\( S_n = \frac{1 - a_n}{2} \)<eoa> (2)【解析】 我们接下来求数列 \( \{b_n\} \) 的通项公式。根据题意，数列 \( b_n \) 是： \[ b_n = \log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \ldots + \log_3 a_n \] 已知 \( a_1 = \frac{1}{3} \)，公比 \( q = \frac{1}{3} \)，所以： \[ a_n = a_1 q^{n-1} = \left( \frac{1}{3} \right)^n \] 因此，\( \log_3 a_n = \log_3 \left( \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) = \log_3 3^{-n} = -n \log_3 3 = -n \)。 所以： \[ b_n = \log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \ldots + \log_3 a_n \] \[ b_n = -1 - 2 - 3 - \ldots - n \] 这是一个等差数列求和的问题，等差数列前 \( n \) 项和的公式为： \[ S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \] 其中，\( a_1 = -1 \)，\( a_n = -n \)，所以： \[ b_n = \frac{n(-1 + (-n))}{2} = \frac{n(-1 - n)}{2} = -\frac{n(n+1)}{2} \] 所以数列 \( \{b_n\} \) 的通项公式为： \[ b_n = -\frac{n(n+1)}{2} \)<eoe> 【答案】\( b_n = -\frac{n(n+1)}{2} \)<eoa> |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】先由等比数列的前n项和公式求出S_{n},再由a_{n}=\frac{1}{3}\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}化简,即可得出S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}的结论.由题意可知,S_{n}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-(\frac{1}{3})^{n}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\cdot(1-(\frac{1}{3})^{n})=\frac{1-a_{n}}{2}故S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}.. 最终结果是1/2*(1-(1/3)^n) |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| llama3.1-405B-Instruct | ( I ) 由等比数列的前 n 项和公式得 S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-(\frac{1}{3})^{n-1}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3})^{n-1})=\frac{1}{2}(1-a_{n})即S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}得证(II)由b_{n}=\log_{3}a_{1}+\log_{3}a_{2}+\cdots+\log_{3}a_{n}=\log_{3}(a_{1}\cdota_{2}\cdotsa_{n})=\log_{3}(\frac{1}{3})^{1+2+\cdots+n} |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(I)【解析】首先，我们知道等比数列的前$n$项和公式为：\n\\[ S_n = a_1 \\frac{1-q^n}{1-q} \\]\n其中，$a_1 = \\frac{1}{3}$，$q = \\frac{1}{3}$。代入这些值，我们得到：\n\\[ S_n = \\frac{1}{3} \\frac{1 - \\left(\\frac{1}{3}\\right)^n}{1 - \\frac{1}{3}} = \\frac{1}{3} \\frac{1 - \\left(\\frac{1}{3}\\right)^n}{\\frac{2}{3}} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3}{2} \\left(1 - \\left(\\frac{1}{3}\\right)^n\\right) = \\frac{1}{2} \\left(1 - \\left(\\frac{1}{3}\\right)^n\\right) \\]\n\n接下来，我们需要证明$S_n = \\frac{1-a_n}{2}$。我们知道$a_n = a_1 q^{n-1} = \\frac{1}{3} \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n-1} = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^n$。因此：\n\\[ 1 - a_n = 1 - \\left(\\frac{1}{3}\\right)^n \\]\n\n将$1 - a_n$代入$S_n$的表达式中，我们得到：\n\\[ S_n = \\frac{1}{2} \\left(1 - \\left(\\frac{1}{3}\\right)^n\\right) = \\frac{1 - a_n}{2} \\]\n\n这证明了$S_n = \\frac{1-a_n}{2}$。<eoe>\n【答案】$S_n = \\frac{1-a_n}{2}$<eoa>\n\n(II)【解析】我们需要求数列$\\{b_n\\}$的通项公式。首先，$b_n$是$\\log_3 a_1 + \\log_3 a_2 + \\ldots + \\log_3 a_n$。我们知道$a_n = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^n$，所以：\n\\[ \\log_3 a_n = \\log_3 \\left(\\frac{1}{3}\\right)^n = n \\log_3 \\left(\\frac{1}{3}\\right) = n \\cdot (-1) = -n \\]\n\n因此，$b_n$可以表示为：\n\\[ b_n = \\sum_{k=1}^n \\log_3 a_k = \\sum_{k=1}^n (-k) = -\\sum_{k=1}^n k \\]\n\n我们知道$\\sum_{k=1}^n k = \\frac{n(n+1)}{2}$，所以：\n\\[ b_n = -\\frac{n(n+1)}{2} \\]\n\n这就是数列$\\{b_n\\}$的通项公式。<eoe>\n【答案】$b_n = -\\frac{n(n+1)}{2}$<eoa>" | 证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 由题意知，等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的首项 $a_{1}=\\frac{1}{3}$，公比 $q=\\frac{1}{3}$。对于等比数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$，我们知道公式 $S_{n} = \\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}$。将已知条件代入公式中，得到 $S_{n} = \\frac{\\frac{1}{3}(1-\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n})}{1-\\frac{1}{3}}$。进一步化简得到 $S_{n} = \\frac{1}{2}(1-\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n})$。由于 $a_{n} = a_{1}q^{n-1} = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n}$，我们可以将 $a_{n}$ 代入到 $S_{n}$ 的表达式中，以证明 $S_{n}=\\frac{1-a_{n}}{2}$。<eoe>\n\n【答案】\n由等比数列的前 $n$ 项和公式 $S_{n} = \\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}$，代入 $a_{1}=\\frac{1}{3}$ 和 $q=\\frac{1}{3}$ 得到 $S_{n} = \\frac{\\frac{1}{3}(1-\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n})}{1-\\frac{1}{3}} = \\frac{\\frac{1}{3}(1-\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n})}{\\frac{2}{3}} = \\frac{1}{2}(1-\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n})$。由于 $a_{n} = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n}$，我们可以得到 $S_{n}=\\frac{1-a_{n}}{2}$，证明完毕。<eoa>\n\n(2)【解析】 要求数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的通项公式，首先需要理解 $b_{n}$ 的定义。由题意知，$b_{n}=\\log _{3} a_{1}+\\log _{3} a_{2}+\\ldots+\\log _{3} a_{n}$。由于 $a_{n} = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n}$，我们可以将 $a_{n}$ 的表达式代入到 $b_{n}$ 的定义中，得到 $b_{n}=\\log _{3} \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{1}+\\log _{3} \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{2}+\\ldots+\\log _{3} \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n}$。根据对数的性质，$\\log _{3} \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n} = n\\log _{3} \\left(\\frac{1}{3}\\right) = -n$。因此，$b_{n}$ 的表达式可以简化为 $b_{n} = -1-2-\\ldots-n$。这是一个等差数列的求和问题，等差数列的前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = \\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$，其中 $a_{1}$ 和 $a_{n}$ 分别是首项和第 $n$ 项。在本题中，$a_{1} = -1$，$a_{n} = -n$，代入公式得到 $b_{n} = \\frac{n(-1-n)}{2}$。<eoe>\n\n【答案】\n由 $a_{n} = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n}$，我们知道 $b_{n}=\\log _{3} a_{1}+\\log _{3} a_{2}+\\ldots+\\log _{3} a_{n}$ 可以写为 $b_{n}=\\log _{3} \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{1}+\\log _{3} \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{2}+\\ldots+\\log _{3} \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n} = -1-2-\\ldots-n = \\frac{n(-1-n)}{2}$。因此，数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的通项公式为 $b_{n} = \\frac{n(-1-n)}{2}$。<eoa>" | 证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| baichuan4 | (I)【解析】首先，我们知道等比数列的通项公式为 $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比。题目中给出了 $a_1 = \frac{1}{3}$ 和 $q = \frac{1}{3}$，所以我们可以将它们代入通项公式得到 $a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$。 接下来，我们需要证明 $S_n = \frac{1-a_n}{2}$。等比数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，将 $a_1$ 和 $q$ 的值代入，得到 $S_n = \frac{\frac{1}{3}(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{2}$。 由于 $a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$，所以 $S_n = \frac{1-a_n}{2}$，这就证明了题目中的结论。 |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| doubao | (1)【解析】等比数列的前 n 项和公式为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，已知$a_1=\frac{1}{3}$，$q=\frac{1}{3}$，则$S_n=\frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}}=\frac{1-(\frac{1}{3})^n}{2}$。又$a_n=a_1q^{n-1}=\frac{1}{3}\times(\frac{1}{3})^{n-1}=(\frac{1}{3})^n$，所以$\frac{1-a_n}{2}=\frac{1-(\frac{1}{3})^n}{2}$，即$S_n=\frac{1-a_n}{2}$得证。<eoe> 【答案】证明过程如上。<eoa> (2)【解析】因为$a_n=(\frac{1}{3})^n$，所以$\log_3 a_n=\log_3(\frac{1}{3})^n=-n$。则$b_n=\log_3 a_1+\log_3 a_2+\cdots+\log_3 a_n=-1-2-\cdots-n=-\frac{n(n+1)}{2}$。<eoe> 【答案】$b_n=-\frac{n(n+1)}{2}$。<eoa> |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要知道等比数列的前n项和公式，对于首项为$a_1$，公比为$q$的等比数列，其前n项和$S_n$可以表示为： \[ S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} \quad \text{当} \quad q \neq 1 \] \[ S_n = n a_1 \quad \text{当} \quad q = 1 \] 由于题目中给出的公比$q=\frac{1}{3}$，显然不等于1，因此我们可以使用第一个公式来计算$S_n$。然后，我们需要证明$S_n=\frac{1-a_{n}}{2}$，这需要我们将$S_n$的表达式和$a_n$的表达式联系起来，通过代数变换来证明这一点。<eoe> 【答案】首先，根据等比数列的前n项和公式，我们有： \[ S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} \] 将$a_1=\frac{1}{3}$和$q=\frac{1}{3}$代入上式，得到： \[ S_n = \frac{1}{3} \frac{1-(\frac{1}{3})^n}{1-\frac{1}{3}} \] \[ S_n = \frac{1}{3} \frac{1-\frac{1}{3^n}}{\frac{2}{3}} \] \[ S_n = \frac{1}{2} (1-\frac{1}{3^n}) \] \[ S_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n} \] 另一方面，根据等比数列的通项公式$a_n = a_1 q^{n-1}$，我们有： \[ a_n = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \] \[ a_n = \frac{1}{3^n} \] 因此，我们可以将$a_n$代入$S_n$的表达式中： \[ S_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} a_n \] \[ S_n = \frac{1}{2} (1 - a_n) \] 这就证明了$S_n=\frac{1-a_{n}}{2}$。<eoa> (2)【解析】对于数列$\left\{b_{n}\right\}$，我们知道它是数列$\left\{a_{n}\right\}$的对数和。由于$a_n$是一个等比数列，我们可以先写出$a_n$的通项公式，然后利用对数的性质来求解$b_n$的通项公式。对数的性质告诉我们，对于任意的正数$x$和$y$，有$\log(x \cdot y) = \log x + \log y$。因此，我们可以将$b_n$表示为对数的和，然后尝试将其简化为一个更简单的形式。<eoe> 【答案】首先，根据等比数列的通项公式，我们有： \[ a_n = a_1 q^{n-1} \] 代入$a_1=\frac{1}{3}$和$q=\frac{1}{3}$，得到： \[ a_n = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \] \[ a_n = \frac{1}{3^n} \] 现在，我们来计算$b_n$： \[ b_n = \log_{3} a_1 + \log_{3} a_2 + \ldots + \log_{3} a_n \] 由于对数的性质，我们可以将上式写为： \[ b_n = \log_{3} (a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n) \] \[ b_n = \log_{3} \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3^2} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{3^n}\right) \] \[ b_n = \log_{3} \left(\frac{1}{3^{1+2+\ldots+n}}\right) \] 我们知道$1+2+\ldots+n$是等差数列的前n项和，其和为$\frac{n(n+1)}{2}$，因此： \[ b_n = \log_{3} \left(\frac{1}{3^{\frac{n(n+1)}{2}}}\right) \] \[ b_n = -\frac{n(n+1)}{2} \log_{3} 3 \] 由于$\log_{3} 3 = 1$，我们得到： \[ b_n = -\frac{n(n+1)}{2} \] 这就是数列$\left\{b_{n}\right\}$的通项公式。<eoa> |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| kimi | (1)【解析】 首先，我们知道等比数列的通项公式为 $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比。根据题目给出的信息，我们有 $a_1 = \frac{1}{3}$ 和 $q = \frac{1}{3}$。 对于等比数列的前 $n$ 项和 $S_n$，其公式为 $S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$，当 $q \neq 1$ 时。 现在我们来证明 $S_n = \frac{1 - a_n}{2}$。 根据通项公式，我们可以得到 $a_n = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{3^n}$。 将 $a_n$ 代入 $S_n$ 的公式中，我们得到： $S_n = \frac{1}{3} \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3^n}{2} = \frac{3 - 3^n}{6}$ 接下来，我们将 $a_n$ 代入 $1 - a_n$ 中： $1 - a_n = 1 - \frac{1}{3^n}$ 将上式除以 2，我们得到： $\frac{1 - a_n}{2} = \frac{3^n - 1}{2 \cdot 3^n} = \frac{3 - 3^n}{6}$ 因此，我们证明了 $S_n = \frac{1 - a_n}{2}$。 <eoe> 【答案】$S_n = \frac{1 - a_n}{2}$<eoa> (2)【解析】 接下来，我们求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。 根据题目给出的 $b_n$ 的定义，我们有： $b_n = \log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \ldots + \log_3 a_n$ 由于 $\log_3 a_1 = \log_3 \left(\frac{1}{3}\right) = -1$，我们可以将 $b_n$ 表示为： $b_n = -1 + \log_3 \left(\frac{1}{3^2}\right) + \ldots + \log_3 \left(\frac{1}{3^n}\right)$ 注意到每一项都是 $-1$ 的倍数，我们可以将上式重写为： $b_n = -1 - 2 + \ldots + (-n)$ 这是一个等差数列的和，首项为 $-1$，公差为 $-1$，项数为 $n$。 等差数列的和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中 $a_1$ 是首项，$a_n$ 是第 $n$ 项。 将等差数列的和公式代入，我们得到： $b_n = \frac{n}{2}(-1 - (-n)) = \frac{n}{2}(-1 + n) = \frac{n^2 - n}{2}$ <eoe> 【答案】$b_n = \frac{n^2 - n}{2}$<eoa> |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 首先，根据等比数列的通项公式，我们有$a_{n} = a_{1} \times q^{n - 1}$，代入题目给出的$a_{1} = \frac{1}{3}$和$q = \frac{1}{3}$，得到$a_{n} = \left(\frac{1}{3}\right)^{n}$。 然后，根据等比数列的求和公式，我们有$S_{n} = \frac{a_{1} \times (1 - q^{n})}{1 - q}$，同样代入$a_{1} = \frac{1}{3}$和$q = \frac{1}{3}$，得到$S_{n} = \frac{\frac{1}{3} \times (1 - (\frac{1}{3})^{n})}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n}$。 最后，我们比较$S_{n}$和$\frac{1 - a_{n}}{2}$，发现它们相等，所以$S_{n} = \frac{1 - a_{n}}{2}$。 <eoe> 【答案】 $S_{n} = \frac{1 - a_{n}}{2}$ (2)【解析】 首先，根据对数的性质，我们有$\log_{3}a_{n} = \log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} = -n$。 然后，根据等差数列的求和公式，我们有$b_{n} = \log_{3}a_{1} + \log_{3}a_{2} + \ldots + \log_{3}a_{n} = - (1 + 2 + \ldots + n) = - \frac{n(n + 1)}{2}$。 <eoe> 【答案】 $b_{n} = - \frac{n(n + 1)}{2}$ |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| zhipu | (1)【解析】 首先，根据等比数列的定义，已知首项 \(a_1 = \frac{1}{3}\) 和公比 \(q = \frac{1}{3}\)，我们可以写出等比数列的第 \(n\) 项公式： \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \left( \frac{1}{3} \right)^n \] 接下来，我们需要求出前 \(n\) 项和 \(S_n\)。等比数列的前 \(n\) 项和公式为： \[ S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \] 将已知的首项 \(a_1 = \frac{1}{3}\) 和公比 \(q = \frac{1}{3}\) 代入公式中： \[ S_n = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) \] 注意到 \(a_n = \left( \frac{1}{3} \right)^n\)，所以可以进一步简化为： \[ S_n = \frac{1 - a_n}{2} \] 因此，我们证明了 \(S_n = \frac{1 - a_n}{2}\)。 <eoe> 【答案】 \[ S_n = \frac{1 - a_n}{2} \] <eoa> (2)【解析】 设 \(b_n = \log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \ldots + \log_3 a_n\)。 首先，利用对数的性质，我们知道： \[ \log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \ldots + \log_3 a_n = \log_3 (a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n) \] 由于 \(a_i = \left( \frac{1}{3} \right)^i\)，所以： \[ a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n = \left( \frac{1}{3} \right)^1 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot \ldots \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^n = \left( \frac{1}{3} \right)^{1+2+\ldots+n} \] 根据等差数列的求和公式 \(1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)，所以： \[ a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n = \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{n(n+1)}{2}} \] 因此： \[ b_n = \log_3 \left( \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{n(n+1)}{2}} \right) \] 利用对数的性质 \(\log_b (a^c) = c \log_b a\)，我们可以得到： \[ b_n = \frac{n(n+1)}{2} \log_3 \left( \frac{1}{3} \right) \] 由于 \(\log_3 \left( \frac{1}{3} \right) = \log_3 3^{-1} = -1\)，所以： \[ b_n = \frac{n(n+1)}{2} \cdot (-1) = -\frac{n(n+1)}{2} \] <eoe> 【答案】 \[ b_n = -\frac{n(n+1)}{2} \] <eoa> |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| gpto1 | (1)【解析】 已知等比数列的首项 \( a_1 = \dfrac{1}{3} \)，公比 \( q = \dfrac{1}{3} \)。 首先，求第 \( n \) 项： \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = \left( \dfrac{1}{3} \right) \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n-1} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n} \] 接下来，求前 \( n \) 项和 \( S_n \)： \[ S_n = \dfrac{a_1 \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q} \] 代入已知值： \[ S_n = \dfrac{\dfrac{1}{3} \left(1 - \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n}\right)}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{1}{3} \left(1 - \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n}\right)}{\dfrac{2}{3}} \] 化简分母： \[ \dfrac{1}{3} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2} \] 因此： \[ S_n = \dfrac{1 - \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n}}{2} \] 因为 \( \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n} = a_n \)，所以： \[ S_n = \dfrac{1 - a_n}{2} \] <eoe> 【答案】 证明：\( S_n = \dfrac{1 - a_n}{2} \) <eoa> (2)【解析】 首先，计算每一项的对数： \[ \log_3 a_n = \log_3 \left( \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n} \right) = n \log_3 \left( \dfrac{1}{3} \right) \] 由于： \[ \log_3 \left( \dfrac{1}{3} \right) = \log_3 \left( 3^{-1} \right) = -1 \] 所以： \[ \log_3 a_n = n \times (-1) = -n \] 因此，数列 \( \{ b_n \} \) 的前 \( n \) 项和为： \[ b_n = \sum_{k=1}^{n} \log_3 a_k = \sum_{k=1}^{n} (-k) = -\sum_{k=1}^{n} k = -\dfrac{n(n+1)}{2} \] <eoe> 【答案】 数列 \( \{ b_n \} \) 的通项公式为：\( b_n = -\dfrac{n(n+1)}{2} \) <eoa> |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |
| deepseekv3 | (1)【解析】 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=\frac{1}{3}$，公比 $q=\frac{1}{3}$。根据等比数列前 $n$ 项和的公式： \[ S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^n}{1 - q} \] 将已知值代入： \[ S_{n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{2}{3}} = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n}{2} \] 又因为 $a_{n} = a_{1} q^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^n$，所以： \[ S_{n} = \frac{1 - a_{n}}{2} \] <eoe> 【答案】 \[ S_{n} = \frac{1 - a_{n}}{2} \] <eoa> (2)【解析】 已知 $b_{n} = \log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \ldots + \log_{3} a_{n}$。首先，我们计算 $\log_{3} a_{k}$： \[ \log_{3} a_{k} = \log_{3} \left( \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} \right) = \log_{3} \left( \left(\frac{1}{3}\right)^k \right) = -k \] 因此， \[ b_{n} = \sum_{k=1}^{n} \log_{3} a_{k} = \sum_{k=1}^{n} (-k) = - \sum_{k=1}^{n} k = - \frac{n(n+1)}{2} \] <eoe> 【答案】 \[ b_{n} = -\frac{n(n+1)}{2} \] <eoa> |
证明: (1) $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3}$ $\therefore a_{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3^{n}}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}$ 又 $\because \frac{1-a_{n}}{2}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{2}=S_{n}$ $\therefore S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$ (II) $\because a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $\therefore b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}=-\log _{3} 3+\left(-2 \log _{3} 3\right)+\ldots+\left(-n \log _{3} 3\right)$ $=-\quad(1+2+\ldots+n)$ $=-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ $\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为: $b_{n}=-\frac{n(n+1)}{2}$ |