| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 在点 \( (0, f(0)) \) 处的切线方程。已知切线方程为 \( y = 4x + 4 \)，我们可以利用这个信息来求解 \( a \) 和 \( b \)。 1. 计算 \( f(0) \)： \[ f(0) = e^0 (a \cdot 0 + b) - 0^2 - 4 \cdot 0 = b \] 根据切线方程 \( y = 4x + 4 \)，当 \( x = 0 \) 时，\( y = 4 \cdot 0 + 4 = 4 \)，所以 \( f(0) = 4 \)。 因此，\( b = 4 \)。 2. 计算 \( f'(x) \)： \[ f(x) = e^x (ax + b) - x^2 - 4x \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx} [e^x (ax + b)] - \frac{d}{dx} [x^2 + 4x] \] \[ f'(x) = e^x (ax + b) + e^x a - 2x - 4 \] \[ f'(x) = e^x (ax + b + a) - 2x - 4 \] \[ f'(x) = e^x (a(x + 1) + b) - 2x - 4 \] 3. 计算 \( f'(0) \)： \[ f'(0) = e^0 (a(0 + 1) + b) - 2 \cdot 0 - 4 \] \[ f'(0) = a + b - 4 \] 根据切线方程 \( y = 4x + 4 \)，切线的斜率为 4，所以 \( f'(0) = 4 \)。 \[ a + b - 4 = 4 \] \[ a + 4 - 4 = 4 \] \[ a = 4 \] 因此，\( a = 4 \) 和 \( b = 4 \)。 <eoe> 【答案】\( a = 4 \), \( b = 4 \)<eoa> (2)【解析】 接下来，我们讨论函数 \( f(x) \) 的单调性，并求其极大值。 1. 代入 \( a \) 和 \( b \) 的值，得到函数： \[ f(x) = e^x (4x + 4) - x^2 - 4x \] \[ f(x) = 4xe^x + 4e^x - x^2 - 4x \] 2. 计算导数 \( f'(x) \)： \[ f'(x) = \frac{d}{dx} [4xe^x + 4e^x - x^2 - 4x] \] \[ f'(x) = 4e^x (x + 1) + 4e^x - 2x - 4 \] \[ f'(x) = 4e^x (x + 2) - 2x - 4 \] 3. 讨论单调性： 令 \( f'(x) = 0 \)： \[ 4e^x (x + 2) - 2x - 4 = 0 \] \[ 4e^x (x + 2) = 2x + 4 \] \[ 2e^x (x + 2) = x + 2 \] \[ (2e^x - 1)(x + 2) = 0 \] 解这个方程： \[ 2e^x - 1 = 0 \] \[ e^x = \frac{1}{2} \] \[ x = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2 \] \[ x + 2 = 0 \] \[ x = -2 \] 4. 确定极值点： 计算二阶导数 \( f''(x) \)： \[ f''(x) = \frac{d}{dx} [4e^x (x + 2) - 2x - 4] \] \[ f''(x) = 4e^x (x + 2) + 4e^x - 2 \] \[ f''(x) = 4e^x (x + 3) - 2 \] 在 \( x = -\ln 2 \) 处： \[ f''(-\ln 2) = 4e^{-\ln 2} (-\ln 2 + 3) - 2 \] \[ f''(-\ln 2) = 4 \cdot \frac{1}{2} (-\ln 2 + 3) - 2 \] \[ f''(-\ln 2) = 2(-\ln 2 + 3) - 2 \] \[ f''(-\ln 2) = 2(-\ln 2 + 3 - 1) \] \[ f''(-\ln 2) = 2(-\ln 2 + 2) \] 由于 \( -\ln 2 + 2 > 0 \)，所以 \( f''(-\ln 2) > 0 \)，在 \( x = -\ln 2 \) 处有极小值。 在 \( x = -2 \) 处： \[ f''(-2) = 4e^{-2} (-2 + 3) - 2 \] \[ f''(-2) = 4e^{-2} (1) - 2 \] \[ f''(-2) = \frac{4}{e^2} - 2 \] 由于 \( \frac{4}{e^2} < 2 \)，所以 \( f''(-2) < 0 \)，在 \( x = -2 \) 处有极大值。 5. 计算极大值： \[ f(-2) = 4(-2)e^{-2} + 4e^{-2} - (-2)^2 - 4(-2) \] \[ f(-2) = -8e^{-2} + 4e^{-2} - 4 + 8 \] \[ f(-2) = -4e^{-2} + 4 \] 因此，函数 \( f(x) \) 的极大值为 \( 4 - \frac{4}{e^2} \)。 <eoe> 【答案】函数 \( f(x) \) 在 \( x = -2 \) 处有极大值，极大值为 \( 4 - \frac{4}{e^2} \)。<eoa> |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 已知函数$f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4x$，在点$(0, f(0))$处切线方程为$y=4x+4$。首先求$a, b$的值： 1. 计算$f(0)$： $f(0) = e^{0}(a \cdot 0 + b) - 0^{2} - 4 \cdot 0 = b$。 由于切线在$x=0$处的$y$值为$4 \cdot 0 +4 =4$，故$b=4$。 2. 求导数$f'(x)$： $f'(x) = e^{x}(a x + b) + e^{x}a - 2x -4 = e^{x}(a x + b +a) -2x -4$。 代入$x=0$，导数值为$f'(0)=e^{0}(0 +4 +a) -0 -4 = (a+4) -4 =a$。 因切线斜率为4，故$a=4$。 综上，$a=4$，$b=4$。<eoe> 【答案】 $a=4$，$b=4$。<eoa> (2)【解析】 函数为$f(x)=e^{x}(4x+4)-x^{2}-4x$。求导并分解： $f'(x) = (x+2)(4e^{x}-2)$。 临界点为$x=-2$和$x=-\ln 2$。分析单调性： - 当$x < -2$时，$x+2<0$，$4e^{x}-2<0$，故$f'(x)>0$，函数递增。 - 当$-2 <x < -\ln 2$时，$x+2>0$，$4e^{x}-2<0$，故$f'(x)<0$，函数递减。 - 当$x > -\ln 2$时，$x+2>0$，$4e^{x}-2>0$，故$f'(x)>0$，函数递增。 极大值出现在$x=-2$处，计算： $f(-2)=e^{-2}(-4) -4 +8 =4 - \frac{4}{e^{2}}$。<eoe> 【答案】 函数$f(x)$在区间$(-\infty, -2)$上单调递增，在$(-2, -\ln 2)$上单调递减，在$(-\ln 2, +\infty)$上单调递增。极大值为$4\left(1 - \frac{1}{e^{2}}\right)$。<eoa> |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| gpto1 | （1）【解析】 首先计算 \(f(0)\) 和 \(f'(0)\)。 由题，函数 \(f(x)=e^{x}(a x + b) - x^{2} - 4x\)。 计算 \(f(0)\)： \[ f(0) = e^{0}(a \cdot 0 + b) - 0^{2} - 4 \cdot 0 = b \] 计算导数 \(f'(x)\)： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[e^{x}(a x + b)] - 2x - 4 \] 用乘积法则： \[ \frac{d}{dx}[e^{x}(a x + b)] = e^{x}(a x + b) + e^{x} \cdot a = e^{x}(a x + b + a) \] 所以， \[ f'(x) = e^{x}(a x + b + a) - 2x - 4 \] \[ f'(0) = e^{0}(a \cdot 0 + b + a) - 0 - 4 = a + b - 4 \] 由于曲线在点 \((0, f(0))\) 处的切线方程为 \(y = 4x + 4\)，所以当 \(x = 0\) 时，切线的斜率为 4，且切点的函数值为 4。 因此， \[ f(0) = b = 4 \] \[ f'(0) = a + b - 4 = 4 \] 代入 \(b = 4\)，得到： \[ a + 4 - 4 = 4 \] \[ a = 4 \] <eoe> 【答案】 \(a = 4\)，\(b = 4\)。<eoa> （2）【解析】 已知 \(a = 4\)，\(b = 4\)，所以函数为： \[ f(x) = e^{x}(4x + 4) - x^{2} - 4x \] \[ f(x) = 4x e^{x} + 4 e^{x} - x^{2} - 4x \] 计算导数 \(f'(x)\)： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[4x e^{x} + 4 e^{x}] - 2x - 4 \] \[ = [4 e^{x} + 4x e^{x}] + 4 e^{x} - 2x - 4 \] \[ = 4 e^{x} (1 + x) + 4 e^{x} - 2x - 4 \] \[ = 4 e^{x} (2 + x) - 2x - 4 \] 整理得： \[ f'(x) = e^{x} (8 + 4x) - 2x - 4 \] 令 \(f'(x) = 0\)： \[ e^{x} (8 + 4x) - 2x - 4 = 0 \] 两边同时除以 2： \[ e^{x} (4 + 2x) - x - 2 = 0 \] 令 \(x + 2 = t\)，则： \[ e^{x} (2x + 4) = 2 (x + 2) e^{x} = 2 t e^{x} \] \[ - (x + 2) = -t \] 所以方程变为： \[ 2 t e^{x} - t = 0 \] \[ t (2 e^{x} - 1) = 0 \] 解得： 1）\(t = 0\)，即 \(x + 2 = 0 \)，所以 \(x = -2\)； 2）\(2 e^{x} - 1 = 0\)，解得 \(e^{x} = \dfrac{1}{2}\)，所以 \(x = -\ln 2\)。 然后根据导数符号确定函数的单调性。 在区间 \((- \infty , -2)\) 内，选取 \(x = -3\)，计算 \(f'(-3)\)： \[ f'(-3) = e^{-3}(8 + 4 \cdot (-3)) - 2(-3) - 4 \] \[ = e^{-3}(8 - 12) + 6 - 4 \] \[ = e^{-3}(-4) + 2 \] \[ < 0 + 2 \] \[ < 2 \] 因为 \(e^{-3}(-4)\) 为负值，且数值很小，所以 \(f'(-3) > 0\)。 但是由于 \(e^{-3}\) 非常小，且乘以 \(-4\) 后为负值，加上 2 后，\(f'(-3)\) 仍为正值。 在区间 \((-2, -\ln 2)\) 内，选取 \(x = -1\)，计算 \(f'(-1)\)： \[ f'(-1) = e^{-1}(8 + 4 \cdot (-1)) - 2(-1) - 4 \] \[ = e^{-1}(8 - 4) + 2 - 4 \] \[ = e^{-1} \cdot 4 - 2 \] \[ \approx 0.3679 \times 4 - 2 \] \[ \approx 1.4716 - 2 \] \[ \approx -0.5284 \] 所以 \(f'(-1) < 0\)。 在区间 \((- \ln 2, +\infty)\) 内，选取 \(x = 0\)，计算 \(f'(0)\)： \[ f'(0) = e^{0}(8 + 4 \cdot 0) - 2 \cdot 0 - 4 \] \[ = (8) - 0 - 4 \] \[ = 4 \] \[ > 0 \] 因此，函数在 \(x = -2\) 处导数为零，且导数由正变负，函数在此处取得极大值； 在 \(x = -\ln 2\) 处导数也为零，且导数由负变正，函数在此处取得极小值。 故函数的单调性为： - 当 \(x < -2\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增； - 当 \(-2 < x < -\ln 2\) 时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减； - 当 \(x > -\ln 2\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增。 计算函数的极大值 \(f(-2)\)： \[ f(-2) = 4 \cdot (-2) e^{-2} + 4 e^{-2} - (-2)^{2} - 4 \cdot (-2) \] \[ = -8 e^{-2} + 4 e^{-2} - 4 + 8 \] \[ = -4 e^{-2} + 4 \] \[ = 4 - 4 e^{-2} \] <eoe> 【答案】 （II）函数在区间 \((-\infty, -2)\) 上单调递增，在区间 \((-2, -\ln 2)\) 上单调递减，在区间 \((- \ln 2, +\infty)\) 上单调递增。 函数的极大值为 \(f(-2) = 4 - 4 e^{-2}\)。<eoa> |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| GPT-4o | (1) 【解析】 首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 在点 \( (0, f(0)) \) 处的切线方程。已知 \( f(x) = e^x(ax + b) - x^2 - 4x \)。 首先计算 \( f(0) \)： \[ f(0) = e^0(a \cdot 0 + b) - 0^2 - 4 \cdot 0 = b \] 因此，点 \( (0, f(0)) \) 处的坐标为 \( (0, b) \)。 根据题目，曲线 \( y = f(x) \) 在点 \( (0, f(0)) \) 处的切线方程为 \( y = 4x + 4 \)，即在点 \( (0, b) \) 处，切线方程为 \( y = 4x + 4 \)。 其次，我们计算函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)： \[ f'(x) = \frac{d}{dx} [e^x(ax + b) - x^2 - 4x] \] \[ f'(x) = e^x(ax + b) + e^x \cdot a - 2x - 4 \] \[ f'(x) = e^x(ax + b + a) - 2x - 4 \] \[ f'(x) = e^x(a(x + 1) + b) - 2x - 4 \] 在 \( x = 0 \) 处，\( f'(0) \) 应等于切线的斜率，即 4： \[ f'(0) = e^0(a(0 + 1) + b) - 2 \cdot 0 - 4 \] \[ f'(0) = a + b - 4 \] \[ a + b - 4 = 4 \] \[ a + b = 8 \] 结合先前计算的 \( f(0) = b \) 以及 \( y = 4x + 4 \) 的常数项为 4，得出： \[ b = 4 \] 代入 \( b = 4 \) 到 \( a + b = 8 \)： \[ a + 4 = 8 \] \[ a = 4 \] <eoe> 【答案】 \( a = 4, b = 4 \) <eoa> (II) 【解析】 我们已经找到 \( a \) 和 \( b \) 的值，即 \( f(x) = e^x(4x + 4) - x^2 - 4x \)。现在讨论函数 \( f(x) \) 的单调性。 首先计算 \( f(x) \) 的导数： \[ f'(x) = e^x(4(x + 1) + 4) - 2x - 4 \] \[ f'(x) = e^x(4x + 4 + 4) - 2x - 4 \] \[ f'(x) = e^x(4x + 8) - 2x - 4 \] 为了确定 \( f(x) \) 的单调性，求导数 \( f'(x) \) 的零点： \[ e^x(4x + 8) - 2x - 4 = 0 \] 令 \( u = e^x \)，则有： \[ u(4x + 8) - 2x - 4 = 0 \] \[ 4ux + 8u - 2x - 4 = 0 \] \[ (4u - 2)x + 8u - 4 = 0 \] 解这个方程： \[ x = \frac{4 - 8u}{4u - 2} \] \[ x = \frac{4(1 - 2u)}{2(2u - 1)} \] \[ x = \frac{2(1 - 2u)}{2u - 1} \] 为了讨论符号，需要找到 \( f'(x) \) 的符号变化规律。考虑 \( f'(x) \) 的增减性： 当 \( x \to \infty \)，\( e^x \to \infty \)，所以 \( f'(x) \to \infty \)，即 \( f(x) \) 单调递增； 当 \( x \to -\infty \)，\( e^x \to 0 \)，所以 \( f'(x) \approx -2x \)，即 \( f(x) \) 单调递减。 因此，函数 |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】(I)由题意,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4,所以f(0)=4,即b=4,又f'(x)=e^{x}(a-ax+b)-2x-4,所以f'(0)=a+b-4=4,即a=4,所以a=4,b=4.(II)由(I)可得f(x)=e^{x}(4x+4)-x^{2}-4x,所以f'(x)=e^{x}(4-4x+4)-2x-4=e^{x}(8-4x)-2x-4=e^{x}(8-4x)-2(x+2)=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-(x+2))=2(e^{x}(4-x)-( |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)【解析】 由题意可得f(0)=b=4,即b=4,又f'(x)=e^{x}(ax+b+1)-2x-4,所以f'(0)=b+1=4+1=5,又由曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4,所以f'(0)=4,所以a=-1,即a=-1,b=4. <eoe> 【答案】 a=-1,b=4. <eoa> (2)【解析】 当x\in(-\infty,0)时,f'(x)=e^{x}(-x+5)-2x-4=e^{x}(-x+5)-2(x+2)>0,所以f(x)在(-\infty,0)上单调递增;当x\ |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(I)【解析】首先，我们知道函数 \\( f(x) = e^x(ax + b) - x^2 - 4x \\) 在点 \\( (0, f(0)) \\) 处的切线方程为 \\( y = 4x + 4 \\)。这意味着在 \\( x = 0 \\) 处，函数的值和导数的值分别为 4 和 4。\n\n1. 计算 \\( f(0) \\)：\n \\[\n f(0) = e^0(a \\cdot 0 + b) - 0^2 - 4 \\cdot 0 = b\n \\]\n 由于切线方程在 \\( x = 0 \\) 处的值为 4，所以 \\( f(0) = 4 \\)，即 \\( b = 4 \\)。\n\n2. 计算 \\( f'(x) \\)：\n \\[\n f'(x) = \\frac{d}{dx} \\left( e^x(ax + b) - x^2 - 4x \\right)\n \\]\n \\[\n f'(x) = e^x(ax + b) + e^x \\cdot a - 2x - 4\n \\]\n \\[\n f'(x) = e^x(ax + b + a) - 2x - 4\n \\]\n 在 \\( x = 0 \\) 处，导数的值为 4：\n \\[\n f'(0) = e^0(a \\cdot 0 + b + a) - 2 \\cdot 0 - 4 = b + a - 4\n \\]\n 由于 \\( f'(0) = 4 \\)，所以 \\( b + a - 4 = 4 \\)，即 \\( b + a = 8 \\)。\n\n 结合 \\( b = 4 \\)，我们得到：\n \\[\n 4 + a = 8 \\implies a = 4\n \\]\n\n综上所述，\\( a = 4 \\) 和 \\( b = 4 \\)。<eoe>\n【答案】\\( a = 4, b = 4 \\)<eoa>\n\n(II)【解析】我们已经知道 \\( f(x) = e^x(4x + 4) - x^2 - 4x \\)，即 \\( f(x) = 4e^x(x + 1) - x^2 - 4x \\)。\n\n1. 计算 \\( f'(x) \\)：\n \\[\n f'(x) = 4e^x(x + 1) + 4e^x - 2x - 4\n \\]\n \\[\n f'(x) = 4e^x(x + 2) - 2x - 4\n \\]\n\n2. 讨论 \\( f'(x) \\) 的符号：\n \\[\n f'(x) = 4e^x(x + 2) - 2x - 4\n \\]\n 令 \\( f'(x) = 0 \\)：\n \\[\n 4e^x(x + 2) - 2x - 4 = 0\n \\]\n \\[\n 2e^x(x + 2) = x + 2\n \\]\n \\[\n (2e^x - 1)(x + 2) = 0\n \\]\n 这给出两个解：\n \\[\n 2e^x - 1 = 0 \\implies e^x = \\frac{1}{2} \\implies x = -\\ln 2\n \\]\n \\[\n x + 2 = 0 \\implies x = -2\n \\]\n\n3. 确定 \\( f(x) \\) 的单调性：\n - 当 \\( x < -2 \\)，\\( 2e^x - 1 < 0 \\)，所以 \\( f'(x) > 0 \\)，函数递增。\n - 当 \\( -2 < x < -\\ln 2 \\)，\\( 2e^x - 1 < 0 \\)，所以 \\( f'(x) < 0 \\)，函数递减。\n - 当 \\( x > -\\ln 2 \\)，\\( 2e^x - 1 > 0 \\)，所以 \\( f'(x) > 0 \\)，函数递增。\n\n4. 计算极大值：\n \\[\n f(-\\ln 2) = 4e^{-\\ln 2}(-\\ln 2 + 1) - (-\\ln 2)^2 - 4(-\\ln 2)\n \\]\n \\[\n = 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot (1 - \\ln 2) - (\\ln 2)^2 + 4 \\ln 2\n \\]\n \\[\n = 2(1 - \\ln 2) - (\\ln 2)^2 + 4 \\ln 2\n \\]\n \\[\n = 2 - 2 \\ln 2 - (\\ln 2)^2 + 4 \\ln 2\n \\]\n \\[\n = 2 + 2 \\ln 2 - (\\ln 2)^2\n \\]\n\n综上所述，函数 \\( f(x) \\) 在 \\( x = -\\ln 2 \\) 处取得极大值。<eoe>\n【答案】极大值为 \\( 2 + 2 \\ln 2 - (\\ln 2)^2 \\)<eoa>" | 解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 首先，我们利用已知的切线方程来求解 $a$ 和 $b$ 的值。切线方程在点 $(0,f(0))$ 处的斜率为切线的斜率，同时也是函数 $f(x)$ 在该点的导数。因此，我们首先计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，然后利用 $f'(0) = 4$ 和 $f(0) = 4$ 来解出 $a$ 和 $b$ 的值。\n<eoe>\n\n【答案】\n给定 $f(x) = e^x(ax + b) - x^2 - 4x$，则有\n\\[f'(x) = e^x(ax + b) + ae^x - 2x - 4\\]\n\n在点 $(0, f(0))$ 处，有 $f(0) = e^0(b) - 0^2 - 4*0 = b$，且切线方程为 $y = 4x + 4$，因此 $f(0) = 4$，得到 $b = 4$。\n\n接下来，我们求导数 $f'(x)$ 在 $x = 0$ 处的值，得到\n\\[f'(0) = e^0(b) + ae^0 - 2*0 - 4 = b + a - 4\\]\n\n由于已知 $f'(0) = 4$，代入 $b = 4$，得到\n\\[4 + a - 4 = 4\\]\n\\[a = 4\\]\n\n因此，我们得到 $a = 4$ 和 $b = 4$。\n\n(II)【解析】 现在我们已经求得 $a$ 和 $b$ 的值，可以将它们代入 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 的表达式中，然后分析 $f(x)$ 的单调性。为了求 $f(x)$ 的极大值，我们需要找到 $f'(x) = 0$ 的解，即 $f(x)$ 的临界点。分析这些临界点两侧 $f'(x)$ 的符号变化，可以判断函数的单调性，进而确定极大值点。\n<eoe>\n\n【答案】\n代入 $a = 4$ 和 $b = 4$，得到\n\\[f(x) = e^x(4x + 4) - x^2 - 4x\\]\n\\[f'(x) = e^x(4x + 4) + 4e^x - 2x - 4 = e^x(4x + 8) - 2x - 4\\]\n\n为了分析 $f(x)$ 的单调性，我们先求 $f'(x) = 0$ 的解，即\n\\[e^x(4x + 8) - 2x - 4 = 0\\]\n\\[4xe^x + 8e^x - 2x - 4 = 0\\]\n\\[4e^x(x + 2) - 2(x + 2) = 0\\]\n\\[(4e^x - 2)(x + 2) = 0\\]\n\n显然 $4e^x - 2 = 0$ 对于 $x$ 的解是 $x = \\ln(1/2)$，但 $x + 2 = 0$ 的解是 $x = -2$。注意到对于 $x > -2$，$f'(x) > 0$；对于 $x < -2$，$f'(x) < 0$。因此，$f(x)$ 在 $x = -2$ 处由减转增，即 $x = -2$ 是 $f(x)$ 的一个极大值点。\n\n计算 $f(-2)$ 的值，得到\n\\[f(-2) = e^{-2}(4(-2) + 4) - (-2)^2 - 4(-2) = e^{-2}(-4) - 4 + 8 = 4(1 - e^{-2})\\]\n\n因此，$f(x)$ 的极大值为 $4(1 - e^{-2})$。" | 解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| baichuan4 | (I) 【解析】首先，我们需要找到函数 $f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线斜率，这个斜率等于函数在该点的导数。给定的切线方程是 $y=4x+4$，所以切线的斜率是 4。因此，我们有 $f'(0) = 4$。 接下来，我们计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$： $$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x}(ax+b) - x^{2} - 4x) = e^{x}(ax+b) + e^{x}a - 2x - 4.$$ 将 $x=0$ 代入 $f'(x)$ 中，得到 $f'(0) = e^{0}(a \cdot 0 + b) + e^{0}a - 2 \cdot 0 - 4 = a + b - 4$。由于 $f'(0) = 4$，我们得到 $a + b - 4 = 4$，即 $a + b = 8$。 另外，由于给定的切线方程在 $x=0$ 时，$y=4$，我们可以得出 $f(0) = 4$。将 $x=0$ 代入 $f(x)$ 中，得到 $f(0) = e^{0}(a \cdot 0 + b) - 0^{2} - 4 \cdot 0 = b$。因此，$b = 4$。 将 $b = 4$ 代入 $a + b = 8$ 中，得到 $a = 4$。 所以，$a = 4$，$b = 4$。 【答案】$a = 4$，$b = 4$。 (II) 【解析】现在我们已经知道了 $a$ 和 $b$ 的值，可以讨论 $f(x)$ 的单调性并求极大值。 首先，我们将 $a$ 和 $b$ 的值代入 $f(x)$ 中，得到 $f(x) = e^{x}(4x+4) - x^{2} - 4x$。 接着，我们再次计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$： $$f'(x) = 4e^{x}(x+1) + e^{x}(4x+4) - 2x - 4 = 4e^{x}x + 4e^{x} + 4xe^{x} + 4e^{x} - 2x - 4 = 8e^{x}(x+1) - 2x - 4.$$ 为了讨论单调性，我们需要找出 $f'(x)$ 的符号变化点，即令 $f'(x) = 0$： $$8e^{x}(x+1) - 2x - 4 = 0.$$ 这是一个超越方程，不容易直接求解。但是，我们可以通过观察导数的正负变化来讨论单调性。注意到当 $x > 0$ 时，$e^{x}$ 是正的，且随着 $x$ 的增加而增加；当 $x < 0$ 时，$e^{x}$ 是正的，但随 $x$ 的减少而减少。同时，$x+1$ 在 $x > -1$ 时为正，在 $x < -1$ 时为负。 因此，当 $x > 0$ 或 $x < -1$ 时，$8e^{x}(x+1)$ 项为正，导数 $f'(x)$ 可能为正，函数 $f(x)$ 单调递增；当 $-1 < x < 0$ 时，$8e^{x}(x+1)$ 项为负，导数 $f'(x)$ 可能为负，函数 $f(x)$ 单调递减。 为了找到极大值，我们需要找到 $f'(x)$ 从正变负的点，即 $f'(x)$ 的零点。由于这个方程不容易直接求解，我们可以通过数值方法找到近似的零点，或者通过图形方法观察 $f'(x)$ 的变化趋势。 假设我们通过数值方法找到了 $f'(x)$ 的一个零点 $x_0$，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值。我们可以将 $x_0$ 代入 $f(x)$ 中计算极大值 $f(x_0)$。 【答案】假设 $x_0$ 是 $f'(x)$ 的零点，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值 $f(x_0)$。具体的 $x_0$ 和 $f(x_0)$ 需要通过数值方法或图形方法确定。 |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| doubao | (1)【解析】已知曲线$y=f(x)$在点$(0,f(0))$处切线方程为$y=4x+4$，先求$f(0)$，$f(0)=e^{0}(a\times0+b)-0^{2}-4\times0=b$。对$f(x)$求导可得$f'(x)=e^{x}(ax+a+b)-2x-4$，则$f'(0)=a+b-4$。因为切线斜率为$4$，所以可得方程组$\begin{cases}b=4\\a+b-4=4\end{cases}$，将$b=4$代入$a+b-4=4$可得$a+4-4=4$，即$a=4$。 <eoe> 【答案】$a=4$，$b=4$。 <eoa> (2)【解析】由(1)知$f(x)=4e^{x}(x+1)-x^{2}-4x$，$f'(x)=4e^{x}(x+2)-2x-4=4(x+2)(e^{x}-\frac{1}{2})$。令$f'(x)=0$，可得$x=-2$或$x=-\ln2$。当$x<-2$或$x>-\ln2$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增；当$-2<x<-\ln2$时，$f'(x)<0$，函数$f(x)$单调递减。所以当$x=-2$时，函数取得极大值，$f(-2)=4(1-e^{-2})$。 <eoe> 【答案】函数$f(x)$在$(-\infty,-2)$和$(-\ln2,+\infty)$上单调递增，在$(-2,-\ln2)$上单调递减，极大值为$4(1-e^{-2})$。 <eoa> |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要知道曲线在某一点的切线方程是由该点的导数决定的。对于函数 $f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$，我们首先需要求出它的导数 $f'(x)$。然后，我们将点 $(0, f(0))$ 的坐标代入切线方程 $y=4x+4$，得到 $f(0)=4$。接着，我们将点 $(0, f(0))$ 的横坐标 $x=0$ 代入导数 $f'(x)$，得到 $f'(0)=4$。最后，我们通过解这两个方程，就可以求出 $a$ 和 $b$ 的值。<eoe> 【答案】首先，求导数 $f'(x)$： $$f'(x)=\frac{d}{dx}[e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x]=e^{x}(a x+b)+e^{x}a-2x-4$$ 然后，将点 $(0, f(0))$ 的坐标代入切线方程 $y=4x+4$，得到 $f(0)=4$。将 $x=0$ 代入 $f(x)$，得到 $f(0)=e^{0}(a \cdot 0+b)-0^{2}-4 \cdot 0=b=4$。 接着，将点 $(0, f(0))$ 的横坐标 $x=0$ 代入导数 $f'(x)$，得到 $f'(0)=4$。将 $x=0$ 代入 $f'(x)$，得到 $f'(0)=e^{0}(a \cdot 0+b)+e^{0}a-2 \cdot 0-4=a+b-4=4$。 现在我们有两个方程： $$b=4$$ $$a+b-4=4$$ 将 $b=4$ 代入第二个方程，得到 $a+4-4=4$，解得 $a=4$。 所以，$a$ 和 $b$ 的值分别为 $a=4$ 和 $b=4$。<eoa> (2)【解析】为了讨论函数 $f(x)$ 的单调性，我们需要分析导数 $f'(x)$ 的符号。如果 $f'(x)>0$，则函数在该区间内单调递增；如果 $f'(x)<0$，则函数在该区间内单调递减。通过分析导数的符号变化，我们可以确定函数的单调递增区间和单调递减区间。然后，我们可以通过找到导数的零点来确定函数的极值点。如果导数在某点从正变负，则该点是极大值点；如果导数在某点从负变正，则该点是极小值点。通过求解导数等于零的方程，我们可以找到极值点，并进一步求出函数的极大值。<eoe> 【答案】我们已经求得导数 $f'(x)=e^{x}(a x+b)+e^{x}a-2x-4$。将 $a=4$ 和 $b=4$ 代入，得到： $$f'(x)=e^{x}(4x+4)+e^{x} \cdot 4-2x-4$$ 化简得： $$f'(x)=4e^{x}x+4e^{x}+4e^{x}-2x-4$$ $$f'(x)=4e^{x}x+8e^{x}-2x-4$$ 为了讨论 $f'(x)$ 的符号，我们需要找到 $f'(x)=0$ 的解。设 $f'(x)=0$，得到： $$4e^{x}x+8e^{x}-2x-4=0$$ 这是一个非线性方程，不容易直接求解。但是，我们可以通过观察和分析来确定函数的单调性。注意到当 $x$ 趋近于负无穷时，$e^{x}$ 趋近于0，而 $-2x$ 趋近于正无穷，所以 $f'(x)$ 趋近于负无穷；当 $x$ 趋近于正无穷时，$e^{x}$ 和 $4e^{x}$ 的增长速度远大于 $-2x$ 的增长速度，所以 $f'(x)$ 趋近于正无穷。这意味着 $f'(x)$ 必须在某处从负变正，因此函数 $f(x)$ 必须在某区间内先递减后递增。 为了找到极值点，我们可以考虑 $f'(x)$ 的导数 $f''(x)$： $$f''(x)=\frac{d}{dx}[4e^{x}x+8e^{x}-2x-4]$$ $$f''(x)=4e^{x}x+4e^{x}-2$$ 我们可以通过观察 $f''(x)$ 的符号来确定 $f'(x)$ 的极值点。当 $x$ 足够小（负数）时，$4e^{x}x$ 项占主导，$f''(x)$ 为负，这意味着 $f'(x)$ 在递减；当 $x$ 足够大（正数）时，$4e^{x}$ 项占主导，$f''(x)$ 为正，这意味着 $f'(x)$ 在递增。因此，存在一个临界点 $x_0$ 使得 $f''(x_0)=0$，在这个点 $f'(x)$ 取得极小值，即 $f(x)$ 的极大值点。 为了找到 $x_0$，我们解方程 $f''(x)=0$： $$4e^{x}x+4e^{x}-2=0$$ $$4e^{x}(x+1)-2=0$$ $$e^{x}(x+1)=\frac{1}{2}$$ $$x+1=\frac{1}{2}e^{-x}$$ $$x=\frac{1}{2}e^{-x}-1$$ 这个方程同样不容易直接求解，但是我们可以通过图形或者数值方法来估计解。假设我们找到了这样的 $x_0$，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值。为了求出极大值，我们将 $x_0$ 代入原函数 $f(x)$： $$f(x_0)=e^{x_0}(4x_0+4)-x_0^{2}-4x_0$$ 由于我们没有具体的数值解，我们无法给出具体的极大值。但是，如果我们能够找到 $x_0$ 的具体值，我们就可以通过上述公式计算出 $f(x)$ 的极大值。<eoa> |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| kimi | (1)【解析】首先，我们需要找到函数 $f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程。已知切线方程为 $y=4x+4$。 根据切线的定义，我们知道在点 $(0, f(0))$ 处，函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 等于切线的斜率。因此，我们首先需要求出函数 $f(x)$ 的导数。 由于 $f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$，我们可以使用乘积法则求导： $$f'(x) = \frac{d}{dx}[e^{x}(a x+b)] - \frac{d}{dx}[x^{2}] - \frac{d}{dx}[4 x]$$ $$f'(x) = e^{x}(a x+b) + a e^{x} - 2x - 4$$ 接下来，我们需要找到 $f(0)$ 和 $f'(0)$ 的值。将 $x=0$ 代入原函数和导数中： $$f(0) = e^{0}(a \cdot 0 + b) - 0^{2} - 4 \cdot 0 = b$$ $$f'(0) = e^{0}(a \cdot 0 + b) + a e^{0} - 2 \cdot 0 - 4 = b + a - 4$$ 根据切线方程 $y=4x+4$，我们知道在点 $(0, f(0))$ 处，$f(0)=4$ 且 $f'(0)=4$。因此，我们可以得到两个方程： $$b = 4$$ $$b + a - 4 = 4$$ 解这两个方程，我们可以得到 $a$ 和 $b$ 的值。 <eoe> 【答案】解方程组得： $$b = 4$$ $$a - 4 + 4 = 4$$ $$a = 4$$ 所以，$a = 4$，$b = 4$。<eoa> (2)【解析】现在我们已经知道 $a$ 和 $b$ 的值，我们可以求出函数 $f(x)$ 的导数： $$f(x) = e^{x}(4x+4) - x^{2} - 4x$$ $$f'(x) = e^{x}(4x+4) + 4e^{x} - 2x - 4$$ 为了讨论 $f(x)$ 的单调性，我们需要找到导数 $f'(x)$ 的零点。我们可以通过分析 $f'(x)$ 的符号来确定函数的单调区间。 首先，我们观察到 $f'(x)$ 是一个连续函数，因为它是由连续函数相加和相乘得到的。我们可以通过求导数的导数（即二阶导数）来确定函数的凹凸性。 $$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{x}(4x+4) + 4e^{x} - 2x - 4]$$ $$f''(x) = e^{x}(4x+4) + 4e^{x} - 2$$ 接下来，我们需要找到 $f'(x)$ 的零点。这可以通过解方程 $f'(x) = 0$ 来实现。我们可以通过观察或者使用数值方法来找到零点。 一旦找到零点，我们就可以确定函数在每个区间上的单调性。如果 $f'(x) > 0$，则函数在该区间上单调递增；如果 $f'(x) < 0$，则函数在该区间上单调递减。 最后，我们可以通过比较函数在临界点的值来确定极大值。 <eoe> 【答案】首先，我们解方程 $f'(x) = 0$ 来找到临界点： $$e^{x}(4x+4) + 4e^{x} - 2x - 4 = 0$$ $$e^{x}(4x+8) - 2x - 4 = 0$$ 这是一个非线性方程，我们可以通过数值方法或者图形方法来找到它的解。假设我们找到了一个解 $x_0$，那么我们可以确定在 $(-\infty, x_0)$ 上 $f'(x) < 0 |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 首先，我们需要求出函数$f(x)$的导数$f^{\prime}(x)$，利用导数的定义和运算法则，我们有 $f^{\prime}(x) = e^{x}(ax + a + b) - 2x - 4$ 然后，根据题目给出的切线方程$y = 4x + 4$，我们知道在点$(0, f(0))$处，切线的斜率等于函数在该点的导数，即$f^{\prime}(0) = 4$。同时，切点的纵坐标等于函数在该点的值，即$f(0) = 4$。因此，我们可以列出如下方程组： $\begin{cases} f^{\prime}(0) = e^{0}(a \cdot 0 + a + b) - 2 \cdot 0 - 4 = a + b - 4 = 4 \\ f(0) = e^{0}(a \cdot 0 + b) - 0^{2} - 4 \cdot 0 = b = 4 \end{cases}$ 解这个方程组，我们可以得到$a = 4, b = 4$。 【答案】 $a = 4, b = 4$ (2)【解析】 首先，我们将求得的$a, b$值代入函数$f(x)$和它的导数$f^{\prime}(x)$，得到 $f(x) = e^{x}(4x + 4) - x^{2} - 4x$ $f^{\prime}(x) = e^{x}(4x + 8) - 2x - 4 = 4(x + 2)(e^{x} - \frac{1}{2})$ 然后，我们根据导数的正负来判断函数的单调性。当$f^{\prime}(x) > 0$时，解得$x < -2$或$x > -\ln2$，所以函数在区间$(-\infty, -2)$和$(-\ln2, +\infty)$上单调递增；当$f^{\prime}(x) < 0$时，解得$-2 < x < -\ln2$，所以函数在区间$(-2, -\ln2)$上单调递减。因此，函数在$x = -2$处取得极大值，极大值为$f(-2) = 4(e^{-2} + 2)$。 【答案】 函数$f(x)$在区间$(-\infty, -2)$和$(-\ln2, +\infty)$上单调递增，在区间$(-2, -\ln2)$上单调递减，极大值为$f(-2) = 4(e^{-2} + 2)$。 |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们需要利用已知条件求出 \(a\) 和 \(b\) 的值。 已知函数 \(f(x) = e^x(ax + b) - x^2 - 4x\)，且曲线 \(y = f(x)\) 在点 \((0, f(0))\) 处的切线方程为 \(y = 4x + 4\)。 1. 计算 \(f(0)\): \[ f(0) = e^0(a \cdot 0 + b) - 0^2 - 4 \cdot 0 = b \] 根据切线方程 \(y = 4x + 4\)，当 \(x = 0\) 时，\(y = 4\)，所以 \(f(0) = 4\)。 因此，得到 \(b = 4\)。 2. 计算导数 \(f'(x)\): \[ f(x) = e^x(ax + b) - x^2 - 4x \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x(ax + b) \right) - \frac{d}{dx} (x^2) - \frac{d}{dx} (4x) \] 利用乘积法则： \[ \frac{d}{dx} \left( e^x(ax + b) \right) = e^x(ax + b)' + (e^x)'(ax + b) = e^x(a) + e^x(ax + b) = e^x(ax + a + b) \] 所以： \[ f'(x) = e^x(ax + a + b) - 2x - 4 \] 3. 计算 \(f'(0)\): \[ f'(0) = e^0(a \cdot 0 + a + b) - 2 \cdot 0 - 4 = a + b - 4 \] 根据切线方程的斜率，切线的斜率为 4，所以 \(f'(0) = 4\)。 因此，得到方程： \[ a + b - 4 = 4 \] \[ a + b = 8 \] 结合之前得到的 \(b = 4\)，代入上式： \[ a + 4 = 8 \] \[ a = 4 \] 综上所述，得到 \(a = 4\)，\(b = 4\)。 <eoe> 【答案】 \[ a = 4, \, b = 4 \] <eoa> (2)【解析】 接下来，我们讨论函数 \(f(x)\) 的单调性，并求其极大值。 已知 \(f(x) = e^x(4x + 4) - x^2 - 4x\)，我们首先求导数 \(f'(x)\)： \[ f(x) = 4e^x(x + 1) - x^2 - 4x \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 4e^x(x + 1) \right) - \frac{d}{dx} (x^2) - \frac{d}{dx} (4x) \] \[ \frac{d}{dx} \left( 4e^x(x + 1) \right) = 4e^x(x + 1)' + 4(e^x)'(x + 1) = 4e^x + 4e^x(x + 1) = 4e^x(x + 2) \] 所以： \[ f'(x) = 4e^x(x + 2) - 2x - 4 \] 令 \(f'(x) = 0\)，解方程： \[ 4e^x(x + 2) - 2x - 4 = 0 \] \[ 4e^x(x + 2) = 2x + 4 \] \[ 2e^x(x + 2) = x + 2 \] 考虑 \(x = -2\) 是一个显然的解，因为代入后等式成立。对于其他解，我们可以将方程改写为： \[ 2e^x = 1 \quad \text{当} \, x \neq -2 \] \[ e^x = \frac{1}{2} \] \[ x = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2 \] 所以，\(f'(x) = 0\) 的解为 \(x = -2\) 和 \(x = -\ln 2\)。 接下来，我们通过 \(f'(x)\) 的符号讨论 \(f(x)\) 的单调性： - 当 \(x < -2\) 时，\(x + 2 < 0\) 且 \(e^x > 0\)，所以 \(4e^x(x + 2) < 0\)，且 \(-2x - 4 < 0\)，因此 \(f'(x) < 0\)，函数在此区间单调递减。 - 当 \(-2 < x < -\ln 2\) 时，\(x + 2 > 0\) 且 \(e^x > 0\)，但 \(4e^x(x + 2)\) 的增长速度小于线性项 \(2x + 4\)，因此 \(f'(x) > 0\)，函数在此区间单调递增。 - 当 \(x > -\ln 2\) 时，\(4e^x(x + 2)\) 的增长速度大于线性项 \(2x + 4\)，因此 \(f'(x) > 0\)，函数在此区间单调递增。 综上所述，函数 \(f(x)\) 在 \(x = -2\) 处取得极小值，在 \(x = -\ln 2\) 处取得极大值。 最后，计算极大值 \(f(-\ln 2)\)： \[ f(-\ln 2) = 4e^{-\ln 2}(-\ln 2 + 1) - (-\ln 2)^2 - 4(-\ln 2) \] \[ e^{-\ln 2} = \frac{1}{2} \] \[ f(-\ln 2) = 4 \cdot \frac{1}{2}(-\ln 2 + 1) - (\ln 2)^2 + 4 \ln 2 \] \[ f(-\ln 2) = 2(-\ln 2 + 1) - (\ln 2)^2 + 4 \ln 2 \] \[ f(-\ln 2) = -2 \ln 2 + 2 - (\ln 2)^2 + 4 \ln 2 \] \[ f(-\ln 2) = 2 + 2 \ln 2 - (\ln 2)^2 \] <eoe> 【答案】 函数 \(f(x)\) 在 \(x = -\ln 2\) 处取得极大值，极大值为： \[ 2 + 2 \ln 2 - (\ln 2)^2 \] <eoa> |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| gpto1 | （1）【解析】 首先计算 \(f(0)\) 和 \(f'(0)\)。 由题，函数 \(f(x)=e^{x}(a x + b) - x^{2} - 4x\)。 计算 \(f(0)\)： \[ f(0) = e^{0}(a \cdot 0 + b) - 0^{2} - 4 \cdot 0 = b \] 计算导数 \(f'(x)\)： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[e^{x}(a x + b)] - 2x - 4 \] 用乘积法则： \[ \frac{d}{dx}[e^{x}(a x + b)] = e^{x}(a x + b) + e^{x} \cdot a = e^{x}(a x + b + a) \] 所以， \[ f'(x) = e^{x}(a x + b + a) - 2x - 4 \] \[ f'(0) = e^{0}(a \cdot 0 + b + a) - 0 - 4 = a + b - 4 \] 由于曲线在点 \((0, f(0))\) 处的切线方程为 \(y = 4x + 4\)，所以当 \(x = 0\) 时，切线的斜率为 4，且切点的函数值为 4。 因此， \[ f(0) = b = 4 \] \[ f'(0) = a + b - 4 = 4 \] 代入 \(b = 4\)，得到： \[ a + 4 - 4 = 4 \] \[ a = 4 \] <eoe> 【答案】 \(a = 4\)，\(b = 4\)。<eoa> （2）【解析】 已知 \(a = 4\)，\(b = 4\)，所以函数为： \[ f(x) = e^{x}(4x + 4) - x^{2} - 4x \] \[ f(x) = 4x e^{x} + 4 e^{x} - x^{2} - 4x \] 计算导数 \(f'(x)\)： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[4x e^{x} + 4 e^{x}] - 2x - 4 \] \[ = [4 e^{x} + 4x e^{x}] + 4 e^{x} - 2x - 4 \] \[ = 4 e^{x} (1 + x) + 4 e^{x} - 2x - 4 \] \[ = 4 e^{x} (2 + x) - 2x - 4 \] 整理得： \[ f'(x) = e^{x} (8 + 4x) - 2x - 4 \] 令 \(f'(x) = 0\)： \[ e^{x} (8 + 4x) - 2x - 4 = 0 \] 两边同时除以 2： \[ e^{x} (4 + 2x) - x - 2 = 0 \] 令 \(x + 2 = t\)，则： \[ e^{x} (2x + 4) = 2 (x + 2) e^{x} = 2 t e^{x} \] \[ - (x + 2) = -t \] 所以方程变为： \[ 2 t e^{x} - t = 0 \] \[ t (2 e^{x} - 1) = 0 \] 解得： 1）\(t = 0\)，即 \(x + 2 = 0 \)，所以 \(x = -2\)； 2）\(2 e^{x} - 1 = 0\)，解得 \(e^{x} = \dfrac{1}{2}\)，所以 \(x = -\ln 2\)。 然后根据导数符号确定函数的单调性。 在区间 \((- \infty , -2)\) 内，选取 \(x = -3\)，计算 \(f'(-3)\)： \[ f'(-3) = e^{-3}(8 + 4 \cdot (-3)) - 2(-3) - 4 \] \[ = e^{-3}(8 - 12) + 6 - 4 \] \[ = e^{-3}(-4) + 2 \] \[ < 0 + 2 \] \[ < 2 \] 因为 \(e^{-3}(-4)\) 为负值，且数值很小，所以 \(f'(-3) > 0\)。 但是由于 \(e^{-3}\) 非常小，且乘以 \(-4\) 后为负值，加上 2 后，\(f'(-3)\) 仍为正值。 在区间 \((-2, -\ln 2)\) 内，选取 \(x = -1\)，计算 \(f'(-1)\)： \[ f'(-1) = e^{-1}(8 + 4 \cdot (-1)) - 2(-1) - 4 \] \[ = e^{-1}(8 - 4) + 2 - 4 \] \[ = e^{-1} \cdot 4 - 2 \] \[ \approx 0.3679 \times 4 - 2 \] \[ \approx 1.4716 - 2 \] \[ \approx -0.5284 \] 所以 \(f'(-1) < 0\)。 在区间 \((- \ln 2, +\infty)\) 内，选取 \(x = 0\)，计算 \(f'(0)\)： \[ f'(0) = e^{0}(8 + 4 \cdot 0) - 2 \cdot 0 - 4 \] \[ = (8) - 0 - 4 \] \[ = 4 \] \[ > 0 \] 因此，函数在 \(x = -2\) 处导数为零，且导数由正变负，函数在此处取得极大值； 在 \(x = -\ln 2\) 处导数也为零，且导数由负变正，函数在此处取得极小值。 故函数的单调性为： - 当 \(x < -2\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增； - 当 \(-2 < x < -\ln 2\) 时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减； - 当 \(x > -\ln 2\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增。 计算函数的极大值 \(f(-2)\)： \[ f(-2) = 4 \cdot (-2) e^{-2} + 4 e^{-2} - (-2)^{2} - 4 \cdot (-2) \] \[ = -8 e^{-2} + 4 e^{-2} - 4 + 8 \] \[ = -4 e^{-2} + 4 \] \[ = 4 - 4 e^{-2} \] <eoe> 【答案】 （II）函数在区间 \((-\infty, -2)\) 上单调递增，在区间 \((-2, -\ln 2)\) 上单调递减，在区间 \((- \ln 2, +\infty)\) 上单调递增。 函数的极大值为 \(f(-2) = 4 - 4 e^{-2}\)。<eoa> |
解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-5350ee6a-2640-9139-ac76-dc75dbcf4fc1', 'request_id': '5350ee6a-2640-9139-ac76-dc75dbcf4fc1'} | 解: ( I ) $\because f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$, $\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$, $\because$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处切线方程为 $y=4 x+4$ $\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$ $\therefore b=4, a+b=8$ $\therefore a=4, b=4$ (II ) 由（I ) 知, $f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4($ $x+2)\left(e^{x}-\frac{1}{2}\right)$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$ $\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时, $f^{\prime}($ x) $<0$ $\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$, 单调减区间是 $(-2$, $-\ln 2)$ 当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$. |