| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们将曲线 \(C_1\) 的参数方程化为直角坐标方程。已知参数方程为： \[ \begin{cases} x = 4 + 5 \cos t \\ y = 5 + 5 \sin t \end{cases} \] 我们可以通过消去参数 \(t\) 来得到直角坐标方程。注意到： \[ x - 4 = 5 \cos t \quad \text{和} \quad y - 5 = 5 \sin t \] 将这两个方程平方并相加： \[ (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = (5 \cos t)^2 + (5 \sin t)^2 \] \[ (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 25 (\cos^2 t + \sin^2 t) \] \[ (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 25 \] 这表示曲线 \(C_1\) 是以 \((4, 5)\) 为圆心，半径为 5 的圆。 接下来，我们将这个圆的方程转换为极坐标方程。极坐标系中，点 \((x, y)\) 的极坐标表示为 \((\rho, \theta)\)，其中： \[ x = \rho \cos \theta \quad \text{和} \quad y = \rho \sin \theta \] 将这些代入圆的方程： \[ (\rho \cos \theta - 4)^2 + (\rho \sin \theta - 5)^2 = 25 \] 展开并简化： \[ (\rho \cos \theta - 4)^2 + (\rho \sin \theta - 5)^2 = 25 \] \[ \rho^2 \cos^2 \theta - 8 \rho \cos \theta + 16 + \rho^2 \sin^2 \theta - 10 \rho \sin \theta + 25 = 25 \] \[ \rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta + 41 = 25 \] \[ \rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta + 41 = 25 \] \[ \rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta = -16 \] \[ \rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta = -16 \] 因此，曲线 \(C_1\) 的极坐标方程为： \[ \rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta = -16 \] <eoe> 【答案】\(\rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta = -16\)<eoa> (2)【解析】 我们需要求曲线 \(C_1\) 和 \(C_2\) 的交点的极坐标。曲线 \(C_2\) 的极坐标方程为： \[ \rho = 2 \sin \theta \] 将这个方程代入 \(C_1\) 的极坐标方程： \[ (2 \sin \theta)^2 - 8 (2 \sin \theta) \cos \theta - 10 (2 \sin \theta) \sin \theta = -16 \] \[ 4 \sin^2 \theta - 16 \sin \theta \cos \theta - 20 \sin^2 \theta = -16 \] \[ 4 \sin^2 \theta - 20 \sin^2 \theta - 16 \sin \theta \cos \theta = -16 \] \[ -16 \sin^2 \theta - 16 \sin \theta \cos \theta = -16 \] \[ -16 (\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta) = -16 \] \[ \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta = 1 \] 我们需要解这个方程。设 \(\sin \theta = u\)，则 \(\cos \theta = \sqrt{1 - u^2}\)，方程变为： \[ u^2 + u \sqrt{1 - u^2} = 1 \] 这个方程比较复杂，我们可以通过数值方法或图形法来求解。假设 \(\theta\) 的解为 \(\theta_1, \theta_2, \ldots\)，则对应的 \(\rho\) 为： \[ \rho = 2 \sin \theta \] 我们可以通过数值方法求得具体的 \(\theta\) 值。假设 \(\theta = \frac{\pi}{2}\) 时，\(\sin \theta = 1\)，则： \[ \rho = 2 \sin \frac{\pi}{2} = 2 \] 因此，交点的极坐标为： \[ (\rho, \theta) = (2, \frac{\pi}{2}) \] 通过进一步的数值计算或图形法，可以找到其他可能的交点。 <eoe> 【答案】交点的极坐标为 \((2, \frac{\pi}{2})\) 及其他可能的交点。<eoa> |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=4+5\cos t \\ y=5+5\sin t\end{cases}$，其直角坐标方程可表示为 $(x-4)^2 + (y-5)^2 = 25$。将 $x = \rho \cos \theta$ 和 $y = \rho \sin \theta$ 代入，得到： \[ (\rho \cos \theta -4)^2 + (\rho \sin \theta -5)^2 = 25 \] 展开并整理： \[ \rho^2 -8\rho \cos \theta -10\rho \sin \theta +16 = 0 \] 即 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho^2 -8\rho \cos \theta -10\rho \sin \theta +16 = 0$。 <eoe> 【答案】 $\rho^2 -8\rho \cos \theta -10\rho \sin \theta +16=0$ <eoa> (2)【解析】 曲线 $C_2$ 的极坐标方程 $\rho = 2\sin \theta$ 转换为直角坐标系方程为 $x^2 + (y-1)^2 = 1$。联立 $C_1$ 的直角坐标方程 $(x-4)^2 + (y-5)^2 = 25$，消去 $x^2 + y^2$ 后得到 $x + y = 2$。代入 $y = 2 - x$ 到 $x^2 + (y-1)^2 = 1$，解得交点为 $(0, 2)$ 和 $(1, 1)$。转换为极坐标： - $(0, 2)$ 对应 $\rho = 2$，$\theta = \frac{\pi}{2}$； - $(1, 1)$ 对应 $\rho = \sqrt{2}$，$\theta = \frac{\pi}{4}$。 <eoe> 【答案】 交点的极坐标为 $\boxed{\left(2, \dfrac{\pi}{2}\right)}$ 和 $\boxed{\left(\sqrt{2}, \dfrac{\pi}{4}\right)}$。 <eoa> |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| gpto1 | (1)【解析】 曲线 \(C_1\) 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 + 5 \cos t \\ y = 5 + 5 \sin t \end{array} \right. \] 将参数 \(t\) 消去，首先表示 \(\cos t\) 和 \(\sin t\)： \[ \cos t = \frac{x - 4}{5}, \quad \sin t = \frac{y - 5}{5} \] 由于 \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\)，代入得： \[ \left( \frac{x - 4}{5} \right)^2 + \left( \frac{y - 5}{5} \right)^2 = 1 \] 两边同乘 \(25\)，得到： \[ (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 25 \] 这是以点 \((4, 5)\) 为圆心，半径为 \(5\) 的圆的方程。 在极坐标系中，\(x = \rho \cos \theta\)，\(y = \rho \sin \theta\)，代入得： \[ (\rho \cos \theta - 4)^2 + (\rho \sin \theta - 5)^2 = 25 \] 展开并整理： \[ (\rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta + 16) = 0 \] 因此，\(C_1\) 的极坐标方程为： \[ \rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta + 16 = 0 \] <eoe> 【答案】 (1) \(C_1\) 的极坐标方程为： \[ \rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta + 16 = 0 \] <eoa> (2)【解析】 已知 \(C_2\) 的极坐标方程为： \[ \rho = 2 \sin \theta \] 将其代入 \(C_1\) 的方程： \[ (2 \sin \theta)^2 - 8 \times 2 \sin \theta \cos \theta - 10 \times 2 \sin \theta \sin \theta + 16 = 0 \] 计算并简化： \[ 4 \sin^2 \theta - 16 \sin \theta \cos \theta - 20 \sin^2 \theta + 16 = 0 \] 合并同类项： \[ -16 \sin^2 \theta - 16 \sin \theta \cos \theta + 16 = 0 \] 两边同时除以 \(-16\)： \[ \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - 1 = 0 \] 利用三角恒等式，\(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\)，代入： \[ 1 - \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - 1 = 0 \] 简化得： \[ -\cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta = 0 \] 提取公因子 \(\cos \theta\)： \[ \cos \theta (-\cos \theta + \sin \theta) = 0 \] 解得： 1）\(\cos \theta = 0\)，即 \(\theta = \frac{\pi}{2}, \ \frac{3\pi}{2}\) 2）\(-\cos \theta + \sin \theta = 0\)，即 \(\sin \theta = \cos \theta\)，所以 \(\theta = \frac{\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}\) 考虑到 \(\rho \geqslant 0\)，且 \(\rho = 2 \sin \theta\)： - 当 \(\theta = \frac{\pi}{2}\) 时，\(\sin \theta = 1\)，\(\rho = 2\) - 当 \(\theta = \frac{3\pi}{2}\) 时，\(\sin \theta = -1\)，\(\rho = -2\)（舍去负值） - 当 \(\theta = \frac{\pi}{4}\) 时，\(\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\rho = \sqrt{2}\) - 当 \(\theta = \frac{5\pi}{4}\) 时，\(\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\rho = -\sqrt{2}\)（舍去负值） 因此，交点的极坐标为： \[ \left( \rho = 2, \ \theta = \frac{\pi}{2} \right), \quad \left( \rho = \sqrt{2}, \ \theta = \frac{\pi}{4} \right) \] <eoe> 【答案】 (2) \(C_1\) 与 \(C_2\) 的交点的极坐标为： \[ \left( \rho = 2, \ \theta = \frac{\pi}{2} \right), \quad \left( \rho = \sqrt{2}, \ \theta = \frac{\pi}{4} \right) \] <eoa> |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| GPT-4o | (1)【解析】 首先，我们需要将曲线 $C_{1}$ 的参数方程转换为极坐标方程。 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 + 5 \cos t \\ y = 5 + 5 \sin t \end{array} \right. \] 在极坐标系中，$x = \rho \cos \theta$ 和 $y = \rho \sin \theta$。我们将参数方程转换成直角坐标系的形式： \[ (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 25 \] 因为 $x = \rho \cos \theta$ 和 $y = \rho \sin \theta$，代入得到： \[ (\rho \cos \theta - 4)^2 + (\rho \sin \theta - 5)^2 = 25 \] 展开并简化上面的方程： \[ (\rho \cos \theta - 4)^2 + (\rho \sin \theta - 5)^2 = 25 \] \[ (\rho \cos \theta)^2 - 8 \rho \cos \theta + 16 + (\rho \sin \theta)^2 - 10 \rho \sin \theta + 25 = 25 \] \[ \rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta + 41 = 25 \] 由于 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，简化得： \[ \rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta + 41 = 25 \] \[ \rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta + 16 = 0 \] 这是曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程。 <eoe> 【答案】 \[ \rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta + 16 = 0 \] <eoa> (2)【解析】 接下来，我们需要求曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 的交点。曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho = 2 \sin \theta$。 将 $\rho = 2 \sin \theta$ 代入 $C_{1}$ 的极坐标方程进行求解： \[ (2 \sin \theta)^2 - 8 (2 \sin \theta) \cos \theta - 10 (2 \sin \theta) \sin \theta + 16 = 0 \] \[ 4 \sin^2 \theta - 16 \sin \theta \cos \theta - 20 \sin^ \theta + 16 = 0 \] \[ 4 \sin^2 \theta - 20 \sin \theta - 16 \sin \theta \cos \theta + 16 = 0 \] 简化上面的方程： \[ 4 \sin^2 \theta - 16 \sin \theta \cos \theta - 20 \sin \theta + 16 = 0 \] 这是一元三角方程，我们试着将其分解： \[ 4 \sin^2 \theta - 20 \sin \theta - 16 \sin \theta \cos \theta + 16 = 0 \] 我们重新排列并简化该方程： \[ 4 \sin^2 \theta + 16 = 20 \sin \theta + 16 \sin \theta \cos \theta \] \[ 4 \sin^2 \theta + 16 = 20 \sin \theta + 16 \sin \theta \cos \theta \] 由此我们可以看到 $\sin \theta = 0$ 或者 $\sin \theta = 1$，$\cos \theta = 0$。计算得： \[ \sin \theta = 1 \] 求得 $\theta = \frac{\pi}{2}$ (在 $0 \leq \theta < 2\pi$ 范围内)。 此时，$\rho = 2 \sin \theta = 2$。 交点为： \[ (\rho, \theta) = (2, \frac{\pi}{2}) \] <eoe> 【答案】 \[ (\rho, \theta) = (2, \frac{\pi}{2}) \] <eoa |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】先由参数方程求出x,y,再由x,y求出\rho,\theta,即可得出极坐标方程.由\begin{cases}x=4+5\cos t\\y=5+5\sin t\end{cases},得x^{2}+y^{2}=(4+5\cos t)^{2}+(5+5\sin t)^{2}=41+40\cos t+40\sin t,即\rho^{2}=41+40\cos\theta+40\sin\theta,即\rho^{2}-40\cos\theta-40\sin\theta-41=0,即(\rho-20)^{2}=20^{2}+20^{2}-41,即\rho-20=20\sqrt{2}\sin(\theta-\frac{\pi}{4}),即\rho=20+20\sqrt{2}\sin(\theta-\frac{\pi}{4}).(2)由\begin{cases}\rho=20+20\sqrt{2}\sin(\theta-\frac{\pi}{4})\\\rho=2\sin\theta\end{cases},得20+20\sqrt{2}\sin(\theta-\frac{\pi}{4})=2\sin\theta,即\sin\theta-\sqrt{2}\sin(\theta-\frac{\pi}{4})-10=0,即\sin\theta-\sin(\theta-\frac{\pi}{4})-10=0,即2\sin\frac{\pi}{8}\cos(\theta-\frac{\pi}{8})-10=0,即\cos(\theta-\frac{\pi}{8})=\frac{10}{2\sin\frac{\pi}{8}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2-1}}=5\sqrt{2+2\sqrt{2}},\theta-\frac{\pi}{8}=\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}},\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5\sqrt{2+2\sqrt{2}}),\theta=\frac{\pi}{8}+\arccos(5 |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由题意,曲线C_{1}的参数方程为\begin{cases}x=4+5\cos\\y=5+5\sin\end{cases}t\in[0,2\pi),化为直角坐标方程得(x-4)^{2}+(y-5)^{2}=25,即x^{2}+y^{2}-8x-10y+16=0,所以\rho^{2}-8\rho\cos\theta-10\rho\sin\theta+16=0,即\rho^{2}-2(4\cos\theta+5\sin\theta)\rho+16=0,解得\rho=4\cos\theta+5\sin\theta+4\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin\theta+1}或\rho=4\cos\theta+5\sin\theta |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们需要将曲线 $C_{1}$ 的参数方程转换为直角坐标方程。给定的参数方程为：\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}x=4+5 \\cos t \\\\ y=5+5 \\sin t\\end{array}\\right.\n\\]\n我们可以将其转换为标准形式。注意到 $x$ 和 $y$ 的形式类似于圆的参数方程，我们可以写成：\n\\[\n(x-4)^2 + (y-5)^2 = 25\n\\]\n这表示一个以 $(4, 5)$ 为圆心，半径为 5 的圆。\n\n接下来，我们将这个直角坐标方程转换为极坐标方程。极坐标系中，$x = \\rho \\cos \\theta$ 和 $y = \\rho \\sin \\theta$。将这些代入圆的方程：\n\\[\n(\\rho \\cos \\theta - 4)^2 + (\\rho \\sin \\theta - 5)^2 = 25\n\\]\n展开并简化这个方程：\n\\[\n(\\rho \\cos \\theta - 4)^2 + (\\rho \\sin \\theta - 5)^2 = 25\n\\]\n\\[\n\\rho^2 \\cos^2 \\theta - 8 \\rho \\cos \\theta + 16 + \\rho^2 \\sin^2 \\theta - 10 \\rho \\sin \\theta + 25 = 25\n\\]\n\\[\n\\rho^2 (\\cos^2 \\theta + \\sin^2 \\theta) - 8 \\rho \\cos \\theta - 10 \\rho \\sin \\theta + 41 = 25\n\\]\n由于 $\\cos^2 \\theta + \\sin^2 \\theta = 1$，方程简化为：\n\\[\n\\rho^2 - 8 \\rho \\cos \\theta - 10 \\rho \\sin \\theta + 41 = 25\n\\]\n\\[\n\\rho^2 - 8 \\rho \\cos \\theta - 10 \\rho \\sin \\theta + 16 = 0\n\\]\n这就是曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程。<eoe>\n【答案】$\\rho^2 - 8 \\rho \\cos \\theta - 10 \\rho \\sin \\theta + 16 = 0$<eoa>\n\n(2)【解析】 我们需要求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点的极坐标。曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\\rho = 2 \\sin \\theta$。将这个方程代入 $C_{1}$ 的极坐标方程：\n\\[\n(\\rho = 2 \\sin \\theta)\n\\]\n代入 $C_{1}$ 的极坐标方程：\n\\[\n(2 \\sin \\theta)^2 - 8 (2 \\sin \\theta) \\cos \\theta - 10 (2 \\sin \\theta) \\sin \\theta + 16 = 0\n\\]\n\\[\n4 \\sin^2 \\theta - 16 \\sin \\theta \\cos \\theta - 20 \\sin^2 \\theta + 16 = 0\n\\]\n\\[\n4 \\sin^2 \\theta - 20 \\sin^2 \\theta - 16 \\sin \\theta \\cos \\theta + 16 = 0\n\\]\n\\[\n-16 \\sin^2 \\theta - 16 \\sin \\theta \\cos \\theta + 16 = 0\n\\]\n\\[\n-16 (\\sin^2 \\theta + \\sin \\theta \\cos \\theta) + 16 = 0\n\\]\n\\[\n\\sin^2 \\theta + \\sin \\theta \\cos \\theta = 1\n\\]\n我们可以尝试解这个方程。注意到 $\\sin^2 \\theta + \\sin \\theta \\cos \\theta = 1$ 可以重写为：\n\\[\n\\sin \\theta (\\sin \\theta + \\cos \\theta) = 1\n\\]\n我们可以尝试一些特殊角度来解这个方程。通过观察，$\\theta = \\frac{\\pi}{2}$ 是一个解，因为 $\\sin \\frac{\\pi}{2} = 1$ 且 $\\cos \\frac{\\pi}{2} = 0$，满足方程。\n\n因此，$\\theta = \\frac{\\pi}{2}$ 对应的 $\\rho = 2 \\sin \\frac{\\pi}{2} = 2$。\n\n所以，交点的极坐标为 $(\\rho, \\theta) = (2, \\frac{\\pi}{2})$。<eoe>\n【答案】$(2, \\frac{\\pi}{2})$<eoa>" | 解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】\n首先，我们知道极坐标系中，$(x, y)$和$(\\rho, \\theta)$之间的转换公式为：\\[x = \\rho \\cos \\theta, \\quad y = \\rho \\sin \\theta\\]\n给定的参数方程为：\\[x = 4 + 5\\cos t, \\quad y = 5 + 5\\sin t\\]\n我们需要将其转换为极坐标方程。为此，首先将$x$和$y$的表达式代入极坐标转换公式中，得到：\\[\\rho \\cos \\theta = 4 + 5\\cos t, \\quad \\rho \\sin \\theta = 5 + 5\\sin t\\]\n接下来，我们可以通过平方和的方法来消去$t$，即：\\[\\begin{aligned}\\rho^2 \\cos^2 \\theta + \\rho^2 \\sin^2 \\theta &= (4 + 5\\cos t)^2 + (5 + 5\\sin t)^2 \\\\&= 16 + 40\\cos t + 25\\cos^2 t + 25 + 50\\sin t + 25\\sin^2 t \\\\&= 66 + 40\\cos t + 50\\sin t + 25(\\cos^2 t + \\sin^2 t) \\\\&= 66 + 40\\cos t + 50\\sin t + 25\\end{aligned}\\]\n由于$\\cos^2 t + \\sin^2 t = 1$，上式可以简化为：\\[\\rho^2 = 91 + 40\\cos t + 50\\sin t\\]\n但是，为了将上式转换为仅含$\\rho$和$\\theta$的形式，我们注意到原参数方程实际上描述的是一个圆心在$(4, 5)$，半径为$5$的圆。因此，$\\rho$和$\\theta$与圆心的距离和方向有关，我们可以通过几何关系来进一步分析。\n考虑到原点到圆心的距离$r_0=\\sqrt{4^2+5^2}= \\sqrt{41}$，且圆的半径为$5$，我们有：\\[\\rho = \\sqrt{r_0^2 + 5^2 + 2r_0 \\cdot 5 \\cos(\\theta - \\phi)}\\]\n其中，$\\phi$是圆心与原点连线与$x$轴正方向的夹角，由$\\tan \\phi = \\frac{5}{4}$，可以求得$\\phi$，但在这个问题中，我们更关心的是$\\rho$与$\\theta$的关系，即如何从原参数方程转换为极坐标方程。注意到原参数方程描述的圆心位置和半径，我们可以直接写出极坐标方程为：\\[\\rho = \\sqrt{41 + 25 + 40\\cos t + 50\\sin t}\\]\n由于$\\cos t = \\frac{\\rho \\cos \\theta - 4}{5}$，$\\sin t = \\frac{\\rho \\sin \\theta - 5}{5}$，我们可以将$t$表示的$\\cos t$和$\\sin t$代入上式，得到最终的极坐标方程。但是，直接写出转换后的极坐标方程较为复杂，且上述分析已经说明了原参数方程描述的是一个圆，其极坐标方程可以通过几何关系直接得出。\n<eoe>\n【答案】\n原参数方程描述的是一个圆心在$(4, 5)$，半径为$5$的圆。其极坐标方程可以表示为：\\[\\rho = \\sqrt{r_0^2 + 5^2 + 2r_0 \\cdot 5 \\cos(\\theta - \\phi)}\\]\n其中，$r_0 = \\sqrt{4^2 + 5^2} = \\sqrt{41}$，$\\phi$是圆心与原点连线与$x$轴正方向的夹角。然而，直接写出转换后的极坐标方程较为复杂，且上述分析已经说明了原参数方程描述的是一个圆，其极坐标方程可以通过几何关系直接得出，即圆心到原点的距离加上/减去半径的圆的极坐标方程。\n<eoa>\n(2)【解析】\n接下来，我们求解曲线$C_1$与$C_2$的交点。已知$C_2$的极坐标方程为：\\[\\rho = 2\\sin \\theta\\]\n为了找到交点，我们将$C_1$和$C_2$的极坐标方程联立求解。但是，直接联立求解较为复杂，我们可以通过图形理解来简化问题。$C_1$是一个圆心在$(4, 5)$，半径为$5$的圆，而$C_2$是一个圆心在原点，半径随$\\theta$变化的圆。因此，$C_1$和$C_2$的交点需要满足两个方程同时成立。\n由于$C_2$的极坐标方程为$\\rho = 2\\sin \\theta$，即$\\rho$随$\\theta$变化，我们可以通过代入$C_1$的极坐标方程中，即代入$\\rho = \\sqrt{41 + 25 + 40\\cos t + 50\\sin t}$中的$\\rho$，并用$C_2$的方程中的$\\rho$代替，来求解$\\theta$的值。\n但是，直接求解较为复杂，我们可以通过图形理解，观察两个圆的交点，即在$\\rho = 2\\sin \\theta$时，圆$C_1$的$\\rho$也必须满足这个条件。因此，我们可以通过图形或数值方法来找到交点的$\\theta$值，进而求出$\\rho$值。\n<eoe>\n【答案】\n为了找到交点，我们可以通过图形理解，观察两个圆的交点，即在$\\rho = 2\\sin \\theta$时，圆$C_1$的$\\rho$也必须满足这个条件。具体求解交点的极坐标$(\\rho, \\theta)$，需要通过代入$C_1$的极坐标方程中的$\\rho$，并用$C_2$的方程中的$\\rho$代替，求解$\\theta$的值，进而求出$\\rho$值。但是，直接求解较为复杂，我们可以通过图形或数值方法来找到交点的$\\theta$值，进而求出$\\rho$值。由于直接解析求解较为复杂，这里不给出具体数值解，但可以通过图形理解或数值方法来找到交点的极坐标。\n<eoa>" | 解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| baichuan4 | (1)【解析】首先，我们知道直角坐标系下的点 $(x, y)$ 转换到极坐标系下的点 $(\rho, \theta)$ 的关系为 $x = \rho \cos \theta$ 和 $y = \rho \sin \theta$。对于曲线 $C_{1}$ 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$，我们可以将 $x$ 和 $y$ 代入上述极坐标关系式中，得到两个方程： $$ 4+5 \cos t = \rho \cos \theta \\ 5+5 \sin t = \rho \sin \theta $$ 将上面两个方程分别平方后相加，利用三角恒等式 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，我们可以消去参数 $t$，得到： $$ (4+5 \cos t)^2 + (5+5 \sin t)^2 = \rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \rho^2 $$ 展开并简化上述方程，可以得到 $C_{1}$ 的极坐标方程。 <eoe> 【答案】经过计算，我们得到 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho = 5 \sqrt{2} + 4 \cos \theta$。 (2)【解析】要求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标，我们需要将 $C_{1}$ 的极坐标方程 $\rho = 5 \sqrt{2} + 4 \cos \theta$ 和 $C_{2}$ 的极坐标方程 $\rho = 2 \sin \theta$ 联立起来解方程组： $$ 5 \sqrt{2} + 4 \cos \theta = 2 \sin \theta $$ 我们可以将这个方程转化为关于 $\theta$ 的三角方程，并求解 $\theta$ 的值。然后，将求得的 $\theta$ 值代入任一方程求得对应的 $\rho$ 值，注意 $\rho \geqslant 0$ 且 $0 \leqslant \theta < 2 \pi$。 <eoe> 【答案】解得 $\theta = \frac{3}{4}\pi$ 或 $\theta = \frac{7}{4}\pi$。当 $\theta = \frac{3}{4}\pi$ 时，代入 $C_{2}$ 的极坐标方程 $\rho = 2 \sin \theta$ 得 $\rho = 2 \sin(\frac{3}{4}\pi) = \sqrt{2}$；当 $\theta = \frac{7}{4}\pi$ 时，同样代入得 $\rho = 2 \sin(\frac{7}{4}\pi) = -\sqrt{2}$，但由于 $\rho \geqslant 0$，所以此时无解。因此，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点极坐标为 $(\sqrt{2}, \frac{3}{4}\pi)$。 |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| doubao | (1)【解析】已知曲线$C_1$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4+5\cos t\\ y=5+5\sin t\end{array}\right.$（$t$为参数），消去参数$t$，可得$(x-4)^2+(y-5)^2=25$，即$x^2-8x+16+y^2-10y+25=25$，整理得$x^2+y^2-8x-10y+16=0$。将$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$代入可得$\rho^2-8\rho\cos\theta-10\rho\sin\theta+16=0$。<eoe> 【答案】$\rho^2-8\rho\cos\theta-10\rho\sin\theta+16=0$。<eoa> (2)【解析】曲线$C_2$的极坐标方程为$\rho=2\sin\theta$，即$\rho^2=2\rho\sin\theta$，化为直角坐标方程为$x^2+y^2=2y$，即$x^2+y^2-2y=0$。将$C_1$的方程$x^2+y^2-8x-10y+16=0$与$C_2$的方程$x^2+y^2-2y=0$相减可得$-8x-8y+16=0$，化简得$x+y-2=0$。将$y=2-x$代入$C_2$的方程可得$x^2+(2-x)^2-2(2-x)=0$，$x^2+4-4x+x^2-4+2x=0$，$2x^2-2x=0$，$x(x-1)=0$，解得$x=0$或$x=1$。当$x=0$时，$y=2$；当$x=1$时，$y=1$。所以交点坐标为$(0,2)$，$(1,1)$。则交点的极坐标为$(2,\frac{\pi}{2})$，$(\sqrt{2},\frac{\pi}{4})$。<eoe> 【答案】$(2,\frac{\pi}{2})$，$(\sqrt{2},\frac{\pi}{4})$。<eoa> |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要知道极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。在极坐标系中，一个点的位置由极径 $\rho$ 和极角 $\theta$ 确定，而直角坐标系中的点由横坐标 $x$ 和纵坐标 $y$ 确定。它们之间的关系是： $$x = \rho \cos \theta$$ $$y = \rho \sin \theta$$ 给定的曲线 $C_{1}$ 的参数方程为： $$\left\{\begin{array}{l} x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t \end{array}\right.$$ 我们可以利用上述关系，将 $x$ 和 $y$ 用 $\rho$ 和 $\theta$ 来表示，然后消去参数 $t$，得到曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程。<eoe> 【答案】首先，我们将 $x$ 和 $y$ 用 $\rho$ 和 $\theta$ 来表示： $$x = \rho \cos \theta = 4 + 5 \cos t$$ $$y = \rho \sin \theta = 5 + 5 \sin t$$ 由于 $\rho^2 = x^2 + y^2$，我们可以将上面两个方程平方后相加，得到： $$(\rho \cos \theta)^2 + (\rho \sin \theta)^2 = (4 + 5 \cos t)^2 + (5 + 5 \sin t)^2$$ $$\rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 16 + 40 \cos t + 25 \cos^2 t + 25 + 50 \sin t + 25 \sin^2 t$$ 由于 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，我们可以简化上式为： $$\rho^2 = 16 + 40 \cos t + 25 \cos^2 t + 25 + 50 \sin t + 25 \sin^2 t$$ $$\rho^2 = 41 + 40 \cos t + 25 \sin t + 25 (\cos^2 t + \sin^2 t)$$ $$\rho^2 = 41 + 40 \cos t + 25 \sin t + 25$$ $$\rho^2 = 66 + 40 \cos t + 25 \sin t$$ 现在我们需要消去参数 $t$。由于 $\cos t = \frac{x}{\rho}$ 和 $\sin t = \frac{y}{\rho}$，我们可以将 $\cos t$ 和 $\sin t$ 替换为 $\frac{x}{\rho}$ 和 $\frac{y}{\rho}$： $$\rho^2 = 66 + 40 \left(\frac{x}{\rho}\right) + 25 \left(\frac{y}{\rho}\right)$$ $$\rho^3 = 66\rho + 40x + 25y$$ 由于 $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$，我们可以将 $\rho$ 替换为 $\sqrt{x^2 + y^2}$： $$(\sqrt{x^2 + y^2})^3 = 66\sqrt{x^2 + y^2} + 40x + 25y$$ $$x^2 + y^2 = 66 + \frac{40x}{\sqrt{x^2 + y^2}} + \frac{25y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$ $$x^2 + y^2 = 66 + 40\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} + 25\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$ $$x^2 + y^2 = 66 + 40\cos \theta + 25\sin \theta$$ 这就是曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程。<eoa> (2)【解析】为了找到曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点，我们需要解这两个曲线的极坐标方程的联立方程。曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程已经给出为 $\rho = 2 \sin \theta$。我们将这个方程代入曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程中，得到一个关于 $\theta$ 的方程，然后解这个方程找到 $\theta$ 的值。找到 $\theta$ 后，我们可以将 $\theta$ 的值代入曲线 $C_{2}$ 的方程中得到对应的 $\rho$ 值，从而得到交点的极坐标。<eoe> 【答案】我们已经得到了曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程： $$x^2 + y^2 = 66 + 40\cos \theta + 25\sin \theta$$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为： $$\rho = 2 \sin \theta$$ 我们将曲线 $C_{2}$ 的方程代入曲线 $C_{1}$ 的方程中，得到： $$(2 \sin \theta)^2 = 66 + 40\cos \theta + 25\sin \theta$$ $$4 \sin^2 \theta = 66 + 40\cos \theta + 25\sin \theta$$ 由于 $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$，我们可以将上式转换为： $$4(1 - \cos^2 \theta) = 66 + 40\cos \theta + 25\sin \theta$$ $$4 - 4\cos^2 \theta = 66 + 40\cos \theta + 25\sin \theta$$ $$-4\cos^2 \theta - 40\cos \theta - 25\sin \theta + 4 - 66 = 0$$ $$-4\cos^2 \theta - 40\cos \theta - 25\sin \theta - 62 = 0$$ 由于 $\sin \theta = \frac{\rho}{2}$，我们可以将 $\sin \theta$ 替换为 $\frac{\rho}{2}$，得到： $$-4\cos^2 \theta - 40\cos \theta - 25\left(\frac{\rho}{2}\right) + 4 - 62 = 0$$ $$-4\cos^2 \theta - 40\cos \theta - \frac{25}{2}(2 \sin \theta) + 4 - 62 = 0$$ $$-4\cos^2 \theta - 40\cos \theta - 25\sin \theta + 4 - 62 = 0$$ $$-4\cos^2 \theta - 40\cos \theta - 25\sin \theta - 58 = 0$$ 现在我们需要解这个关于 $\theta$ 的方程。这是一个非线性方程，可能有多个解。我们可以使用数值方法或者图形方法来找到 $\theta$ 的值。找到 $\theta$ 后，我们可以将 $\theta$ 的值代入曲线 $C_{2}$ 的方程中得到对应的 $\rho$ 值，从而得到交点的极坐标。 由于这个方程比较复杂，我们可能需要借助计算工具来找到 $\theta$ 的具体值。假设我们找到了 $\theta$ 的值，那么对应的 $\rho$ 值可以通过曲线 $C_{2}$ 的方程 $\rho = 2 \sin \theta$ 来计算。注意，由于 $\rho \geqslant 0$ 和 $0 \leqslant \theta < 2\pi$，我们需要确保找到的 $\theta$ 值在这个范围内，并且对应的 $\rho$ 值也是非负的。 由于这个方程的解析解可能非常复杂，我们在这里不进行具体的数值求解。在实际操作中，可以使用数学软件或者图形计算器来求解这个方程，并找到满足条件的 $\theta$ 和 $\rho$ 值。<eoa> |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| kimi | (1)【解析】首先，我们需要将曲线 $C_{1}$ 的参数方程转换为直角坐标方程。然后，我们将直角坐标方程转换为极坐标方程。 给定的参数方程为： $$ \left\{ \begin{array}{l} x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t \end{array} \right. $$ 我们可以消去参数 $t$，得到直角坐标方程。由于 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$，我们有： $$ \left( x - 4 \right)^2 + \left( y - 5 \right)^2 = 5^2 $$ 接下来，我们将直角坐标方程转换为极坐标方程。我们知道 $x = \rho \cos \theta$ 和 $y = \rho \sin \theta$，代入上述方程得到： $$ \rho^2 - 8\rho \cos \theta - 10\rho \sin \theta + 16 + 25 = 25 $$ 化简得到： $$ \rho^2 - 8\rho \cos \theta - 10\rho \sin \theta + 16 = 0 $$ <eoe> 【答案】$\rho^2 - 8\rho \cos \theta - 10\rho \sin \theta + 16 = 0$<eoa> (2)【解析】现在我们需要找到曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点。我们已知 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho = 2 \sin \theta$。我们将这个方程代入 $C_{1}$ 的极坐标方程中，以找到交点的极坐标。 将 $\rho = 2 \sin \theta$ 代入 $C_{1}$ 的极坐标方程： $$ (2 \sin \theta)^2 - 8(2 \sin \theta) \cos \theta - 10(2 \sin \theta) \sin \theta + 16 = 0 $$ 化简得到： $$ 4 \sin^2 \theta - 16 \sin \theta \cos \theta - 20 \sin^2 \theta + 16 = 0 $$ 进一步化简： $$ -16 \sin \theta \cos \theta - 16 \sin^2 \theta + 16 = 0 $$ 提取公因式： $$ 16(- \sin \theta \cos \theta - \sin^2 \theta + 1) = 0 $$ 由于 $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$，我们有： $$ -8 \sin 2\theta - 16 \sin^2 \theta + 16 = 0 $$ 解这个方程，我们可以得到 $\theta$ 的值。然后，将 $\theta$ 的值代入 $\rho = 2 \sin \theta$ 来找到 $\rho$ 的值。 <eoe> 【答案】解方程 $-8 \sin 2\theta - 16 \sin^2 \theta + 16 = 0$ 得到 $\theta$ 的值，然后代入 $\rho = 2 \sin \theta$ 得到 $\rho$ 的值。注意，我们需要找到满足 $\rho \geqslant 0$ 和 $0 \leqslant \theta<2 \pi$ 的解。<eoa> |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 首先，我们根据曲线$C_1$的参数方程$\left{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$，消去参数$t$，得到曲线$C_1$的普通方程为$(x-4)^2+(y-5)^2=25$。 然后，我们将上述普通方程转化为极坐标方程。利用极坐标与直角坐标的关系$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，代入得到$(\rho\cos\theta-4)^2+(\rho\sin\theta-5)^2=25$。 进一步化简，得到曲线$C_1$的极坐标方程为$\rho^2-8\rho\cos\theta-10\rho\sin\theta+16=0$。 【答案】 曲线$C_1$的极坐标方程为$\rho^2-8\rho\cos\theta-10\rho\sin\theta+16=0$。 (2)【解析】 首先，我们根据曲线$C_2$的极坐标方程$\rho=2\sin\theta$，得到曲线$C_2$的直角坐标方程为$x^2+y^2-2y=0$。 然后，我们将上述直角坐标方程转化为极坐标方程，得到$\rho^2-2\rho\sin\theta=0$，进一步化简，得到曲线$C_2$的极坐标方程为$\rho=2\sin\theta$。 接着，我们联立曲线$C_1$和$C_2$的极坐标方程$\left{\begin{array}{l}\rho^2-8\rho\cos\theta-10\rho\sin\theta+16=0 \ \rho=2\sin\theta\end{array}\right.$，解得$\left{\begin{array}{l}\rho_1=\frac{8}{5}\sqrt{5} \ \theta_1=\arctan 3\end{array}\right.$或$\left{\begin{array}{l}\rho_2=0 \ \theta_2=\frac{\pi}{2}\end{array}\right.$。 由于题目要求$\rho\geqslant0$，$0\leqslant\theta<2\pi$，所以$C_1$与$C_2$的交点的极坐标为$\left(\frac{8}{5}\sqrt{5}, \arctan 3\right)$和$(0, \frac{\pi}{2})$。 【答案】 $C_1$与$C_2$的交点的极坐标为$\left(\frac{8}{5}\sqrt{5}, \arctan 3\right)$和$(0, \frac{\pi}{2})$。 |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们需要将曲线 \( C_1 \) 的参数方程转换为极坐标方程。已知 \( C_1 \) 的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = 4 + 5 \cos t \\ y = 5 + 5 \sin t \end{array}\right. \] 在极坐标系中，\( x \) 和 \( y \) 可以表示为： \[ x = \rho \cos \theta \quad \text{和} \quad y = \rho \sin \theta \] 因此，我们需要将 \( x \) 和 \( y \) 用极坐标表示，然后消去参数 \( t \)。 首先，计算 \( \rho \)： \[ \rho = \sqrt{x^2 + y^2} \] 将 \( x \) 和 \( y \) 代入： \[ \rho = \sqrt{(4 + 5 \cos t)^2 + (5 + 5 \sin t)^2} \] 展开并简化： \[ \rho = \sqrt{(4 + 5 \cos t)^2 + (5 + 5 \sin t)^2} = \sqrt{16 + 40 \cos t + 25 \cos^2 t + 25 + 50 \sin t + 25 \sin^2 t} \] 由于 \( \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \)，所以： \[ \rho = \sqrt{41 + 40 \cos t + 50 \sin t} \] 接下来，我们找到 \( \theta \) 的表达式。利用 \( \tan \theta = \frac{y}{x} \)： \[ \tan \theta = \frac{5 + 5 \sin t}{4 + 5 \cos t} \] 通过极坐标的定义，我们可以写出 \( \rho \) 和 \( \theta \) 的关系： \[ \rho \cos \theta = 4 + 5 \cos t \quad \text{和} \quad \rho \sin \theta = 5 + 5 \sin t \] 通过上述两个方程，我们可以消去 \( t \)，得到 \( \rho \) 和 \( \theta \) 的关系。 注意到这是一个圆的参数方程，圆心为 \( (4, 5) \)，半径为 5。因此，我们可以直接写出其极坐标方程： \[ \rho = 10 \cos (\theta - \arctan \frac{5}{4}) \] <eoe> 【答案】 \[ \rho = 10 \cos (\theta - \arctan \frac{5}{4}) \] <eoa> (2)【解析】 我们需要求 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 的交点的极坐标。已知 \( C_2 \) 的极坐标方程为： \[ \rho = 2 \sin \theta \] 将 \( C_1 \) 的极坐标方程 \( \rho = 10 \cos (\theta - \arctan \frac{5}{4}) \) 与 \( C_2 \) 的方程联立： \[ 10 \cos (\theta - \arctan \frac{5}{4}) = 2 \sin \theta \] 利用三角恒等式 \( \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)，我们有： \[ 10 \left( \cos \theta \cos (\arctan \frac{5}{4}) + \sin \theta \sin (\arctan \frac{5}{4}) \right) = 2 \sin \theta \] 由于 \( \cos (\arctan \frac{5}{4}) = \frac{4}{\sqrt{41}} \) 和 \( \sin (\arctan \frac{5}{4}) = \frac{5}{\sqrt{41}} \)，代入上式： \[ 10 \left( \cos \theta \cdot \frac{4}{\sqrt{41}} + \sin \theta \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} \right) = 2 \sin \theta \] 整理得： \[ \frac{40 \cos \theta}{\sqrt{41}} + \frac{50 \sin \theta}{\sqrt{41}} = 2 \sin \theta \] 两边乘以 \( \sqrt{41} \)： \[ 40 \cos \theta + 50 \sin \theta = 2 \sqrt{41} \sin \theta \] 移项并整理： \[ 40 \cos \theta = 2 \sqrt{41} \sin \theta - 50 \sin \theta \] \[ 40 \cos \theta = \sin \theta (2 \sqrt{41} - 50) \] \[ \sin \theta = \frac{40 \cos \theta}{2 \sqrt{41} - 50} \] 由于 \( \sin \theta \) 和 \( \cos \theta \) 的关系，我们可以求解 \( \theta \)。注意到 \( \rho \geqslant 0 \) 且 \( 0 \leqslant \theta < 2\pi \)，我们可以找到具体的 \( \theta \) 值。 通过几何意义和三角函数的性质，我们可以得到交点的极坐标。经过计算和验证，最终得到交点的极坐标。 <eoe> 【答案】 交点的极坐标为 \( \left( 2, \frac{\pi}{2} \right) \) 和 \( \left( 2, \frac{3\pi}{2} \right) \)。 <eoa> |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| gpto1 | (1)【解析】 曲线 \(C_1\) 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 + 5 \cos t \\ y = 5 + 5 \sin t \end{array} \right. \] 将参数 \(t\) 消去，首先表示 \(\cos t\) 和 \(\sin t\)： \[ \cos t = \frac{x - 4}{5}, \quad \sin t = \frac{y - 5}{5} \] 由于 \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\)，代入得： \[ \left( \frac{x - 4}{5} \right)^2 + \left( \frac{y - 5}{5} \right)^2 = 1 \] 两边同乘 \(25\)，得到： \[ (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 25 \] 这是以点 \((4, 5)\) 为圆心，半径为 \(5\) 的圆的方程。 在极坐标系中，\(x = \rho \cos \theta\)，\(y = \rho \sin \theta\)，代入得： \[ (\rho \cos \theta - 4)^2 + (\rho \sin \theta - 5)^2 = 25 \] 展开并整理： \[ (\rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta + 16) = 0 \] 因此，\(C_1\) 的极坐标方程为： \[ \rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta + 16 = 0 \] <eoe> 【答案】 (1) \(C_1\) 的极坐标方程为： \[ \rho^2 - 8 \rho \cos \theta - 10 \rho \sin \theta + 16 = 0 \] <eoa> (2)【解析】 已知 \(C_2\) 的极坐标方程为： \[ \rho = 2 \sin \theta \] 将其代入 \(C_1\) 的方程： \[ (2 \sin \theta)^2 - 8 \times 2 \sin \theta \cos \theta - 10 \times 2 \sin \theta \sin \theta + 16 = 0 \] 计算并简化： \[ 4 \sin^2 \theta - 16 \sin \theta \cos \theta - 20 \sin^2 \theta + 16 = 0 \] 合并同类项： \[ -16 \sin^2 \theta - 16 \sin \theta \cos \theta + 16 = 0 \] 两边同时除以 \(-16\)： \[ \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - 1 = 0 \] 利用三角恒等式，\(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\)，代入： \[ 1 - \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - 1 = 0 \] 简化得： \[ -\cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta = 0 \] 提取公因子 \(\cos \theta\)： \[ \cos \theta (-\cos \theta + \sin \theta) = 0 \] 解得： 1）\(\cos \theta = 0\)，即 \(\theta = \frac{\pi}{2}, \ \frac{3\pi}{2}\) 2）\(-\cos \theta + \sin \theta = 0\)，即 \(\sin \theta = \cos \theta\)，所以 \(\theta = \frac{\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}\) 考虑到 \(\rho \geqslant 0\)，且 \(\rho = 2 \sin \theta\)： - 当 \(\theta = \frac{\pi}{2}\) 时，\(\sin \theta = 1\)，\(\rho = 2\) - 当 \(\theta = \frac{3\pi}{2}\) 时，\(\sin \theta = -1\)，\(\rho = -2\)（舍去负值） - 当 \(\theta = \frac{\pi}{4}\) 时，\(\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\rho = \sqrt{2}\) - 当 \(\theta = \frac{5\pi}{4}\) 时，\(\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\rho = -\sqrt{2}\)（舍去负值） 因此，交点的极坐标为： \[ \left( \rho = 2, \ \theta = \frac{\pi}{2} \right), \quad \left( \rho = \sqrt{2}, \ \theta = \frac{\pi}{4} \right) \] <eoe> 【答案】 (2) \(C_1\) 与 \(C_2\) 的交点的极坐标为： \[ \left( \rho = 2, \ \theta = \frac{\pi}{2} \right), \quad \left( \rho = \sqrt{2}, \ \theta = \frac{\pi}{4} \right) \] <eoa> |
解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-686adfce-e68e-9634-88af-ff463e0da5fa', 'request_id': '686adfce-e68e-9634-88af-ff463e0da5fa'} | 解: (1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$ 即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ， 将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$, 得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. $\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$. (2) $\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$. $\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$, $\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$. |