| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 设等差数列的公差为 \(d\)，则有： \[ a_1 = 25 \] \[ a_{11} = a_1 + 10d \] \[ a_{13} = a_1 + 12d \] 根据题意，\(a_1, a_{11}, a_{13}\) 成等比数列，因此有： \[ a_{11}^2 = a_1 \cdot a_{13} \] 将等差数列的通项公式代入，得到： \[ (a_1 + 10d)^2 = a_1 \cdot (a_1 + 12d) \] 将 \(a_1 = 25\) 代入，得到： \[ (25 + 10d)^2 = 25 \cdot (25 + 12d) \] 展开并整理方程： \[ 625 + 500d + 100d^2 = 625 + 300d \] \[ 100d^2 + 200d = 0 \] \[ 100d(d + 2) = 0 \] 由于公差 \(d\) 不为零，所以 \(d = -2\)。 因此，等差数列的通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] \[ a_n = 25 + (n-1)(-2) \] \[ a_n = 25 - 2(n-1) \] \[ a_n = 27 - 2n \] <eoe> 【答案】\(a_n = 27 - 2n\)<eoa> (2)【解析】 我们需要求和： \[ a_1 + a_4 + a_7 + \ldots + a_{3n-2} \] 根据通项公式 \(a_n = 27 - 2n\)，我们可以写出这些项的通项公式： \[ a_{3k-2} = 27 - 2(3k-2) \] \[ a_{3k-2} = 27 - 6k + 4 \] \[ a_{3k-2} = 31 - 6k \] 因此，我们需要求和： \[ \sum_{k=1}^{n} (31 - 6k) \] 将其拆分为两个部分： \[ \sum_{k=1}^{n} 31 - \sum_{k=1}^{n} 6k \] 第一个部分是常数项的和： \[ \sum_{k=1}^{n} 31 = 31n \] 第二个部分是等差数列的和： \[ \sum_{k=1}^{n} 6k = 6 \sum_{k=1}^{n} k = 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 3n(n+1) \] 因此，总和为： \[ 31n - 3n(n+1) \] \[ 31n - 3n^2 - 3n \] \[ -3n^2 + 28n \] <eoe> 【答案】\(-3n^2 + 28n\)<eoa> |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 已知等差数列{aₙ}的首项a₁=25，公差d≠0，且a₁、a₁₁、a₁₃成等比数列。根据等比数列性质，有： \[ a_{11}^2 = a_1 \cdot a_{13} \] 代入等差数列通项公式： \[ (25 + 10d)^2 = 25 \cdot (25 + 12d) \] 展开并化简得： \[ 100d^2 + 200d = 0 \] 解得d=0（舍去）或d=−2。故通项公式为： \[ a_n = 25 + (n-1)(-2) = 27 - 2n \] <eoe> 【答案】 (I) 通项公式为 \( a_n = 27 - 2n \)。 <eoa> (2)【解析】 求数列 \( a_1 + a_4 + a_7 + \ldots + a_{3n-2} \) 的和。观察下标为1,4,7,...,3n−2，对应项为： \[ a_{3k-2} = 27 - 2(3k-2) = 31 - 6k \quad (k=1,2,\ldots,n) \] 该数列为首项25，公差−6的等差数列，求和公式为： \[ S = \frac{n}{2} \left[2a_1 + (n-1)d\right] \] 代入得： \[ S = \frac{n}{2} \left[50 + (n-1)(-6)\right] = \frac{n}{2}(56 - 6n) = -3n^2 + 28n \] <eoe> 【答案】 (II) 和为 \( -3n^2 + 28n \)。 <eoa> |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| gpto1 | (1)【解析】 已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1 = 25\)，公差\(d \neq 0\)，且\(a_1, a_{11}, a_{13}\)成等比数列。 首先，写出\(a_{11}\)和\(a_{13}\)： \[ a_{11} = a_1 + (11-1)d = 25 + 10d \\ a_{13} = a_1 + (13-1)d = 25 + 12d \] 由于\(a_1, a_{11}, a_{13}\)成等比数列，所以有： \[ (a_{11})^2 = a_1 \cdot a_{13} \] 代入已知的值： \[ (25 + 10d)^2 = 25 \cdot (25 + 12d) \] 展开并整理方程： \[ 625 + 500d + 100d^2 = 625 + 300d \\ 100d^2 + 200d = 0 \] 两边同除以100，得到： \[ d^2 + 2d = 0 \\ d(d + 2) = 0 \] 由于公差\(d \neq 0\)，所以\(d + 2 = 0\)，解得\(d = -2\)。 因此，等差数列的通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n - 1)d = 25 + (n - 1)(-2) = 27 - 2n \] <eoe> 【答案】(I) 等差数列的通项公式为\(a_n = 27 - 2n\)。<eoa> (2)【解析】 我们要求和： \[ S = a_1 + a_4 + a_7 + \dots + a_{3n-2} \] 注意到这些项的下标可以表示为\(3k - 2\)，其中\(k = 1, 2, \dots, n\)。 利用通项公式\(a_n = 27 - 2n\)，得到： \[ a_{3k - 2} = 27 - 2(3k - 2) = 27 - 6k + 4 = 31 - 6k \] 因此，和为： \[ S = \sum_{k=1}^n (31 - 6k) = 31n - 6\sum_{k=1}^n k = 31n - 6 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} \] 计算并简化： \[ S = 31n - 3n(n + 1) = 31n - 3n^2 - 3n = -3n^2 + 28n \] <eoe> 【答案】(II) 数列的和为\(S = -3n^2 + 28n\)。<eoa> |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| GPT-4o | (1)【解析】 设等差数列的公差为 \(d\)，则等差数列的通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] 已知 \(a_1 = 25\)，所以通项公式可以改写为： \[ a_n = 25 + (n-1)d \] 题目还给出 \(a_1\), \(a_{11}\), \(a_{13}\) 成等比数列。记 \(a_1 = a\)，\(a_{11} = b\)，\(a_{13} = c\)，则它们满足等比数列的性质： \[ b^2 = a \cdot c \] 根据等差数列的通项公式，得到： \[ a_{11} = 25 + 10d \] \[ a_{13} = 25 + 12d \] 由等比数列的性质： \[ (25 + 10d)^2 = 25 \cdot (25 + 12d) \] 解方程： \[ (25 + 10d)^2 = 625 + 500d + 100d^2 \] \[ 25(25 + 12d) = 625 + 300d \] 比较两边： \[ 625 + 500d + 100d^2 = 625 + 300d \] \[ 100d^2 + 200d = 0 \] \[ 100d(d + 2) = 0 \] 由于 \(d \neq 0\)，所以 \(d = -2\)。 因此，等差数列的通项公式为： \[ a_n = 25 + (n-1)(-2) \] \[ a_n = 25 - 2(n-1) \] \[ a_n = 27 - 2n \]<eoe> 【答案】\( a_n = 27 - 2n \)<eoa> (2)【解析】 要求 \(\mathrm{a}_{1} + \mathrm{a}_{4} + \mathrm{a}_{7} + \ldots + \mathrm{a}_{3n-2}\) 的和。注意到这些项构成一个新的等差数列，公差为 3。 新数列的通项公式为： \[ a_{3k-2} = 27 - 2(3k-2) = 27 - 6k + 4 = 31 - 6k \] 因此，该数列的前 \(n\) 项和为： \[ S = \sum_{k=1}^{n} (31 - 6k) \] 使用等差数列求和公式： \[ S = n \cdot a_1 + \frac{n(n-1)}{2} \cdot d \] 这里 \(a_1 = 25\)， \(d = 3\)： \[ S = n \cdot 25 + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 3 \] \[ S = 25n + \frac{3n(n-1)}{2} \] 简化： \[ S = 25n + \frac{3n^2 - 3n}{2} \] \[ S = 25n + \frac{3n^2}{2} - \frac{3n}{2} \] \[ S = \frac{50n}{2} + \frac{3n^2}{2} - \frac{3n}{2} \] \[ S = \frac{3n^2 + 47n}{2} \]<eoe> 【答案】\( \mathrm{a}_{1} + \mathrm{a}_{4} + \mathrm{a}_{7} + \ldots + \mathrm{a}_{3n-2} = \frac{3n^2 + 47n}{2} \)<eoa> |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由题意可知,a_{1},a_{11},a_{13}成等比数列,所以a_{11}^{2}=a_{1}\cdota_{13},即(a_{1}+10d)^{2}=a_{1}\cdot(a_{1}+12d),解得d=1或d=-6(舍去),所以a_{n}=25+n-1=24+n,即a_{n}=n+24. 最终结果是n+24 (2)【解析】由题意可知,a_{1}+a_{4}+a_{7}+\ldots+a_{3n-2}=(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{3n-2})-(a_{2}+a_{5}+\ldots+a_{3n-1})-(a_{3}+a_{6}+\ldots+a_{3n})=(3n-2)(a_{1}+a_{3n-2})/2-(3n-1)(a_{2}+a_{3n-1})/2-(3n)(a_{3}+a_{3n})/2=(3n-2)(3n+47)/2-(3n-1)(3n+49)/2-(3n)(3n+50)/2=3n^{2}+47n-94-3n^{2}-49n+3n-49-3n^{2}-50n=3n^{2}+47n-94-3n^{2}-49n+3n-49-3n^{2}-50n=-2n-193 最终结果是-2*n-193 |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| llama3.1-405B-Instruct | ( I ) 由题意,得 a_{1}=25,且 a_{1},a_{11},a_{13} 成等比数列,所以 a_{11}^{2}=a_{1}a_{13},即 (a_{1}+10d)^{2}=a_{1}(a_{1}+12d),即 (25+10d)^{2}=25(25+12d),解得 d=-5,所以 a_{n}=25-5(n-1)=30-5n.(II)由(I)知 a_{1}+a_{4}+a_{7}+\ldots+a_{3n-2}=(30-5)+(30-20)+(30-35)+\ldots+(30-5(3n-1))=30n-5(1+4+7+\ldots+(3n-1))=30n-5\times\frac |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(I)【解析】 首先，我们知道等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。题目给出 $a_1 = 25$，所以我们有 $a_n = 25 + (n-1)d$。\n\n题目还给出 $a_1, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列。等比数列的性质是中间项的平方等于两端项的乘积，即 $a_{11}^2 = a_1 \\cdot a_{13}$。\n\n我们先求出 $a_{11}$ 和 $a_{13}$：\n\\[ a_{11} = 25 + 10d \\]\n\\[ a_{13} = 25 + 12d \\]\n\n根据等比数列的性质，我们有：\n\\[ (25 + 10d)^2 = 25 \\cdot (25 + 12d) \\]\n\n展开并整理方程：\n\\[ 625 + 500d + 100d^2 = 625 + 300d \\]\n\\[ 100d^2 + 200d = 0 \\]\n\\[ 100d(d + 2) = 0 \\]\n\n因为公差 $d$ 不为零，所以 $d = -2$。\n\n因此，等差数列的通项公式为：\n\\[ a_n = 25 + (n-1)(-2) = 25 - 2(n-1) = 27 - 2n \\]\n<eoe>\n【答案】\\[ a_n = 27 - 2n \\]<eoa>\n\n(II)【解析】 我们需要求 $a_1 + a_4 + a_7 + \\ldots + a_{3n-2}$。这是一个等差数列的子数列，其项数为 $n$，首项为 $a_1 = 25$，公差为 $3d = 3(-2) = -6$。\n\n等差数列的和公式为：\n\\[ S_n = \\frac{n}{2} \\left( 2a_1 + (n-1)d \\right) \\]\n\n代入已知值：\n\\[ S_n = \\frac{n}{2} \\left( 2 \\cdot 25 + (n-1)(-6) \\right) \\]\n\\[ S_n = \\frac{n}{2} \\left( 50 - 6(n-1) \\right) \\]\n\\[ S_n = \\frac{n}{2} \\left( 50 - 6n + 6 \\right) \\]\n\\[ S_n = \\frac{n}{2} \\left( 56 - 6n \\right) \\]\n\\[ S_n = \\frac{n}{2} \\cdot 56 - \\frac{n}{2} \\cdot 6n \\]\n\\[ S_n = 28n - 3n^2 \\]\n<eoe>\n【答案】\\[ a_1 + a_4 + a_7 + \\ldots + a_{3n-2} = 28n - 3n^2 \\]<eoa>" | 解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】\n由题意知，等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的首项 $a_1=25$，公差设为 $d$（$d \\neq 0$）。根据等差数列的性质，第 $n$ 项可以表示为 $a_n = a_1 + (n-1)d$。\n\n因为 $a_1, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列，根据等比数列的性质，有 $(a_{11})^2 = a_1 \\cdot a_{13}$，即 $(a_1 + 10d)^2 = a_1 \\cdot (a_1 + 12d)$。\n\n将 $a_1=25$ 代入上式，得 $(25 + 10d)^2 = 25 \\cdot (25 + 12d)$，即 $625 + 500d + 100d^2 = 625 + 300d$，从而 $100d^2 + 200d = 0$，即 $d^2 + 2d = 0$。\n\n解得 $d(d + 2) = 0$，由于 $d \\neq 0$，故 $d = -2$。\n\n因此，等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式为 $a_n = 25 + (n-1)(-2) = 25 - 2(n-1) = 27 - 2n$。<eoe>\n\n【答案】\n等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式为 $a_n = 27 - 2n$。<eoa>\n\n(II)【解析】\n要求 $\\mathrm{a}_{1}+\\mathrm{a}_{4}+\\mathrm{a}_{7}+\\ldots+\\mathrm{a}_{3 n-2}$，首先观察这个序列的通项公式。\n\n根据通项公式 $a_n = 27 - 2n$，可以得到 $a_{3n-2} = 27 - 2(3n-2) = 27 - 6n + 4 = 31 - 6n$。\n\n观察 $\\mathrm{a}_{1}+\\mathrm{a}_{4}+\\mathrm{a}_{7}+\\ldots+\\mathrm{a}_{3 n-2}$，可以看出这是一个以 $a_1=25$ 为首项，以 $d'=-6$ 为公差的等差数列的前 $n$ 项和。\n\n等差数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$。\n\n将 $a_1=25$，$d'=-6$ 代入上式，得到 $S_n = \\frac{n}{2} [2\\cdot25 + (n-1)(-6)] = \\frac{n}{2} [50 - 6n + 6] = \\frac{n}{2} [56 - 6n] = n(28 - 3n)$。<eoe>\n\n【答案】\n$\\mathrm{a}_{1}+\\mathrm{a}_{4}+\\mathrm{a}_{7}+\\ldots+\\mathrm{a}_{3 n-2}$ 的和为 $n(28 - 3n)$。<eoa>" | 解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| baichuan4 | (I)【解析】 由于 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个等差数列，我们可以设其公差为 $d$。根据等差数列的通项公式，我们有 $a_{n} = a_{1} + (n-1)d$。 题目中给出 $a_{1}=25$，所以 $a_{n} = 25 + (n-1)d$。 又因为 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列，根据等比数列的性质，中项的平方等于两边项的乘积，即 $a_{11}^2 = a_{1} \cdot a_{13}$。 将 $a_{11}$ 和 $a_{13}$ 代入通项公式，得到 $(25 + 10d)^2 = 25 \cdot (25 + 12d)$。 展开并化简上述方程，得到 $d^2 = 25$。因为公差不为零，所以 $d = 5$ 或 $d = -5$。但由于 $a_{11}$ 和 $a_{13}$ 都比 $a_{1}$ 大，我们取 $d = 5$。 因此，$\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 25 + (n-1) \cdot 5 = 5n + 20$。 <eoe> 【答案】 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 5n + 20$。 (II)【解析】 现在我们要求 $a_{1} + a_{4} + a_{7} + \ldots + a_{3n-2}$ 的和。 根据(I)中求得的通项公式 $a_{n} = 5n + 20$，我们可以将每一项代入求和： $S = a_{1} + a_{4} + a_{7} + \ldots + a_{3n-2}$ $= (5 \cdot 1 + 20) + (5 \cdot 4 + 20) + (5 \cdot 7 + 20) + \ldots + (5 \cdot (3n-2) + 20)$ $= 5(1 + 4 + 7 + \ldots + (3n-2)) + 20n$ 观察括号内的项，它是一个等差数列，首项为1，公差为3，项数为n。根据等差数列的求和公式，其和为 $S_1 = \frac{n}{2}(2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 3) = \frac{n}{2}(1 + 3n - 3) = \frac{n}{2}(3n - 2)$。 因此，$S = 5S_1 + 20n = 5 \cdot \frac{n}{2}(3n - 2) + 20n = \frac{5n}{2}(3n - 2) + 20n$ $= \frac{15n^2 - 10n}{2} + 20n$ $= \frac{15n^2 + 30n}{2}$ $= 7.5n^2 + 15n$。 <eoe> 【答案】 $a_{1} + a_{4} + a_{7} + \ldots + a_{3n-2} = 7.5n^2 + 15n$。 |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| doubao | (1)【解析】设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，因为$a_{1}=25$，$a_{11}=a_1+(11-1)d=25+10d$，$a_{13}=a_1+(13-1)d=25+12d$。已知$a_1$，$a_{11}$，$a_{13}$成等比数列，则有$a_{11}^2=a_1a_{13}$，即$(25+10d)^2=25(25+12d)$，展开化简可得$d(d-2)=0$，因为公差不为零，所以$d=2$。则通项公式$a_n=a_1+(n-1)d=25+2(n-1)=2n+23$。<eoe> 【答案】$a_n=2n+23$<eoa> (2)【解析】由(1)可知$a_{3n-2}=2(3n-2)+23=6n+19$。设$b_n=a_{3n-2}=6n+19$，则$b_{n+1}-b_n=6(n+1)+19-(6n+19)=6$，所以数列$\{b_n\}$是以$25$为首项，$6$为公差的等差数列。要求$a_1+a_4+a_7+\cdots+a_{3n-2}$，即求数列$\{b_n\}$的前$n$项和。根据等差数列求和公式可得：$S_n=n\times25+\frac{n(n-1)}{2}\times6=3n^2+22n$。<eoe> 【答案】$3n^2+22n$<eoa> |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| minimax | (1)【解析】 首先，我们知道等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。 由于 $a_1, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列，根据等比数列的性质，我们有 $a_{11}^2 = a_1 \cdot a_{13}$。将等差数列的通项公式代入，得到 $(a_1 + 10d)^2 = a_1(a_1 + 12d)$。 现在我们解这个方程来找到公差 $d$。然后，我们可以使用首项 $a_1$ 和公差 $d$ 来写出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。<eoe> 【答案】 首先，根据等差数列的通项公式，我们有： $$a_{11} = a_1 + 10d$$ $$a_{13} = a_1 + 12d$$ 由于 $a_1, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列，根据等比数列的性质，我们有： $$a_{11}^2 = a_1 \cdot a_{13}$$ 将等差数列的通项公式代入上述等式，得到： $$(a_1 + 10d)^2 = a_1(a_1 + 12d)$$ 展开并简化方程： $$a_1^2 + 20a_1d + 100d^2 = a_1^2 + 12a_1d$$ 将 $a_1^2$ 移到等式一边，并合并同类项： $$20a_1d + 100d^2 = 12a_1d$$ $$100d^2 + 20a_1d - 12a_1d = 0$$ $$100d^2 + 8a_1d = 0$$ 由于公差 $d$ 不为零，我们可以除以 $d$： $$100d + 8a_1 = 0$$ 现在我们可以解出 $d$： $$d = -\frac{8a_1}{100}$$ $$d = -\frac{2a_1}{25}$$ 由于 $a_1 = 25$，代入上式得到： $$d = -\frac{2 \cdot 25}{25}$$ $$d = -2$$ 现在我们已经找到了公差 $d = -2$，我们可以写出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式： $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ $$a_n = 25 + (n-1)(-2)$$ $$a_n = 25 - 2n + 2$$ $$a_n = 27 - 2n$$ 所以，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_n = 27 - 2n$。<eoa> (2)【解析】 我们需要求和 $a_1 + a_4 + a_7 + \ldots + a_{3n-2}$。由于我们已经知道了数列的通项公式 $a_n = 27 - 2n$，我们可以将这个公式代入到求和表达式中。 注意到求和中的每一项都是等差数列中的项，且等差为3（因为 $a_{3n-2}$ 表示从 $a_1$ 开始，每隔两项取一项）。我们可以将求和表达式看作是一个等差数列的前 $n$ 项和。 等差数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中 $a_1$ 是首项，$a_n$ 是第 $n$ 项。在这个问题中，首项 $a_1 = 25$，第 $n$ 项 $a_{3n-2}$ 可以通过通项公式计算得到。 我们可以先计算出第 $n$ 项 $a_{3n-2}$，然后代入前 $n$ 项和公式来求解。<eoe> 【答案】 首先，我们计算第 $n$ 项 $a_{3n-2}$： $$a_{3n-2} = 27 - 2(3n-2)$$ $$a_{3n-2} = 27 - 6n + 4$$ $$a_{3n-2} = 31 - 6n$$ 现在我们知道了首项 $a_1 = 25$ 和第 $n$ 项 $a_{3n-2} = 31 - 6n$，我们可以使用等差数列的前 $n$ 项和公式来求解： $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_{3n-2})$$ $$S_n = \frac{n}{2}(25 + (31 - 6n))$$ $$S_n = \frac{n}{2}(56 - 6n)$$ $$S_n = \frac{n}{2}(56 - 6n)$$ $$S_n = 28n - 3n^2$$ 所以，求和 $a_1 + a_4 + a_7 + \ldots + a_{3n-2}$ 的结果为 $S_n = 28n - 3n^2$。<eoa> |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| kimi | (1)【解析】首先，我们需要找到等差数列的通项公式。等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。 题目中给出了 $a_1 = 25$，并且 $a_1, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列。等比数列的性质是任意两项的比值相等，即 $a_{11}^2 = a_1 \cdot a_{13}$。 将等差数列的通项公式代入等比数列的关系式中，我们有： $(25 + 10d)^2 = 25 \cdot (25 + 12d)$ 解这个方程，我们可以得到公差 $d$ 的值。 <eoe> 【答案】 $(25 + 10d)^2 = 25 \cdot (25 + 12d)$ $625 + 500d + 100d^2 = 625 + 300d$ $100d^2 + 200d = 0$ $d(100d + 200) = 0$ 由于题目中提到公差不为零，所以 $d \neq 0$，因此 $100d + 200 = 0$，解得 $d = -2$。 所以等差数列的通项公式为 $a_n = 25 + (n-1)(-2) = 27 - 2n$。 <eoa> (2)【解析】接下来，我们需要求和 $a_1 + a_4 + a_7 + \ldots + a_{3n-2}$。 根据等差数列的通项公式，我们可以写出每一项： $a_1 = 25$ $a_4 = 25 + 3(-2) = 19$ $a_7 = 25 + 6(-2) = 13$ ... $a_{3n-2} = 25 + (3n-3)(-2) = 31 - 6n$ 这是一个等差数列的和，首项为 $a_1 = 25$，末项为 $a_{3n-2} = 31 - 6n$，公差为 $d = -6$。 等差数列求和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中 $n$ 是项数。 我们需要找到项数 $n$，由于这是一个等差数列，每两项之间的差是 $3$，所以项数 $n$ 可以通过 $3n-2$ 来计算。 <eoe> 【答案】 项数 $n = \frac{3n-2 - 1}{3} + 1 = n$ 所以求和公式为： $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_{3n-2}) = \frac{n}{2}(25 + (31 - 6n)) = \frac{n}{2}(56 - 6n) = 28n - 3n^2$ <eoa> |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 设等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的公差为$d$，由题意知$d \neq 0$。 因为$a_{1},a_{11},a_{13}$成等比数列，所以有$a_{11}^{2} = a_{1}a_{13}$。 将等差数列的通项公式$a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$代入，得到 $(a_{1} + 10d)^{2} = a_{1}(a_{1} + 12d)$。 又因为$a_{1} = 25$，代入上式，得到 $(25 + 10d)^{2} = 25(25 + 12d)$。 解这个二次方程，得到$d = -2$。 所以，等差数列的通项公式为$a_{n} = 25 + (n - 1)(-2) = -2n + 27$。 【答案】 等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n} = -2n + 27$。 (2)【解析】 由(1)知，等差数列的通项公式为$a_{n} = -2n + 27$。 所以，$a_{3n - 2} = -2(3n - 2) + 27 = -6n + 31$。 又因为$a_{1} = 25$，所以$\left\{a_{3n - 2}\right\}$是以25为首项，-6为公差的等差数列。 利用等差数列的求和公式$S_{n} = \frac{n}{2}[2a_{1} + (n - 1)d]$，得到 $a_{1} + a_{4} + a_{7} + \ldots + a_{3n - 2} = 25n + \frac{n(n - 1)}{2}(-6) = -3n^{2} + 28n$。 【答案】 $a_{1} + a_{4} + a_{7} + \ldots + a_{3n - 2} = -3n^{2} + 28n$。 |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们知道等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。 题目中给出 $a_1 = 25$，且 $a_1, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列。根据等比数列的性质，有： \[ a_{11}^2 = a_1 \cdot a_{13} \] 将等差数列的通项公式代入上述等比数列的性质中： \[ (a_1 + 10d)^2 = a_1 \cdot (a_1 + 12d) \] 代入 $a_1 = 25$： \[ (25 + 10d)^2 = 25 \cdot (25 + 12d) \] 展开并整理方程： \[ 625 + 500d + 100d^2 = 625 + 300d \] \[ 100d^2 + 200d = 0 \] \[ 100d(d + 2) = 0 \] 由于题目中说明公差 $d$ 不为零，所以 $d \neq 0$，因此： \[ d + 2 = 0 \] \[ d = -2 \] 所以，等差数列的通项公式为： \[ a_n = 25 + (n-1)(-2) = 25 - 2(n-1) = 27 - 2n \] <eoe> 【答案】 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_n = 27 - 2n$。<eoa> (2)【解析】 我们需要求的是 $a_1 + a_4 + a_7 + \ldots + a_{3n-2}$ 的和。 首先，我们找出这个序列的通项公式。注意到这个序列的项数是 $3k-2$ 的形式，其中 $k$ 从 1 到 $n$。所以我们可以写出这个序列的通项公式为 $a_{3k-2}$。 根据已知的通项公式 $a_n = 27 - 2n$，我们有： \[ a_{3k-2} = 27 - 2(3k-2) = 27 - 6k + 4 = 31 - 6k \] 所以，我们需要求的和为： \[ \sum_{k=1}^{n} (31 - 6k) \] 这个和可以拆分为两个部分： \[ \sum_{k=1}^{n} 31 - \sum_{k=1}^{n} 6k \] 第一个部分是常数项的和： \[ \sum_{k=1}^{n} 31 = 31n \] 第二个部分是等差数列的和： \[ \sum_{k=1}^{n} 6k = 6 \sum_{k=1}^{n} k = 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 3n(n+1) \] 所以，总和为： \[ 31n - 3n(n+1) = 31n - 3n^2 - 3n = -3n^2 + 28n \] <eoe> 【答案】 $a_1 + a_4 + a_7 + \ldots + a_{3n-2}$ 的和为 $-3n^2 + 28n$。<eoa> |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| gpto1 | (1)【解析】 已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1 = 25\)，公差\(d \neq 0\)，且\(a_1, a_{11}, a_{13}\)成等比数列。 首先，写出\(a_{11}\)和\(a_{13}\)： \[ a_{11} = a_1 + (11-1)d = 25 + 10d \\ a_{13} = a_1 + (13-1)d = 25 + 12d \] 由于\(a_1, a_{11}, a_{13}\)成等比数列，所以有： \[ (a_{11})^2 = a_1 \cdot a_{13} \] 代入已知的值： \[ (25 + 10d)^2 = 25 \cdot (25 + 12d) \] 展开并整理方程： \[ 625 + 500d + 100d^2 = 625 + 300d \\ 100d^2 + 200d = 0 \] 两边同除以100，得到： \[ d^2 + 2d = 0 \\ d(d + 2) = 0 \] 由于公差\(d \neq 0\)，所以\(d + 2 = 0\)，解得\(d = -2\)。 因此，等差数列的通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n - 1)d = 25 + (n - 1)(-2) = 27 - 2n \] <eoe> 【答案】(I) 等差数列的通项公式为\(a_n = 27 - 2n\)。<eoa> (2)【解析】 我们要求和： \[ S = a_1 + a_4 + a_7 + \dots + a_{3n-2} \] 注意到这些项的下标可以表示为\(3k - 2\)，其中\(k = 1, 2, \dots, n\)。 利用通项公式\(a_n = 27 - 2n\)，得到： \[ a_{3k - 2} = 27 - 2(3k - 2) = 27 - 6k + 4 = 31 - 6k \] 因此，和为： \[ S = \sum_{k=1}^n (31 - 6k) = 31n - 6\sum_{k=1}^n k = 31n - 6 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} \] 计算并简化： \[ S = 31n - 3n(n + 1) = 31n - 3n^2 - 3n = -3n^2 + 28n \] <eoe> 【答案】(II) 数列的和为\(S = -3n^2 + 28n\)。<eoa> |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |
| deepseekv3 | (1)【解析】 首先，已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1 = 25$，公差为 $d \neq 0$。根据等差数列的通项公式，$a_n = a_1 + (n-1)d$。 题目中给出 $a_1, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列，因此有： \[ a_{11}^2 = a_1 \cdot a_{13} \] 根据通项公式，可以表达 $a_{11}$ 和 $a_{13}$ 为： \[ a_{11} = 25 + 10d, \quad a_{13} = 25 + 12d \] 代入等比关系，得到： \[ (25 + 10d)^2 = 25 \times (25 + 12d) \] 展开并化简： \[ 625 + 500d + 100d^2 = 625 + 300d \] 移项得到： \[ 100d^2 + 200d = 0 \] 因 $d \neq 0$，所以： \[ 100d + 200 = 0 \Rightarrow d = -2 \] 因此，等差数列的通项公式为： \[ a_n = 25 + (n-1)(-2) = 27 - 2n \] <eoe> 【答案】$\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = 27 - 2n$。<eoa> (2)【解析】 要求数列 $a_1 + a_4 + a_7 + \ldots + a_{3n-2}$ 的和。 首先，确定这个数列的项数。数列的通项为 $a_{3k-2}$，其中 $k$ 从 $1$ 到 $n$。因此，共有 $n$ 项。 根据第一问得到的通项公式，$a_{3k-2} = 27 - 2(3k - 2) = 31 - 6k$。 因此，数列的和为： \[ S = \sum_{k=1}^{n} (31 - 6k) = 31n - 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 31n - 3n(n+1) \] 化简得到： \[ S = 31n - 3n^2 - 3n = -3n^2 + 28n \] <eoe> 【答案】$a_1 + a_4 + a_7 + \ldots + a_{3n-2}$ 的和为 $-3n^2 + 28n$。<eoa> |
解: (1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$, 由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列, $\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$, $\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$, 化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$, $\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$, 解得 $d=-2$. $\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$. (II) 由 (1) 可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$, 可知此数列是以 25 为首项 ,-6 为公差的等差数列. $\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{7}+\ldots+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3 \mathrm{n}-2}\right)}{2}$ $=\frac{n(25-6 n+31)}{2}$ $=-3 n^{2}+28 n$. |