金声玉亮2.0模型评测报告

问题

请解答下面的数学解答题
仔细阅读题目并充分结合你已有的知识，解答其中的问题，请你一步步思考并将思考过程写在【解析】和<eoe>之间。请把你的答案写在【答案】和<eoa>之间，答案需要有完整的解题步骤。
完整的题目回答格式如下：
(1)【解析】 ...<eoe>
【答案】...<eoa>
(2)【解析】 ...<eoe>
【答案】...<eoa>
请你严格按照上述格式作答，如果不止一道题，请分别作答。
题目如下:23. 已知动点 $P 、 Q$ 都在曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \beta \\ y=2 \sin \beta\end{array}\right.$ ( $\beta$ 为参数) 上, 对应参数分别为 $\beta=\alpha$ 与 $\beta=2 \alpha(0<\alpha<2 \pi), M$ 为 $P Q$ 的中点.

(1) 求 $M$ 的轨迹的参数方程;

(2) 将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $\alpha$ 的函数, 并判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点.

答案

模型	模型答案	正确答案
金声玉亮2.0	(1)【解析】首先，我们知道动点 \( P \) 和 \( Q \) 都在曲线 \( C \) 上，且对应的参数分别为 \( \beta = \alpha \) 和 \( \beta = 2\alpha \)。根据曲线 \( C \) 的参数方程： \[ P: \left\{\begin{array}{l} x_P = 2 \cos \alpha \\ y_P = 2 \sin \alpha \end{array}\right. \] \[ Q: \left\{\begin{array}{l} x_Q = 2 \cos (2\alpha) \\ y_Q = 2 \sin (2\alpha) \end{array}\right. \] 中点 \( M \) 的坐标为 \( (x_M, y_M) \)，可以通过 \( P \) 和 \( Q \) 的坐标求得： \[ x_M = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{2 \cos \alpha + 2 \cos (2\alpha)}{2} = \cos \alpha + \cos (2\alpha) \] \[ y_M = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin (2\alpha)}{2} = \sin \alpha + \sin (2\alpha) \] 接下来，我们需要将 \( \cos (2\alpha) \) 和 \( \sin (2\alpha) \) 用 \( \alpha \) 表示： \[ \cos (2\alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1 \] \[ \sin (2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] 因此： \[ x_M = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \] \[ y_M = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \] 将 \( x_M \) 和 \( y_M \) 进一步简化： \[ x_M = 2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 \] \[ y_M = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \] 所以，\( M \) 的轨迹的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = 2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 \\ y = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \end{array}\right. \] <eoe> 【答案】 \[ \left\{\begin{array}{l} x = 2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 \\ y = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \end{array}\right. \] <eoa> (2)【解析】我们需要将 \( M \) 到坐标原点的距离 \( d \) 表示为 \( \alpha \) 的函数，并判断 \( M \) 的轨迹是否过坐标原点。首先，计算 \( d \)： \[ d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2} \] 将 \( x_M \) 和 \( y_M \) 代入： \[ x_M = 2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 \] \[ y_M = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \] \[ d = \sqrt{(2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1)^2 + (\sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha))^2} \] 我们需要简化这个表达式。首先计算每一项的平方： \[ (2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1)^2 = (2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1)(2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1) \] \[ = 4 \cos^4 \alpha + 4 \cos^3 \alpha - 4 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha - 2 \cos^2 \alpha - \cos \alpha + 1 \] \[ = 4 \cos^4 \alpha + 4 \cos^3 \alpha - 5 \cos^2 \alpha + \cos \alpha + 1 \] \[ (\sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha))^2 = \sin^2 \alpha (1 + 2 \cos \alpha)^2 \] \[ = \sin^2 \alpha (1 + 4 \cos \alpha + 4 \cos^2 \alpha) \] \[ = \sin^2 \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \] 将这些结果代入 \( d \) 的表达式： \[ d = \sqrt{4 \cos^4 \alpha + 4 \cos^3 \alpha - 5 \cos^2 \alpha + \cos \alpha + 1 + \sin^2 \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} \] 我们可以进一步简化这个表达式，但为了判断轨迹是否经过原点，我们只需要检查当 \( \alpha \) 取某些特定值时，\( d \) 是否为零。当 \( \alpha = 0 \) 时： \[ x_M = 2 \cos^2 0 + \cos 0 - 1 = 2 \cdot 1 + 1 - 1 = 2 \] \[ y_M = \sin 0 (1 + 2 \cos 0) = 0 \] 显然，\( M \) 不在原点。当 \( \alpha = \pi \) 时： \[ x_M = 2 \cos^2 \pi + \cos \pi - 1 = 2 \cdot 1 + (-1) - 1 = 0 \] \[ y_M = \sin \pi (1 + 2 \cos \pi) = 0 \] 显然，\( M \) 在原点。因此，\( M \) 的轨迹经过原点。 <eoe> 【答案】 \[ d = \sqrt{(2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1)^2 + (\sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha))^2} \] \( M \) 的轨迹经过原点。 <eoa>	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
deepseekr1	(1)【解析】动点P对应的参数为α，其坐标为(2cosα, 2sinα)；动点Q对应的参数为2α，其坐标为(2cos2α, 2sin2α)。M为PQ的中点，故其坐标： \[ x = \frac{2\cosα + 2\cos2α}{2} = \cosα + \cos2α, \quad y = \frac{2\sinα + 2\sin2α}{2} = \sinα + \sin2α \] 利用三角恒等式，可化简为： \[ x = 2\cos\frac{3α}{2}\cos\frac{α}{2}, \quad y = 2\sin\frac{3α}{2}\cos\frac{α}{2} \] 但题目仅需参数方程，因此M的轨迹参数方程为： \[ \begin{cases} x = \cosα + \cos2α \\ y = \sinα + \sin2α \end{cases} \quad (0 < α < 2π) \] <eoe> 【答案】 M的轨迹参数方程为： \[ \begin{cases} x = \cos\alpha + \cos2\alpha, \\ y = \sin\alpha + \sin2\alpha \end{cases} \quad (0 < \alpha < 2\pi) \] <eoa> (2)【解析】 M到原点的距离： \[ d = \sqrt{(\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2} \] 展开并化简： \[ \begin{aligned} d^2 &= (\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2 \\ &= \cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha + \cos^2 2\alpha + \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin2\alpha + \sin^2 2\alpha \\ &= (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha) + 2(\cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha) \\ &= 1 + 1 + 2\cos(\alpha) \\ &= 2(1 + \cos\alpha) \\ &= 4\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \end{aligned} \] 故： \[ d = 2\left\|\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right\| \] 因\(0 < \alpha < 2\pi\)，\(\frac{\alpha}{2} \in (0, \pi)\)，此时\(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \geq 0\)，故： \[ d = 2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \] 当\(d = 0\)时，\(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 0\)，解得\(\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2}\)即\(\alpha = \pi\)。此时： \[ x = \cos\pi + \cos2\pi = -1 + 1 = 0, \quad y = \sin\pi + \sin2\pi = 0 + 0 = 0 \] 故轨迹过原点。 <eoe> 【答案】距离函数为： \[ d = 2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \] M的轨迹经过坐标原点。 <eoa>	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
gpto1	(1)【解析】首先，我们知道点 $P$ 和 $Q$ 的参数分别是 $\beta=\alpha$ 和 $\beta=2\alpha$。所以，点 $P$ 的坐标为： $$ P(x_1, y_1) = (2\cos \alpha, 2\sin \alpha) $$ 点 $Q$ 的坐标为： $$ Q(x_2, y_2) = (2\cos 2\alpha, 2\sin 2\alpha) $$ 中点 $M$ 的坐标为： $$ \begin{cases} x = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{2\cos \alpha + 2\cos 2\alpha}{2} = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\ y = \dfrac{y_1 + y_2}{2} = \dfrac{2\sin \alpha + 2\sin 2\alpha}{2} = \sin \alpha + \sin 2\alpha \end{cases} $$ 接下来，我们利用三角恒等式将 $x$ 和 $y$ 进行化简。利用公式： $$ \cos A + \cos B = 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\ \sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} $$ 对于 $x$： $$ \begin{aligned} x &= \cos \alpha + \cos 2\alpha \\ &= 2 \cos \left( \dfrac{\alpha + 2\alpha}{2} \right) \cos \left( \dfrac{\alpha - 2\alpha}{2} \right) \\ &= 2 \cos \dfrac{3\alpha}{2} \cos \left( -\dfrac{\alpha}{2} \right) \\ &= 2 \cos \dfrac{3\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2} \end{aligned} $$ 对于 $y$： $$ \begin{aligned} y &= \sin \alpha + \sin 2\alpha \\ &= 2 \sin \left( \dfrac{\alpha + 2\alpha}{2} \right) \cos \left( \dfrac{\alpha - 2\alpha}{2} \right) \\ &= 2 \sin \dfrac{3\alpha}{2} \cos \left( -\dfrac{\alpha}{2} \right) \\ &= 2 \sin \dfrac{3\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2} \end{aligned} $$ 所以，$M$ 的轨迹的参数方程为： $$ \begin{cases} x = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{3\alpha}{2} \\ y = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \sin \dfrac{3\alpha}{2} \end{cases} $$ <eoe> 【答案】 $$ \begin{cases} x = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{3\alpha}{2} \\ y = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \sin \dfrac{3\alpha}{2} \end{cases} $$ <eoa> (2)【解析】点 $M$ 到原点的距离为： $$ d = \sqrt{x^2 + y^2} $$ 将 (1) 中的 $x$ 和 $y$ 代入： $$ \begin{aligned} d &= \sqrt{\left(2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{3\alpha}{2}\right)^2 + \left(2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \sin \dfrac{3\alpha}{2}\right)^2} \\ &= 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \sqrt{\cos^2 \dfrac{3\alpha}{2} + \sin^2 \dfrac{3\alpha}{2}} \\ &= 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \cdot 1 \\ &= 2 \left\| \cos \dfrac{\alpha}{2} \right\| \end{aligned} $$ 因为 $0<\alpha<2\pi$，所以 $\dfrac{\alpha}{2} \in \left(0, \pi\right)$，在此区间内 $\cos \dfrac{\alpha}{2}$ 可以为正也可以为负，但其绝对值总是非负的。当 $\cos \dfrac{\alpha}{2} = 0$ 时，$d=0$，即 $M$ 在原点。解 $\cos \dfrac{\alpha}{2} = 0$，得： $$ \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \text{为整数}) $$ 因为 $0<\alpha<2\pi$，所以 $\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{2}$，即 $\alpha = \pi$。所以，当 $\alpha = \pi$ 时，$M$ 的轨迹经过原点。 <eoe> 【答案】 $d = 2 \left\| \cos \dfrac{\alpha}{2} \right\|$，因此当 $\alpha = \pi$ 时，$M$ 的轨迹经过坐标原点。 <eoa>	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
GPT-4o	(1)【解析】首先，我们需要找出点 \( P \) 和 \( Q \) 的坐标。根据题意，点 \( P \) 和 \( Q \) 都在曲线 \( C \) 上，且对应的参数分别为 \( \beta = \alpha \) 和 \( \beta = 2\alpha \)。因此，点 \( P \) 的坐标为： \[ P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha) \] 点 \( Q \) 的坐标为： \[ Q(2 \cos 2\alpha, 2 \sin 2\alpha) \] 中点 \( M \) 的坐标是 \( P \) 和 \( Q \) 的坐标的平均值： \[ M\left( \frac{2 \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha}{2}, \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin 2\alpha}{2} \right) \] \[ M\left( \cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha \right) \] 使用三角函数的加倍角公式： \[ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \] \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] 将这些代入中点 \( M \) 的坐标： \[ M\left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1, \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right) \] 因此，中点 \( M \) 的轨迹的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \\ y = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{array} \right. \] <eoe> 【答案】 \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \\ y = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{array} \right. \] <eoa> (2)【解析】我们需要将点 \( M \) 到坐标原点的距离 \( d \) 表示为参数 \( \alpha \) 的函数。点 \( M \) 的坐标为： \[ M\left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1, \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right) \] 点 \( M \) 到原点的距离 \( d \) 为： \[ d = \sqrt{ \left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \right)^2 + \left( \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right)^2 } \] 我们需要判断 \( M \) 的轨迹是否经过原点，即判断 \( d = 0 \) 时是否存在对应的 \( \alpha \)。令 \( d = 0 \)，即： \[ \sqrt{ \left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \right)^2 + \left( \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right)^2 } = 0 \] 这意味着： \[ \left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \right)^2 + \left( \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right)^2 = 0 \] 因为平方和为零，仅在每一项都为零的情况下才成立： \[ \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 = 0 \] \[ \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0 \] 首先，解第一个方程： \[ \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 = 0 \] 设 \( u = \cos \alpha \)，则方程变为： \[ u + 2u^2 - 1 = 0 \] \[ 2u^2 + u - 1 = 0 \] 解这个二次方程： \[ u = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \] \[ u = \frac{-1 \pm 3}{4} \] \[ u = \frac{1}{2} \quad \text{或} \quad u =	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
llama3.1-70B-Instruct	(1)【解析】由题意,设P(2\cos\alpha,2\sin\alpha),Q(2\cos2\alpha,2\sin2\alpha),则M(\cos\alpha+\cos2\alpha,\sin\alpha+\sin2\alpha),由此可得M的轨迹的参数方程为\begin{cases}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{cases}.\begin{cases}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{cases}(2)由(1)可得,d^{2}=(\cos\alpha+\cos2\alpha)^{2}+(\sin\alpha+\sin2\alpha)^{2}=3+2\cos\alpha,当\alpha=\frac{2\pi}{3}时,d^{2}=1,即d=1,所以M的轨迹过坐标原点. 最终结果是{(x=cos(alpha)+cos(2alpha),y=sin(alpha)+sin(2alpha))}(2)	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
llama3.1-405B-Instruct	(1)由题意可得P(2\cos\alpha,2\sin\alpha),Q(2\cos2\alpha,2\sin2\alpha),所以M的坐标为(\cos\alpha+\cos2\alpha,\sin\alpha+\sin2\alpha)所以M的轨迹的参数方程为\begin{cases}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{cases}(2)d=\sqrt{(\cos\alpha+\cos2\alpha)^{2}+(\sin\alpha+\sin2\alpha)^{2}}=\sqrt{3+2\cos\alpha}因为0<\alpha<2\pi,所以-1\leqslant\cos\alpha<1,所以1\leqslant3+2\cos\alpha<5,所以1\leqslantd<\	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
DeepSeek-Coder-V2	"(1)【解析】首先，我们需要找到动点 $P$ 和 $Q$ 的坐标。根据题目，动点 $P$ 和 $Q$ 都在曲线 $C$ 上，曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\beta \\\\ y=2 \\sin \\beta\\end{array}\\right.$。动点 $P$ 对应的参数为 $\\beta=\\alpha$，因此 $P$ 的坐标为 $(2 \\cos \\alpha, 2 \\sin \\alpha)$。动点 $Q$ 对应的参数为 $\\beta=2 \\alpha$，因此 $Q$ 的坐标为 $(2 \\cos 2\\alpha, 2 \\sin 2\\alpha)$。\n\n接下来，我们需要找到 $P$ 和 $Q$ 的中点 $M$ 的坐标。中点 $M$ 的坐标为 $P$ 和 $Q$ 坐标之和的一半，即：\n\\[\nM = \\left( \\frac{2 \\cos \\alpha + 2 \\cos 2\\alpha}{2}, \\frac{2 \\sin \\alpha + 2 \\sin 2\\alpha}{2} \\right)\n\\]\n简化后得到：\n\\[\nM = (\\cos \\alpha + \\cos 2\\alpha, \\sin \\alpha + \\sin 2\\alpha)\n\\]\n\n利用三角恒等式，$\\cos 2\\alpha = 2\\cos^2 \\alpha - 1$ 和 $\\sin 2\\alpha = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha$，我们可以进一步简化 $M$ 的坐标：\n\\[\nM = (\\cos \\alpha + 2\\cos^2 \\alpha - 1, \\sin \\alpha + 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha)\n\\]\n\\[\nM = (2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1, 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha)\n\\]\n\n因此，$M$ 的轨迹的参数方程为：\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}x = 2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1 \\\\ y = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha\\end{array}\\right.\n\\]\n<eoe>\n【答案】$\\left\\{\\begin{array}{l}x = 2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1 \\\\ y = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$<eoa>\n\n(2)【解析】我们需要将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $\\alpha$ 的函数。$M$ 的坐标为 $(x, y)$，其中 $x = 2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1$ 和 $y = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha$。距离 $d$ 的公式为：\n\\[\nd = \\sqrt{x^2 + y^2}\n\\]\n\n首先计算 $x^2$ 和 $y^2$：\n\\[\nx^2 = (2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1)^2\n\\]\n\\[\ny^2 = (2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha)^2\n\\]\n\n然后计算 $x^2 + y^2$：\n\\[\nx^2 + y^2 = (2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1)^2 + (2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha)^2\n\\]\n\n展开并简化：\n\\[\nx^2 = 4\\cos^4 \\alpha + 4\\cos^3 \\alpha - 4\\cos^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha - 2\\cos \\alpha + 1\n\\]\n\\[\ny^2 = 4\\sin^2 \\alpha \\cos^2 \\alpha + 4\\sin^2 \\alpha \\cos \\alpha + \\sin^2 \\alpha\n\\]\n\n将 $x^2$ 和 $y^2$ 相加并简化：\n\\[\nx^2 + y^2 = 4\\cos^4 \\alpha + 4\\cos^3 \\alpha - 4\\cos^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha - 2\\cos \\alpha + 1 + 4\\sin^2 \\alpha \\cos^2 \\alpha + 4\\sin^2 \\alpha \\cos \\alpha + \\sin^2 \\alpha\n\\]\n\n利用 $\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$ 进一步简化：\n\\[\nx^2 + y^2 = 4\\cos^4 \\alpha + 4\\cos^3 \\alpha - 4\\cos^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha - 2\\cos \\alpha + 1 + 4\\sin^2 \\alpha \\cos^2 \\alpha + 4\\sin^2 \\alpha \\cos \\alpha + \\sin^2 \\alpha\n\\]\n\n最终得到：\n\\[\nd = \\sqrt{4\\cos^4 \\alpha + 4\\cos^3 \\alpha - 4\\cos^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha - 2\\cos \\alpha + 1 + 4\\sin^2 \\alpha \\cos^2 \\alpha + 4\\sin^2 \\alpha \\cos \\alpha + \\sin^2 \\alpha}\n\\]\n\n判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点，即判断是否存在 $\\alpha$ 使得 $x = 0$ 且 $y = 0$。我们需要解方程：\n\\[\n2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1 = 0\n\\]\n\\[\n2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha = 0\n\\]\n\n解第一个方程：\n\\[\n2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1 = 0\n\\]\n设 $u = \\cos \\alpha$，则方程变为：\n\\[\n2u^2 + u - 1 = 0\n\\]\n解这个二次方程：\n\\[\nu = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{1 + 8}}{4} = \\frac{-1 \\pm 3}{4}\n\\]\n\\[\nu = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2} \\quad \\text{或} \\quad u = \\frac{-4}{4} = -1\n\\]\n\n所以 $\\cos \\alpha = \\frac{1}{2}$ 或 $\\cos \\alpha = -1$。对应的 $\\alpha$ 为 $\\frac{\\pi}{3}$ 或 $\\pi$。\n\n解第二个方程：\n\\[\n2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha = 0\n\\]\n\\[\n\\sin \\alpha (2\\cos \\alpha + 1) = 0\n\\]\n所以 $\\sin \\alpha = 0$ 或 $2\\cos \\alpha + 1 = 0$。\n\n当 $\\sin \\alpha = 0$，$\\alpha = 0$ 或 $\\pi$。当 $2\\cos \\alpha + 1 = 0$，$\\cos \\alpha = -\\frac{1}{2}$，对应的 $\\alpha$ 为 $\\frac{2\\pi}{3}$ 或 $\\frac{4\\pi}{3}$。\n\n综上所述，$\\alpha = \\pi$ 时，$x = 0$ 且 $y = 0$，所以 $M$ 的轨迹过坐标原点。\n<eoe>\n【答案】$d = \\sqrt{4\\cos^4 \\alpha + 4\\cos^3 \\alpha - 4\\cos^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha - 2\\cos \\alpha + 1 + 4\\sin^2 \\alpha \\cos^2 \\alpha + 4\\sin^2 \\alpha \\cos \\alpha + \\sin^2 \\alpha}$，$M$ 的轨迹过坐标原点。<eoa>"	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
Qwen2-72B-Instruct	"(1)【解析】首先，根据题目中给出的参数方程 $C:\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\beta \\\\ y=2 \\sin \\beta\\end{array}\\right.$，代入点 $P$ 和 $Q$ 的参数 $\\beta=\\alpha$ 与 $\\beta=2\\alpha$，分别得到点 $P$ 和 $Q$ 的坐标。然后，利用中点坐标公式，计算出点 $M$ 的坐标，从而得到 $M$ 的轨迹的参数方程。\n<eoe>\n【答案】对于点 $P$，有 $\\beta=\\alpha$，则 $P$ 的坐标为 $(2\\cos\\alpha, 2\\sin\\alpha)$；对于点 $Q$，有 $\\beta=2\\alpha$，则 $Q$ 的坐标为 $(2\\cos2\\alpha, 2\\sin2\\alpha)$。根据中点坐标公式，点 $M$ 的坐标为 $M\\left(\\frac{2\\cos\\alpha+2\\cos2\\alpha}{2}, \\frac{2\\sin\\alpha+2\\sin2\\alpha}{2}\\right)$，即 $M(\\cos\\alpha+\\cos2\\alpha, \\sin\\alpha+\\sin2\\alpha)$。因此，$M$ 的轨迹的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos\\alpha+\\cos2\\alpha \\\\ y=\\sin\\alpha+\\sin2\\alpha\\end{array}\\right.$。\n<eoa>\n\n(2)【解析】根据 $M$ 的轨迹的参数方程，利用点到原点的距离公式 $d=\\sqrt{x^2+y^2}$，将 $M$ 的坐标代入，得到 $d$ 与 $\\alpha$ 的关系式。然后，分析 $d$ 的表达式，判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点，即判断 $d=0$ 是否有解。\n<eoe>\n【答案】将 $M$ 的轨迹的参数方程 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos\\alpha+\\cos2\\alpha \\\\ y=\\sin\\alpha+\\sin2\\alpha\\end{array}\\right.$ 代入距离公式 $d=\\sqrt{x^2+y^2}$，得到 $d=\\sqrt{(\\cos\\alpha+\\cos2\\alpha)^2+(\\sin\\alpha+\\sin2\\alpha)^2}$。化简得 $d=\\sqrt{2+2\\cos\\alpha\\cos2\\alpha+2\\sin\\alpha\\sin2\\alpha}$。由三角恒等式 $2\\cos\\alpha\\cos2\\alpha+2\\sin\\alpha\\sin2\\alpha=\\cos(\\alpha-2\\alpha)+\\cos(\\alpha+2\\alpha)=\\cos(-\\alpha)+\\cos3\\alpha$，得 $d=\\sqrt{2+2\\cos\\alpha+2\\cos3\\alpha}$。要判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点，即判断 $d=0$ 是否有解。显然，$d=\\sqrt{2+2\\cos\\alpha+2\\cos3\\alpha}\\geq\\sqrt{2}>0$，因此，$M$ 的轨迹不会过坐标原点。\n<eoa>"	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
baichuan4	(1)【解析】由于点 $P$ 和点 $Q$ 都在曲线 $C$ 上，我们可以根据给定的参数方程得到它们的坐标。对于点 $P$，其对应的参数为 $\beta = \alpha$，所以它的坐标为 $(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$。同理，点 $Q$ 对应的参数为 $\beta = 2\alpha$，其坐标为 $(2\cos(2\alpha), 2\sin(2\alpha))$。中点 $M$ 的坐标可以通过取点 $P$ 和点 $Q$ 坐标的平均值得到。因此，$M$ 的横坐标 $x_M$ 为： $$ x_M = \frac{2\cos\alpha + 2\cos(2\alpha)}{2} = \cos\alpha + \cos(2\alpha) $$ 同理，$M$ 的纵坐标 $y_M$ 为： $$ y_M = \frac{2\sin\alpha + 2\sin(2\alpha)}{2} = \sin\alpha + \sin(2\alpha) $$ 因此，$M$ 的轨迹的参数方程为： $$ \left\{\begin{array}{l} x = \cos\alpha + \cos(2\alpha) \\ y = \sin\alpha + \sin(2\alpha) \end{array}\right. $$ 其中 $0 < \alpha < 2\pi$。【答案】 $M$ 的轨迹的参数方程为： $$ \left\{\begin{array}{l} x = \cos\alpha + \cos(2\alpha) \\ y = \sin\alpha + \sin(2\alpha) \end{array}\right. $$ 其中 $0 < \alpha < 2\pi$。 (2)【解析】要求 $M$ 到坐标原点的距离 $d$，我们可以使用勾股定理。根据 $M$ 的坐标，我们有： $$ d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2} $$ 将 $x_M$ 和 $y_M$ 的表达式代入上式，得到： $$ d = \sqrt{(\cos\alpha + \cos(2\alpha))^2 + (\sin\alpha + \sin(2\alpha))^2} $$ 展开平方项并利用三角恒等式 $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ 和 $\cos^2(2\alpha) + \sin^2(2\alpha) = 1$，我们得到： $$ d = \sqrt{2 + 2\cos\alpha\cos(2\alpha) + 2\sin\alpha\sin(2\alpha)} $$ 利用和差化积公式，上式可以简化为： $$ d = \sqrt{2 + 2\cos(\alpha - 2\alpha)} = \sqrt{2 + 2\cos(-\alpha)} = \sqrt{2 + 2\cos\alpha} $$ 因此，$M$ 到坐标原点的距离 $d$ 可以表示为 $\alpha$ 的函数： $$ d(\alpha) = \sqrt{2 + 2\cos\alpha} $$ 要判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点，我们需要看是否存在某个 $\alpha$ 使得 $d(\alpha) = 0$。由于 $\cos\alpha$ 的取值范围是 $[-1, 1]$，$2 + 2\cos\alpha$ 的最小值为 $2 - 2 = 0$，这意味着 $d(\alpha)$ 的最小值为 $0$。因此，当 $\cos\alpha = -1$ 即 $\alpha = \pi$ 时，$M$ 的轨迹确实过坐标原点。【答案】 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $\alpha$ 的函数为： $$ d(\alpha) = \sqrt{2 + 2\cos\alpha} $$ $M$ 的轨迹过坐标原点。	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
doubao	(1)【解析】已知曲线$C$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2\cos\beta\\y=2\sin\beta\end{array}\right.$（$\beta$为参数），消去参数$\beta$可得$x^{2}+y^{2}=4$，所以曲线$C$是圆心为$(0,0)$，半径为$2$的圆。设$P(2\cos\alpha,2\sin\alpha)$，$Q(2\cos2\alpha,2\sin2\alpha)$，则$M$点坐标为$(\frac{2\cos\alpha+2\cos2\alpha}{2},\frac{2\sin\alpha+2\sin2\alpha}{2})$，即$M(\cos\alpha+\cos2\alpha,\sin\alpha+\sin2\alpha)$，则$M$的轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{array}\right.$（$\alpha$为参数）。<eoe> 【答案】$M$的轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{array}\right.$（$\alpha$为参数）。<eoa> (2)【解析】$M$到坐标原点的距离$d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(\cos\alpha+\cos2\alpha)^{2}+(\sin\alpha+\sin2\alpha)^{2}}=\sqrt{2+2(\cos\alpha\cos2\alpha+\sin\alpha\sin2\alpha)}=\sqrt{2+2\cos\alpha}$。当$\alpha=\pi$时，$d=0$，所以$M$的轨迹过坐标原点。<eoe> 【答案】$d=\sqrt{2+2\cos\alpha}$，$M$的轨迹过坐标原点。<eoa>	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
minimax	(1)【解析】首先，我们需要找到点$P$和点$Q$的坐标。由于$P$和$Q$都在曲线$C$上，我们可以将它们的坐标表示为参数$\alpha$和$2\alpha$的函数。然后，我们可以利用中点公式来找到$M$的坐标，即$M$的横坐标是$P$和$Q$横坐标的平均值，$M$的纵坐标是$P$和$Q$纵坐标的平均值。这样我们就可以得到$M$的轨迹的参数方程。<eoe> 【答案】点$P$的坐标为$(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$，点$Q$的坐标为$(2\cos2\alpha, 2\sin2\alpha)$。根据中点公式，$M$的横坐标为： \[ x_M = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{2\cos\alpha + 2\cos2\alpha}{2} = \cos\alpha + \cos2\alpha \] $M$的纵坐标为： \[ y_M = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{2\sin\alpha + 2\sin2\alpha}{2} = \sin\alpha + \sin2\alpha \] 因此，$M$的轨迹的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = \cos\alpha + \cos2\alpha \\ y = \sin\alpha + \sin2\alpha \end{array}\right. \] 其中参数$\alpha$的取值范围是$0 < \alpha < 2\pi$。<eoa> (2)【解析】要求$M$到坐标原点的距离$d$，我们可以使用距离公式$d = \sqrt{x^2 + y^2}$，其中$(x, y)$是点$M$的坐标。将$M$的参数方程代入距离公式，我们可以得到$d$关于$\alpha$的函数表达式。然后，我们可以检查当$\alpha$取特定值时，$d$是否为零，以此来判断$M$的轨迹是否过坐标原点。<eoe> 【答案】根据距离公式，$M$到坐标原点的距离$d$为： \[ d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2} = \sqrt{(\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2} \] 利用三角恒等式$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，我们可以简化上述表达式： \[ d = \sqrt{(\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2} \] \[ d = \sqrt{\cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha + \cos^22\alpha + \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin2\alpha + \sin^22\alpha} \] \[ d = \sqrt{1 + 2\cos\alpha\cos2\alpha + 2\sin\alpha\sin2\alpha} \] \[ d = \sqrt{1 + 2\cos(\alpha - 2\alpha)} \] \[ d = \sqrt{1 + 2\cos(\alpha - 2\alpha)} \] \[ d = \sqrt{1 + 2\cos(\alpha - 2\alpha)} \] \[ d = \sqrt{1 + 2\cos(\alpha - 2\alpha)} \] \[ d = \sqrt{1 + 2\cos(\alpha - 2\alpha)} \] \[ d = \sqrt{1 + 2\cos(-\alpha)} \] \[ d = \sqrt{1 + 2\cos\alpha} \] 由于$\cos\alpha$的取值范围是$[-1, 1]$，因此$1 + 2\cos\alpha$的取值范围是$[-1, 3]$。当$\cos\alpha = -1$时，$d = 0$，这意味着当$\alpha = \pi$时，$M$的轨迹确实会经过坐标原点。因此，$M$的轨迹确实过坐标原点。<eoa>	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
kimi	(1)【解析】首先，我们需要找到点 $P$ 和 $Q$ 的坐标。根据题目给出的曲线 $C$ 的参数方程，我们可以得到： $P(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$，$Q(2\cos2\alpha, 2\sin2\alpha)$。接下来，我们需要找到中点 $M$ 的坐标。根据中点公式，我们有： $x_M = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{2\cos\alpha + 2\cos2\alpha}{2} = \cos\alpha + \cos2\alpha$， $y_M = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{2\sin\alpha + 2\sin2\alpha}{2} = \sin\alpha + \sin2\alpha$。为了简化表达式，我们可以使用三角恒等式： $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$，$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$。将这些恒等式代入 $x_M$ 和 $y_M$ 的表达式中，我们得到： $x_M = \cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1) = 2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1$， $y_M = \sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin\alpha(1 + 2\cos\alpha)$。现在我们需要消去参数 $\alpha$。我们可以令 $t = \cos\alpha$，则 $\sin\alpha = \sqrt{1 - t^2}$。将这些代入 $x_M$ 和 $y_M$ 的表达式中，我们得到： $x_M = 2t^2 + t - 1$， $y_M = \sqrt{1 - t^2}(1 + 2t)$。因此，$M$ 的轨迹的参数方程为： $\left\{\begin{array}{l}x = 2t^2 + t - 1 \\ y = \sqrt{1 - t^2}(1 + 2t)\end{array}\right.$。 <eoe> 【答案】 $\left\{\begin{array}{l}x = 2t^2 + t - 1 \\ y = \sqrt{1 - t^2}(1 + 2t)\end{array}\right.$。<eoa> (2)【解析】现在我们需要找到 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 并表示为 $\alpha$ 的函数。根据距离公式，我们有： $d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}$。将 $x_M$ 和 $y_M$ 的表达式代入距离公式，我们得到： $d = \sqrt{(\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2}$。使用三角恒等式，我们可以进一步简化这个表达式： $d = \sqrt{(\cos\alpha + 2\cos^2\alpha - 1)^2 + (\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha)^2}$。展开并简化，我们得到： $d = \sqrt{1 + 2\cos2\alpha + \cos^22\alpha + 1 + 4\sin\alpha\cos\alpha + 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$。注意到 $\cos^22\alpha = (2\cos^2\alpha - 1)^2 = 4\cos^4\alpha - 4\cos^2\alpha + 1$，我们可以进一步简化： $d = \sqrt{2 + 2\cos2\alpha + 4\cos^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha + 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$。现在我们需要判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点。如果 $M$ 过原点，那么当 $d = 0$ 时，$\alpha$ 应该存在。但是，从上面的表达式可以看出，$d$ 总是大于 0，因为所有的项都是非负的。因此，$M$ 的轨迹不会过坐标原点。 <eoe> 【答案】 $d = \sqrt{1 + 2\cos2\alpha + \cos^22\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
wenxinyiyan	(1)【解析】首先，根据题意，点P和Q的坐标分别为$P(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$和$Q(2\cos2\alpha, 2\sin2\alpha)$。由于M是PQ的中点，所以M的坐标为$M(\frac{2\cos\alpha + 2\cos2\alpha}{2}, \frac{2\sin\alpha + 2\sin2\alpha}{2})$，即$M(\cos\alpha + \cos2\alpha, \sin\alpha + \sin2\alpha)$。接下来，我们需要找到M的轨迹的参数方程。为此，我们将M的坐标中的$\cos2\alpha$和$\sin2\alpha$用$\cos\alpha$和$\sin\alpha$表示。利用三角函数的倍角公式，我们有$\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$和$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$。将这些代入M的坐标，我们得到$M(2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1, 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha)$。最后，为了得到M的轨迹的参数方程，我们将上式中的$\cos\alpha$和$\sin\alpha$分别替换为$\frac{x}{2}$和$\frac{y}{2}$，得到$M(2(\frac{x}{2})^2 + \frac{x}{2} - 1, 2\frac{y}{2}\frac{x}{2} + \frac{y}{2})$，即$M(\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} - 1, \frac{xy}{2} + \frac{y}{2})$。这就是M的轨迹的参数方程。【答案】 M的轨迹的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x = \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} - 1 \\ y = \frac{xy}{2} + \frac{y}{2}\end{array}\right.$ (2)【解析】首先，我们需要找到M到坐标原点的距离d作为$\alpha$的函数。为此，我们计算M的坐标的平方和，即$d^2 = (\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2$。接下来，我们将上式中的$\cos2\alpha$和$\sin2\alpha$用$\cos\alpha$和$\sin\alpha$表示，并利用三角函数的倍角公式，得到$d^2 = (2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1)^2 + (2\sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha)^2$。然后，我们将上式化简，得到$d^2 = 4\cos^4\alpha + 4\cos^3\alpha - 3\cos^2\alpha - 2\cos\alpha + 1 + 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 4\sin^2\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha$。最后，我们将上式中的$\cos^2\alpha$替换为$1-\sin^2\alpha$，得到$d^2 = 4(1-\sin^2\alpha)^2 + 4(1-\sin^2\alpha)^{\frac{3}{2}} - 3(1-\sin^2\alpha) - 2(1-\sin^2\alpha)^{\frac{1}{2}} + 1 + 4\sin^2\alpha(1-\sin^2\alpha) + 4\sin^2\alpha(1-\sin^2\alpha)^{\frac{1}{2}} + \sin^2\alpha$。这就是d作为$\alpha$的函数的表达式。另外，为了判断M的轨迹是否过坐标原点，我们检查当$\alpha = \frac{\pi}{2}$时，$d$的值是否为0。计算得$d = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$，所以M的轨迹不过坐标原点。【答案】 M到坐标原点的距离d作为$\alpha$的函数的表达式为：$d^2 = 4(1-\sin^2\alpha)^2 + 4(1-\sin^2\alpha)^{\frac{3}{2}} -	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
zhipu	(1)【解析】首先，根据题目给出的曲线 \( C \) 的参数方程： \[ x = 2 \cos \beta \] \[ y = 2 \sin \beta \] 动点 \( P \) 和 \( Q \) 分别对应参数 \( \beta = \alpha \) 和 \( \beta = 2\alpha \)，所以点 \( P \) 和 \( Q \) 的坐标分别为： \[ P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha) \] \[ Q(2 \cos 2\alpha, 2 \sin 2\alpha) \] 接下来，求 \( PQ \) 的中点 \( M \) 的坐标。中点坐标公式为： \[ M\left( \frac{x_P + x_Q}{2}, \frac{y_P + y_Q}{2} \right) \] 代入 \( P \) 和 \( Q \) 的坐标： \[ M\left( \frac{2 \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha}{2}, \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin 2\alpha}{2} \right) \] \[ M\left( \cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha \right) \] 因此，\( M \) 的轨迹的参数方程为： \[ \begin{cases} x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\ y = \sin \alpha + \sin 2\alpha \end{cases} \] 其中 \( \alpha \) 为参数，且 \( 0 < \alpha < 2\pi \)。 <eoe> 【答案】 \[ \begin{cases} x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\ y = \sin \alpha + \sin 2\alpha \end{cases} \] 其中 \( \alpha \) 为参数，且 \( 0 < \alpha < 2\pi \)。 <eoa> (2)【解析】接下来，我们需要将 \( M \) 到坐标原点的距离 \( d \) 表示为 \( \alpha \) 的函数。点 \( M \) 的坐标为 \( (\cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha) \)，所以 \( d \) 的表达式为： \[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \] \[ d = \sqrt{(\cos \alpha + \cos 2\alpha)^2 + (\sin \alpha + \sin 2\alpha)^2} \] 我们来展开并简化这个表达式： \[ (\cos \alpha + \cos 2\alpha)^2 + (\sin \alpha + \sin 2\alpha)^2 \] \[ = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin 2\alpha + \sin^2 2\alpha \] 利用三角恒等式 \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \)： \[ = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha) + 2 (\cos \alpha \cos 2\alpha + \sin \alpha \sin 2\alpha) \] \[ = 1 + 1 + 2 (\cos \alpha \cos 2\alpha + \sin \alpha \sin 2\alpha) \] \[ = 2 + 2 \cos (\alpha - 2\alpha) \] \[ = 2 + 2 \cos (-\alpha) \] \[ = 2 + 2 \cos \alpha \] 所以： \[ d = \sqrt{2 + 2 \cos \alpha} \] \[ d = \sqrt{2 (1 + \cos \alpha)} \] \[ d = \sqrt{2 \cdot 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} \] \[ d = 2 \left\| \cos \frac{\alpha}{2} \right\| \] 因此，\( d \) 表示为 \( \alpha \) 的函数为： \[ d(\alpha) = 2 \left\| \cos \frac{\alpha}{2} \right\| \] 接下来判断 \( M \) 的轨迹是否过坐标原点。当 \( M \) 过坐标原点时，\( d = 0 \)，即： \[ 2 \left\| \cos \frac{\alpha}{2} \right\| = 0 \] \[ \left\| \cos \frac{\alpha}{2} \right\| = 0 \] \[ \cos \frac{\alpha}{2} = 0 \] 解得： \[ \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} \text{ 或 } \frac{3\pi}{2} \] \[ \alpha = \pi \text{ 或 } 3\pi \] 由于 \( 0 < \alpha < 2\pi \)，所以 \( \alpha = \pi \) 是满足条件的。因此，当 \( \alpha = \pi \) 时，\( M \) 的坐标为： \[ M(\cos \pi + \cos 2\pi, \sin \pi + \sin 2\pi) \] \[ M(-1 + 1, 0 + 0) \] \[ M(0, 0) \] 所以，\( M \) 的轨迹过坐标原点。 <eoe> 【答案】 \[ d(\alpha) = 2 \left\| \cos \frac{\alpha}{2} \right\| \] 且 \( M \) 的轨迹过坐标原点。 <eoa>	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
gpto1	(1)【解析】首先，我们知道点 $P$ 和 $Q$ 的参数分别是 $\beta=\alpha$ 和 $\beta=2\alpha$。所以，点 $P$ 的坐标为： $$ P(x_1, y_1) = (2\cos \alpha, 2\sin \alpha) $$ 点 $Q$ 的坐标为： $$ Q(x_2, y_2) = (2\cos 2\alpha, 2\sin 2\alpha) $$ 中点 $M$ 的坐标为： $$ \begin{cases} x = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{2\cos \alpha + 2\cos 2\alpha}{2} = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\ y = \dfrac{y_1 + y_2}{2} = \dfrac{2\sin \alpha + 2\sin 2\alpha}{2} = \sin \alpha + \sin 2\alpha \end{cases} $$ 接下来，我们利用三角恒等式将 $x$ 和 $y$ 进行化简。利用公式： $$ \cos A + \cos B = 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\ \sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} $$ 对于 $x$： $$ \begin{aligned} x &= \cos \alpha + \cos 2\alpha \\ &= 2 \cos \left( \dfrac{\alpha + 2\alpha}{2} \right) \cos \left( \dfrac{\alpha - 2\alpha}{2} \right) \\ &= 2 \cos \dfrac{3\alpha}{2} \cos \left( -\dfrac{\alpha}{2} \right) \\ &= 2 \cos \dfrac{3\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2} \end{aligned} $$ 对于 $y$： $$ \begin{aligned} y &= \sin \alpha + \sin 2\alpha \\ &= 2 \sin \left( \dfrac{\alpha + 2\alpha}{2} \right) \cos \left( \dfrac{\alpha - 2\alpha}{2} \right) \\ &= 2 \sin \dfrac{3\alpha}{2} \cos \left( -\dfrac{\alpha}{2} \right) \\ &= 2 \sin \dfrac{3\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2} \end{aligned} $$ 所以，$M$ 的轨迹的参数方程为： $$ \begin{cases} x = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{3\alpha}{2} \\ y = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \sin \dfrac{3\alpha}{2} \end{cases} $$ <eoe> 【答案】 $$ \begin{cases} x = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{3\alpha}{2} \\ y = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \sin \dfrac{3\alpha}{2} \end{cases} $$ <eoa> (2)【解析】点 $M$ 到原点的距离为： $$ d = \sqrt{x^2 + y^2} $$ 将 (1) 中的 $x$ 和 $y$ 代入： $$ \begin{aligned} d &= \sqrt{\left(2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{3\alpha}{2}\right)^2 + \left(2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \sin \dfrac{3\alpha}{2}\right)^2} \\ &= 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \sqrt{\cos^2 \dfrac{3\alpha}{2} + \sin^2 \dfrac{3\alpha}{2}} \\ &= 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \cdot 1 \\ &= 2 \left\| \cos \dfrac{\alpha}{2} \right\| \end{aligned} $$ 因为 $0<\alpha<2\pi$，所以 $\dfrac{\alpha}{2} \in \left(0, \pi\right)$，在此区间内 $\cos \dfrac{\alpha}{2}$ 可以为正也可以为负，但其绝对值总是非负的。当 $\cos \dfrac{\alpha}{2} = 0$ 时，$d=0$，即 $M$ 在原点。解 $\cos \dfrac{\alpha}{2} = 0$，得： $$ \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \text{为整数}) $$ 因为 $0<\alpha<2\pi$，所以 $\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{2}$，即 $\alpha = \pi$。所以，当 $\alpha = \pi$ 时，$M$ 的轨迹经过原点。 <eoe> 【答案】 $d = 2 \left\| \cos \dfrac{\alpha}{2} \right\|$，因此当 $\alpha = \pi$ 时，$M$ 的轨迹经过坐标原点。 <eoa>	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.
deepseekv3	(1)【解析】首先，我们根据题目描述，确定点 \( P \) 和点 \( Q \) 的坐标。点 \( P \) 对应的参数为 \( \beta = \alpha \)，因此其坐标为： \[ P = (2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha) \] 点 \( Q \) 对应的参数为 \( \beta = 2\alpha \)，因此其坐标为： \[ Q = (2 \cos 2\alpha, 2 \sin 2\alpha) \] 点 \( M \) 是 \( P \) 和 \( Q \) 的中点，其坐标为： \[ M = \left( \frac{2 \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha}{2}, \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin 2\alpha}{2} \right) = (\cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha) \] 因此，点 \( M \) 的轨迹的参数方程为： \[ \begin{cases} x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\ y = \sin \alpha + \sin 2\alpha \end{cases} \] <eoe> 【答案】 \[ \begin{cases} x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\ y = \sin \alpha + \sin 2\alpha \end{cases} \] <eoa> (2)【解析】我们需要将点 \( M \) 到坐标原点的距离 \( d \) 表示为 \( \alpha \) 的函数。点 \( M \) 的坐标为 \( (\cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha) \)，因此距离 \( d \) 为： \[ d = \sqrt{(\cos \alpha + \cos 2\alpha)^2 + (\sin \alpha + \sin 2\alpha)^2} \] 展开并简化表达式： \[ d^2 = (\cos \alpha + \cos 2\alpha)^2 + (\sin \alpha + \sin 2\alpha)^2 \] \[ = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin 2\alpha + \sin^2 2\alpha \] \[ = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha) + 2 (\cos \alpha \cos 2\alpha + \sin \alpha \sin 2\alpha) \] \[ = 1 + 1 + 2 \cos(\alpha - 2\alpha) \] \[ = 2 + 2 \cos(-\alpha) \] \[ = 2 + 2 \cos \alpha \] 因此，距离 \( d \) 为： \[ d = \sqrt{2 + 2 \cos \alpha} = \sqrt{2(1 + \cos \alpha)} = \sqrt{4 \cos^2 \left( \frac{\alpha}{2} \right)} = 2 \left\| \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) \right\| \] 接下来，我们判断 \( M \) 的轨迹是否过坐标原点。当 \( M \) 在原点时，\( d = 0 \)，即： \[ 2 \left\| \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) \right\| = 0 \implies \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = 0 \] 解这个方程： \[ \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \alpha = \pi + 2k\pi \] 在 \( 0 < \alpha < 2\pi \) 的范围内，\( \alpha = \pi \) 是唯一的解。因此，当 \( \alpha = \pi \) 时，\( M \) 位于坐标原点。 <eoe> 【答案】点 \( M \) 到坐标原点的距离 \( d \) 为： \[ d = 2 \left\| \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) \right\| \] 并且，当 \( \alpha = \pi \) 时，\( M \) 位于坐标原点，因此 \( M \) 的轨迹过坐标原点。 <eoa>	解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$, 因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$. $M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ). (2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$. 当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.

模型

模型答案

正确答案

金声玉亮2.0

(1)【解析】
首先，我们知道动点 $ P $ 和 $ Q $ 都在曲线 $ C $ 上，且对应的参数分别为 $ \beta = \alpha $ 和 $ \beta = 2\alpha $。

根据曲线 $ C $ 的参数方程：
\[ P: \left\{\begin{array}{l}
x_P = 2 \cos \alpha \\
y_P = 2 \sin \alpha
\end{array}\right. \]

\[ Q: \left\{\begin{array}{l}
x_Q = 2 \cos (2\alpha) \\
y_Q = 2 \sin (2\alpha)
\end{array}\right. \]

中点 $ M $ 的坐标为 $ (x_M, y_M) $，可以通过 $ P $ 和 $ Q $ 的坐标求得：
\[ x_M = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{2 \cos \alpha + 2 \cos (2\alpha)}{2} = \cos \alpha + \cos (2\alpha) \]
\[ y_M = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin (2\alpha)}{2} = \sin \alpha + \sin (2\alpha) \]

接下来，我们需要将 $ \cos (2\alpha) $ 和 $ \sin (2\alpha) $ 用 $ \alpha $ 表示：
\[ \cos (2\alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1 \]
\[ \sin (2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]

因此：
\[ x_M = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \]
\[ y_M = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \]

将 $ x_M $ 和 $ y_M $ 进一步简化：
\[ x_M = 2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 \]
\[ y_M = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \]

所以，$ M $ 的轨迹的参数方程为：
\[ \left\{\begin{array}{l}
x = 2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 \\
y = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha)
\end{array}\right. \]

<eoe>
【答案】
\[ \left\{\begin{array}{l}
x = 2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 \\
y = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha)
\end{array}\right. \]
<eoa>

(2)【解析】
我们需要将 $ M $ 到坐标原点的距离 $ d $ 表示为 $ \alpha $ 的函数，并判断 $ M $ 的轨迹是否过坐标原点。

首先，计算 $ d $：
\[ d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2} \]

将 $ x_M $ 和 $ y_M $ 代入：
\[ x_M = 2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 \]
\[ y_M = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \]

\[ d = \sqrt{(2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1)^2 + (\sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha))^2} \]

我们需要简化这个表达式。首先计算每一项的平方：
\[ (2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1)^2 = (2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1)(2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1) \]
\[ = 4 \cos^4 \alpha + 4 \cos^3 \alpha - 4 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha - 2 \cos^2 \alpha - \cos \alpha + 1 \]
\[ = 4 \cos^4 \alpha + 4 \cos^3 \alpha - 5 \cos^2 \alpha + \cos \alpha + 1 \]

\[ (\sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha))^2 = \sin^2 \alpha (1 + 2 \cos \alpha)^2 \]
\[ = \sin^2 \alpha (1 + 4 \cos \alpha + 4 \cos^2 \alpha) \]
\[ = \sin^2 \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \]

将这些结果代入 $ d $ 的表达式：
\[ d = \sqrt{4 \cos^4 \alpha + 4 \cos^3 \alpha - 5 \cos^2 \alpha + \cos \alpha + 1 + \sin^2 \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} \]

我们可以进一步简化这个表达式，但为了判断轨迹是否经过原点，我们只需要检查当 $ \alpha $ 取某些特定值时，$ d $ 是否为零。

当 $ \alpha = 0 $ 时：
\[ x_M = 2 \cos^2 0 + \cos 0 - 1 = 2 \cdot 1 + 1 - 1 = 2 \]
\[ y_M = \sin 0 (1 + 2 \cos 0) = 0 \]

显然，$ M $ 不在原点。

当 $ \alpha = \pi $ 时：
\[ x_M = 2 \cos^2 \pi + \cos \pi - 1 = 2 \cdot 1 + (-1) - 1 = 0 \]
\[ y_M = \sin \pi (1 + 2 \cos \pi) = 0 \]

显然，$ M $ 在原点。

因此，$ M $ 的轨迹经过原点。

<eoe>
【答案】
\[ d = \sqrt{(2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1)^2 + (\sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha))^2} \]
$ M $ 的轨迹经过原点。
<eoa>

解：（1）依题意有 $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), Q(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$,

因此 $M(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$.

$M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $0<\alpha<2 \pi$ ).

(2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$.

当 $\alpha=\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.

deepseekr1

(1)【解析】
动点P对应的参数为α，其坐标为(2cosα, 2sinα)；动点Q对应的参数为2α，其坐标为(2cos2α, 2sin2α)。M为PQ的中点，故其坐标：
\[
x = \frac{2\cosα + 2\cos2α}{2} = \cosα + \cos2α, \quad y = \frac{2\sinα + 2\sin2α}{2} = \sinα + \sin2α
\]
利用三角恒等式，可化简为：
\[
x = 2\cos\frac{3α}{2}\cos\frac{α}{2}, \quad y = 2\sin\frac{3α}{2}\cos\frac{α}{2}
\]
但题目仅需参数方程，因此M的轨迹参数方程为：
\[
\begin{cases}
x = \cosα + \cos2α \\
y = \sinα + \sin2α
\end{cases} \quad (0 < α < 2π)
\]
<eoe>
【答案】
M的轨迹参数方程为：
\[
\begin{cases}
x = \cos\alpha + \cos2\alpha, \\
y = \sin\alpha + \sin2\alpha
\end{cases} \quad (0 < \alpha < 2\pi)
\]
<eoa>

(2)【解析】
M到原点的距离：
\[
d = \sqrt{(\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2}
\]
展开并化简：
\[
\begin{aligned}
d^2 &= (\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2 \\
&= \cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha + \cos^2 2\alpha + \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin2\alpha + \sin^2 2\alpha \\
&= (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha) + 2(\cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha) \\
&= 1 + 1 + 2\cos(\alpha) \\
&= 2(1 + \cos\alpha) \\
&= 4\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)
\end{aligned}
\]
故：
\[
d = 2\left|\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right|
\]
因$0 < \alpha < 2\pi$，$\frac{\alpha}{2} \in (0, \pi)$，此时$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \geq 0$，故：
\[
d = 2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)
\]
当$d = 0$时，$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 0$，解得$\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2}$即$\alpha = \pi$。此时：
\[
x = \cos\pi + \cos2\pi = -1 + 1 = 0, \quad y = \sin\pi + \sin2\pi = 0 + 0 = 0
\]
故轨迹过原点。
<eoe>
【答案】
距离函数为：
\[
d = 2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)
\]
M的轨迹经过坐标原点。
<eoa>

gpto1

(1)【解析】

首先，我们知道点 $P$ 和 $Q$ 的参数分别是 $\beta=\alpha$ 和 $\beta=2\alpha$。

所以，点 $P$ 的坐标为：
$$
P(x_1, y_1) = (2\cos \alpha, 2\sin \alpha)
$$

点 $Q$ 的坐标为：
$$
Q(x_2, y_2) = (2\cos 2\alpha, 2\sin 2\alpha)
$$

中点 $M$ 的坐标为：
$$
\begin{cases}
x = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{2\cos \alpha + 2\cos 2\alpha}{2} = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\
y = \dfrac{y_1 + y_2}{2} = \dfrac{2\sin \alpha + 2\sin 2\alpha}{2} = \sin \alpha + \sin 2\alpha
\end{cases}
$$

接下来，我们利用三角恒等式将 $x$ 和 $y$ 进行化简。

利用公式：
$$
\cos A + \cos B = 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \\
\sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2}
$$

对于 $x$：
$$
\begin{aligned}
x &= \cos \alpha + \cos 2\alpha \\
&= 2 \cos \left( \dfrac{\alpha + 2\alpha}{2} \right) \cos \left( \dfrac{\alpha - 2\alpha}{2} \right) \\
&= 2 \cos \dfrac{3\alpha}{2} \cos \left( -\dfrac{\alpha}{2} \right) \\
&= 2 \cos \dfrac{3\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2}
\end{aligned}
$$

对于 $y$：
$$
\begin{aligned}
y &= \sin \alpha + \sin 2\alpha \\
&= 2 \sin \left( \dfrac{\alpha + 2\alpha}{2} \right) \cos \left( \dfrac{\alpha - 2\alpha}{2} \right) \\
&= 2 \sin \dfrac{3\alpha}{2} \cos \left( -\dfrac{\alpha}{2} \right) \\
&= 2 \sin \dfrac{3\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2}
\end{aligned}
$$

所以，$M$ 的轨迹的参数方程为：
$$
\begin{cases}
x = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{3\alpha}{2} \\
y = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \sin \dfrac{3\alpha}{2}
\end{cases}
$$

<eoe>

【答案】
$$
\begin{cases}
x = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{3\alpha}{2} \\
y = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \sin \dfrac{3\alpha}{2}
\end{cases}
$$
<eoa>

(2)【解析】

点 $M$ 到原点的距离为：
$$
d = \sqrt{x^2 + y^2}
$$

将 (1) 中的 $x$ 和 $y$ 代入：
$$
\begin{aligned}
d &= \sqrt{\left(2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{3\alpha}{2}\right)^2 + \left(2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \sin \dfrac{3\alpha}{2}\right)^2} \\
&= 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \sqrt{\cos^2 \dfrac{3\alpha}{2} + \sin^2 \dfrac{3\alpha}{2}} \\
&= 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \cdot 1 \\
&= 2 \left| \cos \dfrac{\alpha}{2} \right|
\end{aligned}
$$

因为 $0<\alpha<2\pi$，所以 $\dfrac{\alpha}{2} \in \left(0, \pi\right)$，在此区间内 $\cos \dfrac{\alpha}{2}$ 可以为正也可以为负，但其绝对值总是非负的。

当 $\cos \dfrac{\alpha}{2} = 0$ 时，$d=0$，即 $M$ 在原点。

解 $\cos \dfrac{\alpha}{2} = 0$，得：
$$
\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \text{为整数})
$$

因为 $0<\alpha<2\pi$，所以 $\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{2}$，即 $\alpha = \pi$。

所以，当 $\alpha = \pi$ 时，$M$ 的轨迹经过原点。

<eoe>

【答案】

$d = 2 \left| \cos \dfrac{\alpha}{2} \right|$，因此当 $\alpha = \pi$ 时，$M$ 的轨迹经过坐标原点。

<eoa>

GPT-4o

(1)【解析】
首先，我们需要找出点 $ P $ 和 $ Q $ 的坐标。根据题意，点 $ P $ 和 $ Q $ 都在曲线 $ C $ 上，且对应的参数分别为 $ \beta = \alpha $ 和 $ \beta = 2\alpha $。

因此，点 $ P $ 的坐标为：
\[ P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha) \]

点 $ Q $ 的坐标为：
\[ Q(2 \cos 2\alpha, 2 \sin 2\alpha) \]

中点 $ M $ 的坐标是 $ P $ 和 $ Q $ 的坐标的平均值：
\[ M\left( \frac{2 \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha}{2}, \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin 2\alpha}{2} \right) \]
\[ M\left( \cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha \right) \]

使用三角函数的加倍角公式：
\[
\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1
\]
\[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
\]

将这些代入中点 $ M $ 的坐标：
\[ M\left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1, \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right) \]

因此，中点 $ M $ 的轨迹的参数方程为：
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \\
y = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha
\end{array} \right. \]
<eoe>
【答案】
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \\
y = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha
\end{array} \right. \]
<eoa>

(2)【解析】
我们需要将点 $ M $ 到坐标原点的距离 $ d $ 表示为参数 $ \alpha $ 的函数。点 $ M $ 的坐标为：
\[ M\left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1, \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right) \]

点 $ M $ 到原点的距离 $ d $ 为：
\[ d = \sqrt{ \left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \right)^2 + \left( \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right)^2 } \]

我们需要判断 $ M $ 的轨迹是否经过原点，即判断 $ d = 0 $ 时是否存在对应的 $ \alpha $。

令 $ d = 0 $，即：
\[ \sqrt{ \left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \right)^2 + \left( \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right)^2 } = 0 \]

这意味着：
\[ \left( \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 \right)^2 + \left( \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \right)^2 = 0 \]

因为平方和为零，仅在每一项都为零的情况下才成立：
\[ \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 = 0 \]
\[ \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0 \]

首先，解第一个方程：
\[ \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 = 0 \]
设 $ u = \cos \alpha $，则方程变为：
\[ u + 2u^2 - 1 = 0 \]
\[ 2u^2 + u - 1 = 0 \]

解这个二次方程：
\[ u = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \]
\[ u = \frac{-1 \pm 3}{4} \]
\[ u = \frac{1}{2} \quad \text{或} \quad u =

llama3.1-70B-Instruct

(1)【解析】由题意,设P(2\cos\alpha,2\sin\alpha),Q(2\cos2\alpha,2\sin2\alpha),则M(\cos\alpha+\cos2\alpha,\sin\alpha+\sin2\alpha),由此可得M的轨迹的参数方程为\begin{cases}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{cases}.\begin{cases}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{cases}(2)由(1)可得,d^{2}=(\cos\alpha+\cos2\alpha)^{2}+(\sin\alpha+\sin2\alpha)^{2}=3+2\cos\alpha,当\alpha=\frac{2\pi}{3}时,d^{2}=1,即d=1,所以M的轨迹过坐标原点. 最终结果是{(x=cos(alpha)+cos(2*alpha),y=sin(alpha)+sin(2*alpha))}(2)

llama3.1-405B-Instruct

(1)由题意可得P(2\cos\alpha,2\sin\alpha),Q(2\cos2\alpha,2\sin2\alpha),所以M的坐标为(\cos\alpha+\cos2\alpha,\sin\alpha+\sin2\alpha)所以M的轨迹的参数方程为\begin{cases}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{cases}(2)d=\sqrt{(\cos\alpha+\cos2\alpha)^{2}+(\sin\alpha+\sin2\alpha)^{2}}=\sqrt{3+2\cos\alpha}因为0<\alpha<2\pi,所以-1\leqslant\cos\alpha<1,所以1\leqslant3+2\cos\alpha<5,所以1\leqslantd<\

DeepSeek-Coder-V2

"(1)【解析】首先，我们需要找到动点 $P$ 和 $Q$ 的坐标。根据题目，动点 $P$ 和 $Q$ 都在曲线 $C$ 上，曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\beta \\\\ y=2 \\sin \\beta\\end{array}\\right.$。动点 $P$ 对应的参数为 $\\beta=\\alpha$，因此 $P$ 的坐标为 $(2 \\cos \\alpha, 2 \\sin \\alpha)$。动点 $Q$ 对应的参数为 $\\beta=2 \\alpha$，因此 $Q$ 的坐标为 $(2 \\cos 2\\alpha, 2 \\sin 2\\alpha)$。\n\n接下来，我们需要找到 $P$ 和 $Q$ 的中点 $M$ 的坐标。中点 $M$ 的坐标为 $P$ 和 $Q$ 坐标之和的一半，即：\n\\[\nM = \\left( \\frac{2 \\cos \\alpha + 2 \\cos 2\\alpha}{2}, \\frac{2 \\sin \\alpha + 2 \\sin 2\\alpha}{2} \\right)\n\\]\n简化后得到：\n\\[\nM = (\\cos \\alpha + \\cos 2\\alpha, \\sin \\alpha + \\sin 2\\alpha)\n\\]\n\n利用三角恒等式，$\\cos 2\\alpha = 2\\cos^2 \\alpha - 1$ 和 $\\sin 2\\alpha = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha$，我们可以进一步简化 $M$ 的坐标：\n\\[\nM = (\\cos \\alpha + 2\\cos^2 \\alpha - 1, \\sin \\alpha + 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha)\n\\]\n\\[\nM = (2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1, 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha)\n\\]\n\n因此，$M$ 的轨迹的参数方程为：\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}x = 2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1 \\\\ y = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha\\end{array}\\right.\n\\]\n<eoe>\n【答案】$\\left\\{\\begin{array}{l}x = 2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1 \\\\ y = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$<eoa>\n\n(2)【解析】我们需要将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $\\alpha$ 的函数。$M$ 的坐标为 $(x, y)$，其中 $x = 2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1$ 和 $y = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha$。距离 $d$ 的公式为：\n\\[\nd = \\sqrt{x^2 + y^2}\n\\]\n\n首先计算 $x^2$ 和 $y^2$：\n\\[\nx^2 = (2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1)^2\n\\]\n\\[\ny^2 = (2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha)^2\n\\]\n\n然后计算 $x^2 + y^2$：\n\\[\nx^2 + y^2 = (2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1)^2 + (2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha)^2\n\\]\n\n展开并简化：\n\\[\nx^2 = 4\\cos^4 \\alpha + 4\\cos^3 \\alpha - 4\\cos^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha - 2\\cos \\alpha + 1\n\\]\n\\[\ny^2 = 4\\sin^2 \\alpha \\cos^2 \\alpha + 4\\sin^2 \\alpha \\cos \\alpha + \\sin^2 \\alpha\n\\]\n\n将 $x^2$ 和 $y^2$ 相加并简化：\n\\[\nx^2 + y^2 = 4\\cos^4 \\alpha + 4\\cos^3 \\alpha - 4\\cos^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha - 2\\cos \\alpha + 1 + 4\\sin^2 \\alpha \\cos^2 \\alpha + 4\\sin^2 \\alpha \\cos \\alpha + \\sin^2 \\alpha\n\\]\n\n利用 $\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$ 进一步简化：\n\\[\nx^2 + y^2 = 4\\cos^4 \\alpha + 4\\cos^3 \\alpha - 4\\cos^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha - 2\\cos \\alpha + 1 + 4\\sin^2 \\alpha \\cos^2 \\alpha + 4\\sin^2 \\alpha \\cos \\alpha + \\sin^2 \\alpha\n\\]\n\n最终得到：\n\\[\nd = \\sqrt{4\\cos^4 \\alpha + 4\\cos^3 \\alpha - 4\\cos^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha - 2\\cos \\alpha + 1 + 4\\sin^2 \\alpha \\cos^2 \\alpha + 4\\sin^2 \\alpha \\cos \\alpha + \\sin^2 \\alpha}\n\\]\n\n判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点，即判断是否存在 $\\alpha$ 使得 $x = 0$ 且 $y = 0$。我们需要解方程：\n\\[\n2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1 = 0\n\\]\n\\[\n2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha = 0\n\\]\n\n解第一个方程：\n\\[\n2\\cos^2 \\alpha + \\cos \\alpha - 1 = 0\n\\]\n设 $u = \\cos \\alpha$，则方程变为：\n\\[\n2u^2 + u - 1 = 0\n\\]\n解这个二次方程：\n\\[\nu = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{1 + 8}}{4} = \\frac{-1 \\pm 3}{4}\n\\]\n\\[\nu = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2} \\quad \\text{或} \\quad u = \\frac{-4}{4} = -1\n\\]\n\n所以 $\\cos \\alpha = \\frac{1}{2}$ 或 $\\cos \\alpha = -1$。对应的 $\\alpha$ 为 $\\frac{\\pi}{3}$ 或 $\\pi$。\n\n解第二个方程：\n\\[\n2\\sin \\alpha \\cos \\alpha + \\sin \\alpha = 0\n\\]\n\\[\n\\sin \\alpha (2\\cos \\alpha + 1) = 0\n\\]\n所以 $\\sin \\alpha = 0$ 或 $2\\cos \\alpha + 1 = 0$。\n\n当 $\\sin \\alpha = 0$，$\\alpha = 0$ 或 $\\pi$。当 $2\\cos \\alpha + 1 = 0$，$\\cos \\alpha = -\\frac{1}{2}$，对应的 $\\alpha$ 为 $\\frac{2\\pi}{3}$ 或 $\\frac{4\\pi}{3}$。\n\n综上所述，$\\alpha = \\pi$ 时，$x = 0$ 且 $y = 0$，所以 $M$ 的轨迹过坐标原点。\n<eoe>\n【答案】$d = \\sqrt{4\\cos^4 \\alpha + 4\\cos^3 \\alpha - 4\\cos^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha - 2\\cos \\alpha + 1 + 4\\sin^2 \\alpha \\cos^2 \\alpha + 4\\sin^2 \\alpha \\cos \\alpha + \\sin^2 \\alpha}$，$M$ 的轨迹过坐标原点。<eoa>"

Qwen2-72B-Instruct

"(1)【解析】首先，根据题目中给出的参数方程 $C:\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\beta \\\\ y=2 \\sin \\beta\\end{array}\\right.$，代入点 $P$ 和 $Q$ 的参数 $\\beta=\\alpha$ 与 $\\beta=2\\alpha$，分别得到点 $P$ 和 $Q$ 的坐标。然后，利用中点坐标公式，计算出点 $M$ 的坐标，从而得到 $M$ 的轨迹的参数方程。\n<eoe>\n【答案】对于点 $P$，有 $\\beta=\\alpha$，则 $P$ 的坐标为 $(2\\cos\\alpha, 2\\sin\\alpha)$；对于点 $Q$，有 $\\beta=2\\alpha$，则 $Q$ 的坐标为 $(2\\cos2\\alpha, 2\\sin2\\alpha)$。根据中点坐标公式，点 $M$ 的坐标为 $M\\left(\\frac{2\\cos\\alpha+2\\cos2\\alpha}{2}, \\frac{2\\sin\\alpha+2\\sin2\\alpha}{2}\\right)$，即 $M(\\cos\\alpha+\\cos2\\alpha, \\sin\\alpha+\\sin2\\alpha)$。因此，$M$ 的轨迹的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos\\alpha+\\cos2\\alpha \\\\ y=\\sin\\alpha+\\sin2\\alpha\\end{array}\\right.$。\n<eoa>\n\n(2)【解析】根据 $M$ 的轨迹的参数方程，利用点到原点的距离公式 $d=\\sqrt{x^2+y^2}$，将 $M$ 的坐标代入，得到 $d$ 与 $\\alpha$ 的关系式。然后，分析 $d$ 的表达式，判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点，即判断 $d=0$ 是否有解。\n<eoe>\n【答案】将 $M$ 的轨迹的参数方程 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos\\alpha+\\cos2\\alpha \\\\ y=\\sin\\alpha+\\sin2\\alpha\\end{array}\\right.$ 代入距离公式 $d=\\sqrt{x^2+y^2}$，得到 $d=\\sqrt{(\\cos\\alpha+\\cos2\\alpha)^2+(\\sin\\alpha+\\sin2\\alpha)^2}$。化简得 $d=\\sqrt{2+2\\cos\\alpha\\cos2\\alpha+2\\sin\\alpha\\sin2\\alpha}$。由三角恒等式 $2\\cos\\alpha\\cos2\\alpha+2\\sin\\alpha\\sin2\\alpha=\\cos(\\alpha-2\\alpha)+\\cos(\\alpha+2\\alpha)=\\cos(-\\alpha)+\\cos3\\alpha$，得 $d=\\sqrt{2+2\\cos\\alpha+2\\cos3\\alpha}$。要判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点，即判断 $d=0$ 是否有解。显然，$d=\\sqrt{2+2\\cos\\alpha+2\\cos3\\alpha}\\geq\\sqrt{2}>0$，因此，$M$ 的轨迹不会过坐标原点。\n<eoa>"

baichuan4

(1)【解析】
由于点 $P$ 和点 $Q$ 都在曲线 $C$ 上，我们可以根据给定的参数方程得到它们的坐标。对于点 $P$，其对应的参数为 $\beta = \alpha$，所以它的坐标为 $(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$。同理，点 $Q$ 对应的参数为 $\beta = 2\alpha$，其坐标为 $(2\cos(2\alpha), 2\sin(2\alpha))$。

中点 $M$ 的坐标可以通过取点 $P$ 和点 $Q$ 坐标的平均值得到。因此，$M$ 的横坐标 $x_M$ 为：
$$
x_M = \frac{2\cos\alpha + 2\cos(2\alpha)}{2} = \cos\alpha + \cos(2\alpha)
$$
同理，$M$ 的纵坐标 $y_M$ 为：
$$
y_M = \frac{2\sin\alpha + 2\sin(2\alpha)}{2} = \sin\alpha + \sin(2\alpha)
$$

因此，$M$ 的轨迹的参数方程为：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x = \cos\alpha + \cos(2\alpha) \\
y = \sin\alpha + \sin(2\alpha)
\end{array}\right.
$$
其中 $0 < \alpha < 2\pi$。

【答案】
$M$ 的轨迹的参数方程为：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x = \cos\alpha + \cos(2\alpha) \\
y = \sin\alpha + \sin(2\alpha)
\end{array}\right.
$$
其中 $0 < \alpha < 2\pi$。

(2)【解析】
要求 $M$ 到坐标原点的距离 $d$，我们可以使用勾股定理。根据 $M$ 的坐标，我们有：
$$
d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}
$$
将 $x_M$ 和 $y_M$ 的表达式代入上式，得到：
$$
d = \sqrt{(\cos\alpha + \cos(2\alpha))^2 + (\sin\alpha + \sin(2\alpha))^2}
$$
展开平方项并利用三角恒等式 $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ 和 $\cos^2(2\alpha) + \sin^2(2\alpha) = 1$，我们得到：
$$
d = \sqrt{2 + 2\cos\alpha\cos(2\alpha) + 2\sin\alpha\sin(2\alpha)}
$$
利用和差化积公式，上式可以简化为：
$$
d = \sqrt{2 + 2\cos(\alpha - 2\alpha)} = \sqrt{2 + 2\cos(-\alpha)} = \sqrt{2 + 2\cos\alpha}
$$
因此，$M$ 到坐标原点的距离 $d$ 可以表示为 $\alpha$ 的函数：
$$
d(\alpha) = \sqrt{2 + 2\cos\alpha}
$$

要判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点，我们需要看是否存在某个 $\alpha$ 使得 $d(\alpha) = 0$。由于 $\cos\alpha$ 的取值范围是 $[-1, 1]$，$2 + 2\cos\alpha$ 的最小值为 $2 - 2 = 0$，这意味着 $d(\alpha)$ 的最小值为 $0$。因此，当 $\cos\alpha = -1$ 即 $\alpha = \pi$ 时，$M$ 的轨迹确实过坐标原点。

【答案】
$M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $\alpha$ 的函数为：
$$
d(\alpha) = \sqrt{2 + 2\cos\alpha}
$$
$M$ 的轨迹过坐标原点。

doubao

(1)【解析】已知曲线$C$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2\cos\beta\\y=2\sin\beta\end{array}\right.$（$\beta$为参数），消去参数$\beta$可得$x^{2}+y^{2}=4$，所以曲线$C$是圆心为$(0,0)$，半径为$2$的圆。设$P(2\cos\alpha,2\sin\alpha)$，$Q(2\cos2\alpha,2\sin2\alpha)$，则$M$点坐标为$(\frac{2\cos\alpha+2\cos2\alpha}{2},\frac{2\sin\alpha+2\sin2\alpha}{2})$，即$M(\cos\alpha+\cos2\alpha,\sin\alpha+\sin2\alpha)$，则$M$的轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{array}\right.$（$\alpha$为参数）。<eoe>
【答案】$M$的轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\cos\alpha+\cos2\alpha\\y=\sin\alpha+\sin2\alpha\end{array}\right.$（$\alpha$为参数）。<eoa>

(2)【解析】$M$到坐标原点的距离$d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(\cos\alpha+\cos2\alpha)^{2}+(\sin\alpha+\sin2\alpha)^{2}}=\sqrt{2+2(\cos\alpha\cos2\alpha+\sin\alpha\sin2\alpha)}=\sqrt{2+2\cos\alpha}$。当$\alpha=\pi$时，$d=0$，所以$M$的轨迹过坐标原点。<eoe>
【答案】$d=\sqrt{2+2\cos\alpha}$，$M$的轨迹过坐标原点。<eoa>

minimax

(1)【解析】首先，我们需要找到点$P$和点$Q$的坐标。由于$P$和$Q$都在曲线$C$上，我们可以将它们的坐标表示为参数$\alpha$和$2\alpha$的函数。然后，我们可以利用中点公式来找到$M$的坐标，即$M$的横坐标是$P$和$Q$横坐标的平均值，$M$的纵坐标是$P$和$Q$纵坐标的平均值。这样我们就可以得到$M$的轨迹的参数方程。<eoe>

【答案】点$P$的坐标为$(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$，点$Q$的坐标为$(2\cos2\alpha, 2\sin2\alpha)$。

根据中点公式，$M$的横坐标为：
\[ x_M = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{2\cos\alpha + 2\cos2\alpha}{2} = \cos\alpha + \cos2\alpha \]

$M$的纵坐标为：
\[ y_M = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{2\sin\alpha + 2\sin2\alpha}{2} = \sin\alpha + \sin2\alpha \]

因此，$M$的轨迹的参数方程为：
\[ \left\{\begin{array}{l}
x = \cos\alpha + \cos2\alpha \\
y = \sin\alpha + \sin2\alpha
\end{array}\right. \]
其中参数$\alpha$的取值范围是$0 < \alpha < 2\pi$。<eoa>

(2)【解析】要求$M$到坐标原点的距离$d$，我们可以使用距离公式$d = \sqrt{x^2 + y^2}$，其中$(x, y)$是点$M$的坐标。将$M$的参数方程代入距离公式，我们可以得到$d$关于$\alpha$的函数表达式。然后，我们可以检查当$\alpha$取特定值时，$d$是否为零，以此来判断$M$的轨迹是否过坐标原点。<eoe>

【答案】根据距离公式，$M$到坐标原点的距离$d$为：
\[ d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2} = \sqrt{(\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2} \]

利用三角恒等式$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，我们可以简化上述表达式：
\[ d = \sqrt{(\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2} \]
\[ d = \sqrt{\cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha + \cos^22\alpha + \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin2\alpha + \sin^22\alpha} \]
\[ d = \sqrt{1 + 2\cos\alpha\cos2\alpha + 2\sin\alpha\sin2\alpha} \]
\[ d = \sqrt{1 + 2\cos(\alpha - 2\alpha)} \]
\[ d = \sqrt{1 + 2\cos(\alpha - 2\alpha)} \]
\[ d = \sqrt{1 + 2\cos(\alpha - 2\alpha)} \]
\[ d = \sqrt{1 + 2\cos(\alpha - 2\alpha)} \]
\[ d = \sqrt{1 + 2\cos(\alpha - 2\alpha)} \]
\[ d = \sqrt{1 + 2\cos(-\alpha)} \]
\[ d = \sqrt{1 + 2\cos\alpha} \]

由于$\cos\alpha$的取值范围是$[-1, 1]$，因此$1 + 2\cos\alpha$的取值范围是$[-1, 3]$。当$\cos\alpha = -1$时，$d = 0$，这意味着当$\alpha = \pi$时，$M$的轨迹确实会经过坐标原点。

因此，$M$的轨迹确实过坐标原点。<eoa>

kimi

(1)【解析】
首先，我们需要找到点 $P$ 和 $Q$ 的坐标。根据题目给出的曲线 $C$ 的参数方程，我们可以得到：
$P(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$，$Q(2\cos2\alpha, 2\sin2\alpha)$。

接下来，我们需要找到中点 $M$ 的坐标。根据中点公式，我们有：
$x_M = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{2\cos\alpha + 2\cos2\alpha}{2} = \cos\alpha + \cos2\alpha$，
$y_M = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{2\sin\alpha + 2\sin2\alpha}{2} = \sin\alpha + \sin2\alpha$。

为了简化表达式，我们可以使用三角恒等式：
$\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$，$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$。

将这些恒等式代入 $x_M$ 和 $y_M$ 的表达式中，我们得到：
$x_M = \cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1) = 2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1$，
$y_M = \sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin\alpha(1 + 2\cos\alpha)$。

现在我们需要消去参数 $\alpha$。我们可以令 $t = \cos\alpha$，则 $\sin\alpha = \sqrt{1 - t^2}$。将这些代入 $x_M$ 和 $y_M$ 的表达式中，我们得到：
$x_M = 2t^2 + t - 1$，
$y_M = \sqrt{1 - t^2}(1 + 2t)$。

因此，$M$ 的轨迹的参数方程为：
$\left\{\begin{array}{l}x = 2t^2 + t - 1 \\ y = \sqrt{1 - t^2}(1 + 2t)\end{array}\right.$。

<eoe>
【答案】
$\left\{\begin{array}{l}x = 2t^2 + t - 1 \\ y = \sqrt{1 - t^2}(1 + 2t)\end{array}\right.$。<eoa>

(2)【解析】
现在我们需要找到 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 并表示为 $\alpha$ 的函数。根据距离公式，我们有：
$d = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}$。

将 $x_M$ 和 $y_M$ 的表达式代入距离公式，我们得到：
$d = \sqrt{(\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2}$。

使用三角恒等式，我们可以进一步简化这个表达式：
$d = \sqrt{(\cos\alpha + 2\cos^2\alpha - 1)^2 + (\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha)^2}$。

展开并简化，我们得到：
$d = \sqrt{1 + 2\cos2\alpha + \cos^22\alpha + 1 + 4\sin\alpha\cos\alpha + 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$。

注意到 $\cos^22\alpha = (2\cos^2\alpha - 1)^2 = 4\cos^4\alpha - 4\cos^2\alpha + 1$，我们可以进一步简化：
$d = \sqrt{2 + 2\cos2\alpha + 4\cos^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha + 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$。

现在我们需要判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点。如果 $M$ 过原点，那么当 $d = 0$ 时，$\alpha$ 应该存在。但是，从上面的表达式可以看出，$d$ 总是大于 0，因为所有的项都是非负的。因此，$M$ 的轨迹不会过坐标原点。

<eoe>
【答案】
$d = \sqrt{1 + 2\cos2\alpha + \cos^22\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha

wenxinyiyan

(1)【解析】
首先，根据题意，点P和Q的坐标分别为$P(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$和$Q(2\cos2\alpha, 2\sin2\alpha)$。由于M是PQ的中点，所以M的坐标为$M(\frac{2\cos\alpha + 2\cos2\alpha}{2}, \frac{2\sin\alpha + 2\sin2\alpha}{2})$，即$M(\cos\alpha + \cos2\alpha, \sin\alpha + \sin2\alpha)$。

接下来，我们需要找到M的轨迹的参数方程。为此，我们将M的坐标中的$\cos2\alpha$和$\sin2\alpha$用$\cos\alpha$和$\sin\alpha$表示。利用三角函数的倍角公式，我们有$\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$和$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$。将这些代入M的坐标，我们得到$M(2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1, 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha)$。

最后，为了得到M的轨迹的参数方程，我们将上式中的$\cos\alpha$和$\sin\alpha$分别替换为$\frac{x}{2}$和$\frac{y}{2}$，得到$M(2(\frac{x}{2})^2 + \frac{x}{2} - 1, 2\frac{y}{2}\frac{x}{2} + \frac{y}{2})$，即$M(\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} - 1, \frac{xy}{2} + \frac{y}{2})$。这就是M的轨迹的参数方程。

【答案】
M的轨迹的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x = \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} - 1 \\ y = \frac{xy}{2} + \frac{y}{2}\end{array}\right.$

(2)【解析】
首先，我们需要找到M到坐标原点的距离d作为$\alpha$的函数。为此，我们计算M的坐标的平方和，即$d^2 = (\cos\alpha + \cos2\alpha)^2 + (\sin\alpha + \sin2\alpha)^2$。

接下来，我们将上式中的$\cos2\alpha$和$\sin2\alpha$用$\cos\alpha$和$\sin\alpha$表示，并利用三角函数的倍角公式，得到$d^2 = (2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1)^2 + (2\sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha)^2$。

然后，我们将上式化简，得到$d^2 = 4\cos^4\alpha + 4\cos^3\alpha - 3\cos^2\alpha - 2\cos\alpha + 1 + 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 4\sin^2\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha$。

最后，我们将上式中的$\cos^2\alpha$替换为$1-\sin^2\alpha$，得到$d^2 = 4(1-\sin^2\alpha)^2 + 4(1-\sin^2\alpha)^{\frac{3}{2}} - 3(1-\sin^2\alpha) - 2(1-\sin^2\alpha)^{\frac{1}{2}} + 1 + 4\sin^2\alpha(1-\sin^2\alpha) + 4\sin^2\alpha(1-\sin^2\alpha)^{\frac{1}{2}} + \sin^2\alpha$。这就是d作为$\alpha$的函数的表达式。

另外，为了判断M的轨迹是否过坐标原点，我们检查当$\alpha = \frac{\pi}{2}$时，$d$的值是否为0。计算得$d = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$，所以M的轨迹不过坐标原点。

【答案】
M到坐标原点的距离d作为$\alpha$的函数的表达式为：$d^2 = 4(1-\sin^2\alpha)^2 + 4(1-\sin^2\alpha)^{\frac{3}{2}} -

zhipu

(1)【解析】
首先，根据题目给出的曲线 $ C $ 的参数方程：
\[ x = 2 \cos \beta \]
\[ y = 2 \sin \beta \]

动点 $ P $ 和 $ Q $ 分别对应参数 $ \beta = \alpha $ 和 $ \beta = 2\alpha $，所以点 $ P $ 和 $ Q $ 的坐标分别为：
\[ P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha) \]
\[ Q(2 \cos 2\alpha, 2 \sin 2\alpha) \]

接下来，求 $ PQ $ 的中点 $ M $ 的坐标。中点坐标公式为：
\[ M\left( \frac{x_P + x_Q}{2}, \frac{y_P + y_Q}{2} \right) \]

代入 $ P $ 和 $ Q $ 的坐标：
\[ M\left( \frac{2 \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha}{2}, \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin 2\alpha}{2} \right) \]
\[ M\left( \cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha \right) \]

因此，$ M $ 的轨迹的参数方程为：
\[ \begin{cases}
x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\
y = \sin \alpha + \sin 2\alpha
\end{cases} \]
其中 $ \alpha $ 为参数，且 $ 0 < \alpha < 2\pi $。

<eoe>
【答案】
\[ \begin{cases}
x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\
y = \sin \alpha + \sin 2\alpha
\end{cases} \]
其中 $ \alpha $ 为参数，且 $ 0 < \alpha < 2\pi $。
<eoa>

(2)【解析】
接下来，我们需要将 $ M $ 到坐标原点的距离 $ d $ 表示为 $ \alpha $ 的函数。点 $ M $ 的坐标为 $ (\cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha) $，所以 $ d $ 的表达式为：
\[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \]
\[ d = \sqrt{(\cos \alpha + \cos 2\alpha)^2 + (\sin \alpha + \sin 2\alpha)^2} \]

我们来展开并简化这个表达式：
\[ (\cos \alpha + \cos 2\alpha)^2 + (\sin \alpha + \sin 2\alpha)^2 \]
\[ = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin 2\alpha + \sin^2 2\alpha \]

利用三角恒等式 $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $：
\[ = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha) + 2 (\cos \alpha \cos 2\alpha + \sin \alpha \sin 2\alpha) \]
\[ = 1 + 1 + 2 (\cos \alpha \cos 2\alpha + \sin \alpha \sin 2\alpha) \]
\[ = 2 + 2 \cos (\alpha - 2\alpha) \]
\[ = 2 + 2 \cos (-\alpha) \]
\[ = 2 + 2 \cos \alpha \]

所以：
\[ d = \sqrt{2 + 2 \cos \alpha} \]
\[ d = \sqrt{2 (1 + \cos \alpha)} \]
\[ d = \sqrt{2 \cdot 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} \]
\[ d = 2 \left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| \]

因此，$ d $ 表示为 $ \alpha $ 的函数为：
\[ d(\alpha) = 2 \left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| \]

接下来判断 $ M $ 的轨迹是否过坐标原点。当 $ M $ 过坐标原点时，$ d = 0 $，即：
\[ 2 \left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| = 0 \]
\[ \left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| = 0 \]
\[ \cos \frac{\alpha}{2} = 0 \]

解得：
\[ \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} \text{ 或 } \frac{3\pi}{2} \]
\[ \alpha = \pi \text{ 或 } 3\pi \]

由于 $ 0 < \alpha < 2\pi $，所以 $ \alpha = \pi $ 是满足条件的。

因此，当 $ \alpha = \pi $ 时，$ M $ 的坐标为：
\[ M(\cos \pi + \cos 2\pi, \sin \pi + \sin 2\pi) \]
\[ M(-1 + 1, 0 + 0) \]
\[ M(0, 0) \]

所以，$ M $ 的轨迹过坐标原点。

<eoe>
【答案】
\[ d(\alpha) = 2 \left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| \]
且 $ M $ 的轨迹过坐标原点。
<eoa>

gpto1

deepseekv3

(1)【解析】
首先，我们根据题目描述，确定点 $ P $ 和点 $ Q $ 的坐标。

点 $ P $ 对应的参数为 $ \beta = \alpha $，因此其坐标为：
\[
P = (2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha)
\]

点 $ Q $ 对应的参数为 $ \beta = 2\alpha $，因此其坐标为：
\[
Q = (2 \cos 2\alpha, 2 \sin 2\alpha)
\]

点 $ M $ 是 $ P $ 和 $ Q $ 的中点，其坐标为：
\[
M = \left( \frac{2 \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha}{2}, \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin 2\alpha}{2} \right) = (\cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha)
\]

因此，点 $ M $ 的轨迹的参数方程为：
\[
\begin{cases}
x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\
y = \sin \alpha + \sin 2\alpha
\end{cases}
\]
<eoe>
【答案】
\[
\begin{cases}
x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\
y = \sin \alpha + \sin 2\alpha
\end{cases}
\]
<eoa>

(2)【解析】
我们需要将点 $ M $ 到坐标原点的距离 $ d $ 表示为 $ \alpha $ 的函数。

点 $ M $ 的坐标为 $ (\cos \alpha + \cos 2\alpha, \sin \alpha + \sin 2\alpha) $，因此距离 $ d $ 为：
\[
d = \sqrt{(\cos \alpha + \cos 2\alpha)^2 + (\sin \alpha + \sin 2\alpha)^2}
\]

展开并简化表达式：
\[
d^2 = (\cos \alpha + \cos 2\alpha)^2 + (\sin \alpha + \sin 2\alpha)^2
\]
\[
= \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin 2\alpha + \sin^2 2\alpha
\]
\[
= (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha) + 2 (\cos \alpha \cos 2\alpha + \sin \alpha \sin 2\alpha)
\]
\[
= 1 + 1 + 2 \cos(\alpha - 2\alpha)
\]
\[
= 2 + 2 \cos(-\alpha)
\]
\[
= 2 + 2 \cos \alpha
\]

因此，距离 $ d $ 为：
\[
d = \sqrt{2 + 2 \cos \alpha} = \sqrt{2(1 + \cos \alpha)} = \sqrt{4 \cos^2 \left( \frac{\alpha}{2} \right)} = 2 \left| \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) \right|
\]

接下来，我们判断 $ M $ 的轨迹是否过坐标原点。当 $ M $ 在原点时，$ d = 0 $，即：
\[
2 \left| \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) \right| = 0 \implies \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = 0
\]

解这个方程：
\[
\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
\alpha = \pi + 2k\pi
\]

在 $ 0 < \alpha < 2\pi $ 的范围内，$ \alpha = \pi $ 是唯一的解。因此，当 $ \alpha = \pi $ 时，$ M $ 位于坐标原点。

<eoe>
【答案】
点 $ M $ 到坐标原点的距离 $ d $ 为：
\[
d = 2 \left| \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) \right|
\]
并且，当 $ \alpha = \pi $ 时，$ M $ 位于坐标原点，因此 $ M $ 的轨迹过坐标原点。
<eoa>