| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们需要求出 \( b_1, b_2, b_3 \)。根据题意，数列 \(\{a_n\}\) 满足 \( a_1 = 1 \) 和 \( n a_{n+1} = 2(n+1) a_n \)。 我们先求 \( a_2 \)： \[ n a_{n+1} = 2(n+1) a_n \] 当 \( n = 1 \) 时： \[ 1 a_2 = 2(1+1) a_1 \] \[ a_2 = 4 a_1 \] \[ a_2 = 4 \cdot 1 = 4 \] 接着求 \( a_3 \)： 当 \( n = 2 \) 时： \[ 2 a_3 = 2(2+1) a_2 \] \[ 2 a_3 = 6 a_2 \] \[ a_3 = 3 a_2 \] \[ a_3 = 3 \cdot 4 = 12 \] 然后求 \( b_1, b_2, b_3 \)： \[ b_n = \frac{a_n}{n} \] \[ b_1 = \frac{a_1}{1} = 1 \] \[ b_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ b_3 = \frac{a_3}{3} = \frac{12}{3} = 4 \] <eoe> 【答案】 \( b_1 = 1 \), \( b_2 = 2 \), \( b_3 = 4 \)<eoa> (2)【解析】 我们需要判断数列 \(\{b_n\}\) 是否为等比数列。等比数列的定义是：对于任意的正整数 \( n \)，都有 \( \frac{b_{n+1}}{b_n} = q \)（常数）。 我们计算 \( \frac{b_2}{b_1} \) 和 \( \frac{b_3}{b_2} \)： \[ \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{1} = 2 \] \[ \frac{b_3}{b_2} = \frac{4}{2} = 2 \] 由于 \( \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} = 2 \)，所以数列 \(\{b_n\}\) 是等比数列，公比 \( q = 2 \)。 <eoe> 【答案】 数列 \(\{b_n\}\) 是等比数列，公比 \( q = 2 \)<eoa> (3)【解析】 我们需要求出数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式。已知 \( b_n = \frac{a_n}{n} \)，且数列 \(\{b_n\}\) 是等比数列，公比 \( q = 2 \)。 数列 \(\{b_n\}\) 的通项公式为： \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] \[ b_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1} \] 因此： \[ a_n = n \cdot b_n = n \cdot 2^{n-1} \] <eoe> 【答案】 数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \( a_n = n \cdot 2^{n-1} \)<eoa> |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 已知数列{aₙ}满足a₁=1，且n aₙ₊₁=2(n+1)aₙ。定义bₙ=aₙ/n。 求b₁：当n=1时，b₁ = a₁/1 = 1/1 = 1。 求b₂：根据递推式，当n=1时，1·a₂ = 2·(1+1)·a₁ ⇒ a₂ = 4·1 = 4。故b₂ = a₂/2 = 4/2 = 2。 求b₃：当n=2时，2·a₃ = 2·(2+1)·a₂ ⇒ a₃ = (2·3·4)/2 = 12。故b₃ = a₃/3 = 12/3 = 4。 <eoe> 【答案】 (1) b₁=1，b₂=2，b₃=4 <eoa> (2)【解析】 判断{bₙ}是否为等比数列。由递推式n aₙ₊₁=2(n+1)aₙ，两边除以n(n+1)得： aₙ₊₁/(n+1) = 2(aₙ/n)，即bₙ₊₁=2bₙ。说明{bₙ}的公比为2，是等比数列。 <eoe> 【答案】 (2) 数列{bₙ}是等比数列，因为其公比恒为2。 <eoa> (3)【解析】 由(2)知{bₙ}是首项b₁=1、公比2的等比数列，通项为bₙ=2^{n-1}。因bₙ=aₙ/n，故aₙ=n·bₙ = n·2^{n-1}。 <eoe> 【答案】 (3) aₙ = n·2^{n−1} <eoa> |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| gpto1 | (1)【解析】 根据已知条件，$a_1=1$，$b_n=\dfrac{a_n}{n}$。 首先计算$a_1$，已知$a_1=1$。 接下来，利用递推公式$n a_{n+1}=2(n+1)a_n$，求出$a_2$和$a_3$。 当$n=1$时： \[ 1 \cdot a_2 = 2 \cdot 2 \cdot a_1 \implies a_2 = \dfrac{2 \cdot 2}{1} a_1 = 4 a_1 = 4 \] 当$n=2$时： \[ 2 \cdot a_3 = 2 \cdot 3 \cdot a_2 \implies a_3 = \dfrac{2 \cdot 3}{2} a_2 = 3 a_2 \] 因为$a_2=4$，所以$a_3=3 \times 4=12$ 接下来计算$b_1$, $b_2$, $b_3$： \[ b_1=\dfrac{a_1}{1}=1 \] \[ b_2=\dfrac{a_2}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \] \[ b_3=\dfrac{a_3}{3}=\dfrac{12}{3}=4 \] <eoe> 【答案】 $b_1=1$, $b_2=2$, $b_3=4$ <eoa> (2)【解析】 根据(1)中的计算结果，得到$b_1=1$, $b_2=2$, $b_3=4$ 计算公比$r$： \[ r = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} \] 验证： \[ \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{2}{1} = 2 \] \[ \dfrac{b_3}{b_2} = \dfrac{4}{2} = 2 \] 公比为2，且每一项与前一项的比值恒为2，因此数列$\{b_n\}$是首项为1，公比为2的等比数列。 <eoe> 【答案】 数列$\{b_n\}$是等比数列，理由是相邻两项的比值恒为常数2。 <eoa> (3)【解析】 从(2)中得知，$\{b_n\}$是首项为1，公比为2的等比数列。 因此，$b_n = b_1 \cdot r^{n-1} = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$ 又因为$b_n=\dfrac{a_n}{n}$，所以： \[ a_n = n \cdot b_n = n \cdot 2^{n-1} \] 这就是$a_n$的通项公式。 检验： 当$n=1$时，$a_1=1 \cdot 2^{0} =1$ 当$n=2$时，$a_2=2 \cdot 2^{1}=4$ 当$n=3$时，$a_3=3 \cdot 2^{2}=12$ 与(1)中计算的结果一致。 <eoe> 【答案】 $a_n = n \cdot 2^{n-1}$ <eoa> |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| GPT-4o | (1) 【解析】 首先我们知道数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\) 和 \(n a_{n+1} = 2(n+1) a_n\)。我们需要求数列 \(\{b_n\}\) 的前几项，其中 \(b_n = \frac{a_n}{n}\)。 计算 \(b_1\): \[ b_1 = \frac{a_1}{1} = \frac{1}{1} = 1 \] 接下来，我们利用递推关系 \(n a_{n+1} = 2(n+1) a_n\) 来求 \(a_2\) 和 \(a_3\)。 对于 \(n = 1\): \[ 1 a_2 = 2(1 + 1) a_1 \] \[ a_2 = 4 \cdot 1 = 4 \] 对于 \(n = 2\): \[ 2 a_3 = 2(2 + 1) a_2 \] \[ 2 a_3 = 6 \cdot 4 \] \[ a_3 = 12 \] 现在我们计算 \(b_2\) 和 \(b_3\): \[ b_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ b_3 = \frac{a_3}{3} = \frac{12}{3} = 4 \] <eoe> 【答案】 \[ b_1 = 1 \] \[ b_2 = 2 \] \[ b_3 = 4 \] <eoa> (2) 【解析】 为了判断数列 \(\{b_n\}\) 是否为等比数列，我们需要检查相邻两项的比值是否恒定，即 \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\) 是否为常数。 计算 \(\frac{b_2}{b_1}\) 和 \(\frac{b_3}{b_2}\): \[ \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{1} = 2 \] \[ \frac{b_3}{b_2} = \frac{4}{2} = 2 \] 我们发现 \(\frac{b_2}{b_1}\) 和 \(\frac{b_3}{b_2}\) 的值相同，均为2。因此，数列 \(\{b_n\}\) 是一个等比数列，公比为2。 <eoe> 【答案】 数列 \(\{b_n\}\) 是等比数列，公比为2。 <eoa> (3) 【解析】 根据数列 \(\{b_n\}\) 是等比数列且 \(b_1 = 1\)，公比 \(q = 2\)，我们可以写出数列 \(\{b_n\}\) 的通项公式： \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1} \] 由于 \(b_n = \frac{a_n}{n}\)，所以 \(a_n = n \cdot b_n\)： \[ a_n = n \cdot 2^{n-1} \] 这就是数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式。 <eoe> 【答案】 数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为: \[ a_n = n \cdot 2^{n-1} \] <eoa> |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由题意可得a_{1}=1,2a_{2}=2\times2a_{1},3a_{3}=3\times2a_{2},即a_{2}=2,a_{3}=4,所以b_{1}=1,b_{2}=1,b_{3}=\frac{4}{3}.. 最终结果是1 1 4/3 (2)【解析】由(1)可知,b_{1}=1,b_{2}=1,b_{3}=\frac{4}{3},所以b_{2}-b_{1}=0,b_{3}-b_{2}=\frac{1}{3},所以b_{2}-b_{1}≠b_{3}-b_{2},所以数列{b_{n}}不是等差数列,又b_{2}/b_{1}=1,b_{3}/b_{2}=\frac{4}{3},所以b_{2}/b_{1}≠b_{3}/b_{2},所以数列{b_{n}}不是等比数列.. 最终结果是不是等差数列,也不是等比数列 (3)【解析】由题意可得a_{1}=1,na_{n+1}=2(n+1)a_{n},即a_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n}a_{n},所以a_{2}=\frac{2\times2}{1}a_{1}=2\times2a_{1},a_{3}=\frac{2\times3}{2}a_{2}=3\times2a_{1},a_{4}=\frac{2\times4}{3}a_{3}=4\times2a_{1},所以a_{n}=n\times2a_{1}=2n.. 最终结果是2*n |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)【解析】由a_{1}=1,可得b_{1}=\frac{a_{1}}{1}=1,由na_{n+1}=2(n+1)a_{n},可得a_{2}=4,a_{3}=12,所以b_{2}=\frac{a_{2}}{2}=2,b_{3}=\frac{a_{3}}{3}=4<eoe> 【答案】b_{1}=1,b_{2}=2,b_{3}=4<eoa> (2)【解析】由na_{n+1}=2(n+1)a_{n},可得\frac{a_{n+1}}{n+1}=2\cdot\frac{a_{n}}{n},即b_{n+1}=2b_{n},所以数列\{b_{n}\}是等比数列<eoe> |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们需要求出 $b_1, b_2, b_3$。根据题目给出的定义，$b_n = \\frac{a_n}{n}$。我们知道 $a_1 = 1$，所以 $b_1 = \\frac{a_1}{1} = 1$。\n\n接下来，我们利用递推关系 $n a_{n+1} = 2(n+1) a_n$ 来求 $a_2$ 和 $a_3$。\n\n对于 $a_2$，我们有 $1 \\cdot a_2 = 2 \\cdot 2 \\cdot a_1$，即 $a_2 = 4a_1 = 4$。因此，$b_2 = \\frac{a_2}{2} = \\frac{4}{2} = 2$。\n\n对于 $a_3$，我们有 $2 \\cdot a_3 = 2 \\cdot 3 \\cdot a_2$，即 $a_3 = 3a_2 = 3 \\cdot 4 = 12$。因此，$b_3 = \\frac{a_3}{3} = \\frac{12}{3} = 4$。\n\n综上所述，$b_1 = 1, b_2 = 2, b_3 = 4$。<eoe>\n【答案】$b_1 = 1, b_2 = 2, b_3 = 4$<eoa>\n\n(2)【解析】 我们需要判断数列 $\\{b_n\\}$ 是否为等比数列，并说明理由。等比数列的定义是：如果存在一个常数 $r$，使得对于所有的 $n$，都有 $b_{n+1} = r b_n$。\n\n从(1)中我们已经知道 $b_1 = 1, b_2 = 2, b_3 = 4$。我们可以看到 $b_2 = 2b_1$ 和 $b_3 = 2b_2$，这表明 $b_{n+1} = 2b_n$。因此，数列 $\\{b_n\\}$ 是一个公比为2的等比数列。\n\n为了进一步验证，我们可以从递推关系 $n a_{n+1} = 2(n+1) a_n$ 出发，推导出 $b_n$ 的递推关系。将 $a_n = n b_n$ 代入递推关系，得到 $n (n+1) b_{n+1} = 2(n+1) n b_n$，简化后得到 $b_{n+1} = 2b_n$，这再次证明了 $\\{b_n\\}$ 是等比数列。<eoe>\n【答案】数列 $\\{b_n\\}$ 是等比数列，公比为2。<eoa>\n\n(3)【解析】 我们已经知道 $\\{b_n\\}$ 是等比数列，公比为2，且 $b_1 = 1$。因此，$b_n$ 的通项公式为 $b_n = 2^{n-1}$。\n\n接下来，我们需要求 $\\{a_n\\}$ 的通项公式。根据 $b_n = \\frac{a_n}{n}$，我们有 $a_n = n b_n = n \\cdot 2^{n-1}$。\n\n因此，$\\{a_n\\}$ 的通项公式为 $a_n = n \\cdot 2^{n-1}$。<eoe>\n【答案】$a_n = n \\cdot 2^{n-1}$<eoa>" | 解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 首先，根据题目给定的数列递推关系 $n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$ 和初始条件 $a_{1}=1$，我们可以求出 $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 的值。由于 $b_{n}=\\frac{a_{n}}{n}$，我们先计算 $a_{2}, a_{3}$，然后求出对应的 $b_{n}$。\n由 $n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$，令 $n=1$，得到 $1 \\cdot a_{2}=2(1+1) \\cdot a_{1}=4$，故 $a_{2}=4$。\n令 $n=2$，得到 $2 \\cdot a_{3}=2(2+1) \\cdot a_{2}=12$，故 $a_{3}=6$。\n因此，$b_{1}=\\frac{a_{1}}{1}=1$，$b_{2}=\\frac{a_{2}}{2}=2$，$b_{3}=\\frac{a_{3}}{3}=2$。<eoe>\n【答案】 $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=2$<eoa>\n\n(2)【解析】 为了判断数列 $\\{b_{n}\\}$ 是否为等比数列，我们首先需要明确等比数列的定义：如果数列中任意一项与其前一项的比值是一个常数，则该数列是等比数列。我们可以通过计算 $b_{n+1}/b_{n}$ 来判断这个比值是否为常数。\n由 $b_{n}=\\frac{a_{n}}{n}$，则 $b_{n+1}=\\frac{a_{n+1}}{n+1}$，根据题目给定的递推关系，可以得到 $b_{n+1}/b_{n}=\\frac{a_{n+1}/(n+1)}{a_{n}/n}=\\frac{n a_{n+1}}{(n+1)a_{n}}=2$（由 $n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$ 可得）。\n因此，$b_{n+1}/b_{n}$ 为常数 2，故数列 $\\{b_{n}\\}$ 是等比数列。<eoe>\n【答案】 数列 $\\{b_{n}\\}$ 是等比数列，理由：$b_{n+1}/b_{n}=2$，为常数。<eoa>\n\n(3)【解析】 由 (2) 知，数列 $\\{b_{n}\\}$ 是等比数列，首项 $b_{1}=1$，公比 $q=2$，故 $b_{n}=b_{1} \\cdot q^{n-1}=1 \\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$。\n又因为 $b_{n}=\\frac{a_{n}}{n}$，所以 $a_{n}=n \\cdot b_{n}=n \\cdot 2^{n-1}$，从而得到数列 $\\{a_{n}\\}$ 的通项公式。<eoe>\n【答案】 $\\{a_{n}\\}$ 的通项公式为 $a_{n}=n \\cdot 2^{n-1}$<eoa>" | 解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| baichuan4 | (1)【解析】首先，根据题目中给出的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的递推公式 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$，我们可以计算出数列的前几项： 当 $n=1$ 时，$a_{1}=1$； 当 $n=2$ 时，$2a_{3}=2(2+1)a_{2}$，所以 $a_{2}=2a_{1}=2$； 当 $n=3$ 时，$3a_{4}=2(3+1)a_{3}$，所以 $a_{3}=2a_{2}=4$。 接下来，我们根据 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$ 计算数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前三项： $b_{1}=\frac{a_{1}}{1}=1$； $b_{2}=\frac{a_{2}}{2}=1$； $b_{3}=\frac{a_{3}}{3}=\frac{4}{3}$。 因此，$b_{1}=1, b_{2}=1, b_{3}=\frac{4}{3}$。 【答案】$b_{1}=1, b_{2}=1, b_{3}=\frac{4}{3}$。 (2)【解析】为了判断数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是否为等比数列，我们需要检查相邻项的比值是否相等。根据递推公式 $n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$，我们可以得到： $\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{2a_{n}}{n}$ 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$，我们可以将上面的式子改写为： $\frac{a_{n+1}}{n+1}=2\frac{a_{n}}{n}$ 即： $b_{n+1}=2b_{n}$ 这表明数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中的每一项都是前一项的两倍，因此数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是一个等比数列，其公比为 2。 【答案】数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是一个等比数列，公比为 2。 (3)【解析】由于数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是一个等比数列，且 $b_{1}=1$，公比为 2，我们可以写出数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$ 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$，我们可以得到数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式： $a_{n}=n \cdot b_{n}=n \cdot 2^{n-1}$ 因此，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=n \cdot 2^{n-1}$。 【答案】数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=n \cdot 2^{n-1}$。 |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| doubao | (1)【解析】已知$a_1=1$，$na_{n+1}=2(n+1)a_n$，可得$a_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n}a_n$。当$n=1$时，$a_2=\frac{2\times(1+1)}{1}a_1=4a_1=4$；当$n=2$时，$a_3=\frac{2\times(2+1)}{2}a_2=3a_2=12$。又因为$b_n=\frac{a_n}{n}$，所以$b_1=\frac{a_1}{1}=1$，$b_2=\frac{a_2}{2}=\frac{4}{2}=2$，$b_3=\frac{a_3}{3}=\frac{12}{3}=4$。<eoe> 【答案】$b_1=1$，$b_2=2$，$b_3=4$。<eoa> (2)【解析】由$na_{n+1}=2(n+1)a_n$可得$\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{2a_n}{n}$，即$b_{n+1}=2b_n$，且$b_1=1$，所以数列$\{b_n\}$是以$1$为首项，$2$为公比的等比数列。<eoe> 【答案】数列$\{b_n\}$是等比数列，理由：由上述推理可得$b_{n+1}=2b_n$，且$b_1=1$，满足等比数列定义。<eoa> (3)【解析】由(2)知$b_n=1\times2^{n-1}=2^{n-1}$，又因为$b_n=\frac{a_n}{n}$，所以$a_n=n\times2^{n-1}$。<eoe> 【答案】$a_n=n\times2^{n-1}$。<eoa> |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| minimax | (1)【解析】首先，我们可以根据给定的递推关系式 $n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$ 来计算 $a_{2}, a_{3}$ 的值。然后，我们可以利用 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$ 来求出 $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 的值。<eoe> 【答案】首先，根据递推关系式，我们有： $$a_{2}=\frac{2 \cdot 2}{1}a_{1}=4$$ $$a_{3}=\frac{2 \cdot 3}{2}a_{2}=6$$ 然后，我们可以求出 $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 的值： $$b_{1}=\frac{a_{1}}{1}=1$$ $$b_{2}=\frac{a_{2}}{2}=2$$ $$b_{3}=\frac{a_{3}}{3}=2$$<eoa> (2)【解析】为了判断数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是否为等比数列，我们需要检查相邻两项的比值是否为常数。如果比值为常数，则数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列。<eoe> 【答案】我们计算相邻两项的比值： $$\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{2}{1}=2$$ $$\frac{b_{3}}{b_{2}}=\frac{2}{2}=1$$ 由于 $\frac{b_{3}}{b_{2}} \neq \frac{b_{2}}{b_{1}}$，所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 不是等比数列。<eoa> (3)【解析】为了求出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式，我们可以利用递推关系式 $n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$ 来进行推导。我们可以尝试将递推关系式改写为关于 $a_{n+1}$ 和 $a_{n}$ 的形式，然后通过迭代的方式来寻找通项公式。<eoe> 【答案】首先，我们将递推关系式改写为关于 $a_{n+1}$ 和 $a_{n}$ 的形式： $$a_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n}a_{n}$$ 然后，我们可以通过迭代的方式来寻找通项公式。我们有： $$a_{2}=\frac{2 \cdot 2}{1}a_{1}=4$$ $$a_{3}=\frac{2 \cdot 3}{2}a_{2}=6$$ $$a_{4}=\frac{2 \cdot 4}{3}a_{3}=8$$ 我们可以看到，每一项都是前一项的 $\frac{2(n+1)}{n}$ 倍。因此，我们可以得到通项公式： $$a_{n}=\frac{2 \cdot n}{n-1}a_{n-1}$$ 由于 $a_{1}=1$，我们可以得到： $$a_{n}=2 \cdot n$$ 所以，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2n$。<eoa> |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| kimi | (1)【解析】根据题目给出的条件，我们首先可以计算出 $b_{1}$ 的值。已知 $a_{1}=1$，所以 $b_{1}=\frac{a_{1}}{1}=1$。 接下来，我们使用递推公式 $n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$ 来计算 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 的值。 对于 $n=1$，我们有 $1 \cdot a_{2} = 2 \cdot 2 \cdot a_{1}$，所以 $a_{2} = 4 \cdot a_{1} = 4$。 对于 $n=2$，我们有 $2 \cdot a_{3} = 2 \cdot 3 \cdot a_{2}$，所以 $a_{3} = 3 \cdot a_{2} = 3 \cdot 4 = 12$。 现在我们可以计算出 $b_{2}$ 和 $b_{3}$ 的值。 $b_{2} = \frac{a_{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $b_{3} = \frac{a_{3}}{3} = \frac{12}{3} = 4$ <eoe> 【答案】$b_{1} = 1, b_{2} = 2, b_{3} = 4$<eoa> (2)【解析】为了判断数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是否为等比数列，我们需要检查相邻两项的比值是否为常数。 根据递推公式 $n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$，我们可以推导出 $\frac{a_{n+1}}{n+1} = 2 \cdot \frac{a_{n}}{n}$，即 $b_{n+1} = 2 \cdot b_{n}$。 这意味着数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的相邻两项的比值都是 2，因此 $\left\{b_{n}\right\}$ 是一个等比数列，首项为 1，公比为 2。 <eoe> 【答案】数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，首项为 1，公比为 2。<eoa> (3)【解析】由于我们已经知道 $b_{n} = 2^{n-1}$，我们可以通过 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ 来求得 $a_{n}$ 的通项公式。 $a_{n} = n \cdot b_{n} = n \cdot 2^{n-1}$ <eoe> 【答案】数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n \cdot 2^{n-1}$。<eoa> |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】根据题意，数列$\left\{a_{n}\right\}$的递推公式为$na_{n+1}=2(n+1)a_{n}$，且$a_{1}=1$。我们可以通过这个递推公式求出$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$的值，然后再根据$b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$求出$b_{1}$，$b_{2}$，$b_{3}$的值。 【答案】 首先，由$a_{1}=1$，我们可以得到$b_{1}=\frac{a_{1}}{1}=1$。 然后，由$na_{n+1}=2(n+1)a_{n}$，我们可以得到$a_{2}=2(2)a_{1}=4$，所以$b_{2}=\frac{a_{2}}{2}=2$。 同样，我们可以得到$a_{3}=2(3)a_{2}=24$，所以$b_{3}=\frac{a_{3}}{3}=8$。 (2)【解析】要判断数列$\left\{b_{n}\right\}$是否为等比数列，我们需要看$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$是否为常数。由$b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$，我们可以得到$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{a_{n+1}}{(n+1)}\cdot\frac{n}{a_{n}}=\frac{na_{n+1}}{(n+1)a_{n}}$。由数列$\left\{a_{n}\right\}$的递推公式$na_{n+1}=2(n+1)a_{n}$，我们可以得到$\frac{na_{n+1}}{(n+1)a_{n}}=2$。所以，数列$\left\{b_{n}\right\}$是等比数列。 【答案】 数列$\left\{b_{n}\right\}$是等比数列，因为$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{na_{n+1}}{(n+1)a_{n}}=2$，这是一个常数。 (3)【解析】由数列$\left\{b_{n}\right\}$是等比数列，且首项$b_{1}=1$，公比为2，我们可以得到$b_{n}=2^{n-1}$。然后，由$b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$，我们可以得到$a_{n}=n\cdot b_{n}=n\cdot 2^{n-1}$。 【答案】 数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=n\cdot 2^{n-1}$。 |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| zhipu | (1)【解析】首先，我们需要根据已知条件计算出 \(a_2\) 和 \(a_3\)，然后利用这些结果来求 \(b_1, b_2, b_3\)。 已知 \(a_1 = 1\)，并且数列 \(\{a_n\}\) 满足递推关系 \(n a_{n+1} = 2(n+1) a_n\)。 对于 \(n = 1\)： \[ 1 \cdot a_2 = 2 \cdot (1+1) \cdot a_1 \] \[ a_2 = 4 \] 对于 \(n = 2\)： \[ 2 \cdot a_3 = 2 \cdot (2+1) \cdot a_2 \] \[ 2 \cdot a_3 = 6 \cdot 4 \] \[ a_3 = 12 \] 现在我们可以计算 \(b_1, b_2, b_3\)： \[ b_1 = \frac{a_1}{1} = 1 \] \[ b_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ b_3 = \frac{a_3}{3} = \frac{12}{3} = 4 \] <eoe> 【答案】 \[ b_1 = 1 \] \[ b_2 = 2 \] \[ b_3 = 4 \] <eoa> (2)【解析】为了判断数列 \(\{b_n\}\) 是否为等比数列，我们需要检查 \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\) 是否为常数。 根据定义，\(b_n = \frac{a_n}{n}\)，我们需要利用递推关系 \(n a_{n+1} = 2(n+1) a_n\) 来找出 \(b_{n+1}\) 和 \(b_n\) 之间的关系。 \[ b_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{n+1} \] 利用递推关系： \[ a_{n+1} = \frac{2(n+1)}{n} a_n \] 所以： \[ b_{n+1} = \frac{\frac{2(n+1)}{n} a_n}{n+1} = \frac{2 a_n}{n} = 2 \cdot \frac{a_n}{n} = 2 b_n \] 由此可见，\(\frac{b_{n+1}}{b_n} = 2\)，这是一个常数。因此，数列 \(\{b_n\}\) 是一个等比数列，公比为2。 <eoe> 【答案】数列 \(\{b_n\}\) 是等比数列，公比为2。<eoa> (3)【解析】我们已经知道 \(b_n = \frac{a_n}{n}\) 并且 \(\{b_n\}\) 是一个等比数列，公比为2。因此可以写出 \(b_n\) 的通项公式： \[ b_n = b_1 \cdot 2^{n-1} \] 由于 \(b_1 = 1\)，所以： \[ b_n = 2^{n-1} \] 现在我们可以利用 \(b_n = \frac{a_n}{n}\) 来求 \(a_n\) 的通项公式： \[ a_n = n \cdot b_n = n \cdot 2^{n-1} \] <eoe> 【答案】数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为： \[ a_n = n \cdot 2^{n-1} \] <eoa> |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| gpto1 | (1)【解析】 根据已知条件，$a_1=1$，$b_n=\dfrac{a_n}{n}$。 首先计算$a_1$，已知$a_1=1$。 接下来，利用递推公式$n a_{n+1}=2(n+1)a_n$，求出$a_2$和$a_3$。 当$n=1$时： \[ 1 \cdot a_2 = 2 \cdot 2 \cdot a_1 \implies a_2 = \dfrac{2 \cdot 2}{1} a_1 = 4 a_1 = 4 \] 当$n=2$时： \[ 2 \cdot a_3 = 2 \cdot 3 \cdot a_2 \implies a_3 = \dfrac{2 \cdot 3}{2} a_2 = 3 a_2 \] 因为$a_2=4$，所以$a_3=3 \times 4=12$ 接下来计算$b_1$, $b_2$, $b_3$： \[ b_1=\dfrac{a_1}{1}=1 \] \[ b_2=\dfrac{a_2}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \] \[ b_3=\dfrac{a_3}{3}=\dfrac{12}{3}=4 \] <eoe> 【答案】 $b_1=1$, $b_2=2$, $b_3=4$ <eoa> (2)【解析】 根据(1)中的计算结果，得到$b_1=1$, $b_2=2$, $b_3=4$ 计算公比$r$： \[ r = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} \] 验证： \[ \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{2}{1} = 2 \] \[ \dfrac{b_3}{b_2} = \dfrac{4}{2} = 2 \] 公比为2，且每一项与前一项的比值恒为2，因此数列$\{b_n\}$是首项为1，公比为2的等比数列。 <eoe> 【答案】 数列$\{b_n\}$是等比数列，理由是相邻两项的比值恒为常数2。 <eoa> (3)【解析】 从(2)中得知，$\{b_n\}$是首项为1，公比为2的等比数列。 因此，$b_n = b_1 \cdot r^{n-1} = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$ 又因为$b_n=\dfrac{a_n}{n}$，所以： \[ a_n = n \cdot b_n = n \cdot 2^{n-1} \] 这就是$a_n$的通项公式。 检验： 当$n=1$时，$a_1=1 \cdot 2^{0} =1$ 当$n=2$时，$a_2=2 \cdot 2^{1}=4$ 当$n=3$时，$a_3=3 \cdot 2^{2}=12$ 与(1)中计算的结果一致。 <eoe> 【答案】 $a_n = n \cdot 2^{n-1}$ <eoa> |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |
| deepseekv3 | (1)【解析】 首先，根据已知条件 $a_{1}=1$，计算 $b_{1}$： $$ b_{1} = \frac{a_{1}}{1} = 1 $$ 接着，利用递推关系 $n a_{n+1} = 2(n+1) a_{n}$，计算 $a_{2}$ 和 $b_{2}$： 当 $n=1$ 时， $$ 1 \cdot a_{2} = 2(1+1) \cdot a_{1} \Rightarrow a_{2} = 4 \cdot 1 = 4 $$ $$ b_{2} = \frac{a_{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ 然后，计算 $a_{3}$ 和 $b_{3}$： 当 $n=2$ 时， $$ 2 \cdot a_{3} = 2(2+1) \cdot a_{2} \Rightarrow 2a_{3} = 6 \cdot 4 \Rightarrow a_{3} = \frac{24}{2} = 12 $$ $$ b_{3} = \frac{a_{3}}{3} = \frac{12}{3} = 4 $$ <eoe> 【答案】 $b_{1} = 1$, $b_{2} = 2$, $b_{3} = 4$ <eoa> (2)【解析】 判断数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是否为等比数列，需要验证其相邻两项的比值是否相等。 计算 $b_{2} / b_{1}$ 和 $b_{3} / b_{2}$： $$ \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{2}{1} = 2 $$ $$ \frac{b_{3}}{b_{2}} = \frac{4}{2} = 2 $$ 由于 $b_{2} / b_{1} = b_{3} / b_{2} = 2$，比值相等，因此数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列。 <eoe> 【答案】 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，因为其相邻两项的比值相等。 <eoa> (3)【解析】 根据(2)的结论，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，其通项公式为： $$ b_{n} = b_{1} \cdot r^{n-1} $$ 其中 $b_{1} = 1$，公比 $r = 2$，所以： $$ b_{n} = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1} $$ 而 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$，因此可以得到 $a_{n}$ 的通项公式： $$ a_{n} = n \cdot b_{n} = n \cdot 2^{n-1} $$ <eoe> 【答案】 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n \cdot 2^{n-1}$。 <eoa> |
解: (1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=2(n+1) a_{n}$, 则: $\frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\frac{a_{n}}{n}}=2$ (常数)， 由于 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 故: $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}$ 为首项, 2 为公比的等比数列. 整理得： $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, 所以: $b_{1}=1, b_{2}=2, b_{3}=4$. （2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是为等比数列, 由于 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2$ （常数）； （3）由（1）得: $b_{n}=2^{n-1}$, 根据 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$, 所以: $a_{n}=n \cdot 2^{\mathrm{rr}-1}$. |