| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 当直线 \( l \) 与 \( x \) 轴垂直时，直线 \( l \) 的方程为 \( x = 2 \)。将 \( x = 2 \) 代入抛物线 \( C: y^2 = 2x \) 中，得到： \[ y^2 = 2 \times 2 = 4 \] \[ y = \pm 2 \] 因此，直线 \( l \) 与抛物线 \( C \) 交于点 \( M(2, 2) \) 和 \( N(2, -2) \)。 点 \( B \) 的坐标为 \( (-2, 0) \)，我们需要求直线 \( BM \) 的方程。点 \( B(-2, 0) \) 和点 \( M(2, 2) \) 的斜率为： \[ \text{斜率} = \frac{2 - 0}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 因此，直线 \( BM \) 的方程为： \[ y - 0 = \frac{1}{2}(x + 2) \] \[ y = \frac{1}{2}x + 1 \] 【答案】直线 \( BM \) 的方程为 \( y = \frac{1}{2}x + 1 \)。<eoa> (2)【解析】 我们需要证明 \( \angle ABM = \angle ABN \)。 首先，点 \( A(2, 0) \) 和点 \( B(-2, 0) \) 在 \( x \) 轴上，且 \( A \) 和 \( B \) 的 \( y \) 坐标均为 0。点 \( M(2, 2) \) 和点 \( N(2, -2) \) 在直线 \( x = 2 \) 上。 考虑三角形 \( ABM \) 和 \( ABN \)： - 点 \( A \) 和点 \( B \) 的连线是 \( x \) 轴，即 \( y = 0 \)。 - 点 \( M \) 和点 \( N \) 的 \( x \) 坐标均为 2。 由于 \( M \) 和 \( N \) 关于 \( x \) 轴对称，且 \( A \) 和 \( B \) 在 \( x \) 轴上，因此 \( \angle ABM \) 和 \( \angle ABN \) 是关于 \( x \) 轴对称的角。 具体来说，点 \( M \) 和点 \( N \) 的 \( y \) 坐标分别为 2 和 -2，且 \( A \) 和 \( B \) 的 \( y \) 坐标均为 0。因此，三角形 \( ABM \) 和三角形 \( ABN \) 是关于 \( x \) 轴对称的。 由于对称性，\( \angle ABM \) 和 \( \angle ABN \) 相等。 【答案】\( \angle ABM = \angle ABN \)。<eoa> |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 当直线 \( l \) 与 \( x \) 轴垂直时，其方程为 \( x = 2 \)。将 \( x = 2 \) 代入抛物线方程 \( y^2 = 2x \)，得 \( y^2 = 4 \)，解得 \( y = \pm 2 \)，故交点 \( M \) 和 \( N \) 的坐标为 \( (2, 2) \) 和 \( (2, -2) \)。 对于点 \( B(-2, 0) \) 和 \( M(2, 2) \)，直线 \( BM \) 的斜率为： \[ k = \frac{2 - 0}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 方程为： \[ y = \frac{1}{2}(x + 2) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{2}x + 1 \] 对于点 \( B(-2, 0) \) 和 \( M(2, -2) \)，直线 \( BM \) 的斜率为： \[ k = \frac{-2 - 0}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] 方程为： \[ y = -\frac{1}{2}(x + 2) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{2}x - 1 \] <eoe> 【答案】 直线 \( BM \) 的方程为 \( y = \frac{1}{2}x + 1 \) 和 \( y = -\frac{1}{2}x - 1 \)。 <eoa> (2)【解析】 设过点 \( A(2, 0) \) 的直线 \( l \) 的方程为 \( y = k(x - 2) \)，与抛物线 \( y^2 = 2x \) 联立，得： \[ k^2(x - 2)^2 = 2x \quad \Rightarrow \quad k^2x^2 - (4k^2 + 2)x + 4k^2 = 0 \] 设交点 \( M(x_1, y_1) \) 和 \( N(x_2, y_2) \)，根据韦达定理，有： \[ x_1 + x_2 = \frac{4k^2 + 2}{k^2}, \quad x_1x_2 = 4 \] 直线 \( BM \) 和 \( BN \) 的斜率分别为： \[ k_{BM} = \frac{y_1}{x_1 + 2} = \frac{k(x_1 - 2)}{x_1 + 2}, \quad k_{BN} = \frac{y_2}{x_2 + 2} = \frac{k(x_2 - 2)}{x_2 + 2} \] 需证 \( k_{BM} + k_{BN} = 0 \)。代入 \( y_1 \) 和 \( y_2 \)： \[ \frac{k(x_1 - 2)}{x_1 + 2} + \frac{k(x_2 - 2)}{x_2 + 2} = 0 \] 化简分子部分： \[ (x_1 - 2)(x_2 + 2) + (x_2 - 2)(x_1 + 2) = 2x_1x_2 - 8 = 2 \cdot 4 - 8 = 0 \] 因此 \( k_{BM} + k_{BN} = 0 \)，说明 \( BM \) 和 \( BN \) 的斜率互为相反数，对应角关于 \( x \) 轴对称，故 \( \angle ABM = \angle ABN \)。 <eoe> 【答案】 证明过程如上，故 \(\angle ABM = \angle ABN\)。 <eoa> |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| gpto1 | (1)【解析】 已知直线 \( l \) 过点 \( A(2,0) \) 且与 \( x \) 轴垂直，所以 \( l \) 的方程为 \( x=2 \)。 将 \( x=2 \) 代入抛物线方程 \( y^2=2x \)，得： \[ y^2=2 \times 2 \] \[ y^2=4 \] 解得： \[ y= \pm 2 \] 因此，直线 \( l \) 与抛物线 \( C \) 相交于点 \( M(2,2) \) 和点 \( N(2,-2) \)。 点 \( B(-2,0) \)，求直线 \( BM \) 的方程。 计算斜率： \[ k_{BM}=\frac{y_M - y_B}{x_M - x_B} = \frac{2 - 0}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 使用点斜式方程，得： \[ y - y_B = k_{BM}(x - x_B) \] \[ y - 0 = \frac{1}{2}(x + 2) \] 整理得： \[ y = \frac{1}{2}x + 1 \] <eoe> 【答案】 直线 \( BM \) 的方程为 \( y = \dfrac{1}{2}x + 1 \)。 <eoa> (2)【解析】 首先，计算直线 \( BA \)、\( BM \)、\( BN \) 的斜率。 直线 \( BA \) 的斜率： \[ k_{BA} = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{0 - 0}{2 - (-2)} = 0 \] 直线 \( BM \) 的斜率： \[ k_{BM} = \frac{y_M - y_B}{x_M - x_B} = \frac{2 - 0}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 直线 \( BN \) 的斜率： \[ k_{BN} = \frac{y_N - y_B}{x_N - x_B} = \frac{-2 - 0}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] 计算 \( \angle ABM \) 和 \( \angle ABN \) 的大小。 两直线的夹角公式： \[ \tan \theta = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| \] 对于 \( \angle ABM \)： \[ \tan \angle ABM = \left| \frac{k_{BM} - k_{BA}}{1 + k_{BA} k_{BM}} \right| = \left| \frac{\frac{1}{2} - 0}{1 + 0 \times \frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2} \] 对于 \( \angle ABN \)： \[ \tan \angle ABN = \left| \frac{k_{BN} - k_{BA}}{1 + k_{BA} k_{BN}} \right| = \left| \frac{ -\frac{1}{2} - 0 }{1 + 0 \times (-\frac{1}{2})} \right| = \frac{1}{2} \] 因此： \[ \tan \angle ABM = \tan \angle ABN \] 所以： \[ \angle ABM = \angle ABN \] <eoe> 【答案】 证明得 \( \angle ABM = \angle ABN \)。 <eoa> |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| GPT-4o | 好的，我们开始解答这道题。 **题目:** 设抛物线 \( C: y^{2}=2x \), 点 \( A(2,0), B(-2,0) \), 过点 \( A \) 的直线 \( l \) 与 \( C \) 交于 \( M, N \) 两点。 （1）当 \( l \) 与 \( x \) 轴垂直时, 求直线 BM 的方程; （2）证明: \( \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN} \)。 (1)【解析】 当直线 \( l \) 与 \( x \) 轴垂直时，其方程为 \( x = 2 \)，因为它经过点 \( A(2, 0) \)。 将 \( x = 2 \) 代入抛物线方程 \( y^2 = 2x \)，得到： \[ y^2 = 2 \times 2 = 4 \] \[ y = \pm 2 \] 所以，直线 \( l \) 与抛物线相交于点 \( M(2, 2) \) 和 \( N(2, -2) \)。 我们选择其中一个点 \( M(2, 2) \) 来求直线 BM 的方程。点 \( B(-2, 0) \) 和点 \( M(2, 2) \) 的坐标已知。 利用两点式方程求直线 BM 的方程： \[ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] 其中 \((x_1, y_1) = (-2, 0)\) 和 \((x_2, y_2) = (2, 2)\)。代入得： \[ \frac{y - 0}{x + 2} = \frac{2 - 0}{2 + 2} \] \[ \frac{y}{x + 2} = \frac{2}{4} \] \[ \frac{y}{x + 2} = \frac{1}{2} \] \[ y = \frac{1}{2} (x + 2) \] \[ y = \frac{1}{2}x + 1 \] 所以，直线 BM 的方程为 \( y = \frac{1}{2}x + 1 \)。 <eoe> 【答案】直线 BM 的方程为 \( y = \frac{1}{2}x + 1 \)。<eoa> (2)【解析】 要证明 \( \angle ABM = \angle ABN \)，我们需要利用几何性质和对称性。 首先，考虑直线 \( l \) 是 \( x = 2 \)，且与抛物线 \( y^2 = 2x \) 交于点 \( M(2, 2) \) 和 \( N(2, -2) \)。 点 \( A \) 的坐标为 \( (2, 0) \)，点 \( B \) 的坐标为 \( (-2, 0) \)。 我们知道直线 \( l \) 是 \( x = 2 \)，这是一条垂直于 \( x \) 轴的直线，这意味着对于点 \( M \) 和 \( N \)，他们关于 \( x \) 轴对称。 由于 \( M(2, 2) \) 和 \( N(2, -2) \) 关于 \( x \) 轴对称，并且 \( x = 2 \) 是过点 \( A \) 的直线，所以 \( AM \) 和 \( AN \) 是对称的。 考虑 \( \triangle ABM \) 和 \( \triangle ABN \)，由于 \( M \) 和 \( N \) 关于 \( x \) 轴对称，且 \( A \) 在 \( x \) 轴上，因此： \[ \angle ABM = \angle ABN \] 这是因为 \( M \) 和 \( N \) 的纵坐标互为相反数，且 \( A \) 在 \( x \) 轴上，导致相应的角度相等。 <eoe> 【答案】 \(\angle ABM = \angle ABN\)。<eoa> |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】当直线l与x轴垂直时,设M(2,t),代入抛物线方程可求得t的值,再由两点式可求得直线BM的方程.由题意可知,当直线l与x轴垂直时,设M(2,t),代入抛物线方程可得t^{2}=4,解得t=\pm2,所以M(2,2)或M(2,-2)所以直线BM的方程为y=\pm\frac{2}{3}(x+2)(2)【解析】由题意可知,直线AB的斜率不存在,设N(2,-t),由两点式可求得直线AN的方程,再由直线的对称性可求得\angleABM=\angleABN.由题意可知,设N(2,-t),所以直线AN的方程为y=-\frac{t}{4}(x-2),所以直线AN的斜率为-\frac{t}{4},由直线的对称性可知\angleABM=\angleABN. 最终结果是y=pm*(2/3)*(x+2) y=pm*(2/3)*(x+2) |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=2,代入抛物线方程得y^{2}=4,解得y=\pm2,所以M(2,2),所以直线BM的斜率为k=\frac{2-0}{2-(-2)}=\frac{1}{2},所以直线BM的方程为y=\frac{1}{2}(x+2). 最终结果是y=(1/2)*(x+2) (2)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为x=my+2,代入抛物线方程得y^{2}-2my-4=0,设M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}=2m,y |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，直线 $l$ 的方程为 $x = 2$。将 $x = 2$ 代入抛物线 $C$ 的方程 $y^2 = 2x$，得到 $y^2 = 4$，解得 $y = 2$ 或 $y = -2$。因此，直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的交点为 $M(2, 2)$ 和 $N(2, -2)$。\n\n点 $B$ 的坐标为 $(-2, 0)$，我们需要求直线 $BM$ 的方程。直线 $BM$ 经过点 $B(-2, 0)$ 和点 $M(2, 2)$，其斜率 $k$ 为：\n\\[ k = \\frac{2 - 0}{2 - (-2)} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2} \\]\n\n因此，直线 $BM$ 的方程为：\n\\[ y - 0 = \\frac{1}{2}(x + 2) \\]\n即：\n\\[ y = \\frac{1}{2}x + 1 \\]\n<eoe>\n【答案】$y = \\frac{1}{2}x + 1$<eoa>\n\n(2)【解析】 我们需要证明 $\\angle ABM = \\angle ABN$。首先，考虑直线 $l$ 的一般形式，设其方程为 $y = k(x - 2)$，其中 $k$ 为斜率。将此方程代入抛物线 $C$ 的方程 $y^2 = 2x$，得到：\n\\[ (k(x - 2))^2 = 2x \\]\n\\[ k^2(x - 2)^2 = 2x \\]\n\\[ k^2(x^2 - 4x + 4) = 2x \\]\n\\[ k^2x^2 - 4k^2x + 4k^2 = 2x \\]\n\\[ k^2x^2 - (4k^2 + 2)x + 4k^2 = 0 \\]\n\n这是一个关于 $x$ 的二次方程。设其根为 $x_1$ 和 $x_2$，则 $M$ 和 $N$ 的坐标分别为 $(x_1, k(x_1 - 2))$ 和 $(x_2, k(x_2 - 2))$。\n\n我们需要证明 $\\angle ABM = \\angle ABN$。考虑向量 $\\overrightarrow{AB}$、$\\overrightarrow{AM}$ 和 $\\overrightarrow{AN}$：\n\\[ \\overrightarrow{AB} = (-4, 0) \\]\n\\[ \\overrightarrow{AM} = (x_1 - 2, k(x_1 - 2)) \\]\n\\[ \\overrightarrow{AN} = (x_2 - 2, k(x_2 - 2)) \\]\n\n计算 $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AM}$ 和 $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AN}$：\n\\[ \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AM} = -4(x_1 - 2) + 0 \\cdot k(x_1 - 2) = -4(x_1 - 2) \\]\n\\[ \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AN} = -4(x_2 - 2) + 0 \\cdot k(x_2 - 2) = -4(x_2 - 2) \\]\n\n由于 $x_1$ 和 $x_2$ 是二次方程的根，且二次方程的对称性，$x_1$ 和 $x_2$ 的值对称于抛物线的对称轴 $x = 1$，因此 $-4(x_1 - 2)$ 和 $-4(x_2 - 2)$ 的符号相同，说明 $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AM}$ 和 $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AN}$ 的符号相同，从而 $\\angle ABM = \\angle ABN$。\n<eoe>\n【答案】$\\angle ABM = \\angle ABN$<eoa>" | 解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】\n当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，它通过点 $A(2,0)$，因此其方程为 $x=2$。将 $x=2$ 代入抛物线 $C: y^{2}=2x$ 的方程中，得到 $y^{2}=4$，从而 $y=\\pm 2$。这意味着直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的交点为 $M(2,2)$ 和 $N(2,-2)$（假设 $M$ 在 $N$ 上方）。\n\n接下来求直线 $BM$ 的方程。点 $B$ 的坐标为 $(-2,0)$。直线 $BM$ 的斜率 $k$ 可以通过两点式求得：\\[k=\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\\frac{2-0}{2-(-2)}=\\frac{2}{4}=\\frac{1}{2}\\]\n\n因此，直线 $BM$ 的方程可以通过点斜式方程求得：\\[y-y_1=k(x-x_1)\\]\n\n将点 $B(-2,0)$ 和斜率 $k=\\frac{1}{2}$ 代入，得到\\[y-0=\\frac{1}{2}(x+2)\\]\n\n整理得\\[y=\\frac{1}{2}x+1\\]<eoe>\n\n【答案】直线 $BM$ 的方程为 $y=\\frac{1}{2}x+1$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n为了证明 $\\angle ABM = \\angle ABN$，我们首先需要注意到，对于抛物线 $C: y^{2}=2x$ 和任意点 $A$，如果过点 $A$ 的直线与抛物线相交于两点 $M$ 和 $N$，那么从点 $A$ 观察，点 $M$ 和 $N$ 关于抛物线的对称轴对称。\n\n抛物线 $C: y^{2}=2x$ 的对称轴是 $y$ 轴，即 $x=0$。点 $A(2,0)$ 关于 $y$ 轴的对称点是 $A'(-2,0)$，而 $A'$ 恰好是点 $B$。这意味着，从 $A$ 观察到的点 $M$ 和 $N$ 的角度相等，即 $\\angle ABM = \\angle ABN$，因为 $M$ 和 $N$ 关于 $y$ 轴对称，而 $A$ 和 $B$ 也关于 $y$ 轴对称，从而 $BM$ 和 $BN$ 与 $y$ 轴的夹角相等。\n\n更形式化地，如果直线 $l$ 与抛物线相交于 $M$ 和 $N$，那么 $M$ 和 $N$ 关于抛物线的对称轴对称，即 $M$ 和 $N$ 的 $y$ 坐标相同而 $x$ 坐标相反。由于 $A$ 和 $B$ 也关于 $y$ 轴对称，根据对称性原理，$\\angle ABM = \\angle ABN$。<eoe>\n\n【答案】\n由于点 $M$ 和 $N$ 关于抛物线的对称轴对称，而点 $A$ 和 $B$ 也关于抛物线的对称轴对称，根据对称性原理，可以证明 $\\angle ABM = \\angle ABN$。<eoa>" | 解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| baichuan4 | (1)【解析】当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，它的斜率是无穷大，这意味着直线 $l$ 的方程形式为 $x = a$，其中 $a$ 是常数。由于直线 $l$ 过点 $A(2,0)$，我们可以确定 $a=2$。因此，直线 $l$ 的方程是 $x = 2$。 抛物线 $C$ 的方程是 $y^2 = 2x$。将 $x = 2$ 代入抛物线方程，得到 $y^2 = 4$，所以 $y = \pm2$。这意味着抛物线 $C$ 与直线 $l$ 的交点 $M$ 和 $N$ 的坐标分别是 $(2, 2)$ 和 $(2, -2)$。 现在我们要找到直线 $BM$ 的方程。点 $B$ 的坐标是 $(-2, 0)$，点 $M$ 的坐标是 $(2, 2)$。直线的斜率 $k$ 由公式 $k = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)$ 给出，其中 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 是直线上的两个点。将点 $B$ 和 $M$ 的坐标代入，得到 $k = (2 - 0) / (2 - (-2)) = 1/2$。 知道了斜率和一个点，我们可以使用点斜式方程来找到直线的方程：$y - y_1 = k(x - x_1)$。将 $k = 1/2$ 和点 $B(-2, 0)$ 代入，得到 $y - 0 = (1/2)(x - (-2))$，简化后得到 $y = (1/2)x + 1$。 <eoe> 【答案】$y = \frac{1}{2}x + 1$ |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| doubao | (1)【解析】当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x=2，代入抛物线方程可得 y=±2，可得 M(2,2)，N(2,-2)。已知 B(-2,0)，利用两点式可求直线 BM 的方程。<eoe> 【答案】当 M(2,2)时，直线 BM 的方程为 y=2(x+2)/4，即 x-2y+2=0；当 M(2,-2)时，直线 BM 的方程为 y=-2(x+2)/4，即 x+2y+2=0。<eoa> (2)【解析】设直线 l 的方程为 x=my+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立抛物线方程可得 y^2-2my-4=0，利用韦达定理可得 y1+y2=2m，y1y2=-4。计算直线 BM 和 BN 的斜率之和，通过化简可得其和为 0，从而证明两角相等。<eoe> 【答案】设直线 l 的方程为 x=my+2，代入抛物线方程可得 y^2-2my-4=0，y1+y2=2m，y1y2=-4。直线 BM 的斜率 kBM=y1/(x1+2)，直线 BN 的斜率 kBN=y2/(x2+2)，kBM+kBN=(y1(x2+2)+y2(x1+2))/((x1+2)(x2+2))，将 x1=my1+2，x2=my2+2 代入化简可得 kBM+kBN=0，即∠ABM=∠ABN。<eoa> |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| minimax | (1)【解析】当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，直线 $l$ 的方程可以表示为 $x=a$，其中 $a$ 是常数。由于直线 $l$ 过点 $A(2,0)$，所以 $a=2$，即直线 $l$ 的方程为 $x=2$。将直线 $l$ 的方程代入抛物线 $C$ 的方程 $y^2=2x$ 中，可以求出直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的交点 $M$ 和 $N$ 的 $y$ 坐标。由于 $M$ 和 $N$ 关于 $x$ 轴对称，所以它们的 $y$ 坐标互为相反数。设 $M$ 的坐标为 $(2,m)$，则 $N$ 的坐标为 $(2,-m)$。点 $B(-2,0)$ 到点 $M(2,m)$ 的连线即为直线 $BM$，根据两点式直线方程的公式，可以求出直线 $BM$ 的方程。<eoe> 【答案】直线 $l$ 的方程为 $x=2$。将 $x=2$ 代入抛物线 $C$ 的方程 $y^2=2x$，得到 $y^2=4$，解得 $y=\pm2$。因此，直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的交点 $M$ 和 $N$ 的坐标分别为 $(2,2)$ 和 $(2,-2)$。 点 $B(-2,0)$ 到点 $M(2,2)$ 的连线即为直线 $BM$。使用两点式直线方程的公式，设直线 $BM$ 的方程为： $$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $$ 代入点 $B(-2,0)$ 和点 $M(2,2)$ 的坐标，得到： $$ \frac{y - 0}{2 - 0} = \frac{x - (-2)}{2 - (-2)} $$ 化简得到直线 $BM$ 的方程为： $$ \frac{y}{2} = \frac{x + 2}{4} $$ 进一步化简得到： $$ y = \frac{1}{2}x + 1 $$ 所以直线 $BM$ 的方程为 $y = \frac{1}{2}x + 1$。<eoa> (2)【解析】要证明 $\angle ABM = \angle ABN$，我们可以利用向量的夹角公式。首先，我们需要找到向量 $\vec{AB}$、$\vec{BM}$ 和 $\vec{BN}$。然后，计算 $\vec{AB}$ 与 $\vec{BM}$ 的点积和 $\vec{AB}$ 与 $\vec{BN}$ 的点积，以及它们的模长。如果 $\vec{AB} \cdot \vec{BM} = \vec{AB} \cdot \vec{BN}$ 且 $|\vec{AB}|$ 和 $|\vec{BM}|$、$|\vec{BN}|$ 都不为零，则可以得出 $\angle ABM = \angle ABN$。由于点 $A$、$B$、$M$ 和 $N$ 的坐标已知，我们可以直接计算这些向量的坐标，进而计算点积和模长。<eoe> 【答案】设点 $A$、$B$、$M$ 和 $N$ 的坐标分别为 $A(2,0)$、$B(-2,0)$、$M(2,m)$ 和 $N(2,-m)$。 向量 $\vec{AB}$ 的坐标为： $$ \vec{AB} = B - A = (-2,0) - (2,0) = (-4,0) $$ 向量 $\vec{BM}$ 的坐标为： $$ \vec{BM} = M - B = (2,m) - (-2,0) = (4,m) $$ 向量 $\vec{BN}$ 的坐标为： $$ \vec{BN} = N - B = (2,-m) - (-2,0) = (4,-m) $$ 计算 $\vec{AB}$ 与 $\vec{BM}$ 的点积： $$ \vec{AB} \cdot \vec{BM} = (-4,0) \cdot (4,m) = -4 \cdot 4 + 0 \cdot m = -16 $$ 计算 $\vec{AB}$ 与 $\vec{BN}$ 的点积： $$ \vec{AB} \cdot \vec{BN} = (-4,0) \cdot (4,-m) = -4 \cdot 4 + 0 \cdot (-m) = -16 $$ 由于 $\vec{AB} \cdot \vec{BM} = \vec{AB} \cdot \vec{BN}$，我们还需要证明 $|\vec{AB}|$、$|\vec{BM}|$ 和 $|\vec{BN}|$ 都不为零。 计算 $\vec{AB}$ 的模长： $$ |\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 $$ 计算 $\vec{BM}$ 的模长： $$ |\vec{BM}| = \sqrt{4^2 + m^2} = \sqrt{16 + m^2} $$ 计算 $\vec{BN}$ 的模长： $$ |\vec{BN}| = \sqrt{4^2 + (-m)^2} = \sqrt{16 + m^2} $$ 由于 $m \neq 0$（因为 $M$ 和 $N$ 不在 $x$ 轴上），所以 $|\vec{BM}|$ 和 $|\vec{BN}|$ 都不为零。 因此，由于 $\vec{AB} \cdot \vec{BM} = \vec{AB} \cdot \vec{BN}$ 且 $|\vec{AB}|$、$|\vec{BM}|$ 和 $|\vec{BN}|$ 都不为零，我们可以得出 $\angle ABM = \angle ABN$。<eoa> |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| kimi | (1)【解析】首先，当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2。将x=2代入抛物线方程y^2=2x，得到y^2=4，解得y=±2。因此，直线l与抛物线交于两点M(2,2)和N(2,-2)。接下来，我们需要求直线BM的方程。已知点B(-2,0)和点M(2,2)，可以利用两点式求得直线方程。两点式方程为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。将点B和点M的坐标代入，得到(y-0)/(2-0)=(x+2)/(2+2)，化简后得到y=x+2。因此，直线BM的方程为y=x+2。<eoe> 【答案】y=x+2<eoa> (2)【解析】我们需要证明∠ABM=∠ABN。首先，设直线l的方程为y=k(x-2)，其中k≠0。将直线l的方程与抛物线方程y^2=2x联立，得到k^2(x-2)^2=2x。整理得到k^2x^2-(4k^2+2)x+4k^2=0。设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=(4k^2+2)/k^2，x1x2=4。接下来，我们需要求直线BM和BN的斜率。直线BM的斜率为k1=(y1-0)/(x1+2)，直线BN的斜率为k2=(y2-0)/(x2+2)。根据斜率公式，k1+k2=(y1-0)/(x1+2)+(y2-0)/(x2+2)=k(x1-2)/(x1+2)+k(x2-2)/(x2+2)=k[(x1-2)(x2+2)+(x2-2)(x1+2)]/[(x1+2)(x2+2)]=k[2(x1+x2)-4]/[(x1+2)(x2+2)]=k[2(4k^2+2)/k^2-4]/[(4k^2+2)^2/k^4+8(4k^2+2)/k^2+16]=0。因此，k1+k2=0，即k1=-k2。由于k1和k2互为相反数，所以∠ABM=∠ABN。<eoe> 【答案】∠ABM=∠ABN<eoa> |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】当直线$l$与$x$轴垂直时，直线$l$的方程为$x=2$。将$x=2$代入抛物线$C: y^{2}=2x$的方程，得到$y^{2}=4$，解得$y=\pm 2$。因此，交点$M$和$N$的坐标分别为$(2,2)$和$(2,-2)$。由于点$B$的坐标为$(-2,0)$，我们可以利用两点式方程求解直线$BM$的方程。 两点式方程为$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$，将点$B(-2,0)$和点$M(2,2)$的坐标代入，得到直线$BM$的方程为$\frac{y-0}{2-0}=\frac{x+2}{2+2}$，化简得到$y=\frac{1}{2}(x+2)$，即$x-2y+2=0$。 【答案】直线$BM$的方程为$x-2y+2=0$。 (2)【解析】要证明$\angle ABM=\angle ABN$，我们可以按照以下步骤逐步推导： 第一步，设直线$l$的方程为$x=ty+2$，将其代入抛物线$C: y^{2}=2x$的方程，得到$y^{2}=2ty+4$，整理得到$y^{2}-2ty-4=0$。 第二步，设交点$M$和$N$的坐标分别为$(x_{1},y_{1})$和$(x_{2},y_{2})$，由于$y_{1}$和$y_{2}$是方程$y^{2}-2ty-4=0$的根，根据韦达定理，我们有$y_{1}+y_{2}=2t$和$y_{1}y_{2}=-4$。 第三步，根据第二步的结论，我们可以得到$y_{1}^{2}=2x_{1}$和$y_{2}^{2}=2x_{2}$，进一步得到$x_{1}=\frac{y_{1}^{2}}{2}$和$x_{2}=\frac{y_{2}^{2}}{2}$。 第四步，利用斜率公式$k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$，我们可以计算得到$k_{BM}+k_{BN}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{2ty_{1}y_{2}+2(y_{1}+y_{2})}{(x_{1}+2)(x_{2}+2)}$。 第五步，将$y_{1}+y_{2}=2t$和$y_{1}y_{2}=-4$代入第四步的公式，得到$k_{BM}+k_{BN}=\frac{2t\cdot(-4)+2\cdot2t}{(x_{1}+2)(x_{2}+2)}=0$。 第六步，由于$k_{BM}+k_{BN}=0$，我们得到$k_{BM}=-k_{BN}$，因此$\angle ABM=\angle ABN$。 【答案】$\angle ABM=\angle ABN$。 |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，根据题目条件，抛物线 \( C: y^2 = 2x \)，点 \( A(2,0) \) 和 \( B(-2,0) \)。当直线 \( l \) 与 \( x \) 轴垂直时，其方程为 \( x = 2 \)。 将 \( x = 2 \) 代入抛物线方程 \( y^2 = 2x \)，得到： \[ y^2 = 2 \cdot 2 = 4 \] 所以 \( y = 2 \) 或 \( y = -2 \)。因此，直线 \( l \) 与抛物线 \( C \) 交于点 \( M(2, 2) \) 和 \( N(2, -2) \)。 接下来求直线 \( BM \) 的方程。点 \( B \) 的坐标为 \( (-2, 0) \)，点 \( M \) 的坐标为 \( (2, 2) \)。 利用两点式直线方程： \[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \] 代入 \( B(-2, 0) \) 和 \( M(2, 2) \) 的坐标，得到： \[ \frac{y - 0}{2 - 0} = \frac{x - (-2)}{2 - (-2)} \] 即： \[ \frac{y}{2} = \frac{x + 2}{4} \] 化简得到： \[ 4y = 2(x + 2) \] \[ 4y = 2x + 4 \] \[ 2y = x + 2 \] 即： \[ x - 2y + 2 = 0 \] 所以直线 \( BM \) 的方程为 \( x - 2y + 2 = 0 \)。<eoe> 【答案】直线 \( BM \) 的方程为 \( x - 2y + 2 = 0 \)。<eoa> (2)【解析】 要证明 \( \angle ABM = \angle ABN \)，我们可以利用向量和斜率的关系来证明。 首先，设 \( M(x_1, y_1) \) 和 \( N(x_2, y_2) \) 是直线 \( l \) 与抛物线 \( C \) 的交点。由于 \( l \) 过点 \( A(2,0) \)，其方程可以表示为： \[ y = k(x - 2) \] 将其代入抛物线方程 \( y^2 = 2x \)，得到： \[ (k(x - 2))^2 = 2x \] \[ k^2(x - 2)^2 = 2x \] \[ k^2(x^2 - 4x + 4) = 2x \] \[ k^2x^2 - 4k^2x + 4k^2 = 2x \] \[ k^2x^2 - (4k^2 + 2)x + 4k^2 = 0 \] 这是关于 \( x \) 的二次方程，设其根为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，则根据韦达定理： \[ x_1 + x_2 = \frac{4k^2 + 2}{k^2} \] \[ x_1 x_2 = \frac{4k^2}{k^2} = 4 \] 对应的 \( y \) 坐标为： \[ y_1 = k(x_1 - 2) \] \[ y_2 = k(x_2 - 2) \] 接下来计算直线 \( BM \) 和 \( BN \) 的斜率： \[ \text{斜率}_{BM} = \frac{y_1 - 0}{x_1 - (-2)} = \frac{y_1}{x_1 + 2} \] \[ \text{斜率}_{BN} = \frac{y_2 - 0}{x_2 - (-2)} = \frac{y_2}{x_2 + 2} \] 由于 \( y_1 = k(x_1 - 2) \) 和 \( y_2 = k(x_2 - 2) \)，代入得到： \[ \text{斜率}_{BM} = \frac{k(x_1 - 2)}{x_1 + 2} \] \[ \text{斜率}_{BN} = \frac{k(x_2 - 2)}{x_2 + 2} \] 考虑 \( \angle ABM \) 和 \( \angle ABN \) 的切线斜率之和： \[ \tan(\angle ABM + \angle ABN) = \frac{\text{斜率}_{BM} - \text{斜率}_{BN}}{1 + \text{斜率}_{BM} \cdot \text{斜率}_{BN}} \] 由于 \( x_1 + x_2 = \frac{4k^2 + 2}{k^2} \) 和 \( x_1 x_2 = 4 \)，可以验证： \[ \text{斜率}_{BM} + \text{斜率}_{BN} = 0 \] 因此，\( \angle ABM = \angle ABN \)。 综上所述，我们证明了 \( \angle ABM = \angle ABN \)。<eoe> 【答案】\( \angle ABM = \angle ABN \) 得证。<eoa> |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| gpto1 | (1)【解析】 已知直线 \( l \) 过点 \( A(2,0) \) 且与 \( x \) 轴垂直，所以 \( l \) 的方程为 \( x=2 \)。 将 \( x=2 \) 代入抛物线方程 \( y^2=2x \)，得： \[ y^2=2 \times 2 \] \[ y^2=4 \] 解得： \[ y= \pm 2 \] 因此，直线 \( l \) 与抛物线 \( C \) 相交于点 \( M(2,2) \) 和点 \( N(2,-2) \)。 点 \( B(-2,0) \)，求直线 \( BM \) 的方程。 计算斜率： \[ k_{BM}=\frac{y_M - y_B}{x_M - x_B} = \frac{2 - 0}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 使用点斜式方程，得： \[ y - y_B = k_{BM}(x - x_B) \] \[ y - 0 = \frac{1}{2}(x + 2) \] 整理得： \[ y = \frac{1}{2}x + 1 \] <eoe> 【答案】 直线 \( BM \) 的方程为 \( y = \dfrac{1}{2}x + 1 \)。 <eoa> (2)【解析】 首先，计算直线 \( BA \)、\( BM \)、\( BN \) 的斜率。 直线 \( BA \) 的斜率： \[ k_{BA} = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{0 - 0}{2 - (-2)} = 0 \] 直线 \( BM \) 的斜率： \[ k_{BM} = \frac{y_M - y_B}{x_M - x_B} = \frac{2 - 0}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 直线 \( BN \) 的斜率： \[ k_{BN} = \frac{y_N - y_B}{x_N - x_B} = \frac{-2 - 0}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] 计算 \( \angle ABM \) 和 \( \angle ABN \) 的大小。 两直线的夹角公式： \[ \tan \theta = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| \] 对于 \( \angle ABM \)： \[ \tan \angle ABM = \left| \frac{k_{BM} - k_{BA}}{1 + k_{BA} k_{BM}} \right| = \left| \frac{\frac{1}{2} - 0}{1 + 0 \times \frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2} \] 对于 \( \angle ABN \)： \[ \tan \angle ABN = \left| \frac{k_{BN} - k_{BA}}{1 + k_{BA} k_{BN}} \right| = \left| \frac{ -\frac{1}{2} - 0 }{1 + 0 \times (-\frac{1}{2})} \right| = \frac{1}{2} \] 因此： \[ \tan \angle ABM = \tan \angle ABN \] 所以： \[ \angle ABM = \angle ABN \] <eoe> 【答案】 证明得 \( \angle ABM = \angle ABN \)。 <eoa> |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |
| deepseekv3 | (1)【解析】当直线 \( l \) 与 \( x \) 轴垂直时，其方程为 \( x = 2 \)。将 \( x = 2 \) 代入抛物线方程 \( y^2 = 2x \)，得到： \[ y^2 = 2 \times 2 \] \[ y^2 = 4 \] \[ y = \pm 2 \] 因此，直线 \( l \) 与抛物线 \( C \) 的交点为 \( M(2, 2) \) 和 \( N(2, -2) \)。 接下来，求直线 \( BM \) 的方程。点 \( B(-2, 0) \) 和点 \( M(2, 2) \) 的斜率为： \[ k = \frac{2 - 0}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 因此，直线 \( BM \) 的方程为： \[ y - 0 = \frac{1}{2}(x - (-2)) \] \[ y = \frac{1}{2}(x + 2) \] \[ y = \frac{1}{2}x + 1 \] <eoe> 【答案】直线 \( BM \) 的方程为 \( y = \frac{1}{2}x + 1 \)。<eoa> (2)【解析】设直线 \( l \) 的斜率为 \( k \)，其方程为 \( y = k(x - 2) \)。将其代入抛物线方程 \( y^2 = 2x \)，得到： \[ [k(x - 2)]^2 = 2x \] \[ k^2(x^2 - 4x + 4) = 2x \] \[ k^2x^2 - (4k^2 + 2)x + 4k^2 = 0 \] 设此方程的两个根为 \( x_M \) 和 \( x_N \)，则根据韦达定理： \[ x_M + x_N = \frac{4k^2 + 2}{k^2} = 4 + \frac{2}{k^2} \] \[ x_M x_N = \frac{4k^2}{k^2} = 4 \] 由于 \( A(2, 0) \)，\( B(-2, 0) \)，\( M(x_M, y_M) \)，\( N(x_N, y_N) \)，我们需要证明 \( \angle ABM = \angle ABN \)。 考虑向量 \( \overrightarrow{BM} = (x_M + 2, y_M) \) 和 \( \overrightarrow{BN} = (x_N + 2, y_N) \)，以及向量 \( \overrightarrow{AB} = (-4, 0) \)。 由于 \( y_M = k(x_M - 2) \) 和 \( y_N = k(x_N - 2) \)，且 \( x_M x_N = 4 \)，可以证明两角相等。因为 \( \angle ABM \) 和 \( \angle ABN \) 的正切值相等，即： \[ \tan \angle ABM = \frac{|y_M|}{x_M + 2} = \frac{|k(x_M - 2)|}{x_M + 2} \] \[ \tan \angle ABN = \frac{|y_N|}{x_N + 2} = \frac{|k(x_N - 2)|}{x_N + 2} \] 由于 \( x_M x_N = 4 \)，可以得到 \( \frac{x_M - 2}{x_M + 2} = -\frac{x_N - 2}{x_N + 2} \)，因此： \[ \tan \angle ABM = \tan \angle ABN \] 从而得出 \( \angle ABM = \angle ABN \)。 <eoe> 【答案】证明了 \( \angle ABM = \angle ABN \)。<eoa> |
解: (1) 当 1 与 $x$ 轴垂直时, $x=2$, 代入抛物线解得 $y= \pm 2$, 所以 $M(2,2)$ 或 $M(2,-2)$, 直线 BM 的方程: $y=\frac{1}{2} x+1$, 或: $y=-\frac{1}{2} x-1$. (2) 证明: 设直线 $\mid$ 的方程为 $1: x=t y+2, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 联立直线 I 与抛物线方程得 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 x \\ x=t y+2\end{array}\right.$, 消 $x$ 得 $y^{2}-2 t y-4=0$, 即 $y_{1}+y_{2}=2 t, y_{1} y_{2}=-4$, 则 $$ k_{B N}+k_{B M}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{\left(\frac{y_{2}^{2}}{2} \times y_{1}+\frac{y_{1}^{2}}{2} \times y_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}= $$ $$ \frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(\frac{y_{1} y_{2}}{2}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=0 $$ 所以直线 BN 与 $B M$ 的倾斜角互补, $\therefore \angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{ABN}$. |