| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | '(1)【解析】由题意知，等差数列的首项 \(a_1 = -7\)，且前三项的和 \(S_3 = -15\)。等差数列的前 \(n\) 项和公式为 \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\)，其中 \(d\) 是等差数列的公差。将 \(S_3 = -15\) 和 \(a_1 = -7\) 代入公式，得到 \(-15 = \frac{3}{2}[2(-7) + 2d]\)，从而可以解出公差 \(d\)。得到公差后，代入通项公式 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 即可得到通项公式。<eoe> 【答案】由 \(S_3 = -15\) 得 \(-15 = \frac{3}{2}[2(-7) + 2d]\)，解得 \(d = 2\)。因此，通项公式为 \(a_n = -7 + (n-1) \times 2 = 2n - 9\)。<eoa> (2)【解析】已知 \(a_1 = -7\)，\(d = 2\)，代入前 \(n\) 项和公式 \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\)，得到 \(S_n\) 的表达式。为求 \(S_n\) 的最小值，考虑到 \(S_n\) 是关于 \(n\) 的二次函数，且其开口向上（因为公差 \(d > 0\)），故最小值出现在顶点处。二次函数的顶点坐标公式为 \(n = -\frac{b}{2a}\)，将 \(S_n\) 的表达式转化为标准二次函数形式，解出顶点的 \(n\) 值，代入 \(S_n\) 表达式即可求得最小值。<eoe> 【答案】由 \(S_n = \frac{n}{2}[2(-7) + (n-1)2] = n^2 - 8n\)，其开口向上，顶点坐标为 \(n = -\frac{-8}{2 \times 1} = 4\)。将 \(n = 4\) 代入 \(S_n\) 的表达式中，得到 \(S_n\) 的最小值为 \(S_4 = 4^2 - 8 \times 4 = -16\)。<eoa>' |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| deepseekr1 | (1)【解析】 已知等差数列{aₙ}的首项a₁ = -7，前3项和S₃ = -15。等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中d为公差。利用前n项和公式Sₙ = n/2 [2a₁ + (n-1)d]，代入n=3得： S₃ = 3/2 [2*(-7) + 2d] = -15 化简得：3/2 (-14 + 2d) = -15 → -14 + 2d = -10 → d = 2 故通项公式为aₙ = -7 + 2(n-1) = 2n - 9 <eoe> 【答案】 （1）通项公式为$a_{n} = 2n - 9$ <eoa> (2)【解析】 等差数列前n项和的公式为$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$，代入a₁ = -7和d = 2得： $S_n = \frac{n}{2} [2(-7) + 2(n-1)] = \frac{n}{2} (2n - 16) = n(n - 8) = n^2 - 8n$ 该二次函数开口向上，最小值在顶点处，顶点横坐标为$n = -\frac{b}{2a} = \frac{8}{2} = 4$。验证n=4时的值： $S_4 = 4^2 - 8 \times 4 = -16$ 而$S_3 = 3^2 - 8 \times 3 = -15$，$S_5 = 5^2 - 8 \times 5 = -15$，故最小值为-16。 <eoe> 【答案】 （2）前n项和$S_n = n^2 - 8n$，最小值为$-16$ <eoa> |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| gpto1 | (1) 【解析】 已知首项 $a_1=-7$，等差数列的通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d$，其中 $d$ 是公差。 同时，给出了前 3 项和 $S_3=-15$。 计算 $S_3$： \[ S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 3a_1 + 3d \] 将已知值代入： \[ 3a_1 + 3d = -15 \] 因为 $a_1 = -7$，代入得： \[ 3 \times (-7) + 3d = -15 \\ -21 + 3d = -15 \] 解方程求 $d$： \[ 3d = -15 + 21 = 6 \\ d = \frac{6}{3} = 2 \] 因此，公差 $d=2$。 于是通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n - 1)d = -7 + (n - 1) \times 2 = -7 + 2n - 2 = 2n - 9 \] <eoe> 【答案】 (1) 数列的通项公式为 $a_n = 2n - 9$。<eoa> (2) 【解析】 求前 $n$ 项和 $S_n$。 利用通项公式： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k - 9) \] 拆分求和： \[ S_n = 2\sum_{k=1}^{n} k - 9n = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} - 9n = n(n+1) - 9n \] 化简： \[ S_n = n(n+1) - 9n = n^2 + n - 9n = n^2 - 8n \] 为了求 $S_n$ 的最小值，考虑函数 $S(n) = n^2 - 8n$。 将其配方： \[ S(n) = (n - 4)^2 - 16 \] 由此可见，当 $n=4$ 时，$S(n)$ 取得最小值 $-16$。 所以，$S_n$ 的最小值为 $-16$，当 $n=4$ 时取得。 <eoe> 【答案】 (2) 前 $n$ 项和为 $S_n = n^2 - 8n$，其最小值为 $-16$。<eoa> |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| GPT-4o | (1)【解析】 先利用等差数列的性质和已知条件求出公差 \( d \)。 等差数列的前 \( n \) 项和公式为： \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \] 已知 \( a_1 = -7 \) 和 \( S_3 = -15 \)，代入公式得： \[ S_3 = \frac{3}{2} (2a_1 + 2d) = \frac{3}{2} (2(-7) + 2d) = \frac{3}{2} (-14 + 2d) = \frac{3}{2} (-14 + 2d) = -21 + 3d \] 根据已知 \( S_3 = -15 \)，解方程： \[ -21 + 3d = -15 \] \[ 3d = 6 \] \[ d = 2 \] 所以，公差 \( d = 2 \)。 接下来求通项公式 \( a_n \)。 等差数列的通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] 代入已知 \( a_1 \) 和 \( d \) 的值： \[ a_n = -7 + (n-1) \cdot 2 \] \[ a_n = -7 + 2n - 2 \] \[ a_n = 2n - 9 \]<eoe> 【答案】\( a_n = 2n - 9 \)<eoa> (2)【解析】 先利用前 \( n \) 项和公式 \( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \) 求出 \( S_n \)。 根据已知 \( a_1 = -7 \) 和 \( d = 2 \)，代入公式： \[ S_n = \frac{n}{2} (2(-7) + (n-1) \cdot 2) \] \[ S_n = \frac{n}{2} (-14 + 2n - 2) \] \[ S_n = \frac{n}{2} (2n - 16) \] \[ S_n = n(n - 8) \] 为了求出 \( S_n \) 的最小值，考虑 \( S_n = n(n - 8) \) 是一个关于 \( n \) 的二次函数，开口向上。 二次函数 \( S_n = n(n - 8) \) 的顶点为： \[ n = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{2} = 4 \] 代入 \( n = 4 \) 计算 \( S_4 \)： \[ S_4 = 4(4 - 8) = 4(-4) = -16 \] 所以，\( S_n \) 的最小值为 -16。<eoe> 【答案】 \( S_n = n(n - 8) \)，\( S_n \) 的最小值为 -16<eoa> |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由题意,得a_{1}+a_{2}+a_{3}=-15,即-7+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)=-15,解得d=2,所以a_{n}=a_{1}+(n-1)d=-7+2(n-1)=2n-9.(2)由(1)得S_{n}=\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]=\frac{n}{2}[-14+2(n-1)]=n^{2}-8n,令t(n)=n^{2}-8n,则t'(n)=2n-8,当n=4时,t'(n)=0,此时t(n)=-16,即S_{n}的最小值为-16. 最终结果是(1)2*n-9 (2)n^2-8*n -16 |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)【解析】 因为a_{1}=-7,S_{3}=-15,所以-15=\frac{3}{2}[2\times(-7)+(3-1)d],解得d=2,所以a_{n}=-7+(n-1)\times2=-9+2n.<eoe> 【答案】a_{n}=-9+2n.<eoa> (2)【解析】 S_{n}=\frac{n}{2}[2\times(-7)+(n-1)\times2]=n(-7+n),令t=n^{2}-7n=n(n-7),当n=0或n=7时,t=0,当0<n<7时,t<0,当n>7时,t>0,所以当n=0或n=7时,S_{n}取得最小值0.<eoe> 【答案】S_{n}= |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们知道等差数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \\frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。题目给出了 $a_1 = -7$ 和 $S_3 = -15$。我们可以将这些值代入前 $n$ 项和公式来求解公差 $d$。\n\n代入 $n = 3$，$a_1 = -7$，$S_3 = -15$：\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (2(-7) + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2} (-14 + 2d)$\n\n$-15 = \\frac{3}{2}" | 解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】由题意知，等差数列的首项 $a_1=-7$，且前三项的和 $S_3=-15$。等差数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n=\\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$，其中 $d$ 是等差数列的公差。将 $S_3=-15$ 和 $a_1=-7$ 代入公式，得到 $-15=\\frac{3}{2}[2(-7)+2d]$，从而可以解出公差 $d$。得到公差后，代入通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 即可得到通项公式。<eoe>\n【答案】由 $S_3=-15$ 得 $-15=\\frac{3}{2}[2(-7)+2d]$，解得 $d=2$。因此，通项公式为 $a_n=-7+(n-1)\\times2=2n-9$。<eoa>\n\n(2)【解析】已知 $a_1=-7$，$d=2$，代入前 $n$ 项和公式 $S_n=\\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$，得到 $S_n$ 的表达式。为求 $S_n$ 的最小值，考虑到 $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数，且其开口向上（因为公差 $d>0$），故最小值出现在顶点处。二次函数的顶点坐标公式为 $n=-\\frac{b}{2a}$，将 $S_n$ 的表达式转化为标准二次函数形式，解出顶点的 $n$ 值，代入 $S_n$ 表达式即可求得最小值。<eoe>\n【答案】由 $S_n=\\frac{n}{2}[2(-7)+(n-1)2]=n^2-8n$，其开口向上，顶点坐标为 $n=-\\frac{-8}{2\\times1}=4$。将 $n=4$ 代入 $S_n$ 的表达式中，得到 $S_n$ 的最小值为 $S_4=4^2-8\\times4=-16$。<eoa>" | 解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| baichuan4 | (1)【解析】首先，我们知道等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。题目给出了 $a_1 = -7$，所以我们的任务是找到公差 $d$。 等差数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$。题目中给出 $S_3 = -15$，我们可以将 $n=3$，$a_1=-7$ 代入公式得到一个关于 $d$ 的方程： $$ -15 = \frac{3}{2} [2(-7) + 2d] $$ 解这个方程可得 $d$ 的值。 【答案】解方程得： $$ -15 = \frac{3}{2} [-14 + 2d] \Rightarrow -15 = -21 + 3d \Rightarrow 3d = 6 \Rightarrow d = 2 $$ 所以，等差数列的通项公式为 $a_n = -7 + 2(n-1)$，即 $a_n = 2n - 9$。 (2)【解析】现在我们已经知道了通项公式 $a_n = 2n - 9$，可以将其代入前 $n$ 项和的公式中求 $S_n$： $$ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2} [2(-7) + (n-1)2] = \frac{n}{2} [-14 + 2n - 2] = n^2 - 8n $$ 要求 $S_n$ 的最小值，我们可以通过完成平方来找到 $S_n$ 的最小值。 【答案】$S_n = n^2 - 8n = (n - 4)^2 - 16$，因此当 $n = 4$ 时，$S_n$ 取得最小值 $-16$。所以 $S_n$ 的最小值为 $-16$。 |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| doubao | (1)【解析】设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，则$S_3=3a_1+\frac{3\times(3-1)}{2}d$。已知$a_1=-7$，$S_3=-15$，可得到方程$3\times(-7)+\frac{3\times2}{2}d=-15$，解方程可得$d$的值，进而可求得通项公式。<eoe> 【答案】因为$S_3=3a_1+\frac{3\times(3-1)}{2}d$，$a_1=-7$，$S_3=-15$，所以$3\times(-7)+\frac{3\times2}{2}d=-15$，$3\times(-7)+3d=-15$，$-21+3d=-15$，$3d=-15+21$，$3d=6$，$d=2$。所以$a_n=a_1+(n-1)d=-7+(n-1)\times2=-7+2n-2=2n-9$。<eoa> (2)【解析】由等差数列前$n$项和公式$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$可求得$S_n$，将其化为关于$n$的二次函数形式，根据二次函数性质可求得最小值。<eoe> 【答案】$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=n\times(-7)+\frac{n(n-1)}{2}\times2=-7n+n(n-1)=n^2-8n$，$S_n=n^2-8n+16-16=(n-4)^2-16$，所以当$n=4$时，$S_n$取得最小值为$-16$。<eoa> |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| minimax | (1)【解析】 等差数列的前n项和公式为： \[ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] \] 其中，$a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。 已知 $a_1 = -7$ 和 $S_3 = -15$，我们可以将这些值代入前n项和的公式中，求出公差 $d$。 首先，将 $n = 3$ 代入前n项和的公式中，得到： \[ S_3 = \frac{3}{2} [2a_1 + 2d] = -15 \] \[ 3[-7 + d] = -15 \] \[ -21 + 3d = -15 \] \[ 3d = 6 \] \[ d = 2 \] 现在我们知道了公差 $d = 2$，我们可以写出等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式： \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] 将 $a_1 = -7$ 和 $d = 2$ 代入上式，得到： \[ a_n = -7 + (n-1) \cdot 2 \] \[ a_n = -7 + 2n - 2 \] \[ a_n = 2n - 9 \]<eoe> 【答案】 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为： \[ a_n = 2n - 9 \]<eoa> (2)【解析】 我们已经求出了等差数列的通项公式 $a_n = 2n - 9$，现在我们需要求出前n项和 $S_n$ 的公式。 等差数列的前n项和公式为： \[ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] \] 将通项公式中的 $a_1 = -7$ 和 $d = 2$ 代入，得到： \[ S_n = \frac{n}{2} [2(-7) + (n-1) \cdot 2] \] \[ S_n = \frac{n}{2} [-14 + 2n - 2] \] \[ S_n = \frac{n}{2} [2n - 16] \] \[ S_n = n(n - 8) \] \[ S_n = n^2 - 8n \] 为了求出 $S_n$ 的最小值，我们可以将 $S_n$ 看作是一个关于 $n$ 的二次函数 $f(n) = n^2 - 8n$。二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，其最小值在对称轴上，对称轴的公式为 $n = -\frac{b}{2a}$，其中 $a$ 是二次项系数，$b$ 是一次项系数。 在我们的函数中，$a = 1$，$b = -8$，所以对称轴为： \[ n = -\frac{-8}{2 \cdot 1} \] \[ n = 4 \] 因此，当 $n = 4$ 时，$S_n$ 取得最小值。将 $n = 4$ 代入 $S_n$ 的公式中，得到： \[ S_4 = 4^2 - 8 \cdot 4 \] \[ S_4 = 16 - 32 \] \[ S_4 = -16 \]<eoe> 【答案】 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前n项和 $S_n$ 的公式为： \[ S_n = n^2 - 8n \] $S_n$ 的最小值为 $-16$，当 $n = 4$ 时取得。<eoa> |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| kimi | (1)【解析】 首先，我们知道等差数列的前n项和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。 题目给出了$a_1 = -7$和$S_3 = -15$，我们可以将这些值代入前n项和公式中，得到： $S_3 = \frac{3}{2}(2(-7) + (3-1)d) = -15$ 接下来，我们解这个方程来求出公差$d$： $3(-14 + 2d) = -30$ $-42 + 6d = -30$ $6d = 12$ $d = 2$ 现在我们已经知道首项$a_1 = -7$和公差$d = 2$，我们可以写出等差数列的通项公式： $a_n = a_1 + (n-1)d = -7 + (n-1)2 = -7 + 2n - 2 = 2n - 9$ <eoe> 【答案】 $a_n = 2n - 9$<eoa> (2)【解析】 我们已经知道$a_1 = -7$和$d = 2$，现在我们可以求出$S_n$的公式： $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2(-7) + (n-1)2) = \frac{n}{2}(-14 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n - 16) = n^2 - 8n$ 为了找到$S_n$的最小值，我们可以将$S_n$看作一个关于n的二次函数，其开口向上（因为二次项系数为正），所以最小值出现在顶点处。二次函数的顶点公式为$n = -\frac{b}{2a}$，其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数。 在这个例子中，$a = 1$，$b = -8$，所以顶点的n值为： $n = -\frac{-8}{2*1} = 4$ 将n=4代入$S_n$的公式中，我们可以求得最小值： $S_4 = 4^2 - 8*4 = 16 - 32 = -16$ <eoe> 【答案】 $S_n = n^2 - 8n$，$S_n$的最小值为$-16$<eoa> |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| wenxinyiyan | (1)【解析】根据等差数列的性质，我们知道等差数列的通项公式为$a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$，其中$d$是公差。同时，等差数列的前n项和公式为$S_{n} = \frac{n}{2}(2a_{1} + (n - 1)d)$。根据题目给出的条件，我们有$a_{1} = -7$和$S_{3} = -15$。将$a_{1}$和$S_{3}$代入前n项和公式，我们可以得到一个关于$d$的方程，解这个方程我们可以得到公差$d$。然后，将$d$代入通项公式，我们就可以得到$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式。 【答案】设$\left\{ a_{n} \right\}$的公差为$d$，由等差数列的前n项和公式$S_{n} = \frac{n}{2}(2a_{1} + (n - 1)d)$，我们有$-15 = \frac{3}{2}(2(-7) + 2d)$，解这个方程我们得到$d = 2$。然后，将$d = 2$代入通项公式$a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$，我们得到$a_{n} = 2n - 9$。 (2)【解析】根据等差数列的前n项和公式$S_{n} = \frac{n}{2}(2a_{1} + (n - 1)d)$，我们可以将$a_{1} = -7$和$d = 2$代入公式，得到$S_{n}$的表达式。然后，我们可以通过观察$S_{n}$的表达式，找到使$S_{n}$取得最小值的$n$。 【答案】由等差数列的前n项和公式，我们有$S_{n} = \frac{n}{2}(2(-7) + (n - 1)2) = n^{2} - 8n = (n - 4)^{2} - 16$。由于$(n - 4)^{2}$的最小值为0，所以$S_{n}$的最小值为$-16$，当且仅当$n = 4$时取得。 |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们知道等差数列的前 \( n \) 项和 \( S_n \) 的公式为： \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \] 其中 \( a_1 \) 是首项，\( d \) 是公差。 已知 \( a_1 = -7 \) 和 \( S_3 = -15 \)，我们可以将这些值代入前 \( n \) 项和的公式中求解公差 \( d \)： \[ S_3 = \frac{3}{2} (2a_1 + 2d) = -15 \] 代入 \( a_1 = -7 \)： \[ \frac{3}{2} [2(-7) + 2d] = -15 \] \[ \frac{3}{2} (-14 + 2d) = -15 \] \[ 3(-7 + d) = -15 \] \[ -21 + 3d = -15 \] \[ 3d = 6 \] \[ d = 2 \] 现在我们知道了公差 \( d = 2 \)，可以写出等差数列的通项公式： \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] 代入 \( a_1 = -7 \) 和 \( d = 2 \)： \[ a_n = -7 + (n-1) \cdot 2 \] \[ a_n = -7 + 2n - 2 \] \[ a_n = 2n - 9 \] <eoe> 【答案】 \[ a_n = 2n - 9 \]<eoa> (2)【解析】 接下来，我们求等差数列的前 \( n \) 项和 \( S_n \) 的公式。已知 \( a_1 = -7 \) 和 \( d = 2 \)，我们使用前 \( n \) 项和的公式： \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \] 代入 \( a_1 = -7 \) 和 \( d = 2 \)： \[ S_n = \frac{n}{2} [2(-7) + (n-1) \cdot 2] \] \[ S_n = \frac{n}{2} [-14 + 2n - 2] \] \[ S_n = \frac{n}{2} (2n - 16) \] \[ S_n = n(n - 8) \] \[ S_n = n^2 - 8n \] 为了求 \( S_n \) 的最小值，我们可以将其表示为二次函数 \( S_n = n^2 - 8n \)，这是一个开口向上的抛物线，其最小值出现在顶点处。二次函数 \( f(n) = an^2 + bn + c \) 的顶点 \( n \) 坐标为： \[ n = -\frac{b}{2a} \] 在这里，\( a = 1 \)，\( b = -8 \)，所以： \[ n = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \] 将 \( n = 4 \) 代入 \( S_n \) 中求最小值： \[ S_4 = 4^2 - 8 \cdot 4 \] \[ S_4 = 16 - 32 \] \[ S_4 = -16 \] <eoe> 【答案】 \[ S_n = n^2 - 8n \] \[ S_n \text{ 的最小值为 } -16 \text{，当 } n = 4 \text{ 时取到最小值} \]<eoa> |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| gpto1 | (1) 【解析】 已知首项 $a_1=-7$，等差数列的通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d$，其中 $d$ 是公差。 同时，给出了前 3 项和 $S_3=-15$。 计算 $S_3$： \[ S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 3a_1 + 3d \] 将已知值代入： \[ 3a_1 + 3d = -15 \] 因为 $a_1 = -7$，代入得： \[ 3 \times (-7) + 3d = -15 \\ -21 + 3d = -15 \] 解方程求 $d$： \[ 3d = -15 + 21 = 6 \\ d = \frac{6}{3} = 2 \] 因此，公差 $d=2$。 于是通项公式为： \[ a_n = a_1 + (n - 1)d = -7 + (n - 1) \times 2 = -7 + 2n - 2 = 2n - 9 \] <eoe> 【答案】 (1) 数列的通项公式为 $a_n = 2n - 9$。<eoa> (2) 【解析】 求前 $n$ 项和 $S_n$。 利用通项公式： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k - 9) \] 拆分求和： \[ S_n = 2\sum_{k=1}^{n} k - 9n = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} - 9n = n(n+1) - 9n \] 化简： \[ S_n = n(n+1) - 9n = n^2 + n - 9n = n^2 - 8n \] 为了求 $S_n$ 的最小值，考虑函数 $S(n) = n^2 - 8n$。 将其配方： \[ S(n) = (n - 4)^2 - 16 \] 由此可见，当 $n=4$ 时，$S(n)$ 取得最小值 $-16$。 所以，$S_n$ 的最小值为 $-16$，当 $n=4$ 时取得。 <eoe> 【答案】 (2) 前 $n$ 项和为 $S_n = n^2 - 8n$，其最小值为 $-16$。<eoa> |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |
| deepseekv3 | (1)【解析】 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1 = -7$，前 $n$ 项和记为 $S_n$，且 $S_3 = -15$。 首先，等差数列的前 $n$ 项和公式为： $$ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) $$ 其中 $a_n$ 是第 $n$ 项，等差数列的通项公式为： $$ a_n = a_1 + (n-1)d $$ 其中 $d$ 为公差。 根据 $S_3 = -15$，我们可以列出方程： $$ -15 = \frac{3}{2} (a_1 + a_3) $$ 将 $a_1 = -7$ 代入，并利用通项公式求 $a_3$： $$ a_3 = a_1 + 2d = -7 + 2d $$ 因此，方程变为： $$ -15 = \frac{3}{2} (-7 + (-7 + 2d)) = \frac{3}{2} (-14 + 2d) = \frac{3}{2} \times (-14) + \frac{3}{2} \times 2d = -21 + 3d $$ 解这个方程： $$ -15 = -21 + 3d \\ 3d = 6 \\ d = 2 $$ 现在，我们得到了公差 $d = 2$，因此通项公式为： $$ a_n = a_1 + (n-1)d = -7 + (n-1) \times 2 = -7 + 2n - 2 = 2n - 9 $$ <eoe> 【答案】 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = 2n - 9$。 <eoa> (2)【解析】 接下来，我们求前 $n$ 项和 $S_n$ 并求其最小值。 前 $n$ 项和公式为： $$ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) $$ 我们已经知道 $a_1 = -7$，$a_n = 2n - 9$，代入得： $$ S_n = \frac{n}{2} (-7 + 2n - 9) = \frac{n}{2} (2n - 16) = n(n - 8) = n^2 - 8n $$ 为了求 $S_n$ 的最小值，我们可以将 $S_n$ 表示为一个二次函数： $$ S_n = n^2 - 8n $$ 这是一个开口向上的抛物线，其最小值出现在顶点处。顶点的横坐标为： $$ n = \frac{8}{2} = 4 $$ 因此，当 $n = 4$ 时，$S_n$ 取得最小值。计算 $S_4$： $$ S_4 = 4^2 - 8 \times 4 = 16 - 32 = -16 $$ <eoe> 【答案】 $S_n = n^2 - 8n$，$S_n$ 的最小值为 $-16$。 <eoa> |
解: (1) $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, $\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$, $\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$ (2) $\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, $\therefore S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(2 n^{2}-16 n\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$, $\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 . |