| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们将曲线 \( C \) 的参数方程转换为直角坐标方程。曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ y = \frac{4t}{1 + t^2} \end{array} \right. \] 我们可以通过消去参数 \( t \) 来找到 \( x \) 和 \( y \) 之间的关系。首先，注意到： \[ x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \quad \text{和} \quad y = \frac{4t}{1 + t^2} \] 我们可以将 \( x \) 和 \( y \) 进行平方和相加： \[ x^2 + y^2 = \left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right)^2 + \left( \frac{4t}{1 + t^2} \right)^2 \] 计算： \[ x^2 = \left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right)^2 = \frac{(1 - t^2)^2}{(1 + t^2)^2} \] \[ y^2 = \left( \frac{4t}{1 + t^2} \right)^2 = \frac{16t^2}{(1 + t^2)^2} \] 因此： \[ x^2 + y^2 = \frac{(1 - t^2)^2 + 16t^2}{(1 + t^2)^2} \] 展开并简化分子： \[ (1 - t^2)^2 + 16t^2 = 1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2 = 1 + 14t^2 + t^4 \] 所以： \[ x^2 + y^2 = \frac{1 + 14t^2 + t^4}{(1 + t^2)^2} = 1 \] 因此，曲线 \( C \) 的直角坐标方程为： \[ x^2 + y^2 = 1 \] 接下来，我们将直线 \( l \) 的极坐标方程转换为直角坐标方程。直线 \( l \) 的极坐标方程为： \[ 2 \rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0 \] 将极坐标方程转换为直角坐标方程，使用 \( \rho \cos \theta = x \) 和 \( \rho \sin \theta = y \)，得到： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \] 因此，直线 \( l \) 的直角坐标方程为： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \] <eoe> 【答案】 曲线 \( C \) 的直角坐标方程为 \( x^2 + y^2 = 1 \)。 直线 \( l \) 的直角坐标方程为 \( 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \)。 <eoa> (2)【解析】 我们需要求曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的距离的最小值。曲线 \( C \) 的方程为 \( x^2 + y^2 = 1 \)，这是一个单位圆。直线 \( l \) 的方程为 \( 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \)。 首先，计算直线 \( l \) 到原点 \( (0, 0) \) 的距离： \[ d = \frac{|2 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 0 + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{11}{\sqrt{4 + 3}} = \frac{11}{\sqrt{7}} \] 由于单位圆的半径为 1，圆心到直线的距离为 \( \frac{11}{\sqrt{7}} \)，因此圆上点到直线的最小距离为： \[ \text{最小距离} = \frac{11}{\sqrt{7}} - 1 \] 化简： \[ \text{最小距离} = \frac{11 - \sqrt{7}}{\sqrt{7}} \] 因此，曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的距离的最小值为： \[ \frac{11 - \sqrt{7}}{\sqrt{7}} \] <eoe> 【答案】 曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的距离的最小值为 \( \frac{11 - \sqrt{7}}{\sqrt{7}} \)。 <eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| deepseekr1 | (1)【解析】 对于曲线C的参数方程： \[ \begin{cases} x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2} \\ y = \dfrac{4t}{1 + t^2} \end{cases} \] 计算x²和(y/2)²： \[ x^2 = \left(\dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}\right)^2, \quad \left(\dfrac{y}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{4t}{2(1 + t^2)}\right)^2 = \dfrac{4t^2}{(1 + t^2)^2} \] 相加得： \[ x^2 + \left(\dfrac{y}{2}\right)^2 = \dfrac{(1 - t^2)^2 + 4t^2}{(1 + t^2)^2} = \dfrac{1 + 2t^2 + t^4}{(1 + t^2)^2} = 1 \] 故曲线C的直角坐标方程为： \[ x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1 \] 直线l的极坐标方程为： \[ 2\rho\cos\theta + \sqrt{3}\rho\sin\theta + 11 = 0 \] 转换为直角坐标系： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \] <eoe> 【答案】 (1) 曲线C的直角坐标方程为\( x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1 \)，直线l的直角坐标方程为\( 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \)。 <eoa> (2)【解析】 曲线C上的点可表示为\( \left(\dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \dfrac{4t}{1 + t^2}\right) \)。点到直线\( 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \)的距离公式为： \[ d(t) = \dfrac{\left|2x + \sqrt{3}y + 11\right|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \dfrac{\left|2x + \sqrt{3}y + 11\right|}{\sqrt{7}} \] 代入参数表达式后化简分子： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = \dfrac{9t^2 + 4\sqrt{3}t + 13}{1 + t^2} \] 由于分子\( 9t^2 + 4\sqrt{3}t + 13 \)的判别式\( \Delta = -420 < 0 \)，故分子恒正。距离简化为： \[ d(t) = \dfrac{9t^2 + 4\sqrt{3}t + 13}{\sqrt{7}(1 + t^2)} \] 设\( f(t) = \dfrac{9t^2 + 4\sqrt{3}t + 13}{1 + t^2} \)，通过判别式法求得其最小值为7。此时对应\( t = -\sqrt{3} \)，代入得点\( \left(-\dfrac{1}{2}, -\sqrt{3}\right) \)，验证距离为： \[ d_{\text{min}} = \dfrac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7} \] <eoe> 【答案】 (2) 曲线C到直线l的最小距离为\( \sqrt{7} \)。 <eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| gpto1 | (1)【解析】 第一步，求曲线 \( C \) 的直角坐标方程。 给定参数方程： \[ \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ y=\dfrac{4 t}{1 + t^2} \end{array} \right. \] 令 \( t = \tan \theta \)，其中 \( \theta \) 为实数。 则 \[ x = \dfrac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos 2\theta, \] \[ y = \dfrac{4 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \dfrac{4 \tan \theta}{\sec^2 \theta} = 4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin 2\theta. \] 因此有： \[ x = \cos 2\theta,\quad y = 2 \sin 2\theta. \] 根据三角恒等式： \[ x^2 + \left( \dfrac{y}{2} \right)^2 = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1. \] 所以，曲线 \( C \) 的直角坐标方程为： \[ x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1. \] 第二步，求直线 \( l \) 的直角坐标方程。 已知直线 \( l \) 的极坐标方程： \[ 2\rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0. \] 利用极坐标与直角坐标的转换关系： \[ x = \rho \cos \theta,\quad y = \rho \sin \theta. \] 代入得： \[ 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0. \] 因此，直线 \( l \) 的直角坐标方程为： \[ 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0. \] <eoe> 【答案】 (1) 曲线 \( C \) 的直角坐标方程为：\( x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1 \)。 直线 \( l \) 的直角坐标方程为：\( 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0 \)。 <eoa> (2)【解析】 求曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的最小距离。 设曲线 \( C \) 上任意一点为 \( (x, y) \)，满足： \[ x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1. \] 点 \( (x, y) \) 到直线 \( l \) 的距离为： \[ d = \dfrac{|2x + \sqrt{3} y + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \dfrac{|2x + \sqrt{3} y + 11|}{\sqrt{7}}. \] 为使距离 \( d \) 最小，需要使分子 \( |2x + \sqrt{3} y + 11| \) 最小。 利用拉格朗日乘数法，构建函数： \[ L(x, y, \lambda) = |2x + \sqrt{3} y + 11|^2 + \lambda \left( x^2 + \dfrac{y^2}{4} - 1 \right). \] 由于绝对值对平方没有影响，可将目标函数化为： \[ f(x, y) = (2x + \sqrt{3} y + 11)^2. \] 计算偏导数并令其为零： \[ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\partial f}{\partial x} = 2(2x + \sqrt{3} y + 11) \cdot 2 + 2\lambda x = 0, \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 2(2x + \sqrt{3} y + 11) \cdot \sqrt{3} + 2\lambda \dfrac{y}{4} = 0, \\ x^2 + \dfrac{y^2}{4} - 1 = 0. \end{array} \right. \] 化简得： \[ \left\{ \begin{array}{l} 4(2x + \sqrt{3} y + 11) + 2\lambda x = 0, \\ 2\sqrt{3}(2x + \sqrt{3} y + 11) + \dfrac{\lambda y}{2} = 0, \\ x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1. \end{array} \right. \] 设 \( S = 2x + \sqrt{3} y + 11 \)，则： \[ \left\{ \begin{array}{l} 4S + 2\lambda x = 0, \\ 2\sqrt{3} S + \dfrac{\lambda y}{2} = 0. \end{array} \right. \] 消去 \( \lambda \)： \[ \dfrac{2S}{x} = \dfrac{4\sqrt{3} S}{y}, \] 即： \[ \dfrac{1}{x} = \dfrac{2\sqrt{3}}{y}, \] 因此： \[ y = 2\sqrt{3} x. \] 将其代入曲线方程： \[ x^2 + \dfrac{(2\sqrt{3} x)^2}{4} = 1, \] 计算得： \[ x^2 + 3x^2 = 1 \Rightarrow 4x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm \dfrac{1}{2}. \] 对应的 \( y \) 值： \[ y = 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \sqrt{3},\quad y = 2\sqrt{3} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) = -\sqrt{3}. \] 计算对应的距离： \[ d = \dfrac{|2x + \sqrt{3} y + 11|}{\sqrt{7}}. \] 当 \( x = \dfrac{1}{2}, y = \sqrt{3} \) 时： \[ d = \dfrac{|2 \times \dfrac{1}{2} + \sqrt{3} \times \sqrt{3} + 11|}{\sqrt{7}} = \dfrac{|1 + 3 + 11|}{\sqrt{7}} = \dfrac{15}{\sqrt{7}}. \] 当 \( x = -\dfrac{1}{2}, y = -\sqrt{3} \) 时： \[ d = \dfrac{|2 \times \left( -\dfrac{1}{2} \right) + \sqrt{3} \times (-\sqrt{3}) + 11|}{\sqrt{7}} = \dfrac{|-1 - 3 +11|}{\sqrt{7}} = \dfrac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}. \] 因此，最小距离为 \( \sqrt{7} \)。 <eoe> 【答案】 (2) 曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的最小距离为 \( \sqrt{7} \)。 <eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| GPT-4o | (1)【解析】 首先，将曲线 $C$ 的参数方程转换为直角坐标方程。 曲线 $C$ 的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ y = \frac{4t}{1 + t^2} \end{array}\right. \] 将 $x$ 和 $y$ 进行转换，消去参数 $t$。由 $x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ 可以得到 $t^2 = \frac{1 - x}{1 + x}$。然后将其代入 $y = \frac{4t}{1 + t^2}$ 中： \[ y = \frac{4t}{1 + t^2} = \frac{4t}{1 + \frac{1 - x}{1 + x}} = \frac{4t (1 + x)}{(1 + x) + (1 - x)} = \frac{4t (1 + x)}{2} = 2t (1 + x) \] 又因为 $t = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$，所以： \[ y = 2 \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} (1 + x) \] 因此，曲线 $C$ 的直角坐标方程可以表示为： \[ y = 2 \sqrt{(1 - x)(1 + x)} = 2 \sqrt{1 - x^2} \] 接下来，将直线 $l$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。直线 $l$ 的极坐标方程为： \[ 2 \rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0 \] 将极坐标方程转换为直角坐标方程，使用 $\rho \cos \theta = x$ 和 $\rho \sin \theta = y$： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \] 整理得到直线 $l$ 的直角坐标方程为： \[ 2x + \sqrt{3}y = -11 \] <eoe> 【答案】曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $y = 2 \sqrt{1 - x^2}$，直线 $l$ 的直角坐标方程为 $2x + \sqrt{3}y = -11$。<eoa> (2)【解析】 求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值。 曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $y = 2 \sqrt{1 - x^2}$。任取曲线 $C$ 上一点 $(x, 2 \sqrt{1 - x^2})$，计算该点到直线 $2x + \sqrt{3}y = -11$ 的距离。 点 $(x_0, y_0)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离公式为： \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] 对于直线 $2x + \sqrt{3}y + 11 = 0$，$A = 2$，$B = \sqrt{3}$，$C = 11$。点 $(x, 2 \sqrt{1 - x^2})$ 到该直线的距离为： \[ d = \frac{|2x + \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{1 - x^2} + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|2x + 2\sqrt{3} \sqrt{1 - x^2} + 11|}{\sqrt{4 + 3}} = \frac{|2x + 2\sqrt{3} \sqrt{1 - x^2} + 11|}{\sqrt{7}} \] 要使距离 $d$ 最小，需要使分子 $|2x + 2\sqrt{3} \sqrt{1 - x^2} + 11|$ 最小，由于绝对值函数最小值为 $0$，所以需要解方程： \[ 2x + 2\sqrt{3} \sqrt{1 - x^2} + 11 = 0 \] 解这个方程： \[ |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】先将曲线C的参数方程化为直角坐标方程,再将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程.由\begin{cases}x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\y=\frac{4t}{1+t^{2}}\end{cases},得x^{2}+y^{2}=1,所以曲线C的直角坐标方程为x^{2}+y^{2}=1,即C为以原点为圆心,1为半径的圆.由2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0,得2x+\sqrt{3}y+11=0,所以直线l的直角坐标方程为2x+\sqrt{3}y+11=0. 最终结果是x^2+y^2=1 2*x+sqrt(3)*y+11=0 (2)【解析】由(1)知,曲线C为以原点为圆心,1为半径的圆,直线l的直角坐标方程为2x+\sqrt{3}y+11=0,即直线l的方程为y=-\frac{2}{\sqrt{3}}x-\frac{11}{\sqrt{3}}所以直线l的斜率为k=-\frac{2}{\sqrt{3}},所以直线l的倾斜角为\alpha=\arctan(-\frac{2}{\sqrt{3}})=-\frac{\pi}{6}所以直线l的法线的倾斜角为\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha=\frac{2\pi}{3}所以直线l的法线的斜率为k_{1}=\tan\beta=-\sqrt{3}所以直线l的法线的方程为y=-\sqrt{3}x+m,由\begin{cases}y=-\sqrt{3}x+m\\2x+\sqrt{3}y+11=0\end{cases},得m=-\frac{11}{\sqrt{3}}所以直线l的法线的方程为y=-\sqrt{3}x-\frac{11}{\sqrt{3}}所以直线l的法线过点(-\frac{11}{2\sqrt{3}},0),所以直线l的法线与x轴的交点为(-\frac{11}{2\sqrt{3}},0)所以点(-\frac{11}{2\sqrt{3}},0)到直线l的距离为d=\frac{|2\times(-\frac{11}{2\sqrt{3}})+\sqrt{3}\times0+11|}{\sqrt{2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}=\frac{11}{2}所以C上点到直线l的距离的最小值为\frac{1}{2}. 最终结果是1/2 |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由题意,曲线C的参数方程为\begin{cases}x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\y=\frac{4t}{1+t^{2}}\end{cases},消去参数t得x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=1(y\geqslant0),即曲线C的直角坐标方程为x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=1(y\geqslant0)由题意,直线l的极坐标方程为2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0,化为直角坐标方程得2x+\sqrt{3}y+11=0(2)由题意,曲线C的直角坐标方程为x^{2}+\frac{y |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】首先，我们需要将曲线 $C$ 的参数方程转换为直角坐标方程。给定的参数方程为：\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nx=\\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\\\\ny=\\frac{4 t}{1+t^{2}}\n\\end{array}\\right.\n\\]\n我们可以通过消去参数 $t$ 来得到 $x$ 和 $y$ 之间的关系。首先，我们将 $x$ 和 $y$ 的表达式平方并相加：\n\\[\nx^2 = \\left(\\frac{1-t^2}{1+t^2}\\right)^2, \\quad y^2 = \\left(\\frac{4t}{1+t^2}\\right)^2\n\\]\n\\[\nx^2 = \\frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}, \\quad y^2 = \\frac{16t^2}{(1+t^2)^2}\n\\]\n将这两个表达式相加：\n\\[\nx^2 + y^2 = \\frac{(1-t^2)^2 + 16t^2}{(1+t^2)^2}\n\\]\n\\[\nx^2 + y^2 = \\frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2}{(1+t^2)^2}\n\\]\n\\[\nx^2 + y^2 = \\frac{1 + 14t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}\n\\]\n\\[\nx^2 + y^2 = \\frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 1\n\\]\n因此，曲线 $C$ 的直角坐标方程为：\n\\[\nx^2 + y^2 = 1\n\\]\n\n接下来，我们将直线 $l$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。给定的极坐标方程为：\n\\[\n2 \\rho \\cos \\theta + \\sqrt{3} \\rho \\sin \\theta + 11 = 0\n\\]\n我们知道 $\\rho \\cos \\theta = x$ 和 $\\rho \\sin \\theta = y$，因此可以将极坐标方程转换为：\n\\[\n2x + \\sqrt{3}y + 11 = 0\n\\]\n这就是直线 $l$ 的直角坐标方程。\n<eoe>\n【答案】\n曲线 $C$ 的直角坐标方程为：\n\\[\nx^2 + y^2 = 1\n\\]\n直线 $l$ 的直角坐标方程为：\n\\[\n2x + \\sqrt{3}y + 11 = 0\n\\]\n<eoa>\n\n(2)【解析】我们需要求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值。曲线 $C$ 上的点可以表示为 $(x, y)$，其中 $x = \\frac{1-t^2}{1+t^2}$ 和 $y = \\frac{4t}{1+t^2}$。直线 $l$ 的方程为 $2x + \\sqrt{3}y + 11 = 0$。\n\n点 $(x_0, y_0)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离公式为：\n\\[\nd = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\n\\]\n在这里，$A = 2$，$B = \\sqrt{3}$，$C = 11$，$(x_0, y_0) = \\left(\\frac{1-t^2}{1+t^2}, \\frac{4t}{1+t^2}\\right)$。代入公式得到：\n\\[\nd = \\frac{|2 \\cdot \\frac{1-t^2}{1+t^2} + \\sqrt{3} \\cdot \\frac{4t}{1+t^2} + 11|}{\\sqrt{2^2 + (\\sqrt{3})^2}}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{|2 \\cdot \\frac{1-t^2}{1+t^2} + \\sqrt{3} \\cdot \\frac{4t}{1+t^2} + 11|}{\\sqrt{4 + 3}}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{|2 \\cdot \\frac{1-t^2}{1+t^2} + \\sqrt{3} \\cdot \\frac{4t}{1+t^2} + 11|}{\\sqrt{7}}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{|2(1-t^2) + \\sqrt{3} \\cdot 4t + 11(1+t^2)|}{\\sqrt{7}(1+t^2)}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{|2 - 2t^2 + 4\\sqrt{3}t + 11 + 11t^2|}{\\sqrt{7}(1+t^2)}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{|13 + 9t^2 + 4\\sqrt{3}t|}{\\sqrt{7}(1+t^2)}\n\\]\n\n为了使距离最小，我们需要最小化分子 $|13 + 9t^2 + 4\\sqrt{3}t|$。由于 $13 + 9t^2 + 4\\sqrt{3}t$ 是一个关于 $t$ 的二次函数，其最小值出现在 $t = -\\frac{2\\sqrt{3}}{9}$。代入 $t = -\\frac{2\\sqrt{3}}{9}$ 计算最小距离：\n\\[\nd = \\frac{|13 + 9\\left(-\\frac{2\\sqrt{3}}{9}\\right)^2 + 4\\sqrt{3}\\left(-\\frac{2\\sqrt{3}}{9}\\right)|}{\\sqrt{7}(1+\\left(-\\frac{2\\sqrt{3}}{9}\\right)^2)}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{|13 + 9 \\cdot \\frac{4 \\cdot 3}{81} - \\frac{8 \\cdot 3}{9}|}{\\sqrt{7}(1 + \\frac{4 \\cdot 3}{81})}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{|13 + \\frac{12}{9} - \\frac{24}{9}|}{\\sqrt{7}(1 + \\frac{12}{81})}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{|13 - \\frac{12}{9}|}{\\sqrt{7}(1 + \\frac{4}{27})}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{|13 - \\frac{4}{3}|}{\\sqrt{7} \\cdot \\frac{31}{27}}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{|39 - 4|}{3\\sqrt{7}}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{35}{3\\sqrt{7}}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{35}{3\\sqrt{7}} \\cdot \\frac{\\sqrt{7}}{\\sqrt{7}}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{35\\sqrt{7}}{21}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{5\\sqrt{7}}{3}\n\\]\n\n因此，曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\\frac{5\\sqrt{7}}{3}$。\n<eoe>\n【答案】\n\\[\n\\frac{5\\sqrt{7}}{3}\n\\]\n<eoa>" | 【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 首先，我们要从参数方程 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\\\ y=\\frac{4 t}{1+t^{2}}\\end{array}\\right.$ 中消去参数 $t$，从而得到曲线 $C$ 的直角坐标方程。接着，将直线 $l$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。\n\n对于曲线 $C$ 的参数方程，我们可以通过代数操作消去参数 $t$。观察到 $x$ 和 $y$ 的表达式中都含有 $1+t^2$ 的分母，我们可以通过计算 $x^2$ 和 $y^2$ 的和来尝试消去参数 $t$。具体操作如下：\n\n$x^2 = \\left(\\frac{1-t^2}{1+t^2}\\right)^2 = \\frac{1-2t^2+t^4}{1+2t^2+t^4}$\n\n$y^2 = \\left(\\frac{4t}{1+t^2}\\right)^2 = \\frac{16t^2}{1+2t^2+t^4}$\n\n$x^2 + y^2 = \\frac{1-2t^2+t^4+16t^2}{1+2t^2+t^4} = \\frac{1+14t^2+t^4}{1+2t^2+t^4} = 1 + \\frac{12t^2}{1+2t^2+t^4}$\n\n注意到分母 $1+2t^2+t^4 = (1+t^2)^2$，我们可以进一步化简上式：\n\n$x^2 + y^2 = 1 + \\frac{12t^2}{(1+t^2)^2} = 1 + \\frac{12}{1+t^2} - 12 = \\frac{12}{1+t^2} - 11$\n\n但是，我们的目标是消去参数 $t$，我们注意到 $x$ 的表达式中 $t$ 的形式，即 $\\frac{1-t^2}{1+t^2}$，这看起来像是 $\\cos 2\\alpha$ 的形式，而 $y$ 的表达式中 $t$ 的形式，即 $\\frac{4t}{1+t^2}$，这看起来像是 $2\\sin \\alpha \\cos \\alpha = \\sin 2\\alpha$ 的形式。因此，我们可以假设 $x = \\cos 2\\alpha$，$y = \\sin 2\\alpha$。这样，我们有：\n\n$x^2 + y^2 = \\cos^2 2\\alpha + \\sin^2 2\\alpha = 1$\n\n因此，曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2 + y^2 = 1$。\n\n接下来，将直线 $l$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。利用 $\\rho = \\sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $\\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right)$ 的关系，我们有：\n\n$2 \\rho \\cos \\theta + \\sqrt{3} \\rho \\sin \\theta + 11 = 0$\n\n将 $\\cos \\theta = \\frac{x}{\\rho}$ 和 $\\sin \\theta = \\frac{y}{\\rho}$ 代入上式，得：\n\n$2x + \\sqrt{3}y + 11 = 0$\n\n因此，直线 $l$ 的直角坐标方程为 $2x + \\sqrt{3}y + 11 = 0$。<eoe>\n\n【答案】\n曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2 + y^2 = 1$；直线 $l$ 的直角坐标方程为 $2x + \\sqrt{3}y + 11 = 0$。<eoa>\n\n(2)【解析】 求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值，我们可以利用点到直线的距离公式。给定直线 $Ax + By + C = 0$ 和点 $(x_0, y_0)$，点到直线的距离 $d$ 可以用公式 $d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}$ 计算。对于本题，直线 $l$ 的方程为 $2x + \\sqrt{3}y + 11 = 0$，而曲线 $C$ 上的点满足 $x^2 + y^2 = 1$。我们的目标是最小化 $d = \\frac{|2x + \\sqrt{3}y + 11|}{\\sqrt{2^2 + (\\sqrt{3})^2}}$。考虑到 $x^2 + y^2 = 1$，我们可以利用拉格朗日乘数法或直接分析几何关系来求解。但是，最直接的方法是观察到 $C$ 是一个单位圆，而 $l$ 是一条直线，我们只需要找到圆心到直线的垂线距离，然后减去半径即可得到所求的最小距离。\n\n直线 $l$ 的方程为 $2x + \\sqrt{3}y + 11 = 0$，圆心为 $(0, 0)$。因此，圆心到直线的距离 $d$ 可以用公式 $d = \\frac{|2*0 + \\sqrt{3}*0 + 11|}{\\sqrt{2^2 + (\\sqrt{3})^2}} = \\frac{11}{\\sqrt{4 + 3}} = \\frac{11}{\\sqrt{7}}$。由于圆的半径为 $1$，因此曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的最小距离为 $d - 1 = \\frac{11}{\\sqrt{7}} - 1$。<eoe>\n\n【答案】\n曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的最小距离为 $\\frac{11}{\\sqrt{7}} - 1$。<eoa>" | 【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| baichuan4 | (1)【解析】首先，我们需要将曲线 $C$ 的参数方程转换为直角坐标方程。给定的参数方程是： $$ \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}} \end{array} \right. $$ 我们可以通过消去参数 $t$ 来得到 $x$ 和 $y$ 之间的关系。首先，我们解出 $t$： $$ y = \frac{4t}{1+t^2} \Rightarrow t = \frac{y}{4} \cdot \frac{1+t^2}{t} = \frac{y(1+t^2)}{4t} $$ 将 $t$ 的表达式代入 $x$ 的方程中： $$ x = \frac{1-(\frac{y(1+t^2)}{4t})^2}{1+(\frac{y(1+t^2)}{4t})^2} $$ 通过化简，我们可以得到 $x$ 和 $y$ 之间的关系式。但是，这个过程可能比较复杂，我们可以使用另一种方法来消去参数 $t$。 注意到 $x$ 和 $y$ 的表达式中都包含了 $1+t^2$，我们可以将两个方程相乘，得到： $$ x \cdot y = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \cdot \frac{4 t}{1+t^{2}} = \frac{4t - 4t^3}{(1+t^2)^2} $$ 这个表达式仍然包含参数 $t$，但是我们可以通过观察发现，当 $t=1$ 时，$x=0$，$y=2$；当 $t=-1$ 时，$x=0$，$y=-2$。这意味着 $x$ 和 $y$ 之间的关系是一条过原点的直线，其斜率为 $-2$。因此，曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $y = -2x$。 接下来，我们将直线 $l$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。给定的极坐标方程是： $$ 2 \rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0 $$ 我们知道极坐标和直角坐标之间的关系是 $x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$。将这些关系代入上面的方程，我们得到： $$ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 $$ 这就是直线 $l$ 的直角坐标方程。 【答案】曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $y = -2x$，直线 $l$ 的直角坐标方程为 $2x + \sqrt{3}y + 11 = 0$。 (2)【解析】要求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 距离的最小值，我们可以使用点到直线的距离公式： $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$ 其中，$(x_0, y_0)$ 是曲线上任一点的坐标，$Ax + By + C = 0$ 是直线的方程。 由于曲线 $C$ 的方程是 $y = -2x$，我们可以将 $y$ 用 $-2x$ 替换，得到： $$ d = \frac{|2x + \sqrt{3}(-2x) + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|-2\sqrt{3}x + 11|}{\sqrt{4 + 3}} = \frac{|-2\sqrt{3}x + 11|}{\sqrt{7}} $$ 为了使距离最小，我们需要使分子中的绝对值最小。由于 $-2\sqrt{3}x + 11$ 是一个线性函数，它的最小值发生在 $x$ 取最大或最小值时。由于曲线 $C$ 是一个过原点的直线，$x$ 的取值范围是 $(-\infty, \infty)$。因此，我们需要找到 $-2\sqrt{3}x + 11$ 的零点，即： $$ -2\sqrt{3}x + 11 = 0 \Rightarrow x = \frac{11}{2\sqrt{3}} $$ 将这个 $x$ 值代入曲线 $C$ 的方程 $y = -2x$，我们得到： $$ y = -2 \cdot \frac{11}{2\sqrt{3}} = -\frac{11}{\sqrt{3}} $$ 现在我们有了最小距离对应的点的坐标 $(\frac{11}{2\sqrt{3}}, -\frac{11}{\sqrt{3}})$，我们可以计算最小距离： $$ d_{\text{min}} = \frac{|-2\sqrt{3} \cdot \frac{11}{2\sqrt{3}} + 11|}{\sqrt{7}} = \frac{|-11 + 11|}{\sqrt{7}} = 0 $$ 但是，这个结果表明最小距离为零，这是不可能的，因为我们要求的是曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离。这意味着我们在计算过程中犯了错误。我们应该在找到最小距离对应的 $x$ 值后，将其代入点到直线的距离公式中，而不是曲线 $C$ 的方程。因此，正确的最小距离应该是： $$ d_{\text{min}} = \frac{|2 \cdot \frac{11}{2\sqrt{3}} + \sqrt{3} \cdot 0 + 11|}{\sqrt{7}} = \frac{|11 + 11|}{\sqrt{7}} = \frac{22}{\sqrt{7}} $$ 【答案】曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 距离的最小值为 $\frac{22}{\sqrt{7}}$。 |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| doubao | (1)【解析】对于曲线$C$的参数方程，分子分母同时除以$1+t^2$可得： $x=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{-(t^2+1)+2}{1+t^2}=-1+\frac{2}{1+t^2}$， $y=\frac{4t}{1+t^2}$，则$y^2=\frac{16t^2}{(1+t^2)^2}$。 将$x=-1+\frac{2}{1+t^2}$移项得$1+t^2=\frac{2}{1+x}$，代入$y^2$可得： $y^2=\frac{16t^2}{(1+t^2)^2}=\frac{16t^2}{(\frac{2}{1+x})^2}=4(1+x)(1-x)$，即$x^2+\frac{y^2}{4}=1(x\neq-1)$。 对于直线$l$，将极坐标方程转化为直角坐标方程，$2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0$，即$2x+\sqrt{3}y+11=0$。 <eoe> 【答案】曲线$C$的直角坐标方程为$x^2+\frac{y^2}{4}=1(x\neq-1)$，直线$l$的直角坐标方程为$2x+\sqrt{3}y+11=0$。 <eoa> (2)【解析】设曲线$C$上一点的坐标为$(cos\theta,2sin\theta)$，则该点到直线$l$的距离为： $d=\frac{|2\cos\theta+2\sqrt{3}\sin\theta+11|}{\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}}=\frac{|4(\frac{1}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta)+11|}{\sqrt{7}}=\frac{|4(\sin\frac{\pi}{6}\cos\theta+\cos\frac{\pi}{6}\sin\theta)+11|}{\sqrt{7}}=\frac{|4\sin(\theta+\frac{\pi}{6})+11|}{\sqrt{7}}$。 当$\sin(\theta+\frac{\pi}{6})=-1$时，距离$d$最小，最小值为$\frac{|4\times(-1)+11|}{\sqrt{7}}=\frac{7}{\sqrt{7}}=\sqrt{7}$。 <eoe> 【答案】$C$上的点到$l$距离的最小值为$\sqrt{7}$。 <eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要将曲线 $C$ 的参数方程转换为直角坐标方程。参数方程为： $$ \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}} \end{array} \right. $$ 我们可以通过消去参数 $t$ 来得到直角坐标方程。首先，我们可以将 $x$ 和 $y$ 的表达式相除，得到 $y$ 关于 $x$ 的表达式。然后，我们可以将 $x$ 和 $y$ 的表达式平方后相加，消去 $t$，得到一个不包含参数 $t$ 的方程。 接下来，我们将直线 $l$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。极坐标方程为： $$ 2 \rho \cos \theta+\sqrt{3} \rho \sin \theta+11=0 $$ 我们知道在极坐标系中，$\rho$ 表示点到原点的距离，$\theta$ 表示该点与 $x$ 轴正半轴的夹角，而直角坐标系中的点 $(x, y)$ 与极坐标系中的点 $(\rho, \theta)$ 之间的关系为： $$ x = \rho \cos \theta, \quad y = \rho \sin \theta $$ 将 $\rho \cos \theta$ 和 $\rho \sin \theta$ 代入直线 $l$ 的极坐标方程中，即可得到直线 $l$ 的直角坐标方程。<eoe> 【答案】首先，我们求曲线 $C$ 的直角坐标方程。由参数方程： $$ \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}} \end{array} \right. $$ 我们可以得到： $$ x + y = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} + \frac{4t}{1+t^{2}} = \frac{1-t^{2} + 4t}{1+t^{2}} = \frac{1+4t-t^{2}}{1+t^{2}} $$ $$ x - y = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} - \frac{4t}{1+t^{2}} = \frac{1-t^{2} - 4t}{1+t^{2}} = \frac{1-4t-t^{2}}{1+t^{2}} $$ 将 $x + y$ 和 $x - y$ 相乘，得到： $$ (x + y)(x - y) = \frac{(1+4t-t^{2})(1-4t-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}} = \frac{1 - 16t^{2} + t^{4}}{(1+t^{2})^{2}} $$ 由于 $(x + y)(x - y) = x^{2} - y^{2}$，我们有： $$ x^{2} - y^{2} = \frac{1 - 16t^{2} + t^{4}}{(1+t^{2})^{2}} $$ 由于 $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2xy$，我们可以得到： $$ x^{2} + y^{2} = \left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)^{2} + \left(\frac{4t}{1+t^{2}}\right)^{2} = \frac{1 - 2t^{2} + t^{4} + 16t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} = \frac{1 + 14t^{2} + t^{4}}{(1+t^{2})^{2}} $$ 因此，曲线 $C$ 的直角坐标方程为： $$ x^{2} - y^{2} = \frac{1 - 16t^{2} + t^{4}}{(1+t^{2})^{2}}, \quad x^{2} + y^{2} = \frac{1 + 14t^{2} + t^{4}}{(1+t^{2})^{2}} $$ 由于这两个方程都包含 $t^{4}$ 和 $t^{2}$，我们可以将它们相减，消去 $t^{4}$ 和 $t^{2}$，得到： $$ 2y^{2} = 1 - 16t^{2} + t^{4} - (1 + 14t^{2} + t^{4}) = -16t^{2} - 14t^{2} = -30t^{2} $$ $$ y^{2} = -15t^{2} $$ 由于 $y^{2}$ 不能为负数，这意味着我们的参数方程可能有误或者在转换过程中出现了错误。我们重新检查参数方程的转换过程，发现我们在将 $x + y$ 和 $x - y$ 相乘时犯了一个错误。正确的过程应该是： $$ (x + y)(x - y) = \left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} + \frac{4t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} - \frac{4t}{1+t^{2}}\right) $$ $$ = \left(\frac{1+4t-t^{2}}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-4t-t^{2}}{1+t^{2}}\right) $$ $$ = \frac{(1+4t-t^{2})(1-4t-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}} $$ $$ = \frac{1 - 16t^{2} + t^{4}}{(1+t^{2})^{2}} $$ 但是，我们注意到 $x^{2} + y^{2}$ 的表达式是正确的，所以我们应该使用这个表达式来得到曲线 $C$ 的直角坐标方程。我们有： $$ x^{2} + y^{2} = \frac{1 + 14t^{2} + t^{4}}{(1+t^{2})^{2}} $$ 由于 $x^{2} + y^{2} = \rho^{2}$，我们可以得到： $$ \rho^{2} = \frac{1 + 14t^{2} + t^{4}}{(1+t^{2})^{2}} $$ 现在，我们求直线 $l$ 的直角坐标方程。由极坐标方程： $$ 2 \rho \cos \theta+\sqrt{3} \rho \sin \theta+11=0 $$ 代入 $\rho \cos \theta = x$ 和 $\rho \sin \theta = y$，得到： $$ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 $$ 这就是直线 $l$ 的直角坐标方程。<eoa> (2)【解析】要求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值，我们可以使用点到直线的距离公式。对于直线 $Ax + By + C = 0$ 和点 $(x_0, y_0)$，点到直线的距离公式为： $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$ 在这个问题中，直线 $l$ 的方程为 $2x + \sqrt{3}y + 11 = 0$，所以 $A = 2$，$B = \sqrt{3}$，$C = 11$。我们需要找到曲线 $C$ 上的点 $(x, y)$，使得距离 $d$ 最小。 由于曲线 $C$ 的直角坐标方程为： $$ x^{2} + y^{2} = \frac{1 + 14t^{2} + t^{4}}{(1+t^{2})^{2}} $$ 我们可以将 $x$ 和 $y$ 表达为 $t$ 的函数，然后将这些表达式代入直线 $l$ 的距离公式中，得到关于 $t$ 的函数。然后，我们可以通过求导找到这个函数的最小值，从而得到曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的最小距离。 为了简化计算，我们可以使用点到直线的距离公式，其中点 $(x, y)$ 满足曲线 $C$ 的方程。我们将曲线 $C$ 的参数方程代入直线 $l$ 的方程中，得到一个关于 $t$ 的函数，然后求导找到最小值。<eoe> 【答案】我们已经得到了直线 $l$ 的方程为 $2x + \sqrt{3}y + 11 = 0$。现在我们需要将曲线 $C$ 的参数方程代入直线 $l$ 的方程中，得到一个关于 $t$ 的函数。由曲线 $C$ 的参数方程： $$ \left\{ \begin{array}{l} x |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| kimi | (1)【解析】 首先，我们需要将曲线 $C$ 的参数方程转换为直角坐标方程。给定的参数方程为： $$ \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}} \end{array} \right. $$ 我们可以通过消去参数 $t$ 来得到直角坐标方程。观察方程，我们发现 $t^2$ 可以表示为： $$ t^2 = \frac{1-x}{1+x} $$ 然后，将 $t^2$ 代入 $y$ 的方程中： $$ y = \frac{4t}{1+t^2} = \frac{4t}{1+\frac{1-x}{1+x}} = \frac{4t}{\frac{2+x}{1+x}} = \frac{4t(1+x)}{2+x} $$ 由于 $t = \frac{y}{4}$，我们可以将 $t$ 代入上面的方程： $$ \frac{y}{4} = \frac{y(1+x)}{2+x} $$ 解这个方程，我们可以得到 $C$ 的直角坐标方程。 接下来，我们需要将直线 $l$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。给定的极坐标方程为： $$ 2 \rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0 $$ 我们知道在极坐标系中，$\rho \cos \theta = x$ 和 $\rho \sin \theta = y$，所以我们可以将极坐标方程转换为： $$ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 $$ 这就是直线 $l$ 的直角坐标方程。 <eoe> 【答案】 (1) 曲线 $C$ 的直角坐标方程为： $$ 4x^2 + y^2 = 1 $$ 直线 $l$ 的直角坐标方程为： $$ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 $$ <eoa> (2)【解析】 我们需要找到曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的最小距离。首先，我们可以通过点到直线的距离公式来计算距离： $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$ 其中 $(x_0, y_0)$ 是曲线 $C$ 上的点，$A$、$B$ 和 $C$ 是直线 $l$ 的一般方程的系数。 对于曲线 $C$，我们可以使用参数方程来表示点 $(x_0, y_0)$： $$ \left\{ \begin{array}{l} x_0 = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \\ y_0 = \frac{4t}{1+t^2} \end{array} \right. $$ 将这些值代入距离公式，并找到使距离最小的 $t$ 值。 <eoe> 【答案】 (2) 曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的最小距离为： $$ d_{min} = \frac{11}{\sqrt{4 + 3}} = \frac{11}{\sqrt{7}} $$ <eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 首先，我们根据曲线C的参数方程$x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$，$y=\frac{4t}{1+t^{2}}$，将这两个方程平方并相加，得到$x^{2}+y^{2}=\frac{(1-t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}+\frac{16t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{1+2t^{2}+t^{4}+16t^{2}}{1+2t^{2}+t^{4}}=\frac{1+18t^{2}+t^{4}}{1+2t^{2}+t^{4}}=1$，即$x^{2}+y^{2}=1$，所以曲线C的直角坐标方程为$x^{2}+y^{2}=1$。 然后，我们将直线$l$的极坐标方程$2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0$转化为直角坐标方程。根据极坐标和直角坐标的转换公式$\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，$\cos\theta=\frac{x}{\rho}$，$\sin\theta=\frac{y}{\rho}$，代入原方程得到$2x+\sqrt{3}y+11=0$，所以直线$l$的直角坐标方程为$2x+\sqrt{3}y+11=0$。 【答案】 曲线C的直角坐标方程为$x^{2}+y^{2}=1$，直线$l$的直角坐标方程为$2x+\sqrt{3}y+11=0$。 (2)【解析】 我们设曲线C上的点的坐标为$(\cos\alpha,\sin\alpha)$，然后利用点到直线的距离公式$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$，将点的坐标和直线的方程代入公式，得到$d=\frac{|2\cos\alpha+\sqrt{3}\sin\alpha+11|}{\sqrt{2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}=\frac{|11+4\sin(\alpha+\theta)|}{\sqrt{7}}$。由于$\sin$函数的值域为$[-1,1]$，所以当$\sin(\alpha+\theta)=-1$时，$d$取得最小值，即$d_{\min}=\frac{|-11+4|}{\sqrt{7}}=\sqrt{7}$。 【答案】 曲线C上的点到直线$l$的距离的最小值为$\sqrt{7}$。 |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们来求曲线 \( C \) 的直角坐标方程。给定参数方程： \[ \left\{\begin{array}{l} x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ y = \frac{4t}{1 + t^2} \end{array}\right. \] 我们需要消去参数 \( t \)。从 \( y \) 的方程出发，得到： \[ y = \frac{4t}{1 + t^2} \implies t = \frac{y(1 + t^2)}{4} \] 将其代入 \( x \) 的方程中： \[ x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \] 我们需要表达 \( t^2 \) 通过 \( x \) 和 \( y \)。注意到： \[ y^2 = \left( \frac{4t}{1 + t^2} \right)^2 = \frac{16t^2}{(1 + t^2)^2} \] 设 \( u = t^2 \)，则有： \[ y^2 = \frac{16u}{(1 + u)^2} \] 解这个方程得到 \( u \)： \[ y^2(1 + u)^2 = 16u \implies y^2(1 + 2u + u^2) = 16u \implies y^2 + 2y^2u + y^2u^2 = 16u \] 整理得到： \[ y^2u^2 + 2y^2u + y^2 - 16u = 0 \] 这是一个关于 \( u \) 的二次方程。解这个方程可以使用判别式法或者直接代入 \( u = t^2 \) 回到 \( x \) 的表达式中。我们尝试通过 \( x \) 的表达式直接消去 \( t \)。 注意到： \[ x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \implies 1 - t^2 = x(1 + t^2) \implies 1 - t^2 = x + xt^2 \] 整理得到： \[ 1 - x = t^2(1 + x) \implies t^2 = \frac{1 - x}{1 + x} \] 代入 \( y \) 的表达式中： \[ y^2 = \left( \frac{4t}{1 + t^2} \right)^2 = \frac{16t^2}{(1 + t^2)^2} = \frac{16 \cdot \frac{1 - x}{1 + x}}{\left(1 + \frac{1 - x}{1 + x}\right)^2} \] 化简得到： \[ y^2 = \frac{16(1 - x)}{(1 + x)^2 \left(\frac{2}{1 + x}\right)^2} = \frac{16(1 - x)}{\frac{4}{(1 + x)^2}} = 4(1 - x) \] 所以曲线 \( C \) 的直角坐标方程为： \[ y^2 = 4(1 - x) \] 接下来，我们求直线 \( l \) 的直角坐标方程。给定极坐标方程： \[ 2 \rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0 \] 利用极坐标与直角坐标的转换关系 \( \rho \cos \theta = x \) 和 \( \rho \sin \theta = y \)，代入得到： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \] 所以直线 \( l \) 的直角坐标方程为： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \eoe 【答案】 曲线 \( C \) 的直角坐标方程为 \( y^2 = 4(1 - x) \)。 直线 \( l \) 的直角坐标方程为 \( 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \)<eoa> (2)【解析】 我们需要求曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的距离的最小值。首先，曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ y = \frac{4t}{1 + t^2} \end{array}\right. \] 直线 \( l \) 的方程为 \( 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0 \)。点 \((x, y)\) 到直线的距离公式为： \[ d = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{4 + 3}} = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{7}} \] 将 \( x \) 和 \( y \) 的参数方程代入距离公式中： \[ d = \frac{\left| 2 \left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right) + \sqrt{3} \left( \frac{4t}{1 + t^2} \right) + 11 \right|}{\sqrt{7}} \] 化简分子部分： \[ 2 \left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right) + \sqrt{3} \left( \frac{4t}{1 + t^2} \right) + 11 = \frac{2(1 - t^2) + 4\sqrt{3}t + 11(1 + t^2)}{1 + t^2} \] 整理得到： \[ = \frac{2 - 2t^2 + 4\sqrt{3}t + 11 + 11t^2}{1 + t^2} = \frac{13 + 9t^2 + 4\sqrt{3}t}{1 + t^2} \] 所以距离公式为： \[ d = \frac{\left| 13 + 9t^2 + 4\sqrt{3}t \right|}{\sqrt{7}(1 + t^2)} \] 我们需要最小化这个距离。考虑函数： \[ f(t) = \frac{13 + 9t^2 + 4\sqrt{3}t}{1 + t^2} \] 求其极值，首先计算导数： \[ f'(t) = \frac{(1 + t^2)(18t + 4\sqrt{3}) - (13 + 9t^2 + 4\sqrt{3}t) \cdot 2t}{(1 + t^2)^2} \] 化简得到： \[ f'(t) = \frac{18t + 4\sqrt{3} + 18t^3 + 4\sqrt{3}t^2 - 26t - 18t^3 - 8\sqrt{3}t^2}{(1 + t^2)^2} = \frac{4\sqrt{3} - 8\sqrt{3}t^2 + 4\sqrt{3}t^2}{(1 + t^2)^2} = \frac{4\sqrt{3}(1 - t^2)}{(1 + t^2)^2} \] 令 \( f'(t) = 0 \)，得到： \[ 4\sqrt{3}(1 - t^2) = 0 \implies t^2 = 1 \implies t = \pm 1 \] 计算 \( t = 1 \) 和 \( t = -1 \) 时的距离： 当 \( t = 1 \) 时： \[ x = \frac{1 - 1^2}{1 + 1^2} = 0, \quad y = \frac{4 \cdot 1}{1 + 1^2} = 2 \] \[ d = \frac{|2 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 2 + 11|}{\sqrt{7}} = \frac{|2\sqrt{3} + 11|}{\sqrt{7}} = \frac{11 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \] 当 \( t = -1 \) 时： \[ x = \frac{1 - (-1)^2}{1 + (-1)^2} = 0, \quad y = \frac{4 \cdot (-1)}{1 + (-1)^2} = -2 \] \[ d = \frac{|2 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot (-2) + 11|}{\sqrt{7}} = \frac{|-2\sqrt{3} + 11|}{\sqrt{7}} = \frac{11 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \] 显然，\(\frac{11 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\) 更小。 所以，曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的距离的最小值为： \[ \frac{11 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \eoe 【答案】 曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的距离的最小值为 \(\frac{11 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\)<eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| gpto1 | (1)【解析】 第一步，求曲线 \( C \) 的直角坐标方程。 给定参数方程： \[ \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ y=\dfrac{4 t}{1 + t^2} \end{array} \right. \] 令 \( t = \tan \theta \)，其中 \( \theta \) 为实数。 则 \[ x = \dfrac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos 2\theta, \] \[ y = \dfrac{4 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \dfrac{4 \tan \theta}{\sec^2 \theta} = 4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin 2\theta. \] 因此有： \[ x = \cos 2\theta,\quad y = 2 \sin 2\theta. \] 根据三角恒等式： \[ x^2 + \left( \dfrac{y}{2} \right)^2 = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1. \] 所以，曲线 \( C \) 的直角坐标方程为： \[ x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1. \] 第二步，求直线 \( l \) 的直角坐标方程。 已知直线 \( l \) 的极坐标方程： \[ 2\rho \cos \theta + \sqrt{3} \rho \sin \theta + 11 = 0. \] 利用极坐标与直角坐标的转换关系： \[ x = \rho \cos \theta,\quad y = \rho \sin \theta. \] 代入得： \[ 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0. \] 因此，直线 \( l \) 的直角坐标方程为： \[ 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0. \] <eoe> 【答案】 (1) 曲线 \( C \) 的直角坐标方程为：\( x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1 \)。 直线 \( l \) 的直角坐标方程为：\( 2x + \sqrt{3} y + 11 = 0 \)。 <eoa> (2)【解析】 求曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的最小距离。 设曲线 \( C \) 上任意一点为 \( (x, y) \)，满足： \[ x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1. \] 点 \( (x, y) \) 到直线 \( l \) 的距离为： \[ d = \dfrac{|2x + \sqrt{3} y + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \dfrac{|2x + \sqrt{3} y + 11|}{\sqrt{7}}. \] 为使距离 \( d \) 最小，需要使分子 \( |2x + \sqrt{3} y + 11| \) 最小。 利用拉格朗日乘数法，构建函数： \[ L(x, y, \lambda) = |2x + \sqrt{3} y + 11|^2 + \lambda \left( x^2 + \dfrac{y^2}{4} - 1 \right). \] 由于绝对值对平方没有影响，可将目标函数化为： \[ f(x, y) = (2x + \sqrt{3} y + 11)^2. \] 计算偏导数并令其为零： \[ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\partial f}{\partial x} = 2(2x + \sqrt{3} y + 11) \cdot 2 + 2\lambda x = 0, \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 2(2x + \sqrt{3} y + 11) \cdot \sqrt{3} + 2\lambda \dfrac{y}{4} = 0, \\ x^2 + \dfrac{y^2}{4} - 1 = 0. \end{array} \right. \] 化简得： \[ \left\{ \begin{array}{l} 4(2x + \sqrt{3} y + 11) + 2\lambda x = 0, \\ 2\sqrt{3}(2x + \sqrt{3} y + 11) + \dfrac{\lambda y}{2} = 0, \\ x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1. \end{array} \right. \] 设 \( S = 2x + \sqrt{3} y + 11 \)，则： \[ \left\{ \begin{array}{l} 4S + 2\lambda x = 0, \\ 2\sqrt{3} S + \dfrac{\lambda y}{2} = 0. \end{array} \right. \] 消去 \( \lambda \)： \[ \dfrac{2S}{x} = \dfrac{4\sqrt{3} S}{y}, \] 即： \[ \dfrac{1}{x} = \dfrac{2\sqrt{3}}{y}, \] 因此： \[ y = 2\sqrt{3} x. \] 将其代入曲线方程： \[ x^2 + \dfrac{(2\sqrt{3} x)^2}{4} = 1, \] 计算得： \[ x^2 + 3x^2 = 1 \Rightarrow 4x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm \dfrac{1}{2}. \] 对应的 \( y \) 值： \[ y = 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \sqrt{3},\quad y = 2\sqrt{3} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) = -\sqrt{3}. \] 计算对应的距离： \[ d = \dfrac{|2x + \sqrt{3} y + 11|}{\sqrt{7}}. \] 当 \( x = \dfrac{1}{2}, y = \sqrt{3} \) 时： \[ d = \dfrac{|2 \times \dfrac{1}{2} + \sqrt{3} \times \sqrt{3} + 11|}{\sqrt{7}} = \dfrac{|1 + 3 + 11|}{\sqrt{7}} = \dfrac{15}{\sqrt{7}}. \] 当 \( x = -\dfrac{1}{2}, y = -\sqrt{3} \) 时： \[ d = \dfrac{|2 \times \left( -\dfrac{1}{2} \right) + \sqrt{3} \times (-\sqrt{3}) + 11|}{\sqrt{7}} = \dfrac{|-1 - 3 +11|}{\sqrt{7}} = \dfrac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}. \] 因此，最小距离为 \( \sqrt{7} \)。 <eoe> 【答案】 (2) 曲线 \( C \) 上的点到直线 \( l \) 的最小距离为 \( \sqrt{7} \)。 <eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |
| deepseekv3 | (1)【解析】 首先，将曲线 $C$ 的参数方程转化为直角坐标方程。给定参数方程为： \[ \begin{cases} x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ y = \frac{4t}{1 + t^2}. \end{cases} \] 我们可以通过消去参数 $t$ 来得到 $C$ 的直角坐标方程。设 $t = \tan \frac{\theta}{2}$，则根据三角恒等式，我们有： \[ x = \frac{1 - \tan^2 \frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}} = \cos \theta, \quad y = \frac{4 \tan \frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}} = 2 \sin \theta. \] 因此，曲线 $C$ 的直角坐标方程为： \[ x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \Rightarrow x^2 + \frac{y^2}{4} = 1. \] 接下来，将直线 $l$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。给定极坐标方程为： \[ 2\rho \cos \theta + \sqrt{3}\rho \sin \theta + 11 = 0. \] 由于 $x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，所以直线 $l$ 的直角坐标方程为： \[ 2x + \sqrt{3}y + 11 = 0. \] <eoe> 【答案】 (1) 曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $\boxed{x^2 + \frac{y^2}{4} = 1}$，直线 $l$ 的直角坐标方程为 $\boxed{2x + \sqrt{3}y + 11 = 0}$。 <eoa> (2)【解析】 为了求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值，我们可以使用点到直线的距离公式。对于直线 $l$：$2x + \sqrt{3}y + 11 = 0$，任意点 $(x, y)$ 到该直线的距离为： \[ d = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|2x + \sqrt{3}y + 11|}{\sqrt{7}}. \] 由于曲线 $C$ 的方程为 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$，我们可以使用参数方程进行优化。设曲线 $C$ 上的点为 $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$，则距离公式变为： \[ d = \frac{|2 \cos \theta + \sqrt{3} \cdot 2 \sin \theta + 11|}{\sqrt{7}} = \frac{|2 \cos \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta + 11|}{\sqrt{7}}. \] 为了最小化 $d$，我们需要最小化分子部分 $|2 \cos \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta + 11|$。 首先，我们注意到 $2 \cos \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta$ 的最大值和最小值可以通过三角恒等式求得： \[ 2 \cos \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta = 4 \sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right). \] 因此，$2 \cos \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta$ 的取值范围为 $[-4, 4]$，所以 $2 \cos \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta + 11$ 的取值范围为 $[7, 15]$。 因此，分子部分的最小值为 $7$，因此距离的最小值为： \[ d_{\text{min}} = \frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}. \] <eoe> 【答案】 (2) $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值为 $\boxed{\sqrt{7}}$。 <eoa> |
【详解】 (1) 由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$ $\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$ 整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 又 $x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta$ $\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\sqrt{3} y+11=0$ (2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\cos \theta, 2 \sin \theta)$ 则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$ 当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值 则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$ |