| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 已知数列 \(\{a_n\}\) 是等比数列，且各项均为正数。设公比为 \(q\)，则有： \[ a_1 = 2 \] \[ a_2 = a_1 \cdot q = 2q \] \[ a_3 = a_1 \cdot q^2 = 2q^2 \] 根据题目给出的条件 \(a_3 = 2a_2 + 16\)，代入已知的 \(a_2\) 和 \(a_3\) 的表达式： \[ 2q^2 = 2(2q) + 16 \] \[ 2q^2 = 4q + 16 \] \[ q^2 - 2q - 8 = 0 \] 解这个二次方程： \[ q = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \] \[ q = 4 \quad \text{或} \quad q = -2 \] 由于数列各项均为正数，所以 \(q = 4\)（排除 \(q = -2\)）。 因此，数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为： \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 4^{n-1} \] <eoe> 【答案】\(a_n = 2 \cdot 4^{n-1}\)<eoa> (2)【解析】 设 \(b_n = \log_2 a_n\)，则有： \[ b_n = \log_2 (2 \cdot 4^{n-1}) \] \[ b_n = \log_2 2 + \log_2 4^{n-1} \] \[ b_n = 1 + (n-1) \log_2 4 \] \[ b_n = 1 + (n-1) \cdot 2 \] \[ b_n = 1 + 2n - 2 \] \[ b_n = 2n - 1 \] 数列 \(\{b_n\}\) 是一个等差数列，其首项为 \(b_1 = 1\)，公差为 \(d = 2\)。 数列 \(\{b_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n\) 为： \[ S_n = \frac{n}{2} \left( b_1 + b_n \right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left( 1 + (2n - 1) \right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot 2n \] \[ S_n = n^2 \] <eoe> 【答案】\(S_n = n^2\)<eoa> |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| deepseekr1 | (1)【解析】 已知等比数列{aₙ}的首项a₁=2，且a₃=2a₂+16。设公比为q，则a₂=a₁q=2q，a₃=a₁q²=2q²。代入等式得： 2q² = 2(2q) + 16 ⇒ 2q² =4q +16 ⇒ q² -2q -8=0。 解得q=(2±√(4+32))/2=(2±6)/2，即q=4或q=-2（舍去负值）。因此通项公式为： aₙ=2·4^{n−1}=2^{2n−1}。 <eoe> 【答案】 aₙ=2^{2n−1} <eoa> (2)【解析】 由bₙ=log₂aₙ，代入aₙ=2^{2n−1}得： bₙ=log₂(2^{2n−1})=2n−1。 数列{bₙ}是首项为1、公差为2的等差数列。前n项和： Sₙ= n(1 + (2n−1))/2 =n·2n/2 =n²。 <eoe> 【答案】 数列{bₙ}的前n项和为n²。 <eoa> |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| gpto1 | 18. (1)【解析】 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，由于 $a_1=2$，则 $a_2 = a_1 q = 2q$，$a_3 = a_1 q^2 = 2q^2$。 题目给出 $a_3 = 2a_2 + 16$，代入上述表达式： $$ 2q^2 = 2 \times 2q + 16 \\ 2q^2 = 4q + 16 \\ 2q^2 - 4q -16 = 0 \\ q^2 - 2q -8 = 0 $$ 解一元二次方程 $q^2 - 2q -8 = 0$： $$ q = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-8)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 +32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} $$ 则 $q$ 的取值为： 1. $q = \frac{2 + 6}{2} = 4$ 2. $q = \frac{2 - 6}{2} = -2$ 由于数列各项均为正数，故公比 $q = 4$。 因此，数列的通项公式为： $$ a_n = a_1 q^{n-1} = 2 \times 4^{n-1} $$ <eoe> 【答案】 (1) 数列的通项公式为 $a_n = 2 \times 4^{n-1}$。 <eoa> (2)【解析】 令 $b_n = \log_2 a_n$，将 $a_n$ 代入得： $$ b_n = \log_2 a_n = \log_2 \left(2 \times 4^{n-1}\right) $$ 利用对数运算性质： $$ b_n = \log_2 2 + \log_2 4^{n-1} = 1 + (n-1) \log_2 4 $$ 因为 $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$，所以： $$ b_n = 1 + 2(n -1) = 1 + 2n - 2 = 2n -1 $$ 因此，$\{b_n\}$ 是首项为 $b_1 = 2 \times 1 - 1 =1$，公差为 $d=2$ 的等差数列。 等差数列前 $n$ 项和公式为： $$ S_n = \frac{n}{2} (b_1 + b_n) = \frac{n}{2} \left(1 + (2n -1)\right) = \frac{n}{2} (2n) = n^2 $$ <eoe> 【答案】 (2) 数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = n^2$。 <eoa> |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| GPT-4o | (1)【解析】 首先，我们根据已知条件列出等比数列的通项公式。设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，则有： \[ a_2 = a_1 q = 2q \] \[ a_3 = a_1 q^2 = 2q^2 \] 根据题意，$a_3 = 2a_2 + 16$，即： \[ 2q^2 = 2 \cdot 2q + 16 \] \[ 2q^2 = 4q + 16 \] 将等式两边同时除以2，得到： \[ q^2 = 2q + 8 \] 整理成标准的一元二次方程形式： \[ q^2 - 2q - 8 = 0 \] 解这个一元二次方程，使用求根公式： \[ q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] 其中，$a = 1$，$b = -2$，$c = -8$。代入得到： \[ q = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \] 所以，$q$ 有两个解： \[ q = \frac{2 + 6}{2} = 4 \] \[ q = \frac{2 - 6}{2} = -2 \] 因为 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，所以我们选择 $q = 4$。 因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： \[ a_n = a_1 q^{n-1} = 2 \cdot 4^{n-1} \] <eoe> 【答案】$a_n = 2 \cdot 4^{n-1}$<eoa> (2)【解析】 设 $b_n = \log_2 a_n$，即： \[ b_n = \log_2 (2 \cdot 4^{n-1}) \] 我们可以将对数分解： \[ b_n = \log_2 2 + \log_2 4^{n-1} \] \[ b_n = 1 + (n-1) \log_2 4 \] 由于 $\log_2 4 = 2$，所以： \[ b_n = 1 + 2(n-1) \] \[ b_n = 1 + 2n - 2 \] \[ b_n = 2n - 1 \] 现在求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$： \[ S_n = \sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n (2k - 1) \] 我们可以将 $S_n$ 拆开： \[ S_n = \sum_{k=1}^n 2k - \sum_{k=1}^n 1 \] \[ S_n = 2 \sum_{k=1}^n k - n \] 我们知道： \[ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \] 所以： \[ S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n \] \[ S_n = n(n+1) - n \] \[ S_n = n^2 + n - n \] \[ S_n = n^2 \] <eoe> 【答案】$S_n = n^2$<eoa> |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由题意可知,a_{1}=2,a_{3}=2a_{2}+16,由等比数列的性质可知,a_{3}=a_{1}\cdotq^{2},a_{2}=a_{1}\cdotq,所以2q^{2}=2q+16,解得q=4或q=-2(舍去),所以a_{n}=2\cdot4^{n-1}=2^{2n-1}(n\inN^{+}).<eoe> 【答案】a_{n}=2^{2n-1}(n\inN^{+}).<eoa> (2)【解析】由(1)可知,a_{n}=2^{2n-1},所以b_{n}=\log_{2}a_{n}=\log_{2}2^{2n-1}=2n-1,所以\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}..<eoe> 【答案】n^{2}.<eoa> |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)【解析】因为\left\{a_{n}\right\}是等比数列,所以a_{3}=a_{1}\cdotq^{2},a_{2}=a_{1}\cdotq^{,}所以a_{1}\cdotq^{2}=2a_{1}\cdotq+16,即q^{2}-2q-8=0,解得q=4或-2(舍去),所以a_{n}=2\cdot4^{n-1}.<eoe> 【答案】a_{n}=2\cdot4^{n-1}<eoa> (2)【解析】b_{n}=\log_{2}a_{n}=\log_{2}(2\cdot4^{n-1})=2n-1,所以\sum_{i=1}^{n}b_{i}=\sum_{i=1}^{n}(2 |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们知道 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是一个等比数列，且各项均为正数。设其公比为 $q$，则有 $a_n = a_1 q^{n-1}$。根据题目给出的条件，$a_1 = 2$，所以 $a_n = 2 q^{n-1}$。\n\n接下来，我们利用题目给出的另一个条件 $a_3 = 2 a_2 + 16$ 来求解公比 $q$。根据等比数列的性质，$a_3 = 2 q^2$ 和 $a_2 = 2 q$。将这些代入条件中，我们得到：\n\n\\[ 2 q^2 = 2 (2 q) + 16 \\]\n\n简化这个方程：\n\n\\[ 2 q^2 = 4 q + 16 \\]\n\n将所有项移到方程的一边：\n\n\\[ 2 q^2 - 4 q - 16 = 0 \\]\n\n将方程除以2简化：\n\n\\[ q^2 - 2 q - 8 = 0 \\]\n\n这是一个标准的二次方程，我们可以使用求根公式来解：\n\n\\[ q = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\]\n\n在这个方程中，$a = 1$，$b = -2$，$c = -8$，所以：\n\n\\[ q = \\frac{2 \\pm \\sqrt{4 + 32}}{2} = \\frac{2 \\pm \\sqrt{36}}{2} = \\frac{2 \\pm 6}{2} \\]\n\n这给我们两个解：\n\n\\[ q = \\frac{8}{2} = 4 \\]\n\\[ q = \\frac{-4}{2} = -2 \\]\n\n由于题目中明确指出 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是各项均为正数的等比数列，所以公比 $q$ 必须为正数。因此，$q = 4$。\n\n因此，$\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式为：\n\n\\[ a_n = 2 \\cdot 4^{n-1} = 2^{2n-1} \\]\n<eoe>\n【答案】\\[ a_n = 2^{2n-1} \\]<eoa>\n\n(2)【解析】 现在我们需要求数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和，其中 $b_{n}=\\log _{2} a_{n}$。根据我们在(1)中求得的 $a_n$ 的通项公式，我们有：\n\n\\[ b_n = \\log_2 (2^{2n-1}) = 2n-1 \\]\n\n因此，$\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 是一个等差数列，其首项 $b_1 = 1$，公差 $d = 2$。\n\n等差数列的前 $n$ 项和公式为：\n\n\\[ S_n = \\frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \\]\n\n将 $a_1 = 1$ 和 $d = 2$ 代入公式中：\n\n\\[ S_n = \\frac{n}{2} (2 \\cdot 1 + (n-1) \\cdot 2) = \\frac{n}{2} (2 + 2n - 2) = \\frac{n}{2} \\cdot 2n = n^2 \\]\n<eoe>\n【答案】\\[ S_n = n^2 \\]<eoa>" | 【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 首先，我们知道等比数列的通项公式为 $a_n = a_1 \\cdot r^{n-1}$，其中 $r$ 是公比。根据题目中给出的条件 $a_{1}=2, a_{3}=2 a_{2}+16$，我们可以列出等式来解出公比 $r$。将 $a_3$ 和 $a_2$ 用通项公式表示，得到 $2r^2 = 2 \\cdot 2r + 16$，即 $2r^2 - 4r - 16 = 0$。解这个一元二次方程，我们可以找到 $r$ 的值，从而得到 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式。<eoe>\n【答案】 首先解方程 $2r^2 - 4r - 16 = 0$，得到 $r^2 - 2r - 8 = 0$。利用求根公式 $r = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中 $a = 1, b = -2, c = -8$，得到 $r = \\frac{2 \\pm \\sqrt{4+32}}{2} = \\frac{2 \\pm 6}{2} = 4, -2$。因为数列的各项均为正数，我们选择 $r = 4$。因此，$\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式为 $a_n = 2 \\cdot 4^{n-1}$。<eoa>\n\n(2)【解析】 由(1)中得到的 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式 $a_n = 2 \\cdot 4^{n-1}$，我们可以求出 $b_{n}=\\log _{2} a_{n}$ 的表达式。将 $a_n$ 的表达式代入，得到 $b_n = \\log _{2} (2 \\cdot 4^{n-1}) = \\log _{2} 2 + \\log _{2} 4^{n-1} = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$。接下来，我们要求 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和，即 $\\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)$。这是一个等差数列的求和问题，利用等差数列的求和公式 $S_n = \\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，其中 $a_1 = 1, a_n = 2n - 1$，可以求出前 $n$ 项和。<eoe>\n【答案】 首先，$b_n = 2n - 1$，所以数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $\\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = \\frac{n(1 + 2n - 1)}{2} = \\frac{n(2n)}{2} = n^2$。因此，数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $n^2$。<eoa>" | 【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| baichuan4 | (1)【解析】 由于 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，我们可以设其公比为 $q$（$q>0$，因为数列各项均为正数），则数列的通项公式为 $a_{n}=a_{1}q^{n-1}$。 根据题目中的条件 $a_{1}=2$ 和 $a_{3}=2 a_{2}+16$，我们可以列出方程： $$ a_{3}=a_{1}q^{3-1}=2q^{2} $$ $$ 2 a_{2}=2a_{1}q^{2-1}=4q $$ 所以有： $$ 2q^{2}=4q+16 $$ 即： $$ 2q^{2}-4q-16=0 $$ 这是一个二次方程，我们可以用求根公式来解它： $$ q=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot2\cdot(-16)}}{2\cdot2}=\frac{4\pm\sqrt{16+128}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{144}}{4}=\frac{4\pm12}{4} $$ 所以 $q=4$ 或 $q=-3$。但由于数列各项均为正数，我们排除 $q=-3$ 的情况，因此 $q=4$。 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为： $$ a_{n}=2\cdot4^{n-1} $$ 【答案】 $a_{n}=2\cdot4^{n-1}$。 (2)【解析】 由于我们已经求得数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2\cdot4^{n-1}$，我们可以将其代入 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$ 中得到 $b_{n}$ 的表达式： $$ b_{n}=\log _{2}(2\cdot4^{n-1})=\log _{2}2+\log _{2}4^{n-1}=1+(n-1)\log _{2}4=1+2(n-1)=2n-1 $$ 现在我们要求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，即： $$ S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}=(2\cdot1-1)+(2\cdot2-1)+\cdots+(2\cdot n-1) $$ $$ =2(1+2+\cdots+n)-n=2\cdot\frac{n(n+1)}{2}-n=n^{2}+n-n=n^{2} $$ 【答案】 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $n^{2}$。 |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| doubao | (1)【解析】设等比数列$\left\{a_{n}\right\}$的公比为$q$，已知$a_{1}=2$，$a_{3}=2a_{2}+16$，可得$2q^{2}=2\times2q+16$，化简方程求解公比$q$。<eoe> 【答案】设等比数列$\left\{a_{n}\right\}$的公比为$q$，由$a_{1}=2$，$a_{3}=2a_{2}+16$，可得$2q^{2}=2\times2q+16$，即$q^{2}-2q-8=0$，$(q-4)(q+2)=0$，解得$q=4$或$q=-2$（舍去，因为各项均为正数），所以等比数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=a_{1}q^{n-1}=2\times4^{n-1}=2^{2n-1}$。<eoa> (2)【解析】由(1)知$a_{n}=2^{2n-1}$，则$b_{n}=\log_{2}a_{n}=\log_{2}2^{2n-1}=2n-1$，可判断出$\left\{b_{n}\right\}$是首项为$1$，公差为$2$的等差数列，利用等差数列求和公式可求前$n$项和。<eoe> 【答案】由(1)知$a_{n}=2^{2n-1}$，则$b_{n}=\log_{2}a_{n}=\log_{2}2^{2n-1}=2n-1$，所以数列$\left\{b_{n}\right\}$是首项为$1$，公差为$2$的等差数列，根据等差数列求和公式可得前$n$项和$S_{n}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^{2}$。<eoa> |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| minimax | (1)【解析】 首先，我们知道等比数列的通项公式为 $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$，其中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比。根据题目中给出的条件 $a_1 = 2$，我们可以将通项公式简化为 $a_n = 2 \cdot r^{(n-1)}$。 接下来，我们需要利用条件 $a_3 = 2a_2 + 16$ 来求解公比 $r$。将通项公式代入 $a_3$ 和 $a_2$，我们得到： $$a_3 = 2 \cdot r^2$$ $$a_2 = 2 \cdot r$$ 将这两个表达式代入 $a_3 = 2a_2 + 16$，我们得到： $$2 \cdot r^2 = 2 \cdot (2 \cdot r) + 16$$ $$2 \cdot r^2 = 4 \cdot r + 16$$ 现在我们解这个关于 $r$ 的二次方程，得到公比 $r$ 的值。然后，我们可以写出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。<eoe> 【答案】 首先，我们解二次方程： $$2 \cdot r^2 = 4 \cdot r + 16$$ $$r^2 - 2r - 8 = 0$$ 使用求根公式解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = 1, b = -2, c = -8$，得到： $$r = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}$$ $$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$$ $$r = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}$$ $$r = \frac{2 \pm 6}{2}$$ 因为数列的项是正数，我们取正的根： $$r = \frac{2 + 6}{2}$$ $$r = \frac{8}{2}$$ $$r = 4$$ 现在我们知道了公比 $r = 4$，所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为： $$a_n = 2 \cdot r^{(n-1)}$$ $$a_n = 2 \cdot 4^{(n-1)}$$ $$a_n = 2 \cdot 4^{n-1}$$<eoa> (2)【解析】 现在我们已经知道了数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_n = 2 \cdot 4^{n-1}$。根据题目中给出的 $b_n = \log_2 a_n$，我们可以将 $a_n$ 的表达式代入 $b_n$ 中，得到： $$b_n = \log_2 (2 \cdot 4^{n-1})$$ 由于 $\log_2 2 = 1$，我们可以简化表达式： $$b_n = \log_2 2 + \log_2 (4^{n-1})$$ $$b_n = 1 + (n-1) \cdot \log_2 4$$ $$b_n = 1 + (n-1) \cdot 2$$ $$b_n = 1 + 2n - 2$$ $$b_n = 2n - 1$$ 现在我们得到了数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。为了求出数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，我们需要计算 $S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n$。由于 $b_n$ 是一个等差数列，我们可以使用等差数列的求和公式来计算 $S_n$： $$S_n = \frac{n}{2} \cdot (b_1 + b_n)$$ 我们已经知道 $b_n = 2n - 1$，所以我们可以计算出 $b_1$ 并代入求和公式中。<eoe> 【答案】 首先，我们计算 $b_1$： $$b_1 = 2 \cdot 1 - 1$$ $$b_1 = 1$$ 现在我们使用等差数列的求和公式来计算 $S_n$： $$S_n = \frac{n}{2} \cdot (b_1 + b_n)$$ $$S_n = \frac{n}{2} \cdot (1 + (2n - 1))$$ $$S_n = \frac{n}{2} \cdot (2n)$$ $$S_n = n^2$$ 因此，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = n^2$。<eoa> |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| kimi | (1)【解析】首先，我们知道等比数列的通项公式为 $a_{n} = a_{1} \cdot r^{(n-1)}$，其中 $a_{1}$ 是首项，$r$ 是公比。根据题目给出的条件，我们有 $a_{1} = 2$ 和 $a_{3} = 2a_{2} + 16$。 根据等比数列的性质，我们可以得到 $a_{3} = a_{1} \cdot r^{2}$ 和 $a_{2} = a_{1} \cdot r$。 将已知条件代入，我们得到 $2r^{2} = 2 \cdot 2r + 16$。简化后得到 $r^{2} - 2r - 8 = 0$。 解这个二次方程，我们可以得到 $r = 4$ 或 $r = -2$。但是题目中说明各项均为正数，所以我们舍去 $r = -2$。 因此，公比 $r = 4$，通项公式为 $a_{n} = 2 \cdot 4^{(n-1)} = 2^{2n-1}$。 <eoe> 【答案】$a_{n} = 2^{2n-1}$<eoa> (2)【解析】根据题目，我们知道 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$。由于我们已经得到了 $a_{n}$ 的通项公式，我们可以将其代入 $b_{n}$ 的定义中。 因此，$b_{n} = \log_{2} (2^{2n-1})$。 利用对数的性质，我们可以简化这个表达式，得到 $b_{n} = 2n - 1$。 现在我们需要求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和。由于 $b_{n} = 2n - 1$ 是一个等差数列，我们可以使用等差数列的求和公式 $S_{n} = \frac{n}{2}(a_{1} + a_{n})$，其中 $a_{1} = 1$（因为 $b_{1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1$），$a_{n} = 2n - 1$。 代入公式，我们得到 $S_{n} = \frac{n}{2}(1 + (2n - 1)) = \frac{n}{2}(2n) = n^2$。 <eoe> 【答案】数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $n^2$<eoa> |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| wenxinyiyan | (1)【解析】设等比数列$\left\{a_{n}\right\}$的公比为$q$，由$a_{1}=2$，$a_{3}=2a_{2}+16$，我们可以得到$2q^{2}=4q+16$，解这个二次方程，我们得到$q=4$或$q=-2$，但是题目告诉我们$\left\{a_{n}\right\}$是各项均为正数的等比数列，所以$q=-2$不符合题意，舍去，所以$q=4$，然后我们就可以得到$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式$a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2n-1}$。 【答案】$a_{n}=2^{2n-1}$ (2)【解析】由（1）我们知道$a_{n}=2^{2n-1}$，所以$b_{n}=\log_{2}a_{n}=\log_{2}2^{2n-1}=2n-1$，所以数列$\left\{b_{n}\right\}$是等差数列，首项$b_{1}=1$，公差$d=2$，然后我们就可以利用等差数列的求和公式$S_{n}=\frac{n}{2}(b_{1}+b_{n})$，得到$S_{n}=\frac{n}{2}(1+2n-1)=n^{2}$。 【答案】$S_{n}=n^{2}$ |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| zhipu | (1)【解析】 首先，设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$，则有： \[ a_2 = a_1 q = 2q \] \[ a_3 = a_1 q^2 = 2q^2 \] 根据题目给出的条件 $a_3 = 2a_2 + 16$，代入上面的表达式，得到： \[ 2q^2 = 2(2q) + 16 \] \[ 2q^2 = 4q + 16 \] \[ q^2 - 2q - 8 = 0 \] 解这个二次方程，使用求根公式： \[ q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] 其中 $a = 1, b = -2, c = -8$，代入得到： \[ q = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \] \[ q = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ q = \frac{2 \pm 6}{2} \] 所以，$q$ 有两个解： \[ q = 4 \quad \text{或} \quad q = -2 \] 由于题目中提到数列的各项均为正数，所以 $q = -2$ 不符合条件，故 $q = 4$。 因此，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为： \[ a_n = a_1 q^{n-1} = 2 \cdot 4^{n-1} \] 进一步化简： \[ a_n = 2 \cdot (2^2)^{n-1} = 2 \cdot 2^{2(n-1)} = 2^{2n-1} \] <eoe> 【答案】 \[ a_n = 2^{2n-1} \] <eoa> (2)【解析】 设 $b_n = \log_2 a_n$，根据第一问的结果 $a_n = 2^{2n-1}$，代入得到： \[ b_n = \log_2 (2^{2n-1}) \] 利用对数的性质 $\log_b (a^c) = c \log_b a$，得到： \[ b_n = (2n-1) \log_2 2 \] 由于 $\log_2 2 = 1$，所以： \[ b_n = 2n - 1 \] 数列 $\left\{b_n\right\}$ 是一个等差数列，其首项 $b_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$，公差 $d = 2$。 等差数列的前 $n$ 项和公式为： \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \] 代入 $a_1 = 1$ 和 $d = 2$，得到： \[ S_n = \frac{n}{2} [2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 2] \] \[ S_n = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2] \] \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot 2n \] \[ S_n = n^2 \] <eoe> 【答案】 \[ S_n = n^2 \] <eoa> |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| gpto1 | 18. (1)【解析】 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，由于 $a_1=2$，则 $a_2 = a_1 q = 2q$，$a_3 = a_1 q^2 = 2q^2$。 题目给出 $a_3 = 2a_2 + 16$，代入上述表达式： $$ 2q^2 = 2 \times 2q + 16 \\ 2q^2 = 4q + 16 \\ 2q^2 - 4q -16 = 0 \\ q^2 - 2q -8 = 0 $$ 解一元二次方程 $q^2 - 2q -8 = 0$： $$ q = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-8)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 +32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} $$ 则 $q$ 的取值为： 1. $q = \frac{2 + 6}{2} = 4$ 2. $q = \frac{2 - 6}{2} = -2$ 由于数列各项均为正数，故公比 $q = 4$。 因此，数列的通项公式为： $$ a_n = a_1 q^{n-1} = 2 \times 4^{n-1} $$ <eoe> 【答案】 (1) 数列的通项公式为 $a_n = 2 \times 4^{n-1}$。 <eoa> (2)【解析】 令 $b_n = \log_2 a_n$，将 $a_n$ 代入得： $$ b_n = \log_2 a_n = \log_2 \left(2 \times 4^{n-1}\right) $$ 利用对数运算性质： $$ b_n = \log_2 2 + \log_2 4^{n-1} = 1 + (n-1) \log_2 4 $$ 因为 $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$，所以： $$ b_n = 1 + 2(n -1) = 1 + 2n - 2 = 2n -1 $$ 因此，$\{b_n\}$ 是首项为 $b_1 = 2 \times 1 - 1 =1$，公差为 $d=2$ 的等差数列。 等差数列前 $n$ 项和公式为： $$ S_n = \frac{n}{2} (b_1 + b_n) = \frac{n}{2} \left(1 + (2n -1)\right) = \frac{n}{2} (2n) = n^2 $$ <eoe> 【答案】 (2) 数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = n^2$。 <eoa> |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |
| deepseekv3 | (1)【解析】已知数列 $\{a_n\}$ 是等比数列，首项 $a_1 = 2$，公比为 $r$。因此，通项公式为： $$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 2 \cdot r^{n-1} $$ 根据题意，$a_3 = 2a_2 + 16$，我们可以列出方程： $$ a_3 = 2 \cdot r^{2} \quad \text{和} \quad a_2 = 2 \cdot r $$ 代入得： $$ 2 \cdot r^{2} = 2 \cdot (2 \cdot r) + 16 $$ 化简： $$ 2r^{2} = 4r + 16 \\ 2r^{2} - 4r - 16 = 0 \\ r^{2} - 2r - 8 = 0 $$ 解这个二次方程： $$ r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} $$ 因为各项为正数，所以 $r = 4$。因此，通项公式为： $$ a_n = 2 \cdot 4^{n-1} $$ <eoe> 【答案】$\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = 2 \cdot 4^{n-1}$。<eoa> (2)【解析】已知 $b_n = \log_2 a_n$，根据(1)的结果： $$ a_n = 2 \cdot 4^{n-1} = 2 \cdot (2^2)^{n-1} = 2 \cdot 2^{2(n-1)} = 2^{2n - 1} $$ 因此： $$ b_n = \log_2 (2^{2n - 1}) = 2n - 1 $$ 数列 $\{b_n\}$ 为等差数列，首项 $b_1 = 1$，公差 $d = 2$。前 $n$ 项和 $S_n$ 为： $$ S_n = \frac{n}{2} \cdot (b_1 + b_n) = \frac{n}{2} \cdot (1 + (2n - 1)) = \frac{n}{2} \cdot 2n = n^2 $$ <eoe> 【答案】数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = n^2$。<eoa> |
【详解】(1)因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $a_{3}=2 a_{2}+16, \quad a_{1}=2$, 所以令数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q, a_{3}=a_{1} q^{2}=2 q^{2}, a_{2}=a_{1} q=2 q$, 所以 $2 q^{2}=4 q+16$, 解得 $q=-2$ (舍去)或 4 , 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列, $a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$ 。 (2)因为 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$, 所以 $b_{n}=2 n-1, b_{n+1}=2 n+1, b_{n+1}-b_{n}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列, $S_{n}=\frac{1+2 n-1^{\prime}}{2} n=n^{2}$ 。 本题考查数列的相关性质, 主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法, 考查等差数 列求和公式的使用, 考查化归与转化思想, 考查计算能力, 是简单题。 |