| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 要讨论函数 \( f(x) = 2x^3 - ax^2 + 2 \) 的单调性，首先需要求其导数 \( f'(x) \)。 \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - ax^2 + 2) = 6x^2 - 2ax \] 然后，求导数的零点，即解方程 \( f'(x) = 0 \)： \[ 6x^2 - 2ax = 0 \] \[ 2x(3x - a) = 0 \] 得到两个零点： \[ x = 0 \] \[ x = \frac{a}{3} \] 接下来，分析导数的符号变化，确定函数的单调区间。 1. 当 \( x < 0 \) 时，\( f'(x) = 6x^2 - 2ax \) 的符号取决于 \( 6x^2 \) 和 \( -2ax \) 的大小。由于 \( x < 0 \)，所以 \( -2ax > 0 \)，因此 \( f'(x) > 0 \)，函数在此区间单调递增。 2. 当 \( 0 < x < \frac{a}{3} \) 时，\( f'(x) = 6x^2 - 2ax \)。由于 \( 0 < x < \frac{a}{3} \)，所以 \( 6x^2 < 2ax \)，因此 \( f'(x) < 0 \)，函数在此区间单调递减。 3. 当 \( x > \frac{a}{3} \) 时，\( f'(x) = 6x^2 - 2ax \)。由于 \( x > \frac{a}{3} \)，所以 \( 6x^2 > 2ax \)，因此 \( f'(x) > 0 \)，函数在此区间单调递增。 综上所述，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 和 \( x = \frac{a}{3} \) 处有极值点，且在 \( x = 0 \) 处由增变减，在 \( x = \frac{a}{3} \) 处由减变增。 <eoe> 【答案】函数 \( f(x) = 2x^3 - ax^2 + 2 \) 在 \( x = 0 \) 处由增变减，在 \( x = \frac{a}{3} \) 处由减变增。即在 \( (-\infty, 0) \) 和 \( (\frac{a}{3}, +\infty) \) 上单调递增，在 \( (0, \frac{a}{3}) \) 上单调递减。<eoa> (2)【解析】 当 \( 0 < a < 3 \) 时，求函数 \( f(x) \) 在区间 \([0, 1]\) 的最大值 \( M \) 和最小值 \( m \)，并求 \( M - m \) 的取值范围。 首先，计算 \( f(x) \) 在区间 \([0, 1]\) 的端点值： \[ f(0) = 2 \] \[ f(1) = 2(1)^3 - a(1)^2 + 2 = 2 - a + 2 = 4 - a \] 接下来，考虑 \( f(x) \) 在区间 \([0, 1]\) 内的极值点。由前面的分析可知，导数 \( f'(x) = 6x^2 - 2ax \)，在 \( x = 0 \) 和 \( x = \frac{a}{3} \) 处有极值点。 由于 \( 0 < a < 3 \)，所以 \( 0 < \frac{a}{3} < 1 \)，即 \( x = \frac{a}{3} \) 在区间 \([0, 1]\) 内。 计算 \( f(\frac{a}{3}) \)： \[ f\left(\frac{a}{3}\right) = 2\left(\frac{a}{3}\right)^3 - a\left(\frac{a}{3}\right)^2 + 2 = 2\left(\frac{a^3}{27}\right) - a\left(\frac{a^2}{9}\right) + 2 = \frac{2a^3}{27} - \frac{a^3}{9} + 2 = \frac{2a^3}{27} - \frac{3a^3}{27} + 2 = -\frac{a^3}{27} + 2 \] 比较 \( f(0) \)、\( f(1) \) 和 \( f(\frac{a}{3}) \) 的值： \[ f(0) = 2 \] \[ f(1) = 4 - a \] \[ f\left(\frac{a}{3}\right) = -\frac{a^3}{27} + 2 \] 由于 \( 0 < a < 3 \)，所以 \( 4 - a \) 在区间 \([1, 4)\) 内，且 \( -\frac{a^3}{27} + 2 \) 在区间 \((1, 2]\) 内。 因此，最大值 \( M \) 为 \( 4 - a \)，最小值 \( m \) 为 \( -\frac{a^3}{27} + 2 \)。 求 \( M - m \)： \[ M - m = (4 - a) - \left(-\frac{a^3}{27} + 2\right) = 4 - a + \frac{a^3}{27} - 2 = 2 - a + \frac{a^3}{27} \] 由于 \( 0 < a < 3 \)，所以 \( 2 - a \) 在区间 \((1, 2)\) 内，且 \( \frac{a^3}{27} \) 在区间 \((0, \frac{27}{27}) = (0, 1)\) 内。 因此，\( M - m \) 的取值范围为： \[ 1 < 2 - a + \frac{a^3}{27} < 3 \] <eoe> 【答案】当 \( 0 < a < 3 \) 时，函数 \( f(x) \) 在区间 \([0, 1]\) 的最大值 \( M \) 和最小值 \( m \) 的差 \( M - m \) 的取值范围为 \( 1 < M - m < 3 \)。<eoa> |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 要讨论函数 \( f(x) = 2x^3 - ax^2 + 2 \) 的单调性，首先求导得到 \( f'(x) = 6x^2 - 2ax = 2x(3x - a) \)。导数的零点为 \( x = 0 \) 和 \( x = \frac{a}{3} \)。根据 \( a \) 的不同情况分析单调性： - **当 \( a > 0 \)**：导数在区间 \( (-\infty, 0) \) 为正，\( (0, \frac{a}{3}) \) 为负，\( (\frac{a}{3}, +\infty) \) 为正。因此，函数在 \( (-\infty, 0) \) 和 \( (\frac{a}{3}, +\infty) \) 上递增，在 \( (0, \frac{a}{3}) \) 上递减。 - **当 \( a = 0 \)**：导数 \( f'(x) = 6x^2 \geq 0 \)，函数在整个实数域上单调递增。 - **当 \( a < 0 \)**：导数在区间 \( (-\infty, \frac{a}{3}) \) 为正，\( (\frac{a}{3}, 0) \) 为负，\( (0, +\infty) \) 为正。函数在 \( (-\infty, \frac{a}{3}) \) 和 \( (0, +\infty) \) 上递增，在 \( (\frac{a}{3}, 0) \) 上递减。 <eoe> 【答案】 (1) 当 \( a > 0 \) 时，\( f(x) \) 在 \( (-\infty, 0) \) 和 \( (\frac{a}{3}, +\infty) \) 上单调递增，在 \( (0, \frac{a}{3}) \) 上单调递减； 当 \( a = 0 \) 时，\( f(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上单调递增； 当 \( a < 0 \) 时，\( f(x) \) 在 \( (-\infty, \frac{a}{3}) \) 和 \( (0, +\infty) \) 上单调递增，在 \( (\frac{a}{3}, 0) \) 上单调递减。 <eoa> (2)【解析】 当 \( 0 < a < 3 \) 时，考虑区间 \( [0, 1] \)，临界点为 \( x = \frac{a}{3} \)（在区间内）。计算端点 \( x=0 \)、\( x=1 \) 和临界点 \( x=\frac{a}{3} \) 的函数值： - \( f(0) = 2 \) - \( f(1) = 4 - a \) - \( f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 - \frac{a^3}{27} \) 比较各点函数值： - 当 \( 0 < a < 2 \) 时，最大值 \( M = 4 - a \)，最小值 \( m = 2 - \frac{a^3}{27} \)，则 \( M - m = 2 - a + \frac{a^3}{27} \)； - 当 \( 2 \leq a < 3 \) 时，最大值 \( M = 2 \)，最小值 \( m = 2 - \frac{a^3}{27} \)，则 \( M - m = \frac{a^3}{27} \)。 分析取值范围： - 对 \( 0 < a < 2 \)，函数 \( h(a) = 2 - a + \frac{a^3}{27} \) 单调递减，取值范围为 \( \left(\frac{8}{27}, 2\right) \)； - 对 \( 2 \leq a < 3 \)，函数 \( h(a) = \frac{a^3}{27} \) 单调递增，取值范围为 \( \left[\frac{8}{27}, 1\right) \)。 综合得 \( M - m \) 的取值范围为 \( \left[\frac{8}{27}, 2\right) \)。 <eoe> 【答案】 (2) 当 \( 0 < a < 3 \) 时，\( M - m \) 的取值范围为 \( \left[\frac{8}{27}, 2\right) \)。 <eoa> |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| gpto1 | (1) 【解析】 首先，我们求函数 \( f(x) = 2x^3 - ax^2 + 2 \) 的导数以讨论其单调性： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - ax^2 + 2) = 6x^2 - 2ax = 2x(3x - a) \] 令导数为零，求出临界点： \[ f'(x) = 0 \ \Rightarrow \ 2x(3x - a) = 0 \ \Rightarrow \ x = 0 \quad \text{或} \quad x = \frac{a}{3} \] 接下来，我们根据导数的符号讨论函数的单调性。注意到导数 \( f'(x) \) 的符号由 \( x \) 和 \( 3x - a \) 的符号决定。 **当 \( a > 0 \) 时：** 临界点为 \( x = 0 \) 和 \( x = \frac{a}{3} > 0 \)，将实数轴分为三个区间： 1. 当 \( x < 0 \) 时，\( x < 0 \)，\( 3x - a < 0 \)，因此 \( f'(x) = 2x(3x - a) > 0 \)，函数在该区间上单调递增。 2. 当 \( 0 < x < \frac{a}{3} \) 时，\( x > 0 \)，\( 3x - a < 0 \)，\( f'(x) < 0 \)，函数在该区间上单调递减。 3. 当 \( x > \frac{a}{3} \) 时，\( x > 0 \)，\( 3x - a > 0 \)，\( f'(x) > 0 \)，函数在该区间上单调递增。 **当 \( a < 0 \) 时：** 临界点为 \( x = 0 \) 和 \( x = \frac{a}{3} < 0 \)，同样划分区间： 1. 当 \( x < \frac{a}{3} \) 时，\( x < 0 \)，\( 3x - a < 0 \)，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增。 2. 当 \( \frac{a}{3} < x < 0 \) 时，\( x < 0 \)，\( 3x - a > 0 \)，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减。 3. 当 \( x > 0 \) 时，\( x > 0 \)，\( 3x - a > 0 \)，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增。 综上，函数 \( f(x) \) 的单调性如下： - 当 \( x < \min\left(0, \frac{a}{3}\right) \) 时，函数单调递增； - 当 \( \min\left(0, \frac{a}{3}\right) < x < \max\left(0, \frac{a}{3}\right) \) 时，函数单调递减； - 当 \( x > \max\left(0, \frac{a}{3}\right) \) 时，函数单调递增。 <eoe> 【答案】 \( f(x) \) 在区间 \( \left(-\infty, \min\left(0, \frac{a}{3}\right)\right) \) 上单调递增，在 \( \left(\min\left(0, \frac{a}{3}\right), \max\left(0, \frac{a}{3}\right)\right) \) 上单调递减，在 \( \left(\max\left(0, \frac{a}{3}\right), +\infty\right) \) 上单调递增。 <eoa> (2) 【解析】 当 \( 0 < a < 3 \) 时，\( \frac{a}{3} \in (0,1) \)，因此在区间 \( [0,1] \) 内的临界点为 \( x = 0 \) 和 \( x = \frac{a}{3} \)。 计算函数在区间端点和临界点处的函数值： 1. \( x = 0 \) 时， \[ f(0) = 2 \times 0^3 - a \times 0^2 + 2 = 2 \] 2. \( x = 1 \) 时， \[ f(1) = 2 \times 1^3 - a \times 1^2 + 2 = 2 - a + 2 = 4 - a \] 3. \( x = \frac{a}{3} \) 时， \[ f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 \left(\frac{a}{3}\right)^3 - a \left(\frac{a}{3}\right)^2 + 2 = \frac{2a^3}{27} - \frac{a^3}{9} + 2 = 2 - \frac{a^3}{27} \] 接下来，比较这三个值来确定最大值 \( M \) 和最小值 \( m \) ： **当 \( 0 < a < 2 \) 时：** - \( f(1) = 4 - a > 2 = f(0) \)，因为 \( a < 2 \)； - \( f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 - \frac{a^3}{27} < 2 = f(0) \)。 因此，最大值 \( M = f(1) = 4 - a \)，最小值 \( m = f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 - \frac{a^3}{27} \)。 计算 \( M - m \)： \[ M - m = (4 - a) - \left(2 - \frac{a^3}{27}\right) = 2 - a + \frac{a^3}{27} \] **当 \( 2 \leq a < 3 \) 时：** - \( f(1) = 4 - a < 2 = f(0) \)，因为 \( a > 2 \)； - \( f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 - \frac{a^3}{27} < 2 = f(0) \)。 因此，最大值 \( M = f(0) = 2 \)，最小值 \( m = f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 - \frac{a^3}{27} \)。 计算 \( M - m \)： \[ M - m = 2 - \left(2 - \frac{a^3}{27}\right) = \frac{a^3}{27} \] 总结上述计算： - 当 \( 0 < a < 2 \) 时， \[ M - m = 2 - a + \frac{a^3}{27} \] - 当 \( 2 \leq a < 3 \) 时， \[ M - m = \frac{a^3}{27} \] 接下来，求 \( M - m \) 的取值范围。 **当 \( a \) 从 0 增大到 2 时：** \[ M - m = 2 - a + \frac{a^3}{27} \] 当 \( a = 0 \) 时，\( M - m = 2 \)； 当 \( a = 2 \) 时，\( M - m = 2 - 2 + \frac{8}{27} = \frac{8}{27} \)。 **当 \( a \) 从 2 增大到 3 \) 时：** \[ M - m = \frac{a^3}{27} \] 当 \( a = 2 \) 时，\( M - m = \frac{8}{27} \)； 当 \( a = 3 \) 时，\( M - m = \frac{27}{27} = 1 \)。 因此，\( M - m \) 的取值范围为从 \( \frac{8}{27} \) 到 2。 <eoe> 【答案】 当 \( 0 < a < 3 \) 时，\( M - m \) 的取值范围是 \( \frac{8}{27} \leq M - m \leq 2 \)。 <eoa> |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| GPT-4o | (1)【解析】 为了讨论函数 \( f(x) = 2x^3 - ax^2 + 2 \) 的单调性，我们需要求其导数，并分析导数的符号。 首先，求导数 \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - ax^2 + 2) = 6x^2 - 2ax \] 然后，解导数等于零的方程 \( f'(x) = 0 \): \[ 6x^2 - 2ax = 0 \] \[ 2x(3x - a) = 0 \] 得到两个解: \[ x = 0 \] \[ x = \frac{a}{3} \] 接下来，我们通过分析导数的符号来确定函数的单调区间。我们需要检查以下区间内 \( f'(x) \) 的符号: - \( x < 0 \) - \( 0 < x < \frac{a}{3} \) - \( x > \frac{a}{3} \) 取测试点: - 当 \( x \in (-\infty, 0) \) 时，取 \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 6(-1)^2 - 2a(-1) = 6 + 2a > 0 \] 因此 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, 0) \) 单调递增。 - 当 \( x \in (0, \frac{a}{3}) \) 时，取 \( x = \frac{a}{6} \) (注意 \( 0 < \frac{a}{6} < \frac{a}{3} \)): \[ f' \left( \frac{a}{6} \right) = 6 \left( \frac{a}{6} \right)^2 - 2a \left( \frac{a}{6} \right) = \frac{a^2}{6} - \frac{a^2}{3} = \frac{a^2}{6} - \frac{2a^2}{6} = -\frac{a^2}{6} < 0 \] 因此 \( f(x) \) 在 \( (0, \frac{a}{3}) \) 单调递减。 - 当 \( x \in (\frac{a}{3}, \infty) \) 时，取 \( x = 1 \) (注意 \( 1 > \frac{a}{3} \) 当 \( a < 3 \)): \[ f'(1) = 6(1)^2 - 2a(1) = 6 - 2a \] 当 \( 0 < a < 3 \), \( 6 - 2a > 0 \)，因此 \( f(x) \) 在 \( (\frac{a}{3}, \infty) \) 单调递增。 综上所述: - \( f(x) \) 在 \( (-\infty, 0) \) 单调递增; - \( f(x) \) 在 \( (0, \frac{a}{3}) \) 单调递减; - \( f(x) \) 在 \( (\frac{a}{3}, \infty) \) 单调递增。 <eoe> 【答案】\( f(x) \) 在 \( (-\infty, 0) \) 单调递增，在 \( (0, \frac{a}{3}) \) 单调递减，在 \( (\frac{a}{3}, \infty) \) 单调递增。<eoa> (2)【解析】 为了求出 \( f(x) \) 在区间 \([0, 1]\) 的最大值 \( M \) 和最小值 \( m \)，我们需要计算 \( f(x) \) 在该区间的值，并比较端点值和驻点值。 首先，计算 \( f(x) \) 在区间 \([0, 1]\) 的端点值: \[ f(0) = 2 \] \[ f(1) = 2(1)^3 - a(1)^2 + 2 = 2 - a + 2 = 4 - a \] 然后，找出 \( f(x) \) 的驻点。驻点是使 \( f'(x) = 0 \) 的点： \[ 6x^2 - 2ax = 0 \] \[ 2x(3x - a) = 0 \] \[ x = 0 \] \[ x = \frac |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 (1) 由f'(x)=6x^{2}-2ax,令f'(x)=0,得x=0或x=\frac{a}{3},当x\in(-\infty,0)或x\in(\frac{a}{3},+\infty)时,f'(x)>0,当x\in(0,\frac{a}{3})时,f'(x)<0,所以f(x)在(-\infty,0)和(\frac{a}{3},+\infty)上单调递增,在(0,\frac{a}{3})上单调递减.(2)当0<a<3时,由(1)可知f(x)在[0,1]上单调递增,所以M=f(1)=4-a,m=f(0)=2,所以M-m=2-a,因为0<a<3,所以-1<a-2<3,所以M-m的取值范围是(-1,3). 最终结果是(-1,3) |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)当a<0时,f(x)在R上单调递增;当a=0时,f(x)在R上单调递增;当a>0时,f(x)在(-\infty,\frac{a}{3})上单调递减,在(\frac{a}{3},+\infty)上单调递增.(2)当0<a<3时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以M=f(0)=2,m=f(1)=4-a,所以M-m=a-2,所以M-m的取值范围是(-2,1). 最终结果是(-2,1) |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们需要找到函数 $f(x) = 2x^3 - ax^2 + 2$ 的导数，以确定其单调性。计算导数 $f'(x)$：\n\n\\[ f'(x) = \\frac{d}{dx}(2x^3 - ax^2 + 2) = 6x^2 - 2ax \\]\n\n接下来，我们需要找到导数 $f'(x)$ 的零点，以确定函数的极值点。设 $f'(x) = 0$，解方程：\n\n\\[ 6x^2 - 2ax = 0 \\]\n\\[ 2x(3x - a) = 0 \\]\n\n这给出了两个解：\n\n\\[ x = 0 \\]\n\\[ x = \\frac{a}{3} \\]\n\n为了讨论函数的单调性，我们需要分析导数 $f'(x)$ 在这些零点之间和外部的符号。考虑 $f'(x)$ 在不同区间的符号：\n\n- 当 $x < 0$ 时，$6x^2 - 2ax$ 的符号取决于 $a$ 的符号。由于 $a$ 是常数，$6x^2$ 是正的，$-2ax$ 是负的，因此 $f'(x) > 0$。\n- 当 $0 < x < \\frac{a}{3}$ 时，$6x^2 - 2ax$ 的符号取决于 $a$ 的符号。由于 $a$ 是常数，$6x^2$ 是正的，$-2ax$ 是负的，因此 $f'(x) < 0$。\n- 当 $x > \\frac{a}{3}$ 时，$6x^2 - 2ax$ 的符号取决于 $a$ 的符号。由于 $a$ 是常数，$6x^2$ 是正的，$-2ax$ 是正的，因此 $f'(x) > 0$。\n\n综上所述，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\\infty, 0)$ 和 $(\\frac{a}{3}, \\infty)$ 上是单调递增的，在区间 $(0, \\frac{a}{3})$ 上是单调递减的。<eoe>\n\n【答案】函数 $f(x)$ 在区间 $(-\\infty, 0)$ 和 $(\\frac{a}{3}, \\infty)$ 上单调递增，在区间 $(0, \\frac{a}{3})$ 上单调递减。<eoa>\n\n(2)【解析】 当 $0 < a < 3$ 时，我们需要确定 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最大值 $M$ 和最小值 $m$，并求 $M - m$ 的取值范围。\n\n首先，计算 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上的值：\n\n\\[ f(0) = 2 \\]\n\\[ f(1) = 2(1)^3 - a(1)^2 + 2 = 4 - a \\]\n\n接下来，计算 $f(x)$ 在 $x = \\frac{a}{3}$ 处的值。由于 $0 < a < 3$，$\\frac{a}{3}$ 在区间 $[0, 1]$ 内。计算 $f\\left(\\frac{a}{3}\\right)$：\n\n\\[ f\\left(\\frac{a}{3}\\right) = 2\\left(\\frac{a}{3}\\right)^3 - a\\left(\\frac{a}{3}\\right)^2 + 2 = 2\\left(\\frac{a^3}{27}\\right) - a\\left(\\frac{a^2}{9}\\right) + 2 = \\frac{2a^3}{27} - \\frac{a^3}{9} + 2 = \\frac{2a^3 - 3a^3}{27} + 2 = -\\frac{a^3}{27} + 2 \\]\n\n比较 $f(0)$、$f(1)$ 和 $f\\left(\\frac{a}{3}\\right)$ 的值：\n\n- $f(0) = 2$\n- $f(1) = 4 - a$\n- $f\\left(\\frac{a}{3}\\right) = -\\frac{a^3}{27} + 2$\n\n由于 $0 < a < 3$，我们有 $4 - a > 2$，因此 $f(1)$ 是最大值 $M$。最小值 $m$ 可能是 $f(0)$ 或 $f\\left(\\frac{a}{3}\\right)$。\n\n比较 $f(0)$ 和 $f\\left(\\frac{a}{3}\\right)$：\n\n- 当 $a = 0$ 时，$f\\left(\\frac{a}{3}\\right) = 2$，与 $f(0)$ 相同。\n- 当 $0 < a < 3$ 时，$-\\frac{a^3}{27} + 2 < 2$，因此 $f\\left(\\frac{a}{3}\\right)$ 是最小值 $m$。\n\n因此，$M - m = (4 - a) - \\left(-\\frac{a^3}{27} + 2\\right) = 4 - a + \\frac{a^3}{27} - 2 = 2 - a + \\frac{a^3}{27}$。\n\n我们需要确定 $2 - a + \\frac{a^3}{27}$ 的取值范围。由于 $0 < a < 3$，我们可以分析其极值：\n\n- 当 $a = 0$ 时，$2 - a + \\frac{a^3}{27} = 2$。\n- 当 $a = 3$ 时，$2 - a + \\frac{a^3}{27} = 2 - 3 + \\frac{27}{27} = 0$。\n\n因此，$M - m$ 的取值范围是 $(0, 2)$。<eoe>\n\n【答案】$M - m$ 的取值范围是 $(0, 2)$。<eoa>" | 【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 要讨论函数 $f(x)=2x^3-ax^2+2$ 的单调性，首先需要计算其一阶导数，然后分析导数的正负，从而判断函数的增减性。<eoe>\n\n【答案】\n计算 $f(x)$ 的一阶导数得到：\n\\[f'(x) = 6x^2 - 2ax = 2x(3x - a)\\]\n\n令 $f'(x) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = \\frac{a}{3}$。\n\n- 当 $x < 0$ 或 $x > \\frac{a}{3}$ 时，$f'(x) > 0$，函数 $f(x)$ 单调递增；\n- 当 $0 < x < \\frac{a}{3}$ 时，$f'(x) < 0$，函数 $f(x)$ 单调递减。\n\n因此，函数 $f(x)$ 在 $(-\\infty, 0)$ 和 $(\\frac{a}{3}, +\\infty)$ 上单调递增，在 $(0, \\frac{a}{3})$ 上单调递减。<eoa>\n\n(2)【解析】 当 $0 < a < 3$ 时，我们注意到 $\\frac{a}{3} \\in (0, 1)$。根据(1)中的分析，$f(x)$ 在 $[0, 1]$ 区间内，先在 $x = 0$ 处单调递增，然后在 $x = \\frac{a}{3}$ 处达到局部最大值（或极小值），之后在 $x = 1$ 处单调递增。因此，$f(x)$ 在 $[0, 1]$ 区间上的最大值和最小值可能出现在端点 $x = 0$ 或 $x = 1$，或者在内部的极值点 $x = \\frac{a}{3}$ 处。我们首先计算 $f(x)$ 在这些点的值，然后比较以确定最大值 $M$ 和最小值 $m$，最后计算 $M - m$ 的范围。<eoe>\n\n【答案】\n计算 $f(x)$ 在 $x = 0$，$x = 1$ 和 $x = \\frac{a}{3}$ 处的值：\n\\[f(0) = 2\\]\n\\[f(1) = 4 - a\\]\n\\[f(\\frac{a}{3}) = 2(\\frac{a}{3})^3 - a(\\frac{a}{3})^2 + 2 = 2 - \\frac{a^3}{27}\\]\n\n由于 $0 < a < 3$，则：\n- $f(0) = 2$；\n- $f(1) = 4 - a$，随着 $a$ 的增加，$f(1)$ 减小，但是始终大于 $1$；\n- $f(\\frac{a}{3}) = 2 - \\frac{a^3}{27}$，随着 $a$ 的增加，$f(\\frac{a}{3})$ 减小，但是始终大于 $1$。\n\n最大值 $M$ 和最小值 $m$ 依赖于 $a$ 的具体值，但可以确定的是，$M$ 和 $m$ 的可能值在 $f(0)$，$f(1)$ 和 $f(\\frac{a}{3})$ 之间。\n\n- $M$ 可能是 $f(0)$ 或 $f(1)$，取决于 $a$ 的值；\n- $m$ 可能是 $f(\\frac{a}{3})$，因为它是 $f(x)$ 在 $(0, 1)$ 内的局部最小值。\n\n计算 $M - m$ 的范围，考虑到 $f(1) - f(\\frac{a}{3}) = (4 - a) - (2 - \\frac{a^3}{27}) = 2 - a + \\frac{a^3}{27}$，随着 $a$ 的增加，该差值减小，但始终大于 $1$（因为当 $a = 0$ 时，差值为 $2$；当 $a = 3$ 时，差值为 $1$）。\n\n因此，$M - m$ 的取值范围是 $(1, 2]$。<eoa>" | 【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| baichuan4 | (1)【解析】首先，我们需要找到函数 $f(x)=2x^{3}-ax^{2}+2$ 的导数，以确定其单调性。计算导数得到 $f'(x) = 6x^{2} - 2ax$。为了讨论函数的单调性，我们需要分析导数的符号。 令 $f'(x) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = \frac{a}{3}$。这意味着函数在 $x = 0$ 和 $x = \frac{a}{3}$ 处可能有单调性的改变。 接下来，我们分三种情况讨论： - 当 $a=0$ 时，$f'(x) = 6x^{2}$ 总是非负的，所以 $f(x)$ 在整个实数域上是单调递增的。 - 当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(\frac{a}{3}, +\infty)$ 上单调递增，在 $(0, \frac{a}{3})$ 上单调递减。 - 当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty, \frac{a}{3})$ 和 $(0, +\infty)$ 上单调递增，在 $(\frac{a}{3}, 0)$ 上单调递减。 综上所述，$f(x)$ 的单调性取决于参数 $a$ 的值。当 $a=0$ 时，$f(x)$ 单调递增；当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(\frac{a}{3}, +\infty)$ 上单调递增，在 $(0, \frac{a}{3})$ 上单调递减；当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty, \frac{a}{3})$ 和 $(0, +\infty)$ 上单调递增，在 $(\frac{a}{3}, 0)$ 上单调递减。 【答案】$f(x)$ 的单调性取决于参数 $a$ 的值。当 $a=0$ 时，$f(x)$ 单调递增；当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(\frac{a}{3}, +\infty)$ 上单调递增，在 $(0, \frac{a}{3})$ 上单调递减；当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty, \frac{a}{3})$ 和 $(0, +\infty)$ 上单调递增，在 $(\frac{a}{3}, 0)$ 上单调递减。 (2)【解析】当 $0 < a < 3$ 时，由于 $f(x)$ 是一个三次多项式函数，它在区间 $[0,1]$ 上的最大值 $M$ 和最小值 $m$ 只能在端点或者极值点取得。 由于 $f'(x) = 6x^{2} - 2ax$，令 $f'(x) = 0$ 得到 $x = 0$ 或 $x = \frac{a}{3}$。因为 $0 < a < 3$，所以 $0 < \frac{a}{3} < 1$，这意味着 $\frac{a}{3}$ 在区间 $[0,1]$ 内。 因此，$M$ 和 $m$ 可能在 $x = 0$，$x = 1$ 或 $x = \frac{a}{3}$ 处取得。我们计算这三个点的函数值： - $f(0) = 2$ - $f(1) = 2 - a + 2 = 4 - a$ - $f(\frac{a}{3}) = 2(\frac{a}{3})^{3} - a(\frac{a}{3})^{2} + 2 = -\frac{2a^{3}}{27} + 2$ 由于 $0 < a < 3$，我们可以确定 $f(0)$ 和 $f(1)$ 的值，但是 $f(\frac{a}{3})$ 的值取决于 $a$ 的具体值。然而，我们可以找到 $M-m$ 的取值范围。 由于 $f(0) = 2$，$f(1) = 4 - a$，我们知道 $M$ 要么是 $2$ 要么是 $4 - a$，取决于哪个更大。同样，$m$ 要么是 $2$ 要么是 $4 - a$，取决于哪个更小。 因此，$M-m$ 的取值范围是 $[0, 2]$，因为当 $a$ 接近 $0$ 时，$M-m$ 接近 $2$，而当 $a$ 接近 $3$ 时，$M-m$ 接近 $0$。 【答案】$M-m$ 的取值范围是 $[0, 2]$。 |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| doubao | (1)【解析】对函数$f(x)=2x^3-ax^2+2$求导可得$f'(x)=6x^2-2ax=2x(3x-a)$。 令$f'(x)=0$，即$2x(3x-a)=0$，则$x=0$或$x=\frac{a}{3}$。 当$a<0$时，当$x<\frac{a}{3}$或$x>0$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增；当$\frac{a}{3}<x<0$时，$f'(x)<0$，函数$f(x)$单调递减。 当$a=0$时，$f'(x)=6x^2\geq0$，函数$f(x)$在$R$上单调递增。 当$a>0$时，当$x<0$或$x>\frac{a}{3}$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增；当$0<x<\frac{a}{3}$时，$f'(x)<0$，函数$f(x)$单调递减。<eoe> 【答案】当$a<0$时，函数$f(x)$在$(-\infty,\frac{a}{3})$和$(0,+\infty)$上单调递增，在$(\frac{a}{3},0)$上单调递减；当$a=0$时，函数$f(x)$在$R$上单调递增；当$a>0$时，函数$f(x)$在$(-\infty,0)$和$(\frac{a}{3},+\infty)$上单调递增，在$(0,\frac{a}{3})$上单调递减。<eoa> (2)【解析】当$0<a<3$时，$0<\frac{a}{3}<1$。 则$f(x)$在$[0,\frac{a}{3}]$上单调递减，在$[\frac{a}{3},1]$上单调递增。 所以$f(x)_{min}=f(\frac{a}{3})=2(\frac{a}{3})^3-a(\frac{a}{3})^2+2=2-\frac{a^3}{27}$。 $f(0)=2$，$f(1)=2-a+2=4-a$。 当$0<a\leq2$时，$f(x)_{max}=f(1)=4-a$；当$2<a<3$时，$f(x)_{max}=f(0)=2$。 当$0<a\leq2$时，$M-m=f(x)_{max}-f(x)_{min}=4-a-(2-\frac{a^3}{27})=2+\frac{a^3}{27}-a$，令$g(a)=2+\frac{a^3}{27}-a$，对其求导可得$g'(a)=\frac{a^2}{9}-1<0$，所以$g(a)$在$(0,2]$上单调递减，$g(2)=2+\frac{8}{27}-2=\frac{8}{27}$，$g(0)=2$，所以$M-m\in [\frac{8}{27},2)$。 当$2<a<3$时，$M-m=2-(2-\frac{a^3}{27})=\frac{a^3}{27}\in (\frac{8}{27},1)$。 综上，$M-m$的取值范围是$[\frac{8}{27},2)$。<eoe> 【答案】$[\frac{8}{27},2)$<eoa> |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| minimax | (1)【解析】要讨论函数$f(x)=2x^3-ax^2+2$的单调性，我们需要计算其一阶导数$f'(x)$。一阶导数的符号变化可以帮助我们判断函数的单调递增或递减区间。计算一阶导数后，我们找出导数为零的点，这些点可能是函数的极值点，也可能是单调性改变的分界点。然后，我们可以通过分析导数的符号来确定函数在不同区间的单调性。<eoe> 【答案】首先计算$f(x)$的一阶导数： $$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - ax^2 + 2) = 6x^2 - 2ax.$$ 为了找出导数的零点，我们解方程$f'(x) = 0$： $$6x^2 - 2ax = 0 \Rightarrow 2x(3x - a) = 0.$$ 解得$x = 0$或$x = \frac{a}{3}$。 接下来，我们分析导数的符号变化： - 当$x < 0$时，$f'(x) > 0$（因为$6x^2$和$-2ax$都是负的，但$6x^2$的绝对值更大，所以$f'(x)$为正）； - 当$0 < x < \frac{a}{3}$时，$f'(x) < 0$（因为$6x^2$和$-2ax$都是正的，但$-2ax$的绝对值更大，所以$f'(x)$为负）； - 当$x > \frac{a}{3}$时，$f'(x) > 0$（因为$6x^2$和$-2ax$都是正的，且$6x^2$的绝对值更大，所以$f'(x)$为正）。 因此，函数$f(x)$在$(-\infty, 0)$区间单调递增，在$(0, \frac{a}{3})$区间单调递减，在$(\frac{a}{3}, +\infty)$区间单调递增。 综上所述，函数$f(x)$的单调性如下： - 当$x < 0$时，$f(x)$单调递增； - 当$0 < x < \frac{a}{3}$时，$f(x)$单调递减； - 当$x > \frac{a}{3}$时，$f(x)$单调递增。<eoa> (2)【解析】要求函数$f(x)=2x^3-ax^2+2$在区间$[0,1]$的最大值$M$和最小值$m$，我们需要考虑区间端点处的函数值以及导数为零的点（如果这些点在区间$[0,1]$内）。由于我们已经知道导数为零的点是$x=0$和$x=\frac{a}{3}$，我们需要比较这三个点的函数值来确定最大值和最小值。特别地，当$0<a<3$时，$\frac{a}{3}$在区间$(0,1)$内，因此我们需要计算$f(0)$、$f(\frac{a}{3})$和$f(1)$的值，并比较它们来确定$M$和$m$。<eoe> 【答案】首先计算端点处的函数值： $$f(0) = 2 \cdot 0^3 - a \cdot 0^2 + 2 = 2,$$ $$f(1) = 2 \cdot 1^3 - a \cdot 1^2 + 2 = 2 - a + 2 = 4 - a.$$ 接下来，计算$x=\frac{a}{3}$处的函数值： $$f\left(\frac{a}{3}\right) = 2\left(\frac{a}{3}\right)^3 - a\left(\frac{a}{3}\right)^2 + 2 = \frac{2a^3}{27} - \frac{a^3}{9} + 2 = \frac{2a^3 - 3a^3}{27} + 2 = -\frac{a^3}{27} + 2.$$ 现在我们需要比较$f(0)$、$f(\frac{a}{3})$和$f(1)$的值来确定$M$和$m$： - 由于$0 < a < 3$，则$0 < \frac{a}{3} < 1$，所以$f(\frac{a}{3})$在区间$[0,1]$内； - $f(0) = 2$； - $f(1) = 4 - a$； - $f(\frac{a}{3}) = -\frac{a^3}{27} + 2$。 我们需要比较这三个值来确定最大值$M$和最小值$m$。由于$a$的取值范围是$(0,3)$，我们可以分析如下： - 当$a$接近0时，$f(1)$接近$4$，而$f(\frac{a}{3})$接近$2$，所以$M = f(1)$，$m = f(\frac{a}{3})$； - 当$a$接近3时，$f(1)$接近$1$，而$f(\frac{a}{3})$仍然接近$2$，所以$M = f(\frac{a}{3})$，$m = f(1)$。 因此，$M-m$的取值范围可以通过比较$f(1)$和$f(\frac{a}{3})$的最大差值来确定。由于$f(1)$随$a$增大而减小，而$f(\frac{a}{3})$随$a$增大而减小，但减小的速度更快，所以$M-m$的最大值发生在$a$接近0时，此时$M-m$接近$4-2=2$。而最小值发生在$a$接近3时，此时$M-m$接近$2-1=1$。 综上所述，$M-m$的取值范围是$(1, 2]$。<eoa> |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| kimi | (1)【解析】要讨论函数 $f(x)=2x^3-ax^2+2$ 的单调性，我们需要求出函数的导数 $f'(x)$。导数的正负可以决定函数的单调性。 首先，我们求导数： $$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - ax^2 + 2) = 6x^2 - 2ax.$$ 为了找到单调区间，我们需要解不等式 $f'(x) > 0$ 和 $f'(x) < 0$。 令 $f'(x) > 0$，我们得到： $$6x^2 - 2ax > 0 \Rightarrow 3x^2 - ax > 0 \Rightarrow x(3x - a) > 0.$$ 令 $f'(x) < 0$，我们得到： $$6x^2 - 2ax < 0 \Rightarrow 3x^2 - ax < 0 \Rightarrow x(3x - a) < 0.$$ 接下来，我们根据 $a$ 的值来讨论函数的单调性。 <eoe> 【答案】 当 $a \leq 0$ 时，$f'(x) = 6x^2 - 2ax \geq 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立，所以函数 $f(x)$ 在整个实数域上单调递增。 当 $a > 0$ 时，令 $f'(x) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = \frac{a}{3}$。 - 当 $x < 0$ 或 $x > \frac{a}{3}$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增。 - 当 $0 < x < \frac{a}{3}$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。 <eoa> (2)【解析】已知 $0 < a < 3$，根据第一部分的分析，我们知道函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 和 $(\frac{a}{3}, +\infty)$ 上单调递增，在区间 $(0, \frac{a}{3})$ 上单调递减。 由于 $0 < a < 3$，我们有 $0 < \frac{a}{3} < 1$，所以函数在区间 $[0,1]$ 上先减后增。 因此，函数在区间 $[0,1]$ 上的最大值 $M$ 出现在端点 $x=1$ 或 $x=\frac{a}{3}$，最小值 $m$ 出现在端点 $x=0$ 或 $x=\frac{a}{3}$。 我们需要计算 $f(0)$，$f(1)$ 和 $f(\frac{a}{3})$ 来确定最大值和最小值。 $$f(0) = 2 \cdot 0^3 - a \cdot 0^2 + 2 = 2,$$ $$f(1) = 2 \cdot 1^3 - a \cdot 1^2 + 2 = 4 - a,$$ $$f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 \left(\frac{a}{3}\right)^3 - a \left(\frac{a}{3}\right)^2 + 2 = 2 \cdot \frac{a^3}{27} - \frac{a^3}{9} + 2 = 2 - \frac{a^3}{27}.$$ 比较这三个值，我们可以得到最大值和最小值。 <eoe> 【答案】 最大值 $M$ 为 $f(0)$ 和 $f(1)$ 中的较大者，即 $M = \max\{2, 4-a\}$。 最小值 $m$ 为 $f(0)$ 和 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 中的较小者，即 $m = \min\{2, 2 - \frac{a^3}{27}\}$。 计算 $M - m$ 的取值范围： $$M - m = \max\{2, 4-a\} - \min\{2, 2 - \frac{a^3}{27}\}.$$ 由于 $0 < a < 3$，我们有 $4 |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 首先，我们需要求出函数$f(x)$的导数$f^{\prime}(x)$，由导数的定义和运算法则，我们有 $f^{\prime}(x) = 2 \times 3x^{2} - a \times 2x = 6x^{2} - 2ax = 6x(x - \frac{a}{3})$ 然后，我们需要根据$a$的取值范围，分别讨论$f^{\prime}(x)$的正负，从而确定$f(x)$的单调性。 当$a < 0$时，$\frac{a}{3} < 0$，由$f^{\prime}(x) = 6x(x - \frac{a}{3})$，我们可以得出，当$x < \frac{a}{3}$或$x > 0$时，$f^{\prime}(x) > 0$，即$f(x)$在$(-\infty,\frac{a}{3})$和$(0,+\infty)$上单调递增，当$\frac{a}{3} < x < 0$时，$f^{\prime}(x) < 0$，即$f(x)$在$(\frac{a}{3},0)$上单调递减； 当$a = 0$时，$f^{\prime}(x) = 6x^{2} \geq 0$，即$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增； 当$a > 0$时，$\frac{a}{3} > 0$，由$f^{\prime}(x) = 6x(x - \frac{a}{3})$，我们可以得出，当$x < 0$或$x > \frac{a}{3}$时，$f^{\prime}(x) > 0$，即$f(x)$在$(-\infty,0)$和$(\frac{a}{3},+\infty)$上单调递增，当$0 < x < \frac{a}{3}$时，$f^{\prime}(x) < 0$，即$f(x)$在$(0,\frac{a}{3})$上单调递减。 <eoe> (2)【解析】 由(1)我们知道，当$0 < a < 3$时，函数$f(x)$在$(0,\frac{a}{3})$上单调递减，在$(\frac{a}{3},1)$上单调递增，所以，函数在区间$[0,1]$的最大值$M = max{f(0),f(1)}$，最小值$m = f(\frac{a}{3})$。 然后，我们需要求出$M - m$，并确定其取值范围。 由$f(0) = 2,f(1) = 2 - a + 2 = 4 - a$，我们有$M = max{f(0),f(1)} = max{2,4 - a}$，由$f(\frac{a}{3}) = 2{(\frac{a}{3})}^{3} - a{(\frac{a}{3})}^{2} + 2 = 2 - \frac{a^{3}}{27}$，我们有$m = f(\frac{a}{3}) = 2 - \frac{a^{3}}{27}$。 所以，$M - m = max{2,4 - a} - (2 - \frac{a^{3}}{27}) = max{\frac{a^{3}}{27},2 - \frac{2a}{27}}$。 令$2 - \frac{2a}{27} = 0$，解得$a = 27$，所以当$0 < a < 3$时，$2 - \frac{2a}{27} > 0$，所以$M - m = 2 - \frac{2a}{27} \in (2 - \frac{2}{9},2)$。 <eoe> |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们需要求出函数 \( f(x) = 2x^3 - ax^2 + 2 \) 的导数，以讨论其单调性。 求导数： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - ax^2 + 2) = 6x^2 - 2ax \] 将导数 \( f'(x) \) 写成零点形式： \[ f'(x) = 2x(3x - a) \] 令 \( f'(x) = 0 \)，解得： \[ 2x(3x - a) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{或} \quad x = \frac{a}{3} \] 接下来，我们需要根据导数的符号来讨论函数的单调性。 1. 当 \( a > 0 \) 时： - 在区间 \( (-\infty, 0) \)，\( f'(x) = 2x(3x - a) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递减。 - 在区间 \( \left(0, \frac{a}{3}\right) \)，\( f'(x) = 2x(3x - a) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递减。 - 在区间 \( \left(\frac{a}{3}, +\infty\right) \)，\( f'(x) = 2x(3x - a) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增。 2. 当 \( a = 0 \) 时： - \( f'(x) = 6x^2 \geq 0 \)，函数 \( f(x) \) 在整个实数域上单调递增。 3. 当 \( a < 0 \) 时： - 在区间 \( (-\infty, \frac{a}{3}) \)，\( f'(x) = 2x(3x - a) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增。 - 在区间 \( \left(\frac{a}{3}, 0\right) \)，\( f'(x) = 2x(3x - a) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递减。 - 在区间 \( (0, +\infty) \)，\( f'(x) = 2x(3x - a) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增。 综上所述： - 当 \( a > 0 \) 时，\( f(x) \) 在 \( (-\infty, 0) \) 和 \( \left(0, \frac{a}{3}\right) \) 单调递减，在 \( \left(\frac{a}{3}, +\infty\right) \) 单调递增。 - 当 \( a = 0 \) 时，\( f(x) \) 在整个实数域上单调递增。 - 当 \( a < 0 \) 时，\( f(x) \) 在 \( (-\infty, \frac{a}{3}) \) 和 \( (0, +\infty) \) 单调递增，在 \( \left(\frac{a}{3}, 0\right) \) 单调递减。<eoe> 【答案】 - 当 \( a > 0 \) 时，\( f(x) \) 在 \( (-\infty, 0) \) 和 \( \left(0, \frac{a}{3}\right) \) 单调递减，在 \( \left(\frac{a}{3}, +\infty\right) \) 单调递增。 - 当 \( a = 0 \) 时，\( f(x) \) 在整个实数域上单调递增。 - 当 \( a < 0 \) 时，\( f(x) \) 在 \( (-\infty, \frac{a}{3}) \) 和 \( (0, +\infty) \) 单调递增，在 \( \left(\frac{a}{3}, 0\right) \) 单调递减。<eoa> (2)【解析】 当 \( 0 < a < 3 \) 时，我们需要求出函数 \( f(x) \) 在区间 \( [0, 1] \) 上的最大值 \( M \) 和最小值 \( m \)，然后求 \( M - m \) 的取值范围。 首先，计算 \( f(x) \) 在区间端点和临界点的值： - \( f(0) = 2(0)^3 - a(0)^2 + 2 = 2 \) - \( f(1) = 2(1)^3 - a(1)^2 + 2 = 4 - a \) 临界点 \( x = \frac{a}{3} \) 在区间 \( [0, 1] \) 内，因为 \( 0 < a < 3 \)： \[ f\left(\frac{a}{3}\right) = 2\left(\frac{a}{3}\right)^3 - a\left(\frac{a}{3}\right)^2 + 2 = 2 \cdot \frac{a^3}{27} - a \cdot \frac{a^2}{9} + 2 = \frac{2a^3}{27} - \frac{a^3}{9} + 2 = \frac{2a^3 - 3a^3}{27} + 2 = -\frac{a^3}{27} + 2 \] 因此，区间 \( [0, 1] \) 上的函数值为： - \( f(0) = 2 \) - \( f(1) = 4 - a \) - \( f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 - \frac{a^3}{27} \) 比较这三个值来确定最大值 \( M \) 和最小值 \( m \)： - \( f(0) = 2 \) - \( f(1) = 4 - a \) - \( f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 - \frac{a^3}{27} \) 由于 \( 0 < a < 3 \)，可以比较 \( f(1) \) 和 \( f\left(\frac{a}{3}\right) \)： \[ f(1) - f\left(\frac{a}{3}\right) = (4 - a) - \left(2 - \frac{a^3}{27}\right) = 2 - a + \frac{a^3}{27} \] 考虑 \( 0 < a < 3 \)，显然 \( 2 - a \) 是递减的，而 \( \frac{a^3}{27} \) 是递增的，但 \( \frac{a^3}{27} \) 的增长速度较慢，因此 \( f(1) \) 大于 \( f\left(\frac{a}{3}\right) \)。 所以，最大值 \( M = 4 - a \)，最小值 \( m = 2 - \frac{a^3}{27} \)。 求 \( M - m \)： \[ M - m = (4 - a) - \left(2 - \frac{a^3}{27}\right) = 2 - a + \frac{a^3}{27} \] 考虑 \( 0 < a < 3 \)： - 当 \( a \to 0 \) 时，\( M - m \to 2 \) - 当 \( a \to 3 \) 时，\( M - m \to 2 - 3 + \frac{27}{27} = 0 \) 因此，\( M - m \) 的取值范围是 \( (0, 2) \)。<eoe> 【答案】 \( M - m \) 的取值范围是 \( (0, 2) \)。<eoa> |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| gpto1 | (1) 【解析】 首先，我们求函数 \( f(x) = 2x^3 - ax^2 + 2 \) 的导数以讨论其单调性： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - ax^2 + 2) = 6x^2 - 2ax = 2x(3x - a) \] 令导数为零，求出临界点： \[ f'(x) = 0 \ \Rightarrow \ 2x(3x - a) = 0 \ \Rightarrow \ x = 0 \quad \text{或} \quad x = \frac{a}{3} \] 接下来，我们根据导数的符号讨论函数的单调性。注意到导数 \( f'(x) \) 的符号由 \( x \) 和 \( 3x - a \) 的符号决定。 **当 \( a > 0 \) 时：** 临界点为 \( x = 0 \) 和 \( x = \frac{a}{3} > 0 \)，将实数轴分为三个区间： 1. 当 \( x < 0 \) 时，\( x < 0 \)，\( 3x - a < 0 \)，因此 \( f'(x) = 2x(3x - a) > 0 \)，函数在该区间上单调递增。 2. 当 \( 0 < x < \frac{a}{3} \) 时，\( x > 0 \)，\( 3x - a < 0 \)，\( f'(x) < 0 \)，函数在该区间上单调递减。 3. 当 \( x > \frac{a}{3} \) 时，\( x > 0 \)，\( 3x - a > 0 \)，\( f'(x) > 0 \)，函数在该区间上单调递增。 **当 \( a < 0 \) 时：** 临界点为 \( x = 0 \) 和 \( x = \frac{a}{3} < 0 \)，同样划分区间： 1. 当 \( x < \frac{a}{3} \) 时，\( x < 0 \)，\( 3x - a < 0 \)，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增。 2. 当 \( \frac{a}{3} < x < 0 \) 时，\( x < 0 \)，\( 3x - a > 0 \)，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减。 3. 当 \( x > 0 \) 时，\( x > 0 \)，\( 3x - a > 0 \)，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增。 综上，函数 \( f(x) \) 的单调性如下： - 当 \( x < \min\left(0, \frac{a}{3}\right) \) 时，函数单调递增； - 当 \( \min\left(0, \frac{a}{3}\right) < x < \max\left(0, \frac{a}{3}\right) \) 时，函数单调递减； - 当 \( x > \max\left(0, \frac{a}{3}\right) \) 时，函数单调递增。 <eoe> 【答案】 \( f(x) \) 在区间 \( \left(-\infty, \min\left(0, \frac{a}{3}\right)\right) \) 上单调递增，在 \( \left(\min\left(0, \frac{a}{3}\right), \max\left(0, \frac{a}{3}\right)\right) \) 上单调递减，在 \( \left(\max\left(0, \frac{a}{3}\right), +\infty\right) \) 上单调递增。 <eoa> (2) 【解析】 当 \( 0 < a < 3 \) 时，\( \frac{a}{3} \in (0,1) \)，因此在区间 \( [0,1] \) 内的临界点为 \( x = 0 \) 和 \( x = \frac{a}{3} \)。 计算函数在区间端点和临界点处的函数值： 1. \( x = 0 \) 时， \[ f(0) = 2 \times 0^3 - a \times 0^2 + 2 = 2 \] 2. \( x = 1 \) 时， \[ f(1) = 2 \times 1^3 - a \times 1^2 + 2 = 2 - a + 2 = 4 - a \] 3. \( x = \frac{a}{3} \) 时， \[ f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 \left(\frac{a}{3}\right)^3 - a \left(\frac{a}{3}\right)^2 + 2 = \frac{2a^3}{27} - \frac{a^3}{9} + 2 = 2 - \frac{a^3}{27} \] 接下来，比较这三个值来确定最大值 \( M \) 和最小值 \( m \) ： **当 \( 0 < a < 2 \) 时：** - \( f(1) = 4 - a > 2 = f(0) \)，因为 \( a < 2 \)； - \( f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 - \frac{a^3}{27} < 2 = f(0) \)。 因此，最大值 \( M = f(1) = 4 - a \)，最小值 \( m = f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 - \frac{a^3}{27} \)。 计算 \( M - m \)： \[ M - m = (4 - a) - \left(2 - \frac{a^3}{27}\right) = 2 - a + \frac{a^3}{27} \] **当 \( 2 \leq a < 3 \) 时：** - \( f(1) = 4 - a < 2 = f(0) \)，因为 \( a > 2 \)； - \( f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 - \frac{a^3}{27} < 2 = f(0) \)。 因此，最大值 \( M = f(0) = 2 \)，最小值 \( m = f\left(\frac{a}{3}\right) = 2 - \frac{a^3}{27} \)。 计算 \( M - m \)： \[ M - m = 2 - \left(2 - \frac{a^3}{27}\right) = \frac{a^3}{27} \] 总结上述计算： - 当 \( 0 < a < 2 \) 时， \[ M - m = 2 - a + \frac{a^3}{27} \] - 当 \( 2 \leq a < 3 \) 时， \[ M - m = \frac{a^3}{27} \] 接下来，求 \( M - m \) 的取值范围。 **当 \( a \) 从 0 增大到 2 时：** \[ M - m = 2 - a + \frac{a^3}{27} \] 当 \( a = 0 \) 时，\( M - m = 2 \)； 当 \( a = 2 \) 时，\( M - m = 2 - 2 + \frac{8}{27} = \frac{8}{27} \)。 **当 \( a \) 从 2 增大到 3 \) 时：** \[ M - m = \frac{a^3}{27} \] 当 \( a = 2 \) 时，\( M - m = \frac{8}{27} \)； 当 \( a = 3 \) 时，\( M - m = \frac{27}{27} = 1 \)。 因此，\( M - m \) 的取值范围为从 \( \frac{8}{27} \) 到 2。 <eoe> 【答案】 当 \( 0 < a < 3 \) 时，\( M - m \) 的取值范围是 \( \frac{8}{27} \leq M - m \leq 2 \)。 <eoa> |
【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-9f136adc-fb7d-9d1b-a63c-27bbdcadc1a5', 'request_id': '9f136adc-fb7d-9d1b-a63c-27bbdcadc1a5'} | 【详解】(1) 对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$. 所以有 当 $a<0$ 时, $\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增, $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减, $(0,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a=0$ 时, $(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增; 当 $a>0$ 时, $(-\infty, 0)$ 区间上单调递增, $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减, $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增. 若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$.而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$. 所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$, 设函数 $g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$, 求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减. 而 $0<a \leq 2$, 所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$. 即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. 若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减, 在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增, 所以区间 $[0,1]$ 上最小值 为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$, 故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$. 所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$, 而 $2<a<3$, 所以 $\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$.即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$. 综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$. |