| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | '(1)【解析】 已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右焦点 $F(c,0)$，其中 $c=\sqrt{a^2-b^2}$。由于椭圆的中心与抛物线 $C_{2}$ 的顶点重合，且 $F$ 与 $C_{2}$ 的焦点重合，可以推断 $C_{2}$ 的焦点到准线的距离为 $c$，因此 $C_{2}$ 的标准方程可以写为 $y^2=4cx$。 由于过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$，我们可以利用这个条件求出椭圆的离心率。 对于椭圆 $C_1$，在 $x=c$ 时，$A$ 和 $B$ 的坐标可以表示为 $(c, \pm \frac{b^2}{a})$，因此 $|AB| = \frac{2b^2}{a}$。 对于抛物线 $C_2$，在 $x=c$ 时，$C$ 和 $D$ 的坐标可以表示为 $(c, \pm 2c)$，因此 $|CD| = 4c$。 根据题目条件 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$，我们有 $4c = \frac{4}{3} \cdot \frac{2b^2}{a}$，化简得到 $c = \frac{2b^2}{3a}$。由于 $c^2 = a^2 - b^2$，我们可以将 $c$ 的表达式代入，得到 $a^2 - b^2 = \left(\frac{2b^2}{3a}\right)^2$，进一步化简得到 $9a^4 - 9a^2b^2 = 4b^4$。 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，我们已经知道 $c = \frac{2b^2}{3a}$，所以 $e = \frac{2b^2}{3a^2}$。为了求 $e$，我们需要解出 $a$ 和 $b$ 的关系。 将 $c = \frac{2b^2}{3a}$ 代入 $c^2 = a^2 - b^2$，得到 $\left(\frac{2b^2}{3a}\right)^2 = a^2 - b^2$，进一步化简得到 $4b^4 = 9a^4 - 9a^2b^2$，与之前的方程相同。从这个方程中解出 $a$ 和 $b$ 的关系，我们得到 $e = \frac{2b^2}{3a^2}$。但是，我们更直接地从 $c = \frac{2b^2}{3a}$ 和 $c^2 = a^2 - b^2$ 可以解出 $e^2 = \frac{c^2}{a^2} = \frac{4b^4}{9a^4} = \frac{4}{9}$，因此 $e = \frac{2}{3}$。<eoe> 【答案】 椭圆 $C_{1}$ 的离心率 $e = \frac{2}{3}$。<eoa> (2)【解析】 根据题意，椭圆 $C_{1}$ 的四个顶点到 $C_{2}$ 的准线距离之和为 12。椭圆的四个顶点坐标分别为 $(\pm a, 0)$ 和 $(0, \pm b)$。抛物线 $C_{2}$ 的准线方程为 $x = -c$。 对于点 $(\pm a, 0)$，到准线 $x = -c$ 的距离为 $a + c$ 和 $a - (-c) = a + c$，因此这两个点到准线的距离之和为 $2(a + c)$。 对于点 $(0, \pm b)$，到准线 $x = -c$ 的距离为 $c$ 和 $c$，因此这两个点到准线的距离之和为 $2c$。 因此，四个顶点到准线的距离之和为 $2(a + c) + 2c = 2a + 4c$。 根据题意，$2a + 4c = 12$。 由 (1) 中的分析，我们知道 $e = \frac{2}{3}$，即 $\frac{c}{a} = \frac{2}{3}$，从而 $c = \frac{2a}{3}$。 将 $c = \frac{2a}{3}$ 代入 $2a + 4c = 12$，得到 $2a + \frac{8a}{3} = 12$，化简得到 $\frac{14a}{3} = 12$，从而 $a = \frac{18}{7}$。 由于 $c = \frac{2a}{3}$，代入 $a = \frac{18}{7}$ 得到 $c = \frac{12}{7}$。 由 $c^2 = a^2 - b^2$，代入 $a = \frac{18}{7}$ 和 $c = \frac{12}{7}$，得到 $\left(\frac{12}{7}\right)^2 = \left(\frac{18}{7}\right)^2 - b^2$，解得 $b^2 = \left(\frac{18}{7}\right)^2 - \left(\frac{12}{7}\right)^2 = \frac{216}{49} - \frac{144}{49} = \frac{72}{49}$。 因此，椭圆 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{\left(\frac{18}{7}\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{72}{49}\right)} = 1$，简化得到 $\frac{x^2}{\frac{324}{49}} + \frac{y^2}{\frac{72}{49}} = 1$。 抛物线 $C_{2}$ 的焦点到准线的距离为 $c = \frac{12}{7}$，因此其标准方程为 $y^2 = 4cx = 4 \cdot \frac{12}{7}x = \frac{48}{7}x$。<eoe> 【答案】 椭圆 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{\frac{324}{49}} + \frac{y^2}{\frac{72}{49}} = 1$，即 $\frac{x^2}{\left(\frac{18}{7}\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{72}{49}\right)} = 1$。 抛物线 $C_{2}$ 的标准方程为 $y^2 = \frac{48}{7}x$。<eoa>' |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 椭圆的右焦点F坐标为(c,0)，其中c=√(a²−b²)。抛物线C₂的焦点也为(c,0)，故其方程为y²=4cx，准线为x=−c。过F的直线x=c与椭圆相交于A、B两点，代入椭圆方程得y=±b²/a，故|AB|=2b²/a。与抛物线相交于C、D两点，代入得y=±2c，故|CD|=4c。根据条件4c=(4/3)(2b²/a)，解得3ac=2b²。结合椭圆关系b²=a²−c²，代入得3ac=2(a²−c²)，整理为2e²+3e−2=0（e=c/a），解得e=1/2。 <eoe> 【答案】 椭圆的离心率为$\boxed{\dfrac{1}{2}}$。 <eoa> (2)【解析】 椭圆四个顶点为(±a,0)、(0,±b)，到抛物线准线x=−c的距离和为：(a+c)+(a−c)+c+c=2a+2c=12，得a+c=6。由e=1/2得c=a/2，代入得a=4，c=2，b²=12。椭圆方程为x²/16+y²/12=1。抛物线焦点为(2,0)，方程为y²=8x。 <eoe> 【答案】 椭圆的标准方程为$\boxed{\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{12}=1}$，抛物线的标准方程为$\boxed{y^{2}=8x}$。 <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| gpto1 | **(1)【解析】** 椭圆 $C_1$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点在 $(\pm ae, 0)$ 处，其中 $e$ 为离心率。已知椭圆 $C_1$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_2$ 的焦点重合，且 $C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合。因此，抛物线 $C_2$ 的焦点在 $(ae, 0)$，顶点在原点，其标准方程为 $y^2 = 4p x$，其中 $p = ae$。 过 $F$ 作与 $x$ 轴垂直的直线 $x = ae$，此直线与椭圆 $C_1$ 相交于 $A$, $B$ 两点，与抛物线 $C_2$ 相交于 $C$, $D$ 两点。 求出 $|AB|$： 在 $x = ae$ 处，代入椭圆方程，得： $$ \frac{(ae)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ e^2 + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ \frac{y^2}{b^2} = 1 - e^2 \\ y = \pm b \sqrt{1 - e^2} $$ 所以 $|AB| = 2b \sqrt{1 - e^2}$。 求出 $|CD|$： 在 $x = ae$ 处，代入抛物线方程，得： $$ y^2 = 4p x = 4ae \cdot ae = 4a^2 e^2 \\ y = \pm 2a e $$ 所以 $|CD| = 2 \cdot 2a e = 4a e$。 根据条件 $|CD| = \frac{4}{3} |AB|$，代入上述结果： $$ 4a e = \frac{4}{3} \cdot 2b \sqrt{1 - e^2} \\ 4a e = \frac{8}{3} b \sqrt{1 - e^2} $$ 利用椭圆的关系 $b^2 = a^2 (1 - e^2)$，可得： $$ b = a \sqrt{1 - e^2} \\ $$ 代入上式： $$ 4a e = \frac{8}{3} a \sqrt{1 - e^2} \cdot \sqrt{1 - e^2} \\ 4a e = \frac{8}{3} a (1 - e^2) \\ 4 e = \frac{8}{3} (1 - e^2) \\ $$ 整理得： $$ 4 e = \frac{8}{3} (1 - e^2) \\ 12 e = 8(1 - e^2) \\ 12 e = 8 - 8 e^2 \\ 8 e^2 + 12 e - 8 = 0 \\ $$ 两边同时除以 4： $$ 2 e^2 + 3 e - 2 = 0 \\ $$ 解这个二次方程： $$ e = \frac{ -3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)} }{ 2 \cdot 2 } = \frac{ -3 \pm \sqrt{9 + 16} }{4} = \frac{ -3 \pm \sqrt{25} }{4} $$ 所以： $$ e = \frac{ -3 \pm 5 }{4} $$ 取正值： $$ e = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ **<eoe>** **【答案】** 椭圆 $C_1$ 的离心率为 $e = \dfrac{1}{2}$。 **<eoa>** --- **(2)【解析】** 已知椭圆 $C_1$ 的四个顶点到抛物线 $C_2$ 的准线之和为 $12$。抛物线 $C_2$ 的准线方程为 $x = -p = -a e$。 椭圆的顶点为 $(\pm a, 0)$ 和 $(0, \pm b)$。 计算各顶点到准线的距离： - 对于 $(a, 0)$： $$ d_1 = |a - (-a e)| = a (1 + e) $$ - 对于 $(-a, 0)$： $$ d_2 = |-a - (-a e)| = a (e - 1) = a (1 - e) $$ - 对于 $(0, b)$ 和 $(0, -b)$，由于它们的 $x$ 坐标为 $0$： $$ d_3 = d_4 = |0 - (-a e)| = a e $$ 所以距离之和为： $$ S = d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = a(1 + e) + a(1 - e) + 2 a e = 2 a + 2 a e = 2 a (1 + e) $$ 根据条件 $S = 12$，得： $$ 2 a (1 + e) = 12 \\ a (1 + e) = 6 \\ $$ 由于 $e = \dfrac{1}{2}$，所以： $$ a \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) = 6 \\ a \cdot \dfrac{3}{2} = 6 \\ a = 4 \\ $$ 利用 $b = a \sqrt{1 - e^2}$，代入 $e = \dfrac{1}{2}$： $$ b = 4 \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = 4 \sqrt{1 - \dfrac{1}{4}} = 4 \sqrt{\dfrac{3}{4}} = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} $$ 所以椭圆 $C_1$ 的标准方程为： $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{(2 \sqrt{3})^2} = \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1 $$ 抛物线 $C_2$ 的焦距为 $p = a e = 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2$，所以其标准方程为： $$ (y - k)^2 = 4 p (x - h) $$ 由于顶点在原点 $(0, 0)$，焦点在 $(2, 0)$，所以抛物线开口向右，标准方程为： $$ y^2 = 4 \cdot 2 x \\ y^2 = 8 x $$ **<eoe>** **【答案】** (2) 椭圆 $C_1$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{12} = 1$；抛物线 $C_2$ 的标准方程为 $y^2 = 8 x$。 **<eoa>** |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| GPT-4o | (1)【解析】 首先，我们知道椭圆 $C_{1}$ 的方程是 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a > b > 0$。椭圆的焦点坐标为 $(\pm c, 0)$，其中 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$。 由于椭圆 $C_{1}$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，且椭圆 $C_{1}$ 的中心与抛物线 $C_{2}$ 的顶点重合，因此抛物线 $C_{2}$ 的方程可以表示为 $y^2 = 4px$。 由于 $F$ 的坐标为 $(c, 0)$，我们可以得出抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标为 $(c, 0)$，即 $p = c$。 接下来，过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线为 $x = c$。这条直线交椭圆 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交抛物线 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点。 对于椭圆 $C_{1}$： 代入 $x = c$，我们有 $\frac{c^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，即 $\frac{c^2}{a^2} = 1 - \frac{y^2}{b^2}$，即 $y^2 = b^2 (1 - \frac{c^2}{a^2}) = b^2 \frac{a^2 - c^2}{a^2} = b^2 \frac{b^2}{a^2}$，即 $y^2 = \frac{b^4}{a^2}$，因此 $y = \pm \frac{b^2}{a}$。所以，$|AB| = 2 \frac{b^2}{a}$。 对于抛物线 $C_{2}$： 代入 $x = c$，我们有 $y^2 = 4pc = 4c^2$，即 $y = \pm 2c$。所以，$|CD| = 4c$。 根据题意$|CD| = \frac{4}{3}|AB|$，我们有 $4c = \frac{4}{3} \cdot 2 \frac{b^2}{a}$，即 $4c = \frac{8b^2}{3a}$，即 $c = \frac{2b^2}{3a}$。 由于 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$，我们有 $\frac{2b^2}{3a} = \sqrt{a^2 - b^2}$。两边平方，我们得到 $\left(\frac{2b^2}{3a}\right)^2 = a^2 - b^2$，即 $\frac{4b^4}{9a^2} = a^2 - b^2$，即 $4b^4 = 9a^4 - 9a^2 b^2$，即 $4b^4 + 9a^2 b^2 = 9a^4$。 将其整理成标准二次方程形式： $9a^4 - 9a^2 b^2 - 4b^4 = 0$。 令 $t = a^2$，$s = b^2$，我们有 $9t^2 - 9ts - 4s^2 = 0$。 这是一个关于 $t$ 的二次方程，解它： $9t^2 - 9ts - 4s^2 = 0$，即 $t = \frac{9s \pm \sqrt{81s^2 + 16s^2}}{18} = \frac{9s \pm \sqrt{97s^2}}{18}$，即 $t = \frac{9s \pm \sqrt{97}s}{18}$，即 $t = \frac{s(9 + \sqrt{97})}{18}$ 或 $t = \frac{s(9 - \sqrt{97})}{18}$。 我们选择正解 $t = \frac{s(9 + \sqrt{97})}{18}$，即 $a^2 = \frac{b^2(9 + \sqrt{97})}{18}$ |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由题意可知,抛物线C_{2}的方程为y^{2}=4x,由|CD|=\frac{4}{3}|AB|可得\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},即 |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由题意可得F(c,0),C_{2}:y^{2}=4cx,由\begin{cases}y^{2}=4cx\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{cases}得b^{2}x^{2}+4a^{2}cx-4a^{2}b^{2}=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=-\frac{4a2c}{b^{2}},x_{1}x_{2}=-\frac{4a2b^{2}}{b^{2}}=-4a^{2},所以|AB|=x_{1}+x_{2}+2c=\frac{4a2c}{b^{2}}+2c=\frac |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们知道椭圆 $C_{1}$ 的右焦点 $F$ 的坐标是 $(c, 0)$，其中 $c = \\sqrt{a^2 - b^2}$。抛物线 $C_{2}$ 的焦点也是 $F$，所以抛物线的方程可以写成 $y^2 = 4px$，其中 $p$ 是焦点到顶点的距离，即 $p = c$。\n\n过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线方程为 $x = c$。将 $x = c$ 代入椭圆方程 $\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1$，得到 $\\frac{c^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1$，解得 $y = \\pm \\frac{b}{a} \\sqrt{a^2 - c^2} = \\pm \\frac{b}{a} b = \\pm \\frac{b^2}{a}$。所以，$A$ 和 $B$ 的坐标分别是 $(c, \\frac{b^2}{a})$ 和 $(c, -\\frac{b^2}{a})$，因此 $|AB| = 2 \\frac{b^2}{a}$。\n\n将 $x = c$ 代入抛物线方程 $y^2 = 4pc$，得到 $y^2 = 4pc^2$，解得 $y = \\pm 2pc$。所以，$C$ 和 $D$ 的坐标分别是 $(c, 2pc)$ 和 $(c, -2pc)$，因此 $|CD| = 4pc$。\n\n根据题意，$|CD| = \\frac{4}{3} |AB|$，即 $4pc = \\frac{4}{3} \\cdot 2 \\frac{b^2}{a}$，解得 $pc = \\frac{b^2}{3a}$。由于 $p = c$，所以 $c^2 = \\frac{b^2}{3a}$，即 $c^2 = \\frac{b^2}{3a}$。\n\n我们知道 $c = \\sqrt{a^2 - b^2}$，所以 $\\sqrt{a^2 - b^2}^2 = \\frac{b^2}{3a}$，即 $a^2 - b^2 = \\frac{b^2}{3a}$。解这个方程，我们得到 $a^2 = \\frac{4b^2}{3a}$，即 $3a^3 = 4b^2$，所以 $b^2 = \\frac{3a^3}{4}$。\n\n椭圆的离心率 $e = \\frac{c}{a}$，所以 $e = \\frac{\\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \\frac{\\sqrt{a^2 - \\frac{3a^3}{4}}}{a} = \\frac{\\sqrt{\\frac{a^2}{4}}}{a} = \\frac{1}{2}$。<eoe>\n【答案】$\\frac{1}{2}$<eoa>\n\n(2)【解析】 椭圆 $C_{1}$ 的四个顶点分别是 $(\\pm a, 0)$ 和 $(0, \\pm b)$。抛物线 $C_{2}$ 的准线方程为 $x = -p$，即 $x = -c$。\n\n四个顶点到准线的距离分别是 $|a - (-c)| = a + c$，$|a - (-c)| = a + c$，$|0 - (-c)| = c$，$|0 - (-c)| = c$。所以，四个顶点到准线的距离之和为 $2(a + c) + 2c = 2a + 4c$。\n\n根据题意，$2a + 4c = 12$，即 $a + 2c = 6$。我们知道 $c = \\frac{1}{2}a$，所以 $a + 2 \\cdot \\frac{1}{2}a = 6$，即 $2a = 6$，所以 $a = 3$。\n\n因此，$c = \\frac{1}{2}a = \\frac{1}{2} \\cdot 3 = \\frac{3}{2}$。我们知道 $b^2 = a^2 - c^2 = 3^2 - \\left(\\frac{3}{2}\\right)^2 = 9 - \\frac{9}{4} = \\frac{27}{4}$，所以 $b = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}$。\n\n所以，椭圆 $C_{1}$ 的标准方程为 $\\frac{x^2}{9} + \\frac{y^2}{\\left(\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\right)^2} = 1$，即 $\\frac{x^2}{9} + \\frac{4y^2}{27} = 1$。\n\n抛物线 $C_{2}$ 的标准方程为 $y^2 = 4px$，即 $y^2 = 4 \\cdot \\frac{3}{2} \\cdot x = 6x$。<eoe>\n【答案】椭圆 $C_{1}$ 的标准方程为 $\\frac{x^2}{9} + \\frac{4y^2}{27} = 1$，抛物线 $C_{2}$ 的标准方程为 $y^2 = 6x$<eoa>" | 【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】\n已知椭圆 $C_{1}: \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右焦点 $F(c,0)$，其中 $c=\\sqrt{a^2-b^2}$。由于椭圆的中心与抛物线 $C_{2}$ 的顶点重合，且 $F$ 与 $C_{2}$ 的焦点重合，可以推断 $C_{2}$ 的焦点到准线的距离为 $c$，因此 $C_{2}$ 的标准方程可以写为 $y^2=4cx$。\n\n由于过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\\frac{4}{3}|A B|$，我们可以利用这个条件求出椭圆的离心率。\n\n对于椭圆 $C_1$，在 $x=c$ 时，$A$ 和 $B$ 的坐标可以表示为 $(c, \\pm \\frac{b^2}{a})$，因此 $|AB| = \\frac{2b^2}{a}$。\n\n对于抛物线 $C_2$，在 $x=c$ 时，$C$ 和 $D$ 的坐标可以表示为 $(c, \\pm 2c)$，因此 $|CD| = 4c$。\n\n根据题目条件 $|C D|=\\frac{4}{3}|A B|$，我们有 $4c = \\frac{4}{3} \\cdot \\frac{2b^2}{a}$，化简得到 $c = \\frac{2b^2}{3a}$。由于 $c^2 = a^2 - b^2$，我们可以将 $c$ 的表达式代入，得到 $a^2 - b^2 = \\left(\\frac{2b^2}{3a}\\right)^2$，进一步化简得到 $9a^4 - 9a^2b^2 = 4b^4$。\n\n离心率 $e = \\frac{c}{a} = \\frac{\\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，我们已经知道 $c = \\frac{2b^2}{3a}$，所以 $e = \\frac{2b^2}{3a^2}$。为了求 $e$，我们需要解出 $a$ 和 $b$ 的关系。\n\n将 $c = \\frac{2b^2}{3a}$ 代入 $c^2 = a^2 - b^2$，得到 $\\left(\\frac{2b^2}{3a}\\right)^2 = a^2 - b^2$，进一步化简得到 $4b^4 = 9a^4 - 9a^2b^2$，与之前的方程相同。从这个方程中解出 $a$ 和 $b$ 的关系，我们得到 $e = \\frac{2b^2}{3a^2}$。但是，我们更直接地从 $c = \\frac{2b^2}{3a}$ 和 $c^2 = a^2 - b^2$ 可以解出 $e^2 = \\frac{c^2}{a^2} = \\frac{4b^4}{9a^4} = \\frac{4}{9}$，因此 $e = \\frac{2}{3}$。<eoe>\n\n【答案】\n椭圆 $C_{1}$ 的离心率 $e = \\frac{2}{3}$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n根据题意，椭圆 $C_{1}$ 的四个顶点到 $C_{2}$ 的准线距离之和为 12。椭圆的四个顶点坐标分别为 $(\\pm a, 0)$ 和 $(0, \\pm b)$。抛物线 $C_{2}$ 的准线方程为 $x = -c$。\n\n对于点 $(\\pm a, 0)$，到准线 $x = -c$ 的距离为 $a + c$ 和 $a - (-c) = a + c$，因此这两个点到准线的距离之和为 $2(a + c)$。\n\n对于点 $(0, \\pm b)$，到准线 $x = -c$ 的距离为 $c$ 和 $c$，因此这两个点到准线的距离之和为 $2c$。\n\n因此，四个顶点到准线的距离之和为 $2(a + c) + 2c = 2a + 4c$。\n\n根据题意，$2a + 4c = 12$。\n\n由 (1) 中的分析，我们知道 $e = \\frac{2}{3}$，即 $\\frac{c}{a} = \\frac{2}{3}$，从而 $c = \\frac{2a}{3}$。\n\n将 $c = \\frac{2a}{3}$ 代入 $2a + 4c = 12$，得到 $2a + \\frac{8a}{3} = 12$，化简得到 $\\frac{14a}{3} = 12$，从而 $a = \\frac{18}{7}$。\n\n由于 $c = \\frac{2a}{3}$，代入 $a = \\frac{18}{7}$ 得到 $c = \\frac{12}{7}$。\n\n由 $c^2 = a^2 - b^2$，代入 $a = \\frac{18}{7}$ 和 $c = \\frac{12}{7}$，得到 $\\left(\\frac{12}{7}\\right)^2 = \\left(\\frac{18}{7}\\right)^2 - b^2$，解得 $b^2 = \\left(\\frac{18}{7}\\right)^2 - \\left(\\frac{12}{7}\\right)^2 = \\frac{216}{49} - \\frac{144}{49} = \\frac{72}{49}$。\n\n因此，椭圆 $C_{1}$ 的标准方程为 $\\frac{x^2}{\\left(\\frac{18}{7}\\right)^2} + \\frac{y^2}{\\left(\\frac{72}{49}\\right)} = 1$，简化得到 $\\frac{x^2}{\\frac{324}{49}} + \\frac{y^2}{\\frac{72}{49}} = 1$。\n\n抛物线 $C_{2}$ 的焦点到准线的距离为 $c = \\frac{12}{7}$，因此其标准方程为 $y^2 = 4cx = 4 \\cdot \\frac{12}{7}x = \\frac{48}{7}x$。<eoe>\n\n【答案】\n椭圆 $C_{1}$ 的标准方程为 $\\frac{x^2}{\\frac{324}{49}} + \\frac{y^2}{\\frac{72}{49}} = 1$，即 $\\frac{x^2}{\\left(\\frac{18}{7}\\right)^2} + \\frac{y^2}{\\left(\\frac{72}{49}\\right)} = 1$。\n\n抛物线 $C_{2}$ 的标准方程为 $y^2 = \\frac{48}{7}x$。<eoa>" | 【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| baichuan4 | (1)【解析】 首先，我们知道椭圆的右焦点 $F$ 的坐标是 $(\sqrt{a^2-b^2},0)$，因为椭圆的焦点在 $x$ 轴上，且距离中心 $\sqrt{a^2-b^2}$。抛物线 $C_{2}$ 的焦点也是 $(\sqrt{a^2-b^2},0)$，因为题目中说 $C_{1}$ 的右焦点与 $C_{2}$ 的焦点重合。 过焦点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线方程是 $x=\sqrt{a^2-b^2}$。将这个方程代入椭圆的方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，我们可以解出 $y$ 的值，即 $A$ 和 $B$ 两点的 $y$ 坐标。同理，我们也可以求出 $C$ 和 $D$ 两点的 $y$ 坐标。 由于 $|CD| = \frac{4}{3}|AB|$，我们可以建立比例关系，进而求出 $a$ 和 $b$ 的关系，从而得到椭圆的离心率 $e = \frac{c}{a}$，其中 $c = \sqrt{a^2-b^2}$。 【答案】 设 $A(B)$ 的 $y$ 坐标为 $y_1$，$C(D)$ 的 $y$ 坐标为 $y_2$，则 $$y_1^2 = b^2(1-\frac{a^2-b^2}{a^2}) = \frac{b^4}{a^2}$$ $$y_2^2 = \frac{4}{9}y_1^2 = \frac{4b^4}{9a^2}$$ 由于抛物线的准线方程为 $x = -\frac{p}{2}$，其中 $p$ 为焦距，且抛物线方程为 $y^2 = 2px$，我们有 $$\frac{4b^4}{9a^2} = 2p(\sqrt{a^2-b^2})$$ $$2p = \frac{4b^4}{9a^2(\sqrt{a^2-b^2})}$$ 抛物线的焦点到准线的距离为 $p$，所以 $p = \frac{b^4}{9a^2(\sqrt{a^2-b^2})}$。 椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，根据抛物线的性质，$p = \frac{1}{4e}$，所以我们有 $$\frac{b^4}{9a^2(\sqrt{a^2-b^2})} = \frac{1}{4}\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$ $$4b^4 = 9a^3(a^2-b^2)^{1/2}$$ $$(a^2-b^2)^{3/2} = \frac{4b^4}{9a^3}$$ $$a^2-b^2 = (\frac{4b^4}{9a^3})^{2/3}$$ $$a^2-b^2 = \frac{2b^{8/3}}{3a^{2}}$$ $$a^{14/3} = \frac{2b^{8/3}}{3} + b^{14/3}$$ $$a^{14/3} = \frac{2b^{8/3}+3b^{14/3}}{3}$$ $$3a^{14/3} = 2b^{8/3}+3b^{14/3}$$ 这是关于 $a$ 和 $b$ 的关系式，但是我们需要进一步处理以得到离心率的表达式。让我们回到原来的比例关系： $$\frac{y_2^2}{y_1^2} = \frac{4}{9}$$ $$\frac{2p(\sqrt{a^2-b^2})}{b^2(1-\frac{a^2-b^2}{a^2})} = \frac{4}{9}$$ $$\frac{2p(\sqrt{a^2-b^2})}{b^2-(a^2-b^2)} = \frac{4}{9}$$ $$\frac{2p(\sqrt{a^2-b^2})}{2b^2-a^2} = \frac{4}{9}$$ $$p(\sqrt{a^2-b^2}) = \frac{2b^2-a^2}{9}$$ $$p = \frac{2b^2-a^2}{9(\sqrt{a^2-b^2})}$$ 由于 $p = \frac{b^4}{9a^2(\sqrt{a^2-b^2})}$，我们有 $$\frac{2b^2-a^2}{9(\sqrt{a^2-b^2})} = \frac{b^4}{9a^2(\sqrt{a^2-b^2})}$$ $$2b^2-a^2 = \frac{b^4}{a^2}$$ $$2b^2 = a^2 + \frac{b^4}{a^2}$$ $$2b^2a^2 = a^4 + b^4$$ $$a^4 - 2b^2a^2 + b^4 = 0$$ $$(a^2 - b^2)^2 = 2b^2a^2$$ $$a^2 - b^2 = \sqrt{2}b^2a^{-1}$$ $$a^2(1 - \sqrt{2}b^{-1}) = b^2(1 - \sqrt{2}a^{-1})$$ 这个方程表明 $a$ 和 $b$ 必须满足一定的比例关系。然而，我们还需要更多的信息来解决这个问题。让我们重新审视原始的比例关系： $$\frac{y_2^2}{y_1^2} = \frac{4}{9}$$ $$\frac{2p(\sqrt{a^2-b^2})}{b^2(1-\frac{a^2-b^2}{a^2})} = \frac{4}{9}$$ $$18p(\sqrt{a^2-b^2}) = 4b^2(1-\frac{a^2-b^2}{a^2})$$ $$18p(\sqrt{a^2-b^2}) = 4b^2 - 4(a^2-b^2)$$ $$18p(\sqrt{a^2-b^2}) = 4b^2 - 4a^2 + 4b^2$$ $$18p(\sqrt{a^2-b^2}) = 8b^2 - 4a^2$$ $$9p(\sqrt{a^2-b^2}) = 4b^2 - 2a^2$$ 由于 $p = \frac{b^4}{9a^2(\sqrt{a^2-b^2})}$，我们有 $$9(\frac{b^4}{9a^2(\sqrt{a^2-b^2})})(\sqrt{a^2-b^2}) = 4b^2 - 2a^2$$ $$b^4 = 4b^2a^2 - 2a^4$$ $$b^4 + 2a^4 = 4b^2a^2$$ $$(b^2 + a^2)^2 = 4b^2a^2 + b^4 + a^4$$ $$(b^2 + a^2)^2 = 4b^2a^2 + 2b^2a^2 + a^4$$ $$(b^2 + a^2)^2 = 6b^2a^2 + a^4$$ $$b^4 + 2b^2a^2 + a^4 = 6b^2a^2 + a^4$$ $$b^4 = 4b^2a^2$$ $$b^2 = 4a^2$$ 这意味着 $b$ 是 $a$ 的两倍，这与我们的直觉相矛盾，因为我们期望 $a$ 大于 $b$。因此，我们必须重新审视我们的推理过程。 我们的错误在于我们没有正确处理抛物线和椭圆的几何关系。让我们重新审视这个问题： 由于 |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| doubao | (1)【解析】设椭圆右焦点$F(c,0)$，抛物线方程为$y^2=2px(p>0)$，则$\frac{p}{2}=c$，$p=2c$，抛物线方程为$y^2=4cx$。当$x=c$时，$|AB|=\frac{2b^2}{a}$，$|CD|=4c$。由$|CD|=\frac{4}{3}|AB|$，可得$4c=\frac{4}{3}\times\frac{2b^2}{a}$，即$3ac=2b^2$，又$b^2=a^2-c^2$，可得$3ac=2(a^2-c^2)$，整理得$2a^2-3ac-2c^2=0$，即$(2a+c)(a-2c)=0$，因为$a>0$，$c>0$，所以$2a+c>0$，则$a-2c=0$，$a=2c$，所以椭圆$C_1$的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。<eoe> 【答案】椭圆$C_1$的离心率为$\frac{1}{2}$。<eoa> (2)【解析】由(1)知$a=2c$，$b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{3}c$，椭圆$C_1$的四个顶点坐标分别为$(a,0)$，$(-a,0)$，$(0,b)$，$(0,-b)$，抛物线$C_2$的准线方程为$x=-\frac{p}{2}=-c$。由椭圆$C_1$的四个顶点到$C_2$的准线距离之和为 12，可得$a+a+c+b+c-b=12$，即$2a+2c=12$，将$a=2c$代入可得$4c+2c=12$，$6c=12$，$c=2$，$a=4$，$b=2\sqrt{3}$，所以椭圆$C_1$的标准方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，抛物线$C_2$的标准方程为$y^2=8x$。<eoe> 【答案】椭圆$C_1$的标准方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，抛物线$C_2$的标准方程为$y^2=8x$。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| minimax | (1)【解析】首先，我们知道椭圆的离心率 $e$ 定义为 $e = \frac{c}{a}$，其中 $c$ 是焦点到中心的距离，$a$ 是椭圆的半长轴。由于椭圆 $C_{1}$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，我们可以设椭圆的右焦点为 $(c, 0)$，其中 $c = ae$。抛物线的焦点到顶点的距离也是 $c$，因为抛物线的焦点到顶点的距离等于 $p/2$，其中 $p$ 是焦点到准线的距离，而抛物线的焦点、顶点和准线共线。 由于直线过焦点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直，它将与椭圆在 $x$ 轴的正半轴和负半轴各交于一点，设这两点为 $A$ 和 $B$，则 $|AB| = 2a$。同理，这条直线与抛物线在 $x$ 轴的正半轴和负半轴各交于一点，设这两点为 $C$ 和 $D$，则 $|CD| = 2c$。根据题目条件 $|CD| = \frac{4}{3}|AB|$，我们可以得到 $2c = \frac{4}{3} \cdot 2a$，即 $c = \frac{2}{3}a$。 现在我们可以求出椭圆的离心率 $e$： \[ e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{2}{3}a}{a} = \frac{2}{3} \]<eoe> 【答案】椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$。<eoa> (2)【解析】根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于 $2a$。由于椭圆的右焦点 $F$ 与抛物线的焦点重合，我们可以设抛物线的准线方程为 $x = -d$，其中 $d$ 是焦点到准线的距离。抛物线的标准方程为 $y^2 = 4px$，其中 $p$ 是焦点到准线的距离，即 $p = d$。 由于椭圆的四个顶点到抛物线的准线距离之和为 12，我们可以写出以下等式： \[ 2a + 2b + 2a - 2b = 12 \] \[ 4a = 12 \] \[ a = 3 \] 由于我们已经知道 $c = \frac{2}{3}a$，我们可以计算出 $c$ 的值： \[ c = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 \] 现在我们可以计算出 $b$ 的值，因为 $c^2 = a^2 - b^2$： \[ b^2 = a^2 - c^2 \] \[ b^2 = 3^2 - 2^2 \] \[ b^2 = 9 - 4 \] \[ b^2 = 5 \] \[ b = \sqrt{5} \] 现在我们有了椭圆的参数 $a$ 和 $b$，可以写出椭圆的标准方程： \[ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{(\sqrt{5})^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \] 对于抛物线，我们已经知道 $p = d$，而 $c = p$，所以 $d = 2$。因此，抛物线的标准方程为： \[ y^2 = 4 \cdot 2x \] \[ y^2 = 8x \]<eoe> 【答案】椭圆 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$，抛物线 $C_{2}$ 的标准方程为 $y^2 = 8x$。<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| kimi | (1)【解析】 首先，我们知道椭圆 $C_{1}$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合。设椭圆的半焦距为 $c$，则抛物线的焦距也为 $c$。 对于椭圆，我们有 $a^2 = b^2 + c^2$。 对于抛物线，其标准方程为 $y^2 = 4cx$，焦点坐标为 $(c, 0)$。 过焦点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，交抛物线于 $C, D$ 两点。由于椭圆关于 $x$ 轴对称，所以 $A, B$ 两点关于 $x$ 轴对称，即 $A(-c, y_A), B(-c, -y_A)$。同样，抛物线关于 $x$ 轴对称，所以 $C, D$ 两点关于 $x$ 轴对称，即 $C(-c, y_C), D(-c, -y_C)$。 根据题意，$|CD| = \frac{4}{3}|AB|$，即 $2y_C = \frac{4}{3} \cdot 2y_A$，得到 $y_C = \frac{2}{3}y_A$。 由于抛物线的性质，我们知道 $y_C = 2c$，所以 $y_A = 3y_C = 6c$。 因为 $A, B$ 在椭圆上，所以有 $\frac{c^2}{a^2} + \frac{y_A^2}{b^2} = 1$，代入 $y_A = 6c$ 得到 $\frac{c^2}{a^2} + \frac{36c^2}{b^2} = 1$。 又因为 $a^2 = b^2 + c^2$，我们可以解出 $a^2$ 和 $b^2$ 的关系。 离心率 $e = \frac{c}{a}$，我们可以求出 $e$。 <eoe> 【答案】 由 $\frac{c^2}{a^2} + \frac{36c^2}{b^2} = 1$ 和 $a^2 = b^2 + c^2$，我们可以得到 $37c^2 = a^2b^2$。 解得 $a^2 = 37c^2$，所以离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sqrt{37}}$。 <eoa> (2)【解析】 已知椭圆 $C_{1}$ 的四个顶点到抛物线 $C_{2}$ 的准线距离之和为 12。抛物线的准线方程为 $x = -c$。 椭圆的四个顶点为 $(\pm a, 0)$ 和 $(0, \pm b)$，它们到准线的距离分别为 $a + c$ 和 $c + a$。 所以，$(a + c) + (a + c) + (c - a) + (c - a) = 12$，即 $4c = 12$，得到 $c = 3$。 由椭圆的半焦距 $c = 3$ 和离心率 $e = \frac{1}{\sqrt{37}}$，我们可以求出 $a$ 和 $b$ 的值。 <eoe> 【答案】 由 $c = 3$ 和 $e = \frac{1}{\sqrt{37}}$，我们有 $a = \frac{37}{\sqrt{37}} = \sqrt{37}$。 由于 $a^2 = b^2 + c^2$，我们可以得到 $b^2 = a^2 - c^2 = 37 - 9 = 28$。 所以，椭圆 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{37} + \frac{y^2}{28} = 1$。 抛物线 $C_{2}$ 的标准方程为 $y^2 = 12x$。 <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 设椭圆$C_{1}$的右焦点为$F(c,0)$，则抛物线$C_{2}$的方程为$y^{2} = 4cx$。令$x = c$，代入椭圆和抛物线方程，得到交点$A, B, C, D$的坐标。根据$|CD| = \frac{4}{3}|AB|$，得到$a$和$c$的关系，进而求得离心率$e = \frac{c}{a}$。 【答案】 椭圆$C_{1}$的右焦点为$F(c,0)$，则抛物线$C_{2}$的方程为$y^{2} = 4cx$。 令$x = c$，得$y^{2} = 4c^{2}$，所以$|CD| = 4c$。 令$x = c$，得$\frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，所以$y^{2} = b^{2}(1 - \frac{c^{2}}{a^{2}}) = \frac{b^{4}}{a^{2}}$，$|AB| = \frac{2b^{2}}{a}$。 由$|CD| = \frac{4}{3}|AB|$，得$3c = \frac{b^{2}}{a} = a - c$，所以离心率$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$。 (2)【解析】 根据$C_{1}$的离心率和四个顶点到$C_{2}$的准线距离之和为12，求出$a$和$c$的值，进而得到$b$的值。代入椭圆和抛物线的标准方程，得到$C_{1}$和$C_{2}$的方程。 【答案】 由(1)知，$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$，所以$a = 2c$。 $C_{2}$的准线方程为$x = - c$。 $C_{1}$的四个顶点到$C_{2}$的准线距离之和为$a + 3(a + c) = 4a + 3c = 12$，解得$a = 2$，$c = 1$，所以$b^{2} = a^{2} - c^{2} = 3$。 所以$C_{1}$与$C_{2}$的标准方程分别为$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$和$y^{2} = 4x$。 |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们知道椭圆 \(C_1\) 的标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中 \(a > b > 0\)。椭圆的右焦点 \(F\) 的坐标为 \((c, 0)\)，其中 \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)。 由于 \(C_1\) 的右焦点 \(F\) 与抛物线 \(C_2\) 的焦点重合，且 \(C_1\) 的中心与 \(C_2\) 的顶点重合，设抛物线 \(C_2\) 的方程为 \(y^2 = 4cx\)，其焦点为 \((c, 0)\)。 过 \(F\) 且与 \(x\) 轴垂直的直线方程为 \(x = c\)。该直线交椭圆 \(C_1\) 于 \(A, B\) 两点，交抛物线 \(C_2\) 于 \(C, D\) 两点。 将 \(x = c\) 代入椭圆方程 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，得： \[ \frac{c^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \implies \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{c^2}{a^2} \implies y^2 = b^2 \left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right) \implies y = \pm b \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}} \] 所以 \(A\) 和 \(B\) 的坐标分别为 \((c, b \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}})\) 和 \((c, -b \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}})\)。 则 \(|AB| = 2b \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}}\)。 将 \(x = c\) 代入抛物线方程 \(y^2 = 4cx\)，得： \[ y^2 = 4c^2 \implies y = \pm 2c \] 所以 \(C\) 和 \(D\) 的坐标分别为 \((c, 2c)\) 和 \((c, -2c)\)。 则 \(|CD| = 4c\)。 根据题意，\(|CD| = \frac{4}{3} |AB|\)，所以： \[ 4c = \frac{4}{3} \cdot 2b \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}} \implies 3c = b \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}} \implies 9c^2 = b^2 \left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right) \] \[ 9c^2 = b^2 - \frac{b^2 c^2}{a^2} \implies 9c^2 a^2 = b^2 a^2 - b^2 c^2 \implies 9c^2 a^2 + b^2 c^2 = b^2 a^2 \] \[ c^2 (9a^2 + b^2) = b^2 a^2 \implies c^2 = \frac{b^2 a^2}{9a^2 + b^2} \] 由于 \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)，所以： \[ \left(\sqrt{a^2 - b^2}\right)^2 = \frac{b^2 a^2}{9a^2 + b^2} \implies a^2 - b^2 = \frac{b^2 a^2}{9a^2 + b^2} \] \[ (a^2 - b^2)(9a^2 + b^2) = b^2 a^2 \implies 9a^4 + a^2 b^2 - 9a^2 b^2 - b^4 = b^2 a^2 \] \[ 9a^4 - 8a^2 b^2 - b^4 = 0 \] 令 \(u = a^2\)，\(v = b^2\)，则方程变为： \[ 9u^2 - 8uv - v^2 = 0 \] 这是一个关于 \(u\) 的二次方程，解之： \[ u = \frac{8v \pm \sqrt{(8v)^2 + 4 \cdot 9 \cdot v^2}}{2 \cdot 9} = \frac{8v \pm \sqrt{64v^2 + 36v^2}}{18} = \frac{8v \pm 10v}{18} \] \[ u = \frac{18v}{18} = v \quad \text{或} \quad u = \frac{-2v}{18} = -\frac{v}{9} \quad (\text{舍去}) \] 所以 \(a^2 = 2b^2 \implies a = \sqrt{2} b\)。 椭圆的离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \frac{\sqrt{2b^2 - b^2}}{\sqrt{2} b} = \frac{\sqrt{b^2}}{\sqrt{2} b} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。 <eoe> 【答案】 椭圆 \(C_1\) 的离心率为 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。<eoa> (2)【解析】 已知 \(a = \sqrt{2} b\)，且 \(C_1\) 的四个顶点到 \(C_2\) 的准线距离之和为 12。 椭圆 \(C_1\) 的四个顶点分别为 \((\pm a, 0)\) 和 \((0, \pm b)\)，即 \((\pm \sqrt{2} b, 0)\) 和 \((0, \pm b)\)。 抛物线 \(C_2\) 的方程为 \(y^2 = 4cx\)，其准线方程为 \(x = -c\)。 顶点到准线的距离为 \(a + c\) 和 \(b + c\)，所以四个顶点到准线的距离之和为： \[ 2(\sqrt{2} b + c) + 2(b + c) = 12 \] \[ 2\sqrt{2} b + 2c + 2b + 2c = 12 \implies 2(\sqrt{2} b + b + 2c) = 12 \implies \sqrt{2} b + b + 2c = 6 \] 由于 \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{2b^2 - b^2} = b\)，代入上式： \[ \sqrt{2} b + b + 2b = 6 \implies (\sqrt{2} + 3)b = 6 \implies b = \frac{6}{\sqrt{2} + 3} \] 有理化分母： \[ b = \frac{6}{\sqrt{2} + 3} \cdot \frac{\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} - 3} = \frac{6(\sqrt{2} - 3)}{2 - 9} = \frac{6(\sqrt{2} - 3)}{-7} = -\frac{6(\sqrt{2} - 3)}{7} \] 由于 \(b > 0\)，所以： \[ b = \frac{6(3 - \sqrt{2})}{7} \] \[ a = \sqrt{2} b = \sqrt{2} \cdot \frac{6(3 - \sqrt{2})}{7} = \frac{6\sqrt{2}(3 - \sqrt{2})}{7} \] 所以椭圆 \(C_1\) 的方程为： \[ \frac{x^2}{\left(\frac{6\sqrt{2}(3 - \sqrt{2})}{7}\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{6(3 - \sqrt{2})}{7}\right)^2} = 1 \] 抛物线 \(C_2\) 的方程为 \(y^2 = 4bx\)，其中 \(b = \frac{6(3 - \sqrt{2})}{7}\)，所以： \[ y^2 = 4 \cdot \frac{6(3 - \sqrt{2})}{7} \cdot x = \frac{24(3 - \sqrt{2})}{7} x \] <eoe> 【答案】 椭圆 \(C_1\) 的标准方程为： \[ \frac{x^2}{\left(\frac{6\sqrt{2}(3 - \sqrt{2})}{7}\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{6(3 - \sqrt{2})}{7}\right)^2} = 1 \] 抛物线 \(C_2\) 的标准方程为： \[ y^2 = \frac{24(3 - \sqrt{2})}{7} x \]<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| gpto1 | **(1)【解析】** 椭圆 $C_1$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点在 $(\pm ae, 0)$ 处，其中 $e$ 为离心率。已知椭圆 $C_1$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_2$ 的焦点重合，且 $C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合。因此，抛物线 $C_2$ 的焦点在 $(ae, 0)$，顶点在原点，其标准方程为 $y^2 = 4p x$，其中 $p = ae$。 过 $F$ 作与 $x$ 轴垂直的直线 $x = ae$，此直线与椭圆 $C_1$ 相交于 $A$, $B$ 两点，与抛物线 $C_2$ 相交于 $C$, $D$ 两点。 求出 $|AB|$： 在 $x = ae$ 处，代入椭圆方程，得： $$ \frac{(ae)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ e^2 + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ \frac{y^2}{b^2} = 1 - e^2 \\ y = \pm b \sqrt{1 - e^2} $$ 所以 $|AB| = 2b \sqrt{1 - e^2}$。 求出 $|CD|$： 在 $x = ae$ 处，代入抛物线方程，得： $$ y^2 = 4p x = 4ae \cdot ae = 4a^2 e^2 \\ y = \pm 2a e $$ 所以 $|CD| = 2 \cdot 2a e = 4a e$。 根据条件 $|CD| = \frac{4}{3} |AB|$，代入上述结果： $$ 4a e = \frac{4}{3} \cdot 2b \sqrt{1 - e^2} \\ 4a e = \frac{8}{3} b \sqrt{1 - e^2} $$ 利用椭圆的关系 $b^2 = a^2 (1 - e^2)$，可得： $$ b = a \sqrt{1 - e^2} \\ $$ 代入上式： $$ 4a e = \frac{8}{3} a \sqrt{1 - e^2} \cdot \sqrt{1 - e^2} \\ 4a e = \frac{8}{3} a (1 - e^2) \\ 4 e = \frac{8}{3} (1 - e^2) \\ $$ 整理得： $$ 4 e = \frac{8}{3} (1 - e^2) \\ 12 e = 8(1 - e^2) \\ 12 e = 8 - 8 e^2 \\ 8 e^2 + 12 e - 8 = 0 \\ $$ 两边同时除以 4： $$ 2 e^2 + 3 e - 2 = 0 \\ $$ 解这个二次方程： $$ e = \frac{ -3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)} }{ 2 \cdot 2 } = \frac{ -3 \pm \sqrt{9 + 16} }{4} = \frac{ -3 \pm \sqrt{25} }{4} $$ 所以： $$ e = \frac{ -3 \pm 5 }{4} $$ 取正值： $$ e = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ **<eoe>** **【答案】** 椭圆 $C_1$ 的离心率为 $e = \dfrac{1}{2}$。 **<eoa>** --- **(2)【解析】** 已知椭圆 $C_1$ 的四个顶点到抛物线 $C_2$ 的准线之和为 $12$。抛物线 $C_2$ 的准线方程为 $x = -p = -a e$。 椭圆的顶点为 $(\pm a, 0)$ 和 $(0, \pm b)$。 计算各顶点到准线的距离： - 对于 $(a, 0)$： $$ d_1 = |a - (-a e)| = a (1 + e) $$ - 对于 $(-a, 0)$： $$ d_2 = |-a - (-a e)| = a (e - 1) = a (1 - e) $$ - 对于 $(0, b)$ 和 $(0, -b)$，由于它们的 $x$ 坐标为 $0$： $$ d_3 = d_4 = |0 - (-a e)| = a e $$ 所以距离之和为： $$ S = d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = a(1 + e) + a(1 - e) + 2 a e = 2 a + 2 a e = 2 a (1 + e) $$ 根据条件 $S = 12$，得： $$ 2 a (1 + e) = 12 \\ a (1 + e) = 6 \\ $$ 由于 $e = \dfrac{1}{2}$，所以： $$ a \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) = 6 \\ a \cdot \dfrac{3}{2} = 6 \\ a = 4 \\ $$ 利用 $b = a \sqrt{1 - e^2}$，代入 $e = \dfrac{1}{2}$： $$ b = 4 \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = 4 \sqrt{1 - \dfrac{1}{4}} = 4 \sqrt{\dfrac{3}{4}} = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} $$ 所以椭圆 $C_1$ 的标准方程为： $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{(2 \sqrt{3})^2} = \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1 $$ 抛物线 $C_2$ 的焦距为 $p = a e = 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2$，所以其标准方程为： $$ (y - k)^2 = 4 p (x - h) $$ 由于顶点在原点 $(0, 0)$，焦点在 $(2, 0)$，所以抛物线开口向右，标准方程为： $$ y^2 = 4 \cdot 2 x \\ y^2 = 8 x $$ **<eoe>** **【答案】** (2) 椭圆 $C_1$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{12} = 1$；抛物线 $C_2$ 的标准方程为 $y^2 = 8 x$。 **<eoa>** |
【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-67fa75f3-ef5c-9a01-85ad-0adeee3f7993', 'request_id': '67fa75f3-ef5c-9a01-85ad-0adeee3f7993'} | 【解析】} 【分析】} (1) 根据题意求出 $C_{2}$ 的方程, 结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 $A, C$ 在第一象限, 运用代入法求出 $A, B, C, D$ 点的纵坐标, 根据 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$, 结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2) 由 (1) 可以得到椭圆的标准方程, 确定椭圆的四个顶点坐标, 再确定抛物线的准线方程, 最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解: (1) 因为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点坐标为: $F(\mathrm{c}, 0)$, 所以抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$, 其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 不妨设 $A, C$ 在第一象限, 因为椭圆 $C_{1}$ 的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 所以当 $x=c$ 时, 有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow y= \pm \frac{b^{2}}{a}$, 因此 $A, B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^{2}}{a},-\frac{b^{2}}{a}$; 又因为抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2}=4 c x$ ，所以当 $x=c$ 时，有 $y^{2}=4 c \cdot c \Rightarrow y= \pm 2 c$, 所以 $C, D$ 的纵坐标分别为 $2 c,-2 c$, 故 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a},|C D|=4 c$. 由 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ 得 $4 c=\frac{8 b^{2}}{3 a}$ ，即 $3 \cdot \frac{c}{a}=2-2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=-2$ （舍去）， $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 所以 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$. (2) 由 (1) 知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$, 故 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$, 所以 $C_{1}$ 的四个顶点坐标分别为 $(2 c, 0)$, $(-2 c, 0),(0, \sqrt{3} c),(0,-\sqrt{3} c), C_{2}$ 的准线为 $x=-c$. 由已知得 $3 c+c+c+c=12$, 即 $c=2$. 所以 $C_{1}$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1, C_{2}$ 的标准方程为 $y^{2}=8 x$. |