| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们将曲线 \( C_1 \) 的参数方程化为普通方程。 曲线 \( C_1 \) 的参数方程为： \[ C_1: \left\{\begin{array}{l} x = 4 \cos^2 \theta, \\ y = 4 \sin^2 \theta \end{array}\right. \] 我们知道 \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\)，所以可以将 \( x \) 和 \( y \) 结合起来： \[ \frac{x}{4} = \cos^2 \theta \] \[ \frac{y}{4} = \sin^2 \theta \] 因此： \[ \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \] \[ \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1 \] \[ x + y = 4 \] 所以，曲线 \( C_1 \) 的普通方程为： \[ x + y = 4 \] 接下来，我们将曲线 \( C_2 \) 的参数方程化为普通方程。 曲线 \( C_2 \) 的参数方程为： \[ C_2: \left\{\begin{array}{l} x = t + \frac{1}{t}, \\ y = t - \frac{1}{t} \end{array}\right. \] 我们可以消去参数 \( t \) 来得到普通方程。首先，求出 \( t \) 和 \( \frac{1}{t} \) 的表达式： \[ t + \frac{1}{t} = x \] \[ t - \frac{1}{t} = y \] 将这两个方程相加和相减： \[ (t + \frac{1}{t}) + (t - \frac{1}{t}) = x + y \] \[ 2t = x + y \] \[ t = \frac{x + y}{2} \] \[ (t + \frac{1}{t}) - (t - \frac{1}{t}) = x - y \] \[ \frac{2}{t} = x - y \] \[ t = \frac{2}{x - y} \] 将两个 \( t \) 的表达式相等： \[ \frac{x + y}{2} = \frac{2}{x - y} \] \[ (x + y)(x - y) = 4 \] \[ x^2 - y^2 = 4 \] 所以，曲线 \( C_2 \) 的普通方程为： \[ x^2 - y^2 = 4 \] <eoe> 【答案】 (1) \( C_1 \) 的普通方程为 \( x + y = 4 \); \( C_2 \) 的普通方程为 \( x^2 - y^2 = 4 \).<eoa> (2)【解析】 接下来，我们求曲线 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 的交点 \( P \)。 将 \( x + y = 4 \) 代入 \( x^2 - y^2 = 4 \)： \[ x = 4 - y \] \[ (4 - y)^2 - y^2 = 4 \] \[ 16 - 8y + y^2 - y^2 = 4 \] \[ 16 - 8y = 4 \] \[ 8y = 12 \] \[ y = \frac{3}{2} \] \[ x = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \] 所以，交点 \( P \) 的坐标为 \( \left( \frac{5}{2}, \frac{3}{2} \right) \)。 接下来，我们求以坐标原点为极点，\( x \) 轴正半轴为极轴建立极坐标系中，圆心在极轴上，且经过极点和 \( P \) 的圆的极坐标方程。 首先，将 \( P \) 的直角坐标转换为极坐标： \[ r = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^2 + \left( \frac{3}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{34}{4}} = \frac{\sqrt{34}}{2} \] \[ \theta = \arctan \left( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}} \right) = \arctan \left( \frac{3}{5} \right) \] 设圆心在极轴上的坐标为 \( (a, 0) \)，圆的半径为 \( a \)，因为圆经过极点和 \( P \)，所以有： \[ a = \frac{\sqrt{34}}{2} \] 圆的极坐标方程为： \[ r = 2a \cos \theta \] \[ r = 2 \cdot \frac{\sqrt{34}}{2} \cos \theta \] \[ r = \sqrt{34} \cos \theta \] 所以，圆的极坐标方程为： \[ r = \sqrt{34} \cos \theta \] <eoe> 【答案】 (2) 圆的极坐标方程为 \( r = \sqrt{34} \cos \theta \).<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 对于曲线 \( C_1 \)，参数方程为： \[ \begin{cases} x = 4\cos^2\theta, \\ y = 4\sin^2\theta. \end{cases} \] 利用三角恒等式 \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \)，将 \( x \) 和 \( y \) 相加得： \[ x + y = 4\cos^2\theta + 4\sin^2\theta = 4(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 4. \] 因此，\( C_1 \) 的普通方程为 \( x + y = 4 \)。 对于曲线 \( C_2 \)，参数方程为： \[ \begin{cases} x = t + \frac{1}{t}, \\ y = t - \frac{1}{t}. \end{cases} \] 将 \( x \) 和 \( y \) 平方后相减： \[ x^2 = \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}, \quad y^2 = \left(t - \frac{1}{t}\right)^2 = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}, \] 从而 \( x^2 - y^2 = (t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}) - (t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}) = 4 \)。故 \( C_2 \) 的普通方程为 \( x^2 - y^2 = 4 \)。 <eoe> 【答案】 (1) \( C_1 \) 的普通方程为 \( x + y = 4 \)，\( C_2 \) 的普通方程为 \( x^2 - y^2 = 4 \)。 <eoa> (2)【解析】 联立 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 的普通方程： \[ \begin{cases} x + y = 4, \\ x^2 - y^2 = 4. \end{cases} \] 利用 \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)，代入 \( x + y = 4 \) 得： \[ (x - y) \cdot 4 = 4 \implies x - y = 1. \] 联立 \( x + y = 4 \) 和 \( x - y = 1 \)，解得 \( x = \frac{5}{2} \)，\( y = \frac{3}{2} \)，即交点 \( P \) 的坐标为 \( \left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right) \)。 设圆心在极轴（x轴）上，坐标为 \( (a, 0) \)，圆经过极点 \( (0, 0) \) 和点 \( P \)，则半径 \( r = |a| \)。根据点 \( P \) 到圆心的距离等于半径： \[ \sqrt{\left(\frac{5}{2} - a\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = |a|. \] 平方后化简得： \[ \left(\frac{5}{2} - a\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = a^2 \implies \frac{25}{4} - 5a + a^2 + \frac{9}{4} = a^2 \implies \frac{34}{4} - 5a = 0 \implies a = \frac{17}{10}. \] 圆心为 \( \left(\frac{17}{10}, 0\right) \)，半径 \( r = \frac{17}{10} \)。极坐标方程为： \[ \rho = 2r\cos\theta = \frac{34}{10}\cos\theta = \frac{17}{5}\cos\theta. \] <eoe> 【答案】 (2) 圆的极坐标方程为 \( \rho = \frac{17}{5}\cos\theta \)。 <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| gpto1 | (1)【解析】 **对于曲线 $C_1$：** 参数方程为： \[ \left\{ \begin{aligned} x &= 4\cos^2\theta, \\ y &= 4\sin^2\theta. \end{aligned} \right. \] 利用恒等式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，则有： \[ \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1 \\ \Rightarrow x + y = 4. \] 因此，$C_1$ 的普通方程为 $x + y = 4$。 **对于曲线 $C_2$：** 参数方程为： \[ \left\{ \begin{aligned} x &= t + \frac{1}{t}, \\ y &= t - \frac{1}{t}. \end{aligned} \right. \] 计算 $x^2 - y^2$： \[ x^2 - y^2 = \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 - \left(t - \frac{1}{t}\right)^2 = \left[t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}\right] - \left[t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}\right] = 4. \] 因此，$C_2$ 的普通方程为 $x^2 - y^2 = 4$。 <eoe> 【答案】 (1) 曲线 $C_1$ 的普通方程为 $x + y = 4$；曲线 $C_2$ 的普通方程为 $x^2 - y^2 = 4$。 <eoa> (2)【解析】 首先求曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点 $P$。 由 $C_1$ 的普通方程 $x + y = 4$，得 $y = 4 - x$。 将 $y = 4 - x$ 代入 $C_2$ 的普通方程 $x^2 - y^2 = 4$，得： \[ x^2 - (4 - x)^2 = 4 \\ \Rightarrow x^2 - [16 - 8x + x^2] = 4 \\ \Rightarrow x^2 - 16 + 8x - x^2 = 4 \\ \Rightarrow 8x - 16 = 4 \\ \Rightarrow 8x = 20 \\ \Rightarrow x = \frac{5}{2}. \] 则 $y = 4 - x = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$。 所以交点 $P\left(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{3}{2}\right)$。 设所求圆的圆心在极轴（$x$ 轴）上，坐标为 $(a,\ 0)$，半径为 $r$。 因为圆过极点（原点），则有： \[ (a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = r^2 \\ \Rightarrow a^2 = r^2. \] 又因为圆过点 $P\left(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{3}{2}\right)$，则： \[ \left(\dfrac{5}{2} - a\right)^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = r^2 \\ \Rightarrow \left(\dfrac{5}{2} - a\right)^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = a^2. \] 展开并整理： \[ \left(\dfrac{5}{2} - a\right)^2 + \dfrac{9}{4} = a^2 \\ \Rightarrow \left(a - \dfrac{5}{2}\right)^2 + \dfrac{9}{4} = a^2 \\ \Rightarrow a^2 - 5a + \dfrac{25}{4} + \dfrac{9}{4} = a^2 \\ \Rightarrow -5a + \dfrac{34}{4} = 0 \\ \Rightarrow -5a + \dfrac{17}{2} = 0 \\ \Rightarrow a = \dfrac{17}{10}. \] 因此，圆心为 $\left(\dfrac{17}{10},\ 0\right)$，半径 $r = \dfrac{17}{10}$。 在极坐标下，点的直角坐标表示为： \[ \left\{ \begin{aligned} x &= r\cos\theta, \\ y &= r\sin\theta. \end{aligned} \right. \] 圆的方程为： \[ (x - a)^2 + y^2 = r^2 \\ \Rightarrow (r\cos\theta - a)^2 + (r\sin\theta)^2 = a^2. \] 展开并简化： \[ r^2\cos^2\theta - 2ar\cos\theta + a^2 + r^2\sin^2\theta = a^2 \\ \Rightarrow r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 2ar\cos\theta + a^2 = a^2 \\ \Rightarrow r^2 - 2ar\cos\theta = 0 \\ \Rightarrow r = 2a\cos\theta. \] 代入 $a = \dfrac{17}{10}$，得： \[ r = 2 \times \dfrac{17}{10} \cos\theta = \dfrac{34}{10} \cos\theta = \dfrac{17}{5} \cos\theta. \] 因此，所求圆的极坐标方程为 $r = \dfrac{17}{5} \cos\theta$。 <eoe> 【答案】 (2) 所求圆的极坐标方程为 $r = \dfrac{17}{5} \cos\theta$。 <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| GPT-4o | (1)【解析】 首先将曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的参数方程化为普通方程。 对于曲线 $C_{1}$： 参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 \cos^2 \theta, \\ y = 4 \sin^2 \theta \end{array} \right. \] 我们知道 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，所以可以将 $x$ 和 $y$ 代入这个等式： \[ \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1 \] 整理得到： \[ \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1 \implies x + y = 4 \] 所以，曲线 $C_{1}$ 的普通方程是： \[ x + y = 4 \] 对于曲线 $C_{2}$： 参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = t + \frac{1}{t}, \\ y = t - \frac{1}{t} \end{array} \right. \] 我们可以通过消去参数 $t$ 来得到普通方程。首先，平方两边得到： \[ x^2 = \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 \implies x^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2} \] \[ y^2 = \left(t - \frac{1}{t}\right)^2 \implies y^2 = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2} \] 将这两个方程相减： \[ x^2 - y^2 = (t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}) - (t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}) \implies x^2 - y^2 = 4 \] 所以，曲线 $C_{2}$ 的普通方程是： \[ x^2 - y^2 = 4 \] <eoe> 【答案】曲线 $C_{1}$ 的普通方程是 $x + y = 4$；曲线 $C_{2}$ 的普通方程是 $x^2 - y^2 = 4$。<eoa> (2)【解析】 为了求出圆心在极轴上，并且经过极点和交点 $P$ 的圆的极坐标方程，我们需要先找到曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点。 将 $C_{1}$ 的普通方程 $x + y = 4$ 代入 $C_{2}$ 的普通方程 $x^2 - y^2 = 4$： \[ x^2 - (4 - x)^2 = 4 \] 展开并整理： \[ x^2 - (16 - 8x + x^2) = 4 \implies x^2 - 16 + 8x - x^2 = 4 \implies 8x - 16 = 4 \] 解得： \[ 8x = 20 \implies x = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} \] 代入 $x + y = 4$ 得 $y$ 值： \[ \frac{5}{2} + y = 4 \implies y = 4 - \frac{5}{2} = \frac{8}{2} - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} \] 所以，交点 $P$ 的坐标为： \[ P \left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right) \] 接下来，我们将交点 $P$ 的坐标转换为极坐标形式。极坐标方程为： \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \] \[ r = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{34}{4}} = \sqrt{\frac{17}{2}} \] 由于圆心在极轴上，且经过极点和 $P$，所以圆的方程为： \[ r = 2a \cos \theta \] 其中 $a = \frac{\sqrt{17}}{2}$ 是半 |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由题意,将C_{1},C_{2}的参数方程化为普通方程,可得C_{1}:x+y=4,C_{2}:x^{2}-y^{2}=4,即C_{1}为以(0,0),(4,0)为焦点的椭圆,C_{2}为以(2,0),(-2,0)为焦点的双曲线.由此可得C_{1},C_{2}的交点为P(2,2).设圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程为r=2\cos\theta,则圆心为(1,0),半径为1,即圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程为r=2\cos\theta. 最终结果是r=2*cos(theta) |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由C_{1}的参数方程得:x+y=4,即C_{1}的普通方程为x+y-4=0;由C_{2}的参数方程得:x^{2}-y^{2}=4,即C_{2}的普通方程为x^{2}-y^{2}-4=0.(2)由\begin{cases}x+y-4=0\\x^{2}-y^{2}-4=0\end{cases}得\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}所以P(3,1),即P(\sqrt{10},\frac{\pi}{6}),设圆心为M(r,0),则|OP|\cdot|OM|=|MP|,即\sqrt{10}\cdotr=\sqrt{r^{2}+10-2\sqrt{10}r\cos\frac{\pi |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们将曲线 $C_{1}$ 的参数方程化为普通方程。已知 $C_{1}$ 的参数方程为：\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nx = 4 \\cos^2 \\theta, \\\\\ny = 4 \\sin^2 \\theta\n\\end{array}\\right.\n\\]\n我们可以利用三角恒等式 $\\cos^2 \\theta + \\sin^2 \\theta = 1$，将 $x$ 和 $y$ 相加：\n\\[\nx + y = 4 \\cos^2 \\theta + 4 \\sin^2 \\theta = 4 (\\cos^2 \\theta + \\sin^2 \\theta) = 4 \\cdot 1 = 4\n\\]\n因此，曲线 $C_{1}$ 的普通方程为：\n\\[\nx + y = 4\n\\]\n\n接下来，我们将曲线 $C_{2}$ 的参数方程化为普通方程。已知 $C_{2}$ 的参数方程为：\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nx = t + \\frac{1}{t}, \\\\\ny = t - \\frac{1}{t}\n\\end{array}\\right.\n\\]\n我们可以将 $x$ 和 $y$ 相乘：\n\\[\nx \\cdot y = \\left(t + \\frac{1}{t}\\right) \\left(t - \\frac{1}{t}\\right) = t^2 - \\frac{1}{t^2}\n\\]\n注意到 $t^2 - \\frac{1}{t^2}$ 可以写成 $(t + \\frac{1}{t})(t - \\frac{1}{t})$，即：\n\\[\nx \\cdot y = (t + \\frac{1}{t})(t - \\frac{1}{t}) = x \\cdot y\n\\]\n这表明 $x \\cdot y = 4$，因此，曲线 $C_{2}$ 的普通方程为：\n\\[\nx \\cdot y = 4\n\\]\n<eoe>\n【答案】\n\\[\nC_{1}: x + y = 4\n\\]\n\\[\nC_{2}: x \\cdot y = 4\n\\]\n<eoa>\n\n(2)【解析】 首先，我们需要找到曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点 $P$。我们将 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的普通方程联立：\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nx + y = 4, \\\\\nx \\cdot y = 4\n\\end{array}\\right.\n\\]\n设 $x$ 和 $y$ 为两个变量，解这个方程组。我们可以将 $x + y = 4$ 代入 $x \\cdot y = 4$ 中，得到：\n\\[\ny = 4 - x\n\\]\n代入 $x \\cdot y = 4$：\n\\[\nx \\cdot (4 - x) = 4 \\implies 4x - x^2 = 4 \\implies x^2 - 4x + 4 = 0 \\implies (x - 2)^2 = 0 \\implies x = 2\n\\]\n因此，$y = 4 - x = 4 - 2 = 2$。所以，交点 $P$ 的坐标为 $(2, 2)$。\n\n接下来，我们求圆心在极轴上，且经过极点和 $P$ 的圆的极坐标方程。设圆心的极坐标为 $(r_0, 0)$，圆的半径为 $R$。由于圆经过极点 $(0, 0)$ 和点 $P(2, 2)$，我们有：\n\\[\nR = \\sqrt{r_0^2 + 2^2} = \\sqrt{r_0^2 + 4}\n\\]\n同时，圆经过点 $P(2, 2)$，所以：\n\\[\nR = \\sqrt{(r_0 - 2)^2 + 2^2} = \\sqrt{(r_0 - 2)^2 + 4}\n\\]\n因此，我们有：\n\\[\n\\sqrt{r_0^2 + 4} = \\sqrt{(r_0 - 2)^2 + 4}\n\\]\n两边平方，得到：\n\\[\nr_0^2 + 4 = (r_0 - 2)^2 + 4 \\implies r_0^2 + 4 = r_0^2 - 4r_0 + 4 + 4 \\implies 4 = -4r_0 + 4 \\implies 4r_0 = 0 \\implies r_0 = 0\n\\]\n因此，圆心在原点，半径为 $R = \\sqrt{0^2 + 4} = 2$。所以，圆的极坐标方程为：\n\\[\nr = 2\n\\]\n<eoe>\n【答案】\n\\[\nr = 2\n\\]\n<eoa>" | 【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】\n对于 $C_{1}$，我们知道 $\\cos^2\\theta + \\sin^2\\theta = 1$，所以可以将 $x$ 和 $y$ 的表达式相加，得到 $x + y = 4\\cos^2\\theta + 4\\sin^2\\theta = 4(\\cos^2\\theta + \\sin^2\\theta) = 4$。因此，$C_{1}$ 的普通方程为 $x + y = 4$。\n\n对于 $C_{2}$，我们可以通过消去参数 $t$ 来找到普通方程。首先，观察到 $x = t + \\frac{1}{t}$ 和 $y = t - \\frac{1}{t}$，我们可以将 $x$ 和 $y$ 相加和相减得到两个新的表达式。具体地，$x + y = (t + \\frac{1}{t}) + (t - \\frac{1}{t}) = 2t$ 和 $x - y = (t + \\frac{1}{t}) - (t - \\frac{1}{t}) = \\frac{2}{t}$。从 $x + y = 2t$ 我们得到 $t = \\frac{x + y}{2}$，然后将其代入 $x - y = \\frac{2}{t}$ 得到 $x - y = \\frac{2}{\\frac{x + y}{2}} = \\frac{4}{x + y}$。通过移项和整理，我们可以得到 $C_{2}$ 的普通方程为 $xy = 4$。<eoe>\n\n【答案】\n$C_{1}$ 的普通方程为 $x + y = 4$；$C_{2}$ 的普通方程为 $xy = 4$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n为了找到圆的极坐标方程，我们首先需要找到曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点 $P$ 的坐标。由 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的普通方程 $x + y = 4$ 和 $xy = 4$，我们可以通过解方程组来找到交点。将 $x + y = 4$ 改写为 $y = 4 - x$，然后代入 $xy = 4$ 得到 $x(4 - x) = 4$，即 $x^2 - 4x + 4 = 0$。解这个方程，我们得到 $x = 2$，因此 $y = 2$。所以交点 $P$ 的坐标为 $(2, 2)$。\n\n接下来，我们需要找到过原点和点 $P$ 的圆的极坐标方程。由于圆心在极轴上，设圆心坐标为 $(a, 0)$，半径为 $r$。由于圆经过原点，所以半径 $r = a$。又因为圆经过点 $P(2, 2)$，在直角坐标系中，圆的方程可以表示为 $(x - a)^2 + y^2 = a^2$。将点 $P$ 的坐标代入，得到 $(2 - a)^2 + 2^2 = a^2$，解得 $a = 2$。因此，圆的半径 $r = 2$。\n\n在极坐标系中，圆的方程可以表示为 $r = 2\\cos\\theta$ 或 $r = 2\\sin\\theta$，具体取决于圆心的位置。由于圆心在极轴上，且圆过原点，所以圆的极坐标方程为 $r = 2\\cos\\theta$ 或 $r = 2\\sin\\theta$。但是，由于圆心在 $(2, 0)$，正确的方程是 $r = 2\\cos\\theta$。<eoe>\n\n【答案】\n过原点和点 $P$ 的圆的极坐标方程为 $r = 2\\cos\\theta$。<eoa>" | 【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| baichuan4 | (1)【解析】 对于曲线 $C_{1}$，我们有参数方程： $$C_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=4 \cos ^{2} \theta, \\ y=4 \sin ^{2} \theta \end{array}\right.$$ 利用三角恒等式 $\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$，我们可以得到： $$x + y = 4(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta) = 4$$ 因此，$C_{1}$ 的普通方程为： $$x + y = 4$$ 对于曲线 $C_{2}$，我们有参数方程： $$C_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=t+\frac{1}{t}, \\ y=t-\frac{1}{t} \end{array}\right.$$ 将 $x$ 和 $y$ 表达式分别平方并相加，我们得到： $$x^2 + y^2 = \left(t+\frac{1}{t}\right)^2 + \left(t-\frac{1}{t}\right)^2$$ $$= t^2 + 2 + \frac{1}{t^2} + t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}$$ $$= 2t^2 + 2\frac{1}{t^2}$$ $$= 2\left(t^2 + \frac{1}{t^2}\right)$$ 由于 $x = t + \frac{1}{t}$，我们可以得到 $x^2 = \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$，所以： $$x^2 + y^2 = 2(x^2 - 2) = 2x^2 - 4$$ 因此，$C_{2}$ 的普通方程为： $$x^2 + y^2 = 2x^2 - 4$$ 或者简化为： $$y^2 = 2x^2 - 4 - x^2$$ $$y^2 = x^2 - 4$$ 【答案】 曲线 $C_{1}$ 的普通方程为 $x + y = 4$，曲线 $C_{2}$ 的普通方程为 $y^2 = x^2 - 4$。 (2)【解析】 首先，我们需要找到曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点 $P$。为此，我们可以将两个曲线的普通方程联立起来解方程组： $$\begin{cases} x + y = 4 \\ y^2 = x^2 - 4 \end{cases}$$ 从第一个方程中，我们可以得到 $y = 4 - x$。将这个表达式代入第二个方程中，我们得到： $$(4 - x)^2 = x^2 - 4$$ $$16 - 8x + x^2 = x^2 - 4$$ $$16 - 8x = -4$$ $$8x = 20$$ $$x = \frac{5}{2}$$ 将 $x$ 的值代回 $y = 4 - x$，我们得到： $$y = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$$ 因此，交点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$。 接下来，我们要找到经过原点 $O(0,0)$ 和点 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 的圆的极坐标方程。由于圆心在极轴上，我们可以设圆心为 $C(a,0)$，其中 $a > 0$。圆的半径 $r$ 等于 $|OP|$，即： $$r = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{34}{4}} = \frac{\sqrt{34}}{2}$$ 由于圆心在极轴上，圆的极坐标方程为： $$\rho = 2a\cos\theta$$ 其中 $\rho$ 是极径，$\theta$ 是极角。由于 $r = |OP|$，我们有 $2a = r$，因此： $$a = \frac{r}{2} = \frac{\sqrt{34}}{4}$$ 所以，圆的极坐标方程为： $$\rho = \frac{\sqrt{34}}{2}\cos\theta$$ 【答案】 经过原点和点 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 的圆的极坐标方程为 $\rho = \frac{\sqrt{34}}{2}\cos\theta$。 |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| doubao | (1)【解析】对于曲线$C_1$，由$x=4\cos^2\theta$可得$\cos^2\theta=\frac{x}{4}$，由$y=4\sin^2\theta$可得$\sin^2\theta=\frac{y}{4}$，因为$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$，所以$\frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1$，即$x+y=4(0\leq x\leq 4)$。 对于曲线$C_2$，由$x=t+\frac{1}{t}$两边平方得$x^2=t^2+2+\frac{1}{t^2}$，由$y=t-\frac{1}{t}$两边平方得$y^2=t^2-2+\frac{1}{t^2}$，两式相减得$x^2-y^2=4$。 <eoe> 【答案】曲线$C_1$的普通方程为$x+y=4(0\leq x\leq 4)$，曲线$C_2$的普通方程为$x^2-y^2=4$。 <eoa> (2)【解析】联立曲线$C_1$和$C_2$的方程可得$\begin{cases}x+y=4\\x^2-y^2=4\end{cases}$，将$x+y=4$变形为$y=4-x$代入$x^2-y^2=4$可得$x^2-(4-x)^2=4$，$x^2-(16-8x+x^2)=4$，$x^2-16+8x-x^2=4$，$8x=20$，$x=\frac{5}{2}$，则$y=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$，所以$P$点坐标为$(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$。设所求圆的圆心的直角坐标为$(x_0,0)$，则$(x_0-\frac{5}{2})^2+(\frac{3}{2})^2=x_0^2$，$x_0^2-5x_0+\frac{25}{4}+\frac{9}{4}=x_0^2$，$5x_0=\frac{34}{4}$，$x_0=\frac{17}{10}$，所以所求圆的半径为$\frac{17}{10}$，则圆的方程为$(x-\frac{17}{10})^2+y^2=(\frac{17}{10})^2$，将$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$代入可得$(\rho\cos\theta-\frac{17}{10})^2+(\rho\sin\theta)^2=(\frac{17}{10})^2$，展开可得$\rho^2\cos^2\theta-\frac{17}{5}\rho\cos\theta+\frac{289}{100}+\rho^2\sin^2\theta=\frac{289}{100}$，$\rho^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)-\frac{17}{5}\rho\cos\theta=0$，$\rho^2-\frac{17}{5}\rho\cos\theta=0$，$\rho(\rho-\frac{17}{5}\cos\theta)=0$，所以圆的极坐标方程为$\rho=0$或$\rho=\frac{17}{5}\cos\theta$。 <eoe> 【答案】圆的极坐标方程为$\rho=0$或$\rho=\frac{17}{5}\cos\theta$。 <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| minimax | (1)【解析】首先，我们将曲线 $C_{1}$ 的参数方程化为普通方程。由于 $x=4 \cos ^{2} \theta$ 和 $y=4 \sin ^{2} \theta$，我们可以利用三角恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ 来消去参数 $\theta$。将 $x$ 和 $y$ 的表达式相加，可以得到 $x+y$ 的表达式，然后利用上述三角恒等式消去 $\theta$。 接下来，我们将曲线 $C_{2}$ 的参数方程化为普通方程。由于 $x=t+\frac{1}{t}$ 和 $y=t-\frac{1}{t}$，我们可以将 $x$ 和 $y$ 的表达式相加和相减，然后消去参数 $t$。 <eoe> 【答案】对于曲线 $C_{1}$，我们有： $$x=4 \cos ^{2} \theta$$ $$y=4 \sin ^{2} \theta$$ 将上述两个方程相加，得到： $$x + y = 4 \cos ^{2} \theta + 4 \sin ^{2} \theta = 4(\cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta) = 4$$ 因此，曲线 $C_{1}$ 的普通方程为： $$x + y = 4$$ 对于曲线 $C_{2}$，我们有： $$x=t+\frac{1}{t}$$ $$y=t-\frac{1}{t}$$ 将 $x$ 和 $y$ 的表达式相加，得到： $$x + y = t + \frac{1}{t} + t - \frac{1}{t} = 2t$$ 将 $x$ 和 $y$ 的表达式相减，得到： $$x - y = t + \frac{1}{t} - (t - \frac{1}{t}) = 2\frac{1}{t}$$ 将 $x + y = 2t$ 和 $x - y = 2\frac{1}{t}$ 相乘，得到： $$(x + y)(x - y) = 2t \cdot 2\frac{1}{t} = 4$$ $$x^2 - y^2 = 4$$ 因此，曲线 $C_{2}$ 的普通方程为： $$x^2 - y^2 = 4$$<eoa> (2)【解析】为了找到曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点 $P$，我们需要解这两个曲线的普通方程组。由于我们已经得到了 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的普通方程，我们可以将它们联立起来求解。 一旦我们找到了交点 $P$ 的坐标，我们可以利用极坐标系的定义来找到圆的极坐标方程。在极坐标系中，一个点的位置由极径 $r$ 和极角 $\theta$ 确定。圆心在极轴上意味着圆心的极角为 $0$ 或 $\pi$，而圆经过极点意味着圆心的极径等于极点到圆心的距离。由于圆心在极轴上，我们可以设圆心的坐标为 $(r, 0)$ 或 $(r, \pi)$。 <eoe> 【答案】首先，我们解曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的普通方程组： $$x + y = 4$$ $$x^2 - y^2 = 4$$ 我们可以将第一个方程解为 $y = 4 - x$，然后将其代入第二个方程中： $$x^2 - (4 - x)^2 = 4$$ $$x^2 - (16 - 8x + x^2) = 4$$ $$x^2 - 16 + 8x - x^2 = 4$$ $$8x = 20$$ $$x = \frac{5}{2}$$ 将 $x = \frac{5}{2}$ 代入 $y = 4 - x$，得到： $$y = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$$ 因此，交点 $P$ 的坐标为 $(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$。 接下来，我们找到圆的极坐标方程。由于圆心在极轴上，我们可以设圆心的坐标为 $(r, 0)$。由于圆经过极点和点 $P$，圆心的极径 $r$ 等于极点到点 $P$ 的距离。我们可以使用点 $P$ 的直角坐标来计算这个距离： $$r = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{34}{4}} = \sqrt{\frac{17}{2}}$$ 因此，圆的极坐标方程为： $$r = \sqrt{\frac{17}{2}}$$ 由于圆心在极轴上，我们可以选择极角为 $0$ 或 $\pi$。因此，圆的极坐标方程可以写为： $$r = \sqrt{\frac{17}{2}}, \quad \theta = 0 \text{ 或 } \theta = \pi$$<eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| kimi | (1)【解析】 首先，我们需要将参数方程转换为普通方程。对于曲线 $C_{1}$，我们可以通过消去参数 $\theta$ 来实现。由于 $x=4 \cos ^{2} \theta$ 和 $y=4 \sin ^{2} \theta$，我们可以利用三角恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ 来消去参数。 对于曲线 $C_{2}$，我们可以通过消去参数 $t$ 来得到普通方程。我们可以将方程组中的两个方程相乘，得到 $x \cdot y = (t + \frac{1}{t})(t - \frac{1}{t}) = t^2 - \frac{1}{t^2}$。 <eoe> 【答案】 对于曲线 $C_{1}$，我们有： $x = 4 \cos ^{2} \theta$ 可以写作 $x = 4(1 - \sin^2 \theta)$，因此 $x = 4 - 4y$。 所以，$C_{1}$ 的普通方程为 $x + y - 4 = 0$。 对于曲线 $C_{2}$，我们有： $x = t + \frac{1}{t}$ 和 $y = t - \frac{1}{t}$。 将两个方程相乘，得到 $xy = t^2 - \frac{1}{t^2}$。 将 $x$ 和 $y$ 用 $t$ 表示，得到 $x - y = 2$。 所以，$C_{2}$ 的普通方程为 $xy = 1$ 和 $x - y = 2$。 <eoa> (2)【解析】 为了找到圆心在极轴上且经过极点和交点 $P$ 的圆的极坐标方程，我们首先需要找到交点 $P$ 的坐标。这可以通过解方程组 $x + y - 4 = 0$ 和 $xy = 1$ 来实现。 解这个方程组，我们得到两个可能的交点：$P_1(1, 1)$ 和 $P_2(-1, -1)$。由于圆心在极轴上，我们可以假设圆心的坐标为 $(a, 0)$。 接下来，我们需要找到圆心到极点（原点）和到交点 $P$ 的距离相等的条件。这可以通过设置距离公式来实现。 对于极点，距离为 $r = \sqrt{a^2 + 0^2} = |a|$。 对于交点 $P_1$，距离为 $r = \sqrt{(a - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(a - 1)^2 + 1}$。 由于距离相等，我们有 $|a| = \sqrt{(a - 1)^2 + 1}$。 <eoe> 【答案】 解方程 $|a| = \sqrt{(a - 1)^2 + 1}$，我们得到 $a = 1$。 因此，圆心的坐标为 $(1, 0)$，半径为 $r = 1$。 圆的极坐标方程可以通过极坐标和直角坐标的关系 $x = \rho \cos \theta$ 和 $y = \rho \sin \theta$ 来得到。由于圆心在极轴上，圆的方程可以写作 $(\rho \cos \theta - 1)^2 + (\rho \sin \theta)^2 = 1$。 展开并整理，我们得到圆的极坐标方程为 $\rho^2 - 2\rho \cos \theta = 0$。 <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 对于$C_1$，我们有： $\begin{aligned} x &= 4\cos^{2}\theta, \\ y &= 4\sin^{2}\theta. \end{aligned}$ 利用三角恒等式$\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$，将$x$和$y$的表达式相加，得到： $x + y = 4(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta) = 4.$ 对于$C_2$，我们有： $\begin{aligned} x &= t + \frac{1}{t}, \\ y &= t - \frac{1}{t}. \end{aligned}$ 将$x$和$y$的表达式相乘，得到： $xy = (t + \frac{1}{t})(t - \frac{1}{t}) = t^2 - \frac{1}{t^2} = x^2 - y^2 - 2.$ 【答案】 $C_1$的普通方程为： $x + y = 4.$ $C_2$的普通方程为： $x^2 - y^2 = 2.$ (2)【解析】 联立$C_1$和$C_2$的方程，即： $\begin{aligned} x + y &= 4, \\ x^2 - y^2 &= 2. \end{aligned}$ 解得： $\begin{aligned} x &= \frac{5}{2}, \\ y &= \frac{3}{2}. \end{aligned}$ 因此点$P$的坐标为$(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$。 设圆心为$C(\rho, 0)$，则$P$和$C$的距离应等于$C$和原点的距离，即： $\sqrt{(\frac{5}{2} - \rho)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \rho.$ 解得： $\rho = \frac{17}{10}.$ 【答案】 所求圆的极坐标方程为： $\rho = \frac{17}{10}.$ |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们来处理曲线 \(C_1\) 的参数方程： \[ C_1: \left\{\begin{array}{l} x = 4 \cos^2 \theta, \\ y = 4 \sin^2 \theta \end{array}\right. \] 我们可以利用三角恒等式 \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\) 来消去参数 \(\theta\)。将 \(x\) 和 \(y\) 分别除以 4，得到： \[ \frac{x}{4} = \cos^2 \theta \] \[ \frac{y}{4} = \sin^2 \theta \] 将这两个方程相加： \[ \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \] 整理得到 \(C_1\) 的普通方程： \[ x + y = 4 \] 接下来，处理曲线 \(C_2\) 的参数方程： \[ C_2: \left\{\begin{array}{l} x = t + \frac{1}{t}, \\ y = t - \frac{1}{t} \end{array}\right. \] 我们通过将 \(x\) 和 \(y\) 进行平方和相减来消去参数 \(t\)。首先计算 \(x^2\) 和 \(y^2\)： \[ x^2 = \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2} \] \[ y^2 = \left(t - \frac{1}{t}\right)^2 = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2} \] 然后计算 \(x^2 - y^2\)： \[ x^2 - y^2 = \left(t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}\right) - \left(t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}\right) = 4 \] 因此，\(C_2\) 的普通方程为： \[ x^2 - y^2 = 4 \] <eoe> 【答案】 \[ C_1 \text{ 的普通方程为 } x + y = 4 \] \[ C_2 \text{ 的普通方程为 } x^2 - y^2 = 4 \] <eoa> (2)【解析】 首先，我们需要找到曲线 \(C_1\) 和 \(C_2\) 的交点 \(P\)。交点 \(P\) 满足两个普通方程： \[ x + y = 4 \] \[ x^2 - y^2 = 4 \] 我们将 \(y = 4 - x\) 代入 \(x^2 - y^2 = 4\) 中： \[ x^2 - (4 - x)^2 = 4 \] 展开并整理： \[ x^2 - (16 - 8x + x^2) = 4 \] \[ x^2 - 16 + 8x - x^2 = 4 \] \[ 8x - 16 = 4 \] \[ 8x = 20 \] \[ x = \frac{5}{2} \] 然后代入 \(y = 4 - x\) 得到： \[ y = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} \] 所以交点 \(P\) 的坐标为 \(\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)\)。 接下来，我们求圆心在极轴上且经过极点和 \(P\) 的圆的极坐标方程。设圆心为 \((a, 0)\)，圆的方程为： \[ (x - a)^2 + y^2 = a^2 \] 代入 \(P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)\)： \[ \left(\frac{5}{2} - a\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = a^2 \] 展开并整理： \[ \left(\frac{5}{2} - a\right)^2 + \frac{9}{4} = a^2 \] \[ \frac{25}{4} - 5a + a^2 + \frac{9}{4} = a^2 \] \[ \frac{34}{4} - 5a = 0 \] \[ \frac{34}{4} = 5a \] \[ a = \frac{34}{20} = \frac{17}{10} \] 所以圆的方程为： \[ (x - \frac{17}{10})^2 + y^2 = \left(\frac{17}{10}\right)^2 \] 转换为极坐标方程，设 \(x = r \cos \theta\)，\(y = r \sin \theta\)： \[ \left(r \cos \theta - \frac{17}{10}\right)^2 + (r \sin \theta)^2 = \left(\frac{17}{10}\right)^2 \] 展开并整理： \[ r^2 \cos^2 \theta - \frac{34}{10} r \cos \theta + \left(\frac{17}{10}\right)^2 + r^2 \sin^2 \theta = \left(\frac{17}{10}\right)^2 \] \[ r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) - \frac{34}{10} r \cos \theta = 0 \] \[ r^2 - \frac{17}{5} r \cos \theta = 0 \] \[ r (r - \frac{17}{5} \cos \theta) = 0 \] 由于 \(r \neq 0\)，所以： \[ r = \frac{17}{5} \cos \theta \] <eoe> 【答案】 圆的极坐标方程为： \[ r = \frac{17}{5} \cos \theta \] <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| gpto1 | (1)【解析】 **对于曲线 $C_1$：** 参数方程为： \[ \left\{ \begin{aligned} x &= 4\cos^2\theta, \\ y &= 4\sin^2\theta. \end{aligned} \right. \] 利用恒等式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，则有： \[ \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1 \\ \Rightarrow x + y = 4. \] 因此，$C_1$ 的普通方程为 $x + y = 4$。 **对于曲线 $C_2$：** 参数方程为： \[ \left\{ \begin{aligned} x &= t + \frac{1}{t}, \\ y &= t - \frac{1}{t}. \end{aligned} \right. \] 计算 $x^2 - y^2$： \[ x^2 - y^2 = \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 - \left(t - \frac{1}{t}\right)^2 = \left[t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}\right] - \left[t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}\right] = 4. \] 因此，$C_2$ 的普通方程为 $x^2 - y^2 = 4$。 <eoe> 【答案】 (1) 曲线 $C_1$ 的普通方程为 $x + y = 4$；曲线 $C_2$ 的普通方程为 $x^2 - y^2 = 4$。 <eoa> (2)【解析】 首先求曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点 $P$。 由 $C_1$ 的普通方程 $x + y = 4$，得 $y = 4 - x$。 将 $y = 4 - x$ 代入 $C_2$ 的普通方程 $x^2 - y^2 = 4$，得： \[ x^2 - (4 - x)^2 = 4 \\ \Rightarrow x^2 - [16 - 8x + x^2] = 4 \\ \Rightarrow x^2 - 16 + 8x - x^2 = 4 \\ \Rightarrow 8x - 16 = 4 \\ \Rightarrow 8x = 20 \\ \Rightarrow x = \frac{5}{2}. \] 则 $y = 4 - x = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$。 所以交点 $P\left(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{3}{2}\right)$。 设所求圆的圆心在极轴（$x$ 轴）上，坐标为 $(a,\ 0)$，半径为 $r$。 因为圆过极点（原点），则有： \[ (a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = r^2 \\ \Rightarrow a^2 = r^2. \] 又因为圆过点 $P\left(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{3}{2}\right)$，则： \[ \left(\dfrac{5}{2} - a\right)^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = r^2 \\ \Rightarrow \left(\dfrac{5}{2} - a\right)^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = a^2. \] 展开并整理： \[ \left(\dfrac{5}{2} - a\right)^2 + \dfrac{9}{4} = a^2 \\ \Rightarrow \left(a - \dfrac{5}{2}\right)^2 + \dfrac{9}{4} = a^2 \\ \Rightarrow a^2 - 5a + \dfrac{25}{4} + \dfrac{9}{4} = a^2 \\ \Rightarrow -5a + \dfrac{34}{4} = 0 \\ \Rightarrow -5a + \dfrac{17}{2} = 0 \\ \Rightarrow a = \dfrac{17}{10}. \] 因此，圆心为 $\left(\dfrac{17}{10},\ 0\right)$，半径 $r = \dfrac{17}{10}$。 在极坐标下，点的直角坐标表示为： \[ \left\{ \begin{aligned} x &= r\cos\theta, \\ y &= r\sin\theta. \end{aligned} \right. \] 圆的方程为： \[ (x - a)^2 + y^2 = r^2 \\ \Rightarrow (r\cos\theta - a)^2 + (r\sin\theta)^2 = a^2. \] 展开并简化： \[ r^2\cos^2\theta - 2ar\cos\theta + a^2 + r^2\sin^2\theta = a^2 \\ \Rightarrow r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 2ar\cos\theta + a^2 = a^2 \\ \Rightarrow r^2 - 2ar\cos\theta = 0 \\ \Rightarrow r = 2a\cos\theta. \] 代入 $a = \dfrac{17}{10}$，得： \[ r = 2 \times \dfrac{17}{10} \cos\theta = \dfrac{34}{10} \cos\theta = \dfrac{17}{5} \cos\theta. \] 因此，所求圆的极坐标方程为 $r = \dfrac{17}{5} \cos\theta$。 <eoe> 【答案】 (2) 所求圆的极坐标方程为 $r = \dfrac{17}{5} \cos\theta$。 <eoa> |
【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-0febf657-c41f-92c7-bb85-56cf4ac60089', 'request_id': '0febf657-c41f-92c7-bb85-56cf4ac60089'} | 【解析】} 【分析】} (1) 分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程; (2) 两方程联立求得点 $P$ , 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$; 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$. (2) 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$, 则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$, $\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$, $\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$. |