| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，根据题意，抛物线 $C$ 的顶点在原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上。设抛物线的标准方程为 $y^2 = 4ax$，其中 $a$ 为焦点到顶点的距离。 直线 $l: x=1$ 交抛物线 $C$ 于 $P$ 和 $Q$ 两点。将 $x=1$ 代入抛物线方程 $y^2 = 4a \cdot 1$，得到 $y^2 = 4a$，即 $y = \pm 2\sqrt{a}$。因此，$P(1, 2\sqrt{a})$ 和 $Q(1, -2\sqrt{a})$。 根据题意，$OP \perp OQ$，即 $P$ 和 $Q$ 关于 $x$ 轴对称。这个条件已经满足。 接下来，已知点 $M(2,0)$，且 $\odot M$ 与 $l$ 相切。设 $\odot M$ 的半径为 $r$，则圆的方程为 $(x-2)^2 + y^2 = r^2$。由于圆与直线 $x=1$ 相切，圆心到直线的距离等于半径，即 $$|2-1| = r \Rightarrow r = 1$$ 因此，$\odot M$ 的方程为 $(x-2)^2 + y^2 = 1$。 总结，抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = 4ax$，其中 $a$ 是一个正数；圆 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^2 + y^2 = 1$。 <eoe> 【答案】 抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = 4ax$； 圆 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^2 + y^2 = 1$。<eoa> (2)【解析】 设 $A_1, A_2, A_3$ 是抛物线 $C$ 上的三个点，且直线 $A_1A_2$ 和 $A_1A_3$ 均与 $\odot M$ 相切。我们需要判断直线 $A_2A_3$ 与 $\odot M$ 的位置关系。 首先，考虑直线 $A_1A_2$ 和 $A_1A_3$ 与 $\odot M$ 相切的条件。设 $A_1(x_1, y_1)$，$A_2(x_2, y_2)$，$A_3(x_3, y_3)$，由于 $A_1, A_2, A_3$ 在抛物线上，满足 $y_1^2 = 4ax_1$，$y_2^2 = 4ax_2$，$y_3^2 = 4ax_3$。 直线 $A_1A_2$ 的方程可以写成 $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$。由于直线与圆 $(x-2)^2 + y^2 = 1$ 相切，圆心 $(2,0)$ 到直线的距离等于半径 1。 设直线 $A_1A_2$ 的方程为 $Ax + By + C = 0$，则 $$\frac{|A \cdot 2 + B \cdot 0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = 1$$ 同理，直线 $A_1A_3$ 也满足相同的条件。 由于 $A_1A_2$ 和 $A_1A_3$ 都与 $\odot M$ 相切，且 $A_1$ 是公共点，因此 $A_2$ 和 $A_3$ 必须在 $\odot M$ 的切线上。考虑到抛物线的对称性和切线的性质，$A_2A_3$ 必须与 $\odot M$ 相交于两个点。 因此，直线 $A_2A_3$ 与 $\odot M$ 的位置关系是相交。 <eoe> 【答案】 直线 $A_2A_3$ 与 $\odot M$ 相交。<eoa> |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| deepseekr1 | (1)【解析】 抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，故设其方程为$y^2=4ax$。直线$l: x=1$与抛物线交于点$P(1, 2\sqrt{a})$和$Q(1, -2\sqrt{a})$。根据$OP \perp OQ$，向量$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 1 \cdot 1 + (2\sqrt{a})(-2\sqrt{a}) = 1 - 4a = 0$，解得$a=\frac{1}{4}$，故抛物线方程为$y^2=x$。 点$M(2,0)$到直线$l:x=1$的距离为1，故⊙M的半径为1，其方程为$(x-2)^2 + y^2 =1$。 <eoe> 【答案】 (1) 抛物线$C$的方程为$y^2 = x$，⊙$M$的方程为$(x-2)^2 + y^2 = 1$。 <eoa> (2)【解析】 设$A_i$在抛物线上对应的参数为$t_i$，则$A_i(t_i^2, t_i)$。直线$A_1A_2$的方程为$x - (t_1 + t_2)y + t_1 t_2 = 0$。因该直线与⊙$M$相切，圆心到直线的距离为1，代入得$\frac{|2 + t_1 t_2|}{\sqrt{1 + (t_1 + t_2)^2}} = 1$，平方化简得$(2 + t_1 t_2)^2 = 1 + (t_1 + t_2)^2$。同理，直线$A_1A_3$满足类似方程。 由二次方程根与系数关系，$t_2$和$t_3$为方程$(2 + t_1 t)^2 = 1 + (t_1 + t)^2$的根，故$t_2 + t_3 = -\frac{2t_1}{t_1^2 -1}$，$t_2 t_3 = \frac{-t_1^2 +3}{t_1^2 -1}$。代入直线$A_2A_3$的方程$x - (t_2 + t_3)y + t_2 t_3 = 0$，计算圆心到直线的距离，同样满足$\frac{|2 + t_2 t_3|}{\sqrt{1 + (t_2 + t_3)^2}} =1$，故直线$A_2A_3$与⊙$M$相切。 <eoe> 【答案】 (2) 直线$A_2A_3$与⊙$M$相切。理由：通过代数推导，利用二次方程的根与系数关系，得出该直线到圆心的距离等于半径，满足相切条件。 <eoa> |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| gpto1 | (1)【解析】 抛物线 \( C \) 的顶点为原点 \( O(0,0) \)，焦点在 \( x \) 轴上，因此抛物线开口方向为右或左。设抛物线方程为 \( y^2=4px \)，其中 \( p>0 \)。 直线 \( l:x=1 \) 与抛物线 \( C \) 相交于点 \( P \)、\( Q \)，将 \( x=1 \) 代入抛物线方程，得到： \[ y^2=4p \times 1 \] \[ y^2=4p \] 则交点为 \( P(1,2\sqrt{p}) \)，\( Q(1,-2\sqrt{p}) \)。 由于 \( OP \perp OQ \)，向量 \( \overrightarrow{OP} \) 与 \( \overrightarrow{OQ} \) 垂直，所以： \[ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0 \] \[ [1,2\sqrt{p}] \cdot [1,-2\sqrt{p}] = 1 \times 1 + 2\sqrt{p} \times (-2\sqrt{p}) = 1 - 4p = 0 \] 解得： \[ p = \dfrac{1}{4} \] 因此，抛物线 \( C \) 的方程为： \[ y^2 = 4p x = 4 \times \dfrac{1}{4} x = x \] 即 \( y^2 = x \)。 点 \( M(2,0) \)，圆 \( \odot M \) 与直线 \( l:x=1 \) 相切，圆心到切线的距离等于半径，所以： \[ r = |2 - 1| = 1 \] 因此，圆 \( \odot M \) 的方程为： \[ (x - 2)^2 + y^2 = 1^2 \] 即 \( (x - 2)^2 + y^2 = 1 \)。 <eoe> 【答案】 (1)抛物线 \( C \) 的方程为 \( y^2 = x \)； 圆 \( \odot M \) 的方程为 \( (x - 2)^2 + y^2 = 1 \)。 <eoa> (2)【解析】 由于直线 \( A_1A_2 \) 和 \( A_1A_3 \) 都与圆 \( \odot M \) 相切，且 \( A_1 \) 是抛物线 \( C \) 上的点，说明从 \( A_1 \) 点向圆 \( \odot M \) 作了两条切线，切点分别为 \( A_2 \)、\( A_3 \)。 根据极径与极线的性质，从圆外一点 \( A_1 \) 向圆 \( \odot M \) 引两条切线，切点连线 \( A_2A_3 \) 即为该点 \( A_1 \) 关于圆 \( \odot M \) 的极线。 由于 \( A_1 \) 在圆外，极线 \( A_2A_3 \) 不经过圆内，且不与圆相交，因此直线 \( A_2A_3 \) 与圆 \( \odot M \) 位置关系为相离。 因此，直线 \( A_2A_3 \) 与圆 \( \odot M \) 不相交，也不相切，它在圆的外部。 <eoe> 【答案】 (2)直线 \( A_2A_3 \) 与圆 \( \odot M \) 相离（不相交也不相切）。 <eoa> |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| GPT-4o | (1)【解析】 题目给出的条件表明抛物线 $C$ 的顶点在原点 $O$，且焦点在 $x$ 轴上。因此，抛物线的标准形式可以设为 $y^2 = 4ax$。 已知直线 $l: x = 1$ 交抛物线 $C$ 于 $P, Q$ 两点，并且 $OP \perp OQ$。这意味着 $P$ 和 $Q$ 是关于 $x$ 轴对称的，且 $P$ 和 $Q$ 的 $y$ 坐标互为相反数。设 $P(1, y_1)$ 和 $Q(1, -y_1)$。 将 $x = 1$ 代入抛物线方程 $y^2 = 4ax$，得： \[ y^2 = 4a \cdot 1 = 4a \] 由于 $P$ 和 $Q$ 的坐标为 $(1, y_1)$ 和 $(1, -y_1)$，我们可以解得： \[ y_1^2 = 4a \] 即 \[ y_1 = \pm 2\sqrt{a} \] 已知点 $M(2,0)$，且 $\odot M$ 与直线 $l$ 相切。因为 $\odot M$ 的圆心在 $(2,0)$，半径为 $1$，所以 $\odot M$ 的方程为： \[ (x - 2)^2 + y^2 = 1 \] 从上述分析可知，抛物线 $C$ 的方程为： \[ y^2 = 4ax \] 其中 $a = 1$，所以抛物线 $C$ 的方程为： \[ y^2 = 4x \] 圆 $\odot M$ 的方程为： \[ (x - 2)^2 + y^2 = 1 \] <eoe> 【答案】 抛物线 $C$ 的方程为： \[ y^2 = 4x \] 圆 $\odot M$ 的方程为： \[ (x - 2)^2 + y^2 = 1 \] <eoa> (2)【解析】 设 $A_1, A_2, A_3$ 是抛物线 $C$ 上的三个点，且直线 $A_1A_2$ 和 $A_1A_3$ 均与圆 $\odot M$ 相切。我们需要判断直线 $A_2A_3$ 与圆 $\odot M$ 的位置关系。 首先，由于抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = 4x$，设 $A_1, A_2, A_3$ 的坐标分别为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$，其中 $y_i^2 = 4x_i$ ($i = 1, 2, 3$)。 由于直线 $A_1A_2$ 与圆 $\odot M$ 相切，设直线 $A_1A_2$ 的方程为 $y = k_1(x - x_1) + y_1$，并且与圆 $(x - 2)^2 + y^2 = 1$ 相切，因此满足： \[ \text{距离公式} \] \[ \frac{|k_1(2 - x_1) - y_1|}{\sqrt{k_1^2 + 1}} = 1 \] 同理，直线 $A_1A_3$ 的方程为 $y = k_2(x - x_1) + y_1$，与圆相切，满足： \[ \frac{|k_2(2 - x_1) - y_1|}{\sqrt{k_2^2 + 1}} = 1 \] 接下来，我们需要分析直线 $A_2A_3$ 的位置关系。 由于 $A_2$ 和 $A_3$ 在抛物线上，且抛物线是对称的，因此 $x_2$ 和 $x_3$ 是确定的。直线 $A_2A_3$ 的方程为 $y = k_3(x - x_2) + y_2$。 我们需要判断直线 $A_2A_3$ 是否与圆相切、相交或相离。具体来说，我们需要计算直线 $A_2A_3$ 到圆 |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由题意可知,抛物线C的焦点在x轴上,设C的方程为x^{2}=2py(p>0),由题意可知,直线l:x=1与C交于P,Q两点,且OP\botOQ,设P(1,\frac{p}{2}),Q(1,-\frac{p}{2}),则\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=(1,\frac{p}{2})\cdot(1,-\frac{p}{2})=1-\frac{p^{2}}{4}=0,解得p=2,所以C的方程为x^{2}=4y,又\odotM与l:x=1相切,所以\odotM的方程为(x-2)^{2}+y^{2}=1^{2},即x^{2}+y^{2}-4x+3=0. 最终结果是x^2=4*y x^2+y^2-4*x+3=0 (2)【解析】由题意可知,直线A_{1}A_{2},A_{1}A_{3}均与\odotM相切,设直线A_{1}A_{2},A_{1}A_{3}的斜率分别为k_{1},k_{2},则k_{1}\cdotk_{2}=-1,设A_{1}(x_{1},\frac{x_{1}^{2}}{4}),A_{2}(x_{2},\frac{x_{2}^{2}}{4}),A_{3}(x_{3},\frac{x_{3}^{2}}{4}),则k_{1}=\frac{\frac{x_{2}^{2}}{4}-\frac{x_{1}^{2}}{4}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{4},k_{2}=\frac{\frac{x_{3}^{2}}{4}-\frac{x_{1}^{2}}{4}}{x_{3}-x_{1}}=\frac{x_{1}+x_{3}}{4},所以\frac{x_{1}+x_{2}}{4}\cdot\frac{x_{1}+x_{3}}{4}=-1,即(x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{3})=-16,所以x_{1}^{2}+x_{1}(x_{2}+x_{3})+x_{2}x_{3}=-16,所以直线A_{2}A_{3}的斜率为k=\frac{\frac{x_{3}^{2}}{4}-\frac{x_{2}^{2}}{4}}{x_{3}-x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{3}}{4},所以直线A_{2}A_{3}的方程为y-\frac{x_{2}^{2}}{4}}{4}=\frac{x_{2}+x_{3}}{4}(x-x_{2}),即y-\frac{x_{2}^{2}}{4}=\frac{x_{2}+x_{3}}{4}(x-x_{2}),即y=\frac{x_{2}+x_{3}}{4}x-\frac{x_{2}x_{3}}{4},所以直线A_{2}A_{3}过定点(0,-\frac{x_{2}x_{3}}{4}),又x_{1}^{2}+x_{1}(x_{2}+x_{3})+x_{2}x_{3}=-16,所以x_{2}x_{3}=-16-x_{1}^{2}-x_{1}(x_{2}+x_{3})\leqslant-16,所以-\frac{x_{2}x_{3}}{4}\geqslant4,所以定点(0,-\frac{x_{2}x_{3}}{4})在\odotM的内部,所以直线A_{2}A_{3}与\odotM相交. 最终结果是直线A2A3与圆相交 |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由题意可得直线l:x=1与\odotM相切,所以\odotM的半径为1,所以\odotM的方程为(x-2)^{2}+y^{2}=1,设抛物线C的方程为y^{2}=2px(p>0),因为直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP\botOQ,所以点P,Q的纵坐标分别为\sqrt{2p},-\sqrt{2p},所以\frac{\sqrt{2p}}{1}\cdot\frac{-\sqrt{2p}}{1}=-1,解得p=1,所以抛物线C的方程为y^{2}=2x;(2)由题意可得直线A_{1}A_{2},A_{1}A_{3}均与 |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，因此抛物线的标准方程可以写成 $y^2 = 4ax$ 或 $y^2 = -4ax$。由于直线 $l: x=1$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，且 $O P \\perp O Q$，这意味着 $P$ 和 $Q$ 的 $y$ 坐标分别为正和负，或者负和正。因此，抛物线的方程应为 $y^2 = 4ax$。\n\n设 $P(1, y_1)$ 和 $Q(1, y_2)$，则 $y_1^2 = 4a \\cdot 1$ 和 $y_2^2 = 4a \\cdot 1$，即 $y_1^2 = y_2^2 = 4a$。由于 $O P \\perp O Q$，$y_1$ 和 $y_2$ 必须一正一负，且 $|y_1| = |y_2|$。因此，$y_1 = 2\\sqrt{a}$ 和 $y_2 = -2\\sqrt{a}$。\n\n点 $M(2,0)$，且 $\\odot M$ 与 $l$ 相切。$\\odot M$ 的半径为 $1$，因为 $l$ 与 $\\odot M$ 相切，切点在 $x=1$ 上，距离 $M$ 的距离为 $1$。因此，$\\odot M$ 的方程为 $(x-2)^2 + y^2 = 1$。\n\n综上所述，抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = 4ax$，$\\odot M$ 的方程为 $(x-2)^2 + y^2 = 1$。<eoe>\n【答案】$C: y^2 = 4ax$, $\\odot M: (x-2)^2 + y^2 = 1$<eoa>\n\n(2)【解析】 设 $A_1(x_1, y_1)$, $A_2(x_2, y_2)$, $A_3(x_3, y_3)$ 是 $C$ 上的三个点，满足 $y_1^2 = 4ax_1$, $y_2^2 = 4ax_2$, $y_3^2 = 4ax_3$。直线 $A_1A_2$ 和 $A_1A_3$ 均与 $\\odot M$ 相切。\n\n直线 $A_1A_2$ 的方程为 $y - y_1 = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$，化简为 $y = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}x + \\left(y_1 - \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}x_1\\right)$。由于这条直线与 $\\odot M$ 相切，切线方程的形式为 $y = mx + c$，其中 $c = \\pm \\sqrt{1 + m^2}$。因此，$y_1 - \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}x_1 = \\pm \\sqrt{1 + \\left(\\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\right)^2}$。\n\n同理，直线 $A_1A_3$ 的方程为 $y - y_1 = \\frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}(x - x_1)$，化简为 $y = \\frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}x + \\left(y_1 - \\frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}x_1\\right)$。这条直线也与 $\\odot M$ 相切，因此 $y_1 - \\frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}x_1 = \\pm \\sqrt{1 + \\left(\\frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}\\right)^2}$。\n\n由于 $A_1A_2$ 和 $A_1A_3$ 都与 $\\odot M$ 相切，且 $\\odot M$ 的圆心 $M(2,0)$ 在 $x$ 轴上，直线 $A_2A_3$ 也必须与 $\\odot M$ 相切。因为如果 $A_2A_3$ 不与 $\\odot M$ 相切，那么 $A_2A_3$ 会与 $\\odot M$ 相交或不相交，这与 $A_1A_2$ 和 $A_1A_3$ 的切线性质矛盾。\n\n因此，直线 $A_2A_3$ 与 $\\odot M$ 相切。<eoe>\n【答案】直线 $A_2A_3$ 与 $\\odot M$ 相切。<eoa>" | 【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】\n由题意知，抛物线 $C$ 的顶点在原点，焦点在 $x$ 轴上，因此其标准方程可以表示为 $y^2=4ax$，其中 $a$ 是焦点到顶点的距离。由于直线 $l: x=1$ 与 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点，且 $OP \\perp OQ$，我们知道 $P, Q$ 两点关于 $x$ 轴对称，设 $P(1, y_1)$，则 $Q(1, -y_1)$，这里 $y_1^2=4a$。又因为 $OP \\perp OQ$，即 $OP$ 和 $OQ$ 的斜率乘积为 $-1$，但由于 $P, Q$ 对称，该条件自然满足，无需额外计算。\n\n接下来，考虑点 $M(2,0)$ 和圆 $\\odot M$ 与直线 $l$ 相切。设 $\\odot M$ 的半径为 $r$，则 $\\odot M$ 的方程为 $(x-2)^2+y^2=r^2$。由于 $\\odot M$ 与直线 $l$ 相切于点 $(1,0)$，则 $r=1$，故 $\\odot M$ 的方程为 $(x-2)^2+y^2=1$。\n\n最后，我们需要确定 $a$ 的值。由于直线 $l: x=1$ 与抛物线 $C$ 相交，且 $P, Q$ 两点关于 $x$ 轴对称，我们可以通过 $y^2=4ax$ 在 $x=1$ 时的值来确定 $a$。由 $y_1^2=4a$，且 $y_1^2$ 在 $x=1$ 时等于 $4a$，我们有 $4a=4a$，这表明任何 $a$ 都满足条件，但考虑到 $\\odot M$ 的位置，$a$ 应该是使得抛物线与圆相交的值。由于 $M(2,0)$ 且 $\\odot M$ 的半径为 $1$，$a$ 的值应该保证抛物线与圆至少在 $x=1$ 处相交，这意味着 $a$ 应该是使得抛物线在 $x=1$ 时 $y^2$ 的值为正的最小值，即 $a=1$。\n\n因此，$C$ 的方程为 $y^2=4x$，$\\odot M$ 的方程为 $(x-2)^2+y^2=1$。<eoe>\n\n【答案】\n$C$ 的方程为 $y^2=4x$，$\\odot M$ 的方程为 $(x-2)^2+y^2=1$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n已知 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是抛物线 $C$ 上的三个点，直线 $A_{1}A_{2}, A_{1}A_{3}$ 均与圆 $\\odot M$ 相切。我们需要判断直线 $A_{2}A_{3}$ 与 $\\odot M$ 的位置关系。\n\n首先，考虑直线与圆相切的几何意义。若直线 $A_{1}A_{2}$ 与 $\\odot M$ 相切，意味着 $A_{1}A_{2}$ 的方向向量垂直于 $\\odot M$ 在切点处的半径方向。同理，$A_{1}A_{3}$ 也与 $\\odot M$ 相切，意味着 $A_{1}A_{3}$ 的方向向量垂直于 $\\odot M$ 在另一个切点处的半径方向。\n\n由于 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 都在抛物线 $C$ 上，我们可以推断 $A_{2}A_{3}$ 的方向向量将与 $A_{1}A_{2}$ 和 $A_{1}A_{3}$ 的方向向量构成的平面平行。由于 $A_{1}A_{2}$ 和 $A_{1}A_{3}$ 都垂直于 $\\odot M$ 在切点处的半径方向，这意味着 $A_{2}A_{3}$ 也垂直于这两个方向，因此 $A_{2}A_{3}$ 必须与 $\\odot M$ 相切。\n\n具体证明可以基于圆的切线定理和抛物线的几何性质进行，但基于上述分析，我们可以直观理解为什么 $A_{2}A_{3}$ 与 $\\odot M$ 相切：$A_{2}A_{3}$ 的方向向量是 $A_{1}A_{2}$ 和 $A_{1}A_{3}$ 方向向量的线性组合，且这两个方向向量垂直于 $\\odot M$ 的半径，因此 $A_{2}A_{3}$ 也必须垂直于 $\\odot M$ 的半径，即 $A_{2}A_{3}$ 与 $\\odot M$ 相切。<eoe>\n\n【答案】\n直线 $A_{2}A_{3}$ 与 $\\odot M$ 相切。理由是 $A_{1}A_{2}, A_{1}A_{3}$ 均与 $\\odot M$ 相切，且 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 都位于抛物线 $C$ 上，这意味着 $A_{2}A_{3}$ 的方向向量与 $A_{1}A_{2}$ 和 $A_{1}A_{3}$ 的方向向量构成的平面平行，且由于 $A_{1}A_{2}$ 和 $A_{1}A_{3}$ 垂直于 $\\odot M$ 在切点处的半径方向，$A_{2}A_{3}$ 也必须垂直于 $\\odot M$ 的半径，因此 $A_{2}A_{3}$ 与 $\\odot M$ 相切。<eoa>" | 【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| baichuan4 | (1)【解析】由于抛物线的顶点为坐标原点$O$，我们可以设抛物线$C$的方程为$y^2=2px$，其中$p>0$。因为焦点在$x$轴上，所以抛物线开口向右。 直线$l: x=1$与抛物线$C$相交于$P, Q$两点，设$P(1, y_1), Q(1, y_2)$，则根据抛物线方程有$y_1^2=2p, y_2^2=2p$。由于$OP \perp OQ$，根据斜率之积等于$-1$的性质，我们有$\frac{y_1}{1} \cdot \frac{y_2}{1} = -1$，即$y_1y_2 = -1$。 又因为$y_1^2=y_2^2=2p$，所以$y_1=\sqrt{2p}, y_2=-\sqrt{2p}$或者$y_1=-\sqrt{2p}, y_2=\sqrt{2p}$。无论哪种情况，都有$y_1y_2=-\sqrt{2p} \cdot \sqrt{2p}=-2p=-1$，从而得到$p=\frac{1}{2}$。 因此，抛物线$C$的方程为$y^2=x$。 对于圆$\odot M$，因为它的半径等于圆心到直线$l$的距离，即$r=1$，所以$\odot M$的方程为$(x-2)^2+y^2=1$。 【答案】抛物线$C$的方程为$y^2=x$，圆$\odot M$的方程为$(x-2)^2+y^2=1$。 (2)【解析】首先，我们知道抛物线$C$到焦点的距离等于到准线的距离。设$A_1(x_1, y_1), A_2(x_2, y_2), A_3(x_3, y_3)$，根据抛物线方程$y^2=x$，焦点为$(\frac{1}{4}, 0)$，准线为$x=-\frac{1}{4}$。 因为直线$A_1A_2, A_1A_3$均与圆$\odot M$相切，所以$A_1, A_2, A_3$到$M(2,0)$的距离相等，即$|A_1M|=|A_2M|=|A_3M|$。又因为抛物线$C$上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以$|A_1F|=|A_2F|=|A_3F|$，其中$F(\frac{1}{4}, 0)$为抛物线的焦点。 由于$A_1, A_2, A_3$都在抛物线上，根据抛物线的对称性，直线$A_2A_3$也必然与圆$\odot M$相切。 【答案】直线$A_2A_3$与圆$\odot M$相切。 |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| doubao | (1)【解析】设抛物线方程为$y^2=2px(p>0)$，把$x=1$代入可得$y^2=2p$，则$y=\pm\sqrt{2p}$，可得$P(1,\sqrt{2p})$，$Q(1,-\sqrt{2p})$。因为$OP\perp OQ$，所以$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0$，即$(1,\sqrt{2p})\cdot(1,-\sqrt{2p})=1-2p=0$，解得$p=\frac{1}{2}$，所以抛物线$C$的方程为$y^2=x$。已知点$M(2,0)$，且$\odot M$与$l$相切，所以$\odot M$的半径即为点$M$到直线$x=1$的距离，为$1$，所以$\odot M$的方程为$(x-2)^2+y^2=1$。 【答案】抛物线$C$的方程为$y^2=x$，$\odot M$的方程为$(x-2)^2+y^2=1$。 <eoa> (2)【解析】设$A_1(x_1,y_1)$，$A_2(x_2,y_2)$，$A_3(x_3,y_3)$，直线$A_1A_2$的方程为$x-1=m(y-y_1)+1$，即$x=my-my_1+1+y_1$，代入抛物线方程可得$y^2=my-my_1+1+y_1$，即$y^2-my+my_1-1-y_1=0$，则$y_1+y_2=m$，$y_1y_2=my_1-1-y_1$。由直线与圆相切可得$\frac{|2-my_1+1+y_1|}{\sqrt{1+m^2}}=1$，整理可得$(y_1^2-1)m^2+2y_1(y_1-1)m+(y_1-1)^2=0$。同理直线$A_1A_3$也满足此方程，所以$m_1,m_2$是此方程的两根，所以$m_1m_2=1$。直线$A_2A_3$的方程为$x-1=m'(y-y_2)+1$，同理可得$\frac{|2-m'y_2+1+y_2|}{\sqrt{1+m'^2}}=1$，整理可得$(y_2^2-1)m'^2+2y_2(y_2-1)m'+(y_2-1)^2=0$，则$m'=\frac{y_3-y_2}{1+y_2y_3}$。计算圆心到直线$A_2A_3$的距离，若等于半径则相切，若小于半径则相交，若大于半径则相离，经过计算可得距离等于半径，所以直线$A_2A_3$与$\odot M$相切。 【答案】直线$A_2A_3$与$\odot M$相切。 <eoa> |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| minimax | (1)【解析】 首先，我们知道抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，这意味着抛物线的对称轴是x轴。由于直线$l: x=1$与抛物线交于$P, Q$两点，并且$OP \perp OQ$，我们可以推断出$P$和$Q$关于y轴对称。因此，$P$和$Q$的坐标分别是$(1, y_1)$和$(1, -y_1)$。 抛物线的标准方程是$y^2 = 4ax$（如果开口向右）或$x^2 = 4ay$（如果开口向上）。由于焦点在x轴上，我们可以确定抛物线的方程是$y^2 = 4ax$。由于$P$和$Q$的x坐标都是1，我们可以将它们的坐标代入抛物线方程中，得到$y_1^2 = 4a$。 接下来，我们需要找到抛物线的焦点。抛物线的焦点到顶点的距离是$a$，所以焦点的坐标是$(a, 0)$。由于$M(2,0)$是圆$\odot M$的圆心，并且圆与直线$l$相切，我们可以推断出圆的半径是1（因为从圆心到直线$l$的距离是1）。因此，圆的方程是$(x-2)^2 + y^2 = 1$。 现在我们需要确定$a$的值。由于$OP \perp OQ$，我们可以使用点到直线的距离公式来找到$a$。点到直线的距离公式是$|Ax_0 + By_0 + C| / \sqrt{A^2 + B^2}$，其中$(x_0, y_0)$是点的坐标，$Ax + By + C = 0$是直线的方程。对于直线$l: x=1$，我们可以将其写成$x - 1 = 0$。因此，点$P(1, y_1)$到直线$l$的距离是$|1 - 1| = 0$，这显然是错误的，因为$P$和$Q$不可能在直线$l$上。我们需要重新考虑这个问题。 由于$OP \perp OQ$，我们可以使用勾股定理来找到$a$。设$OP$的长度为$r$，则$OQ$的长度也是$r$。由于$OP$和$OQ$是垂直的，我们有$r^2 + r^2 = (2a)^2$，即$2r^2 = 4a^2$。由于$P$和$Q$在抛物线上，我们有$r^2 = y_1^2 = 4a$。将$r^2$代入上面的等式，我们得到$2(4a) = 4a^2$，即$8a = 4a^2$。解这个方程得到$a = 2$。 现在我们有了$a$的值，我们可以写出抛物线的方程和圆的方程。<eoe> 【答案】 抛物线$C$的方程是$y^2 = 4ax$，将$a = 2$代入得到$y^2 = 8x$。 圆$\odot M$的方程是$(x-2)^2 + y^2 = 1$。<eoa> (2)【解析】 我们知道$A_1, A_2, A_3$是抛物线上的三个点，且直线$A_1A_2$和$A_1A_3$都与圆$\odot M$相切。由于抛物线的对称性，我们可以推断出$A_1$是$A_2$和$A_3$的中点。这是因为如果$A_1A_2$和$A_1A_3$都与圆相切，那么$A_1$必须位于$A_2$和$A_3$的中点，否则$A_2A_3$将不会与圆相切。 由于$A_1$是$A_2$和$A_3$的中点，直线$A_2A_3$将通过圆心$M(2,0)$。这是因为$A_2A_3$是$A_1A_2$和$A_1A_3$的垂直平分线，而$A_1A_2$和$A_1A_3$都与圆相切，所以它们的垂直平分线必须通过圆心。 因此，直线$A_2A_3$与圆$\odot M$相交于两点，即$A_2$和$A_3$，并且通过圆心$M$。这意味着直线$A_2A_3$是圆$\odot M$的直径。<eoe> 【答案】 直线$A_2A_3$与圆$\odot M$相交于两点$A_2$和$A_3$，并且通过圆心$M(2,0)$，因此直线$A_2A_3$是圆$\odot M$的直径。<eoa> |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| kimi | (1)【解析】首先，我们知道抛物线 $C$ 的顶点为原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，因此抛物线的方程可以表示为 $y^2 = 2px$。由于直线 $l: x=1$ 与抛物线相交于 $P$ 和 $Q$ 两点，且 $OP \perp OQ$，我们可以设 $P(1, y_1)$ 和 $Q(1, -y_1)$。将 $x=1$ 代入抛物线方程得到 $y_1^2 = 2p$。 接下来，我们利用 $OP \perp OQ$ 的条件，即 $OP$ 和 $OQ$ 的斜率乘积为 $-1$。由于 $OP$ 和 $OQ$ 的斜率分别为 $y_1$ 和 $-y_1$，所以 $y_1 \cdot (-y_1) = -1$，解得 $y_1^2 = 1$。因此，$2p = 1$，即 $p = \frac{1}{2}$。 所以，抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = x$。 对于圆 $\odot M$，我们知道点 $M(2,0)$，且圆与直线 $l$ 相切。由于直线 $l$ 的方程为 $x=1$，圆心到直线的距离即为圆的半径，即 $r = |2 - 1| = 1$。 因此，圆 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^2 + y^2 = 1$。 <eoe> 【答案】抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = x$，圆 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^2 + y^2 = 1$。<eoa> (2)【解析】设 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 分别为抛物线上的点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$、$(x_3, y_3)$，且 $y_1 > 0$、$y_2 > 0$、$y_3 > 0$。由于直线 $A_1A_2$ 和 $A_1A_3$ 均与圆 $\odot M$ 相切，我们可以利用抛物线的性质和圆的性质来求解。 首先，我们知道抛物线的焦点到准线的距离等于 $p$，即焦点到直线 $x=-\frac{1}{2}$ 的距离。由于 $A_1A_2$ 和 $A_1A_3$ 与圆相切，所以 $A_1A_2$ 和 $A_1A_3$ 与直线 $x=-\frac{1}{2}$ 垂直。 设直线 $A_1A_2$ 的方程为 $y - y_1 = k(x - x_1)$，由于它与直线 $x=-\frac{1}{2}$ 垂直，所以 $k = -\frac{1}{2} \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。将抛物线方程 $y^2 = x$ 代入直线方程，得到 $y^2 - y_1^2 = k(x - x_1)$。由于直线与抛物线相切，所以判别式 $\Delta = 0$，从而可以解出 $k$。 同理，我们可以求出直线 $A_1A_3$ 的斜率。 由于 $A_2A_3$ 与 $A_1A_2$ 和 $A_1A_3$ 都垂直，我们可以得出直线 $A_2A_3$ 与直线 $x=-\frac{1}{2}$ 平行，即 $A_2A_3$ 的斜率为 $0$。 因此，直线 $A_2A_3$ 与圆 $\odot M$ 相切。 <eoe> 【答案】直线 $A_2A_3$ 与圆 $\odot M$ 相切。<eoa> |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 设抛物线C的标准方程为 $y^{2} = 2px$ (因为顶点在原点，且焦点在x轴上)。 由于直线 $l: x = 1$ 与抛物线相交于P, Q两点，且 $OP \perp OQ$，则有 $y_P y_Q = -1$ (因为两向量垂直，它们的点积为0)。 又因为P, Q两点在抛物线上，所以 $y_P^2 = 2p$ 和 $y_Q^2 = 2p$。 结合上述两式，得到 $p = \frac{1}{2}$。 所以抛物线C的方程为 $y^{2} = x$。 对于圆 $\odot M$，已知圆心M的坐标为(2,0)，且该圆与直线 $l: x = 1$ 相切，所以圆的半径r为圆心到直线的距离，即 $r = |2 - 1| = 1$。 因此，圆 $\odot M$ 的方程为 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 1$。 【答案】 抛物线C的方程为 $y^{2} = x$，圆 $\odot M$ 的方程为 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 1$。 (2)【解析】 设抛物线C上的三个点为 $A_1(x_1, y_1)$, $A_2(x_2, y_2)$, $A_3(x_3, y_3)$。 由于直线 $A_1 A_2$ 和 $A_1 A_3$ 都与圆 $\odot M$ 相切，根据切线的性质，有： $(x_2 - 2)(x_1 - 2) + y_2 y_1 = 1$ 和 $(x_3 - 2)(x_1 - 2) + y_3 y_1 = 1$。 从上述两式相减，得到： $(x_2 - x_3)(x_1 - 2) + (y_2 - y_3)y_1 = 0$。 同理，可以得到： $(x_3 - x_1)(x_2 - 2) + (y_3 - y_1)y_2 = 0$ 和 $(x_1 - x_2)(x_3 - 2) + (y_1 - y_2)y_3 = 0$。 结合上述三式，可以得到直线 $A_2 A_3$ 的方程为 $(x - 2)(x_1 - 2) + y y_1 = 1$。 计算圆心M到直线 $A_2 A_3$ 的距离d，得到 $d = \frac{1}{\sqrt{(x_1 - 2)^2 + y_1^2}}$。 由于 $A_1$ 在抛物线C上，所以 $y_1^2 = x_1$，代入上式得到 $d = 1$。 因此，直线 $A_2 A_3$ 与圆 $\odot M$ 相切。 【答案】 直线 $A_2 A_3$ 与圆 $\odot M$ 相切。 |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| zhipu | (1)【解析】 首先，根据题意，抛物线 \( C \) 的顶点在原点 \( O \)，且焦点在 \( x \) 轴上，因此可以设抛物线的方程为 \( y^2 = 4ax \)，其中 \( a \) 是焦点到顶点的距离。 由于直线 \( l: x = 1 \) 交抛物线 \( C \) 于点 \( P \) 和 \( Q \)，我们将 \( x = 1 \) 代入抛物线方程得到： \[ y^2 = 4a \cdot 1 \] \[ y^2 = 4a \] 所以 \( y = \pm 2\sqrt{a} \)，即 \( P(1, 2\sqrt{a}) \) 和 \( Q(1, -2\sqrt{a}) \)。 根据题意， \( OP \perp OQ \)，即 \( OP \) 和 \( OQ \) 的斜率乘积为 -1。点 \( O \) 为原点 \( (0,0) \)，所以： \[ k_{OP} = \frac{2\sqrt{a}}{1} = 2\sqrt{a} \] \[ k_{OQ} = \frac{-2\sqrt{a}}{1} = -2\sqrt{a} \] \[ k_{OP} \cdot k_{OQ} = (2\sqrt{a})(-2\sqrt{a}) = -4a \] 由于 \( OP \perp OQ \)，所以 \( -4a = -1 \)，解得 \( a = \frac{1}{4} \)。 因此，抛物线 \( C \) 的方程为： \[ y^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot x \] \[ y^2 = x \] 接下来，求圆 \( \odot M \) 的方程。已知圆心 \( M(2,0) \)，且圆与直线 \( l: x = 1 \) 相切，所以圆的半径 \( r \) 等于圆心到直线的距离： \[ r = |2 - 1| = 1 \] 因此，圆 \( \odot M \) 的方程为： \[ (x - 2)^2 + y^2 = 1 \] <eoe> 【答案】 抛物线 \( C \) 的方程为 \( y^2 = x \)。 圆 \( \odot M \) 的方程为 \( (x - 2)^2 + y^2 = 1 \)<eoa> (2)【解析】 设 \( A_1(x_1, y_1) \)，\( A_2(x_2, y_2) \)，\( A_3(x_3, y_3) \) 是抛物线 \( C \) 上的三个点，即满足 \( y_1^2 = x_1 \)，\( y_2^2 = x_2 \)，\( y_3^2 = x_3 \)。 由于直线 \( A_1A_2 \) 和 \( A_1A_3 \) 均与圆 \( \odot M \) 相切，设直线 \( A_1A_2 \) 的方程为 \( y = k(x - x_1) + y_1 \)，同理，直线 \( A_1A_3 \) 的方程为 \( y = m(x - x_1) + y_1 \)。 直线与圆相切的条件是直线到圆心的距离等于圆的半径。对于直线 \( A_1A_2 \)，我们有： \[ \frac{|k(2 - x_1) + y_1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1 \] 同理，对于直线 \( A_1A_3 \)，我们有： \[ \frac{|m(2 - x_1) + y_1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1 \] 由于 \( A_1, A_2, A_3 \) 都在抛物线上，且 \( A_1A_2 \) 和 \( A_1A_3 \) 均与圆相切，根据对称性和几何性质，可以推断 \( A_2A_3 \) 也应与圆 \( \odot M \) 相切。 更严格的证明可以通过解析几何方法，考虑抛物线的对称性和切线的唯一性，但由于题目要求简洁，这里采用几何直观判断。 <eoe> 【答案】 直线 \( A_2A_3 \) 与圆 \( \odot M \) 相切。 理由：由于 \( A_1A_2 \) 和 \( A_1A_3 \) 均与圆 \( \odot M \) 相切，根据抛物线的对称性和几何性质，直线 \( A_2A_3 \) 也会与圆 \( \odot M \) 相切。<eoa> |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| gpto1 | (1)【解析】 抛物线 \( C \) 的顶点为原点 \( O(0,0) \)，焦点在 \( x \) 轴上，因此抛物线开口方向为右或左。设抛物线方程为 \( y^2=4px \)，其中 \( p>0 \)。 直线 \( l:x=1 \) 与抛物线 \( C \) 相交于点 \( P \)、\( Q \)，将 \( x=1 \) 代入抛物线方程，得到： \[ y^2=4p \times 1 \] \[ y^2=4p \] 则交点为 \( P(1,2\sqrt{p}) \)，\( Q(1,-2\sqrt{p}) \)。 由于 \( OP \perp OQ \)，向量 \( \overrightarrow{OP} \) 与 \( \overrightarrow{OQ} \) 垂直，所以： \[ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0 \] \[ [1,2\sqrt{p}] \cdot [1,-2\sqrt{p}] = 1 \times 1 + 2\sqrt{p} \times (-2\sqrt{p}) = 1 - 4p = 0 \] 解得： \[ p = \dfrac{1}{4} \] 因此，抛物线 \( C \) 的方程为： \[ y^2 = 4p x = 4 \times \dfrac{1}{4} x = x \] 即 \( y^2 = x \)。 点 \( M(2,0) \)，圆 \( \odot M \) 与直线 \( l:x=1 \) 相切，圆心到切线的距离等于半径，所以： \[ r = |2 - 1| = 1 \] 因此，圆 \( \odot M \) 的方程为： \[ (x - 2)^2 + y^2 = 1^2 \] 即 \( (x - 2)^2 + y^2 = 1 \)。 <eoe> 【答案】 (1)抛物线 \( C \) 的方程为 \( y^2 = x \)； 圆 \( \odot M \) 的方程为 \( (x - 2)^2 + y^2 = 1 \)。 <eoa> (2)【解析】 由于直线 \( A_1A_2 \) 和 \( A_1A_3 \) 都与圆 \( \odot M \) 相切，且 \( A_1 \) 是抛物线 \( C \) 上的点，说明从 \( A_1 \) 点向圆 \( \odot M \) 作了两条切线，切点分别为 \( A_2 \)、\( A_3 \)。 根据极径与极线的性质，从圆外一点 \( A_1 \) 向圆 \( \odot M \) 引两条切线，切点连线 \( A_2A_3 \) 即为该点 \( A_1 \) 关于圆 \( \odot M \) 的极线。 由于 \( A_1 \) 在圆外，极线 \( A_2A_3 \) 不经过圆内，且不与圆相交，因此直线 \( A_2A_3 \) 与圆 \( \odot M \) 位置关系为相离。 因此，直线 \( A_2A_3 \) 与圆 \( \odot M \) 不相交，也不相切，它在圆的外部。 <eoe> 【答案】 (2)直线 \( A_2A_3 \) 与圆 \( \odot M \) 相离（不相交也不相切）。 <eoa> |
【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-806d687f-4c1d-9c99-b25f-41aa5804fda6', 'request_id': '806d687f-4c1d-9c99-b25f-41aa5804fda6'} | 【详解】(1) 依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\left(1, y_{0}\right), Q\left(1,-y_{0}\right)$, $\because O P \perp O Q, \therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \therefore 2 p=1$, 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$, $M(0,2), \odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 , 所以 $\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; (2) 设 $A_{1}\left(x_{1} y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), A_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$, 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$, 此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意; 若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3})$, 则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$, 又 $k_{A_{1} A_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+y_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在, 则 $k_{A_{1} A_{2}}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$, 所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\left(x-x_{1}\right)$, 整理得 $x-\left(y_{1}+y_{2}\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ， 同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{1}+y_{3}\right) y+y_{1} y_{3}=0$, 直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\left(y_{2}+y_{3}\right) y+y_{2} y_{3}=0$, $\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\therefore \frac{\left|2+y_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}}=1$ 整理得 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$, $A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$ 所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\left(y_{1}^{2}-1\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根, $y_{2}+y_{3}=-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \cdot y_{3}=\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$ $M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为: $\frac{\left|2+y_{2} y_{3}\right|}{\sqrt{1+\left(y_{2}+y_{3}\right)^{2}}}=\frac{\left|2+\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\right)^{2}}}$ $=\frac{\left|y_{1}^{2}+1\right|}{\sqrt{\left(y_{1}^{2}-1\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$, 所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切; 综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切 |