| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 直线 \( l \) 的极坐标方程为 \(\rho \sin \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + m = 0\)。 我们将其转换为直角坐标方程。极坐标和直角坐标的转换关系为： \[ x = \rho \cos \theta, \quad y = \rho \sin \theta, \quad \rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \tan \theta = \frac{y}{x} \] 将 \(\rho\) 和 \(\theta\) 用 \(x\) 和 \(y\) 表示： \[ \rho \sin \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \rho \left(\sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3}\right) \] \[ = \rho \left(\sin \theta \cdot \frac{1}{2} + \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ = \frac{1}{2} \rho \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cos \theta \] \[ = \frac{1}{2} y + \frac{\sqrt{3}}{2} x \] 因此，极坐标方程 \(\rho \sin \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + m = 0\) 转换为： \[ \frac{1}{2} y + \frac{\sqrt{3}}{2} x + m = 0 \] 整理得到直角坐标方程： \[ \sqrt{3} x + y + 2m = 0 \] <eoe> 【答案】\(\sqrt{3} x + y + 2m = 0\)<eoa> (2)【解析】 曲线 \(C\) 的参数方程为： \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt{3} \cos 2t \\ y = 2 \sin t \end{array} \right. \] 将参数方程代入直线方程 \(\sqrt{3} x + y + 2m = 0\) 中，得到： \[ \sqrt{3} (\sqrt{3} \cos 2t) + 2 \sin t + 2m = 0 \] \[ 3 \cos 2t + 2 \sin t + 2m = 0 \] 我们需要找到 \(t\) 的取值范围，使得上式有解。首先，考虑 \(\cos 2t\) 和 \(\sin t\) 的取值范围： \[ -1 \leq \cos 2t \leq 1, \quad -1 \leq \sin t \leq 1 \] 因此，\(3 \cos 2t\) 的取值范围为： \[ -3 \leq 3 \cos 2t \leq 3 \] 而 \(2 \sin t\) 的取值范围为： \[ -2 \leq 2 \sin t \leq 2 \] 所以，\(3 \cos 2t + 2 \sin t\) 的取值范围为： \[ -5 \leq 3 \cos 2t + 2 \sin t \leq 5 \] 为了使得方程 \(3 \cos 2t + 2 \sin t + 2m = 0\) 有解，必须满足： \[ -5 \leq 2m \leq 5 \] 即： \[ -\frac{5}{2} \leq m \leq \frac{5}{2} \] <eoe> 【答案】\(-\frac{5}{2} \leq m \leq \frac{5}{2}\)<eoa> |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| deepseekr1 | (1)【解析】 将直线 $l$ 的极坐标方程 $\rho \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + m = 0$ 转换为直角坐标方程。利用和角公式展开： \[ \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\theta \cos\frac{\pi}{3} + \cos\theta \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta. \] 代入原方程得： \[ \rho\left(\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right) = -m. \] 利用 $\rho\sin\theta = y$ 和 $\rho\cos\theta = x$，方程变为： \[ \frac{1}{2}y + \frac{\sqrt{3}}{2}x = -m. \] 两边乘以 2，整理得直角坐标方程： \[ \sqrt{3}x + y + 2m = 0. \] <eoe> 【答案】 $\sqrt{3}x + y + 2m = 0$ <eoa> (2)【解析】 将曲线 $C$ 的参数方程 $\begin{cases}x = \sqrt{3}\cos 2t \\ y = 2\sin t\end{cases}$ 代入直线方程 $\sqrt{3}x + y + 2m = 0$，得： \[ \sqrt{3}(\sqrt{3}\cos 2t) + 2\sin t + 2m = 0 \implies 3\cos 2t + 2\sin t + 2m = 0. \] 利用 $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$，方程化为： \[ 3(1 - 2\sin^2 t) + 2\sin t + 2m = 0 \implies 6\sin^2 t - 2\sin t - (3 + 2m) = 0. \] 令 $u = \sin t$，则方程变为 $6u^2 - 2u - (3 + 2m) = 0$。为使方程有实根，判别式需满足： \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3 - 2m) = 76 + 48m \geq 0 \implies m \geq -\frac{19}{12}. \] 同时，$u = \sin t \in [-1, 1]$。解得根为： \[ u = \frac{1 \pm \sqrt{19 + 12m}}{6}. \] 分析根的范围，将 $m$ 表示为 $m = 3u^2 - u - \frac{3}{2}$，其中 $u \in [-1, 1]$。该二次函数在 $u = \frac{1}{6}$ 处取得最小值 $-\frac{19}{12}$，在 $u = -1$ 处取得最大值 $\frac{5}{2}$。因此 $m$ 的取值范围为： \[ -\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}. \] <eoe> 【答案】 $m$ 的取值范围为 $\left[ -\dfrac{19}{12}, \dfrac{5}{2} \right]$ <eoa> |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| gpto1 | 【解析】(1) 直线 \( l \) 的极坐标方程为 \(\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) + m = 0\)。我们可以利用极坐标与直角坐标的转换关系，以及三角函数的和差公式，将极坐标方程转换为直角坐标方程。 首先，利用和角公式展开： \[ \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3} \] 因为 \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)，\(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，代入得到： \[ \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \] 因此，原方程变为： \[ \rho \left( \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right) + m = 0 \] 利用极坐标与直角坐标的关系 \(\rho \cos \theta = x\)，\(\rho \sin \theta = y\)，得： \[ \frac{1}{2} y + \frac{\sqrt{3}}{2} x + m = 0 \] 两边同时乘以 2，得到： \[ y + \sqrt{3} x + 2m = 0 \] 这就是直线 \( l \) 的直角坐标方程。 <eoe> 【答案】(1) 直线 \( l \) 的直角坐标方程为：\( y + \sqrt{3} x + 2m = 0 \)。 <eoa> 【解析】(2) 要使直线 \( l \) 与曲线 \( C \) 有公共点，即它们的方程组有解。将曲线 \( C \) 的参数方程代入直线 \( l \) 的直角坐标方程。 曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = \sqrt{3} \cos 2t \\ y = 2 \sin t \end{cases} \] 将 \( x \) 和 \( y \) 代入直线方程： \[ 2 \sin t + \sqrt{3} \times \sqrt{3} \cos 2t + 2m = 0 \] 化简得到： \[ 2 \sin t + 3 \cos 2t + 2m = 0 \] 利用三倍角公式或三角恒等式将方程化为关于 \(\sin t\) 的二次方程。利用 \(\cos 2t = 1 - 2 \sin^2 t\)： \[ 2 \sin t + 3 (1 - 2 \sin^2 t) + 2m = 0 \] 展开并整理： \[ -6 \sin^2 t + 2 \sin t + (3 + 2m) = 0 \] 两边乘以 -1，得到： \[ 6 \sin^2 t - 2 \sin t - (3 + 2m) = 0 \] 设 \(s = \sin t\)，则方程为： \[ 6 s^2 - 2 s - (3 + 2m) = 0 \] 为使方程有实数解，需判别式 \(D \geq 0\)，并且解满足 \(-1 \leq s \leq 1\)。 计算判别式： \[ D = (-2)^2 - 4 \times 6 \times [- (3 + 2m)] = 4 + 24(3 + 2m) = 4 + 72 + 48m = 76 + 48m \] 令 \(D \geq 0\)，得到： \[ 76 + 48m \geq 0 \Rightarrow m \geq -\frac{19}{12} \] 解方程： \[ s = \frac{2 \pm \sqrt{76 + 48m}}{12} \] 为了使 \(-1 \leq s \leq 1\)，需分别讨论 \(s\) 的取值范围，对应求出 \(m\) 的取值范围。 对于 \(s = \frac{2 + \sqrt{76 + 48m}}{12}\)，要求： \[ \frac{2 + \sqrt{76 + 48m}}{12} \leq 1 \Rightarrow \sqrt{76 + 48m} \leq 10 \Rightarrow 76 + 48m \leq 100 \Rightarrow m \leq \frac{1}{2} \] 对于 \(s = \frac{2 - \sqrt{76 + 48m}}{12}\)，要求： \[ -1 \leq \frac{2 - \sqrt{76 + 48m}}{12} \Rightarrow \sqrt{76 + 48m} \leq 14 \Rightarrow 76 + 48m \leq 196 \Rightarrow m \leq \frac{5}{2} \] 综合以上条件，\(m\) 的取值范围为： \[ -\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2} \] <eoe> 【答案】(2) \( m \) 的取值范围是：\( -\dfrac{19}{12} \leq m \leq \dfrac{5}{2} \)。 <eoa> |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| GPT-4o | (1)【解析】 首先，将直线 \( l \) 的极坐标方程 \(\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0\) 转换为直角坐标方程。 极坐标与直角坐标的关系为： \[ x = \rho \cos \theta \] \[ y = \rho \sin \theta \] 将极坐标方程变形： \[ \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) = -m \] 利用三角函数的和角公式： \[ \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3} \] \[ \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) = \sin \theta \cdot \frac{1}{2} + \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \] 因此，极坐标方程变为： \[ \rho \left( \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right) = -m \] 代入极坐标和直角坐标的转换关系： \[ \frac{1}{2} y + \frac{\sqrt{3}}{2} x = -m \] 两边同时乘以2： \[ y + \sqrt{3} x = -2m \] 因此，直线 \( l \) 的直角坐标方程为： \[ \sqrt{3} x + y = -2m \] <eoe> 【答案】 \(\sqrt{3} x + y = -2m\)<eoa> (2)【解析】 首先，我们需要找出曲线 \( C \) 的参数方程和直线 \( l \) 的直角坐标方程的交点。曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ x = \sqrt{3} \cos 2t \] \[ y = 2 \sin t \] 将 \( C \) 的参数方程代入直线 \( l \) 的直角坐标方程： \[ \sqrt{3} (\sqrt{3} \cos 2t) + 2 \sin t = -2m \] \[ 3 \cos 2t + 2 \sin t = -2m \] 利用三角函数的关系，可以将 \(\cos 2t\) 表示为 \(\cos\) 和 \(\sin\) 的函数： \[ \cos 2t = 1 - 2 \sin^2 t \] 因此，方程变为： \[ 3 (1 - 2 \sin^2 t) + 2 \sin t = -2m \] \[ 3 - 6 \sin^2 t + 2 \sin t = -2m \] \[ -6 \sin^2 t + 2 \sin t + 3 = -2m \] \[ 6 \sin^2 t - 2 \sin t - 3 = 2m \] 令 \( u = \sin t \)，则方程为： \[ 6u^2 - 2u - 3 = 2m \] 解这个关于 \( u \) 的二次方程： \[ 6u^2 - 2u - (3 + 2m) = 0 \] 根据判别式 \(\Delta\) 判断是否有实数解： \[ \Delta = b^2 - 4ac \] \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3 - 2m) \] \[ \Delta = 4 + 24(3 + 2m) \] \[ \Delta = 4 + 72 + 48m \] \[ \Delta = 76 + 48m \] 为了使方程有实数解，判别式 \(\Delta\) 必须大于等于零： \[ 76 + 48m \geq 0 \] \[ 48m \geq -76 \] \[ m \geq -\frac{76}{48} \] \[ m \geq -\frac{19}{12} \] 因此， \( m \) 的取值范围为： \[ m \geq -\frac{19}{12} \] < |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】先将直线l的极坐标方程转化为直角坐标方程,再由直角坐标方程可得直线l的斜率,即可求出直线l的直角坐标方程.由题意,直线l的极坐标方程为\rho\sin(\theta+\frac{\pi}{3})+m=0,即\rho\sin\theta\cos\frac{\pi}{3}+\rho\cos\theta\sin\frac{\pi}{3}+m=0,即\frac{\sqrt{3}}{2}y+x+m=0,即x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+m=0,所以直线l的斜率为-\frac{2}{\sqrt{3}},所以直线l的直角坐标方程为y=-\frac{2}{\sqrt{3}}x+m.(2)由题意,曲线C的参数方程为\begin{cases}x=\sqrt{3}\cos2t\\y=2\sin\end{cases},所以x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=3,即\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{12}=1,所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆,且a=\sqrt{3},b=2\sqrt{3},c=3,所以椭圆C的右焦点为(3,0),左焦点为(-3,0),由(1)可知,直线l的直角坐标方程为y=-\frac{2}{\sqrt{3}}x+m,所以直线l过点(3,0)时,m=-2,过点(-3,0)时,m=2,所以当-2\leqslantm\leqslant2时,直线l与曲线C有公共点. 最终结果是(1)y=-2*sqrt(3)*x+m;(2)-2<=m<=2 |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由题意,直线l的极坐标方程为\rho\sin(\theta+\frac{\pi}{3})+m=0,即\rho\sin\theta\cos\frac{\pi}{3}+\rho\cos\theta\sin\frac{\pi}{3}+m=0,即\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}x+m=0,即\sqrt{3}x+y+2m=0(2)由题意,曲线C的参数方程为\begin{cases}x=\sqrt{3}\cos2t\\y=2\sin\end{cases},(t为参数),即\begin{cases}x=\sqrt{3}(1-2\sin^{2}t)\\y=2\sin\end{cases},(t为参数),即\sqrt{3}x+y |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】 首先，我们需要将直线 $l$ 的极坐标方程 $\\rho \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{3}\\right)+m=0$ 转换为直角坐标方程。我们知道极坐标和直角坐标之间的转换关系为：\n\\[\nx = \\rho \\cos \\theta, \\quad y = \\rho \\sin \\theta\n\\]\n将 $\\rho \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{3}\\right)$ 展开，利用三角函数的和角公式：\n\\[\n\\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{3}\\right) = \\sin \\theta \\cos \\frac{\\pi}{3} + \\cos \\theta \\sin \\frac{\\pi}{3}\n\\]\n其中，$\\cos \\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}$，$\\sin \\frac{\\pi}{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$，所以：\n\\[\n\\rho \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{3}\\right) = \\rho \\left(\\sin \\theta \\cdot \\frac{1}{2} + \\cos \\theta \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) = \\frac{1}{2} \\rho \\sin \\theta + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\rho \\cos \\theta\n\\]\n将其代入原方程：\n\\[\n\\frac{1}{2} \\rho \\sin \\theta + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\rho \\cos \\theta + m = 0\n\\]\n将 $\\rho \\sin \\theta = y$ 和 $\\rho \\cos \\theta = x$ 代入，得到：\n\\[\n\\frac{1}{2} y + \\frac{\\sqrt{3}}{2} x + m = 0\n\\]\n整理得到直线的直角坐标方程：\n\\[\n\\sqrt{3} x + y + 2m = 0\n\\]\n<eoe>\n【答案】$\\sqrt{3} x + y + 2m = 0$<eoa>\n\n(2)【解析】 我们需要求出曲线 $C$ 的直角坐标方程，并找出 $l$ 与 $C$ 有公共点时 $m$ 的取值范围。曲线 $C$ 的参数方程为：\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\sqrt{3} \\cos 2 t \\\\ y=2 \\sin t\\end{array}\\right.\n\\]\n利用三角恒等式 $\\cos 2t = 1 - 2 \\sin^2 t$，我们可以将 $x$ 表示为：\n\\[\nx = \\sqrt{3} (1 - 2 \\sin^2 t) = \\sqrt{3} - 2 \\sqrt{3} \\sin^2 t\n\\]\n将 $y = 2 \\sin t$ 代入，得到：\n\\[\nx = \\sqrt{3} - \\frac{3}{2} y^2\n\\]\n所以，曲线 $C$ 的直角坐标方程为：\n\\[\nx = \\sqrt{3} - \\frac{3}{2} y^2\n\\]\n将直线 $l$ 的方程 $\\sqrt{3} x + y + 2m = 0$ 代入曲线 $C$ 的方程，得到：\n\\[\n\\sqrt{3} \\left(\\sqrt{3} - \\frac{3}{2} y^2\\right) + y + 2m = 0\n\\]\n整理得到：\n\\[\n3 - \\frac{3\\sqrt{3}}{2} y^2 + y + 2m = 0\n\\]\n这是一个关于 $y$ 的二次方程：\n\\[\n-\\frac{3\\sqrt{3}}{2} y^2 + y + (3 + 2m) = 0\n\\]\n为了使 $l$ 与 $C$ 有公共点，该二次方程必须有实数解，即判别式 $\\Delta \\geq 0$。判别式为：\n\\[\n\\Delta = 1^2 - 4 \\left(-\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\right) (3 + 2m) = 1 + 6\\sqrt{3} (3 + 2m)\n\\]\n\\[\n\\Delta = 1 + 18\\sqrt{3} + 12\\sqrt{3} m\n\\]\n要求 $\\Delta \\geq 0$，即：\n\\[\n1 + 18\\sqrt{3} + 12\\sqrt{3} m \\geq 0\n\\]\n解得：\n\\[\n12\\sqrt{3} m \\geq -1 - 18\\sqrt{3}\n\\]\n\\[\nm \\geq -\\frac{1 + 18\\sqrt{3}}{12\\sqrt{3}} = -\\frac{1}{12\\sqrt{3}} - \\frac{3}{2}\n\\]\n\\[\nm \\geq -\\frac{1}{12\\sqrt{3}} - \\frac{3}{2}\n\\]\n由于 $\\frac{1}{12\\sqrt{3}} \\approx 0.0481$，所以：\n\\[\nm \\geq -1.5481\n\\]\n<eoe>\n【答案】$m \\geq -1.5481$<eoa>" | 【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 首先，需要将直线$l$的极坐标方程转换为直角坐标方程。极坐标方程$\\rho \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{3}\\right)+m=0$可以展开为：\n\\[\n\\rho \\left(\\sin \\theta \\cos \\frac{\\pi}{3} + \\cos \\theta \\sin \\frac{\\pi}{3}\\right) + m = 0\n\\]\n利用$\\sin \\frac{\\pi}{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$和$\\cos \\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}$，上式可以简化为：\n\\[\n\\rho \\left(\\frac{1}{2}\\sin \\theta + \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\cos \\theta\\right) + m = 0\n\\]\n根据极坐标与直角坐标之间的转换关系，$\\rho = \\sqrt{x^2 + y^2}$，$\\sin \\theta = \\frac{y}{\\sqrt{x^2 + y^2}}$，$\\cos \\theta = \\frac{x}{\\sqrt{x^2 + y^2}}$，代入上式得到：\n\\[\n\\sqrt{x^2 + y^2} \\left(\\frac{1}{2}\\frac{y}{\\sqrt{x^2 + y^2}} + \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\frac{x}{\\sqrt{x^2 + y^2}}\\right) + m = 0\n\\]\n化简得：\n\\[\n\\frac{y}{2} + \\frac{\\sqrt{3}x}{2} + m = 0\n\\]\n即：\n\\[\n\\sqrt{3}x + y + 2m = 0\n\\]\n<eoe>\n\n【答案】 直线$l$的直角坐标方程为$\\sqrt{3}x + y + 2m = 0$。\n<eoa>\n\n(2)【解析】 接下来分析直线$l$与曲线$C$有公共点的条件。曲线$C$的参数方程为$x=\\sqrt{3} \\cos 2t$和$y=2 \\sin t$。将直线$l$的方程代入曲线$C$的方程中，得：\n\\[\n\\sqrt{3}(\\sqrt{3} \\cos 2t) + 2 \\sin t + 2m = 0\n\\]\n化简得：\n\\[\n3 \\cos 2t + 2 \\sin t + 2m = 0\n\\]\n使用二倍角公式$\\cos 2t = 1 - 2 \\sin^2 t$，上式可以写为：\n\\[\n3(1 - 2 \\sin^2 t) + 2 \\sin t + 2m = 0\n\\]\n化简得：\n\\[\n-6 \\sin^2 t + 2 \\sin t + (3 + 2m) = 0\n\\]\n设$\\sin t = z$，则有：\n\\[\n-6z^2 + 2z + (3 + 2m) = 0\n\\]\n为了使该二次方程有实数解，判别式$\\Delta = b^2 - 4ac \\geq 0$，即：\n\\[\n2^2 - 4 \\cdot (-6) \\cdot (3 + 2m) \\geq 0\n\\]\n化简得：\n\\[\n4 + 72 + 48m \\geq 0\n\\]\n\\[\n48m \\geq -76\n\\]\n\\[\nm \\geq -\\frac{19}{12}\n\\]\n因此，$m$的取值范围是$m \\geq -\\frac{19}{12}$。\n<eoe>\n\n【答案】 若直线$l$与曲线$C$有公共点，则$m$的取值范围是$m \\geq -\\frac{19}{12}$。\n<eoa>" | 【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| baichuan4 | (1)【解析】 首先，我们需要将直线 $l$ 的极坐标方程转换为直角坐标方程。极坐标方程为： $$\rho \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) + m = 0$$ 我们知道极坐标和直角坐标之间的关系是： $$x = \rho \cos\theta$$ $$y = \rho \sin\theta$$ 利用三角恒等变换 $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{3} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{3}$，我们可以将极坐标方程改写为： $$\rho (\sin\theta\cdot\frac{1}{2} + \cos\theta\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}) + m = 0$$ 代入 $x$ 和 $y$ 的表达式，得到： $$\frac{1}{2}y + \frac{\sqrt{3}}{2}x + m = 0$$ 整理得到直角坐标方程： $$\sqrt{3}x + y + 2m = 0$$ 【答案】 直线 $l$ 的直角坐标方程为 $\sqrt{3}x + y + 2m = 0$。 (2)【解析】 曲线 $C$ 的参数方程为： $$\left\{\begin{array}{l} x = \sqrt{3}\cos 2t \\ y = 2\sin t \end{array}\right.$$ 为了求出 $l$ 与 $C$ 的交点，我们将 $C$ 的参数方程代入 $l$ 的直角坐标方程中： $$\sqrt{3}(\sqrt{3}\cos 2t) + 2\sin t + 2m = 0$$ 化简得： $$3\cos 2t + 2\sin t + 2m = 0$$ 由于 $l$ 与 $C$ 有公共点，这意味着上述方程对于某些 $t$ 的值必须成立。因此，我们可以将问题转化为求 $m$ 的值，使得方程有解。 我们可以将方程重写为： $$2m = -3\cos 2t - 2\sin t$$ 为了使方程有解，$2m$ 必须在 $-3\cos 2t - 2\sin t$ 的值域内。由于 $\cos 2t$ 和 $\sin t$ 的值域都是 $[-1, 1]$，我们可以找到 $-3\cos 2t - 2\sin t$ 的最大值和最小值。 当 $t = 0$ 时，$\cos 2t = 1$，$\sin t = 0$，所以 $-3\cos 2t - 2\sin t = -3$，这是最小值。 当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时，$\cos 2t = -1$，$\sin t = 1$，所以 $-3\cos 2t - 2\sin t = 3 - 2 = 1$，这是最大值。 因此，$2m$ 的取值范围是 $[-3, 1]$，所以 $m$ 的取值范围是 $[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$。 【答案】 若 $l$ 与 $C$ 有公共点，则 $m$ 的取值范围为 $[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$。 |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| doubao | (1)【解析】将极坐标方程$\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$展开可得：$\rho(\sin \theta \cos \frac{\pi}{3}+\cos \theta \sin \frac{\pi}{3})+m=0$，即$\rho(\frac{1}{2}\sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta)+m=0$，等式两边同乘$2$得$\rho(\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta)+2m=0$，将$\rho \sin \theta=y$，$\rho \cos \theta=x$代入可得$y+\sqrt{3}x+2m=0$，即$\sqrt{3}x+y+2m=0$。<eoe> 【答案】$\sqrt{3}x+y+2m=0$。<eoa> (2)【解析】已知曲线$C$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos 2t \\ y=2 \sin t\end{array}\right.$（$t$为参数），消去参数$t$，由$\cos 2t=1-2\sin^{2}t$可得$x=\sqrt{3}(1-2\sin^{2}t)$，即$x=\sqrt{3}-2\sqrt{3}\sin^{2}t$，移项得$2\sqrt{3}\sin^{2}t=\sqrt{3}-x$，$\sin^{2}t=\frac{\sqrt{3}-x}{2\sqrt{3}}$，则$\sin t=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{3}-x}{2\sqrt{3}}}$，又因为$y=2\sin t$，所以$y=\pm 2\sqrt{\frac{\sqrt{3}-x}{2\sqrt{3}}}$，整理可得$y^{2}=4\times \frac{\sqrt{3}-x}{2\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{3}-x)}{\sqrt{3}}$，移项得$x+\frac{\sqrt{3}}{2}y^{2}=\sqrt{3}$。将直线$l$的方程$\sqrt{3}x+y+2m=0$代入可得$\sqrt{3}(\sqrt{3}- \frac{\sqrt{3}}{2}y^{2})+y+2m=0$，整理得$3-\frac{3}{2}y^{2}+y+2m=0$，即$3y^{2}-2y-6+4m=0$。因为$l$与$C$有公共点，所以此一元二次方程有解，即判别式$\Delta=(-2)^{2}-4\times 3\times (-6+4m)\geq 0$，解不等式可得$4-12\times (-6+4m)\geq 0$，$4+72-48m\geq 0$，$76-48m\geq 0$，$48m\leq 76$，$m\leq \frac{19}{12}$。<eoe> 【答案】$m \leq \frac{19}{12}$。<eoa> |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要将直线$l$的极坐标方程转换为直角坐标方程。在极坐标系中，点的位置由极径$\rho$和极角$\theta$确定，而在直角坐标系中，点的位置由横坐标$x$和纵坐标$y$确定。极坐标和直角坐标之间的转换关系为： \[ x = \rho \cos \theta \] \[ y = \rho \sin \theta \] 直线$l$的极坐标方程为： \[ \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0 \] 利用三角恒等变换，我们可以将上式中的$\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$展开为： \[ \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3} \] 由于$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$且$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，代入上式得： \[ \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) = \sin \theta \cdot \frac{1}{2} + \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] 将$\rho \sin \theta$和$\rho \cos \theta$用$x$和$y$表示，我们有： \[ \rho \sin \theta = y \] \[ \rho \cos \theta = x \] 因此，直线$l$的极坐标方程可以写为： \[ y \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + m = 0 \] 整理得到直线$l$的直角坐标方程。<eoe> 【答案】直线$l$的直角坐标方程为： \[ \frac{1}{2}y + \frac{\sqrt{3}}{2}x + m = 0 \] 或者等价地： \[ y + \sqrt{3}x + 2m = 0 \]<eoa> (2)【解析】为了找出直线$l$与曲线$C$的公共点，我们需要将曲线$C$的参数方程代入直线$l$的直角坐标方程中。曲线$C$的参数方程为： \[ x = \sqrt{3} \cos 2t \] \[ y = 2 \sin t \] 将这两个方程代入直线$l$的直角坐标方程$y + \sqrt{3}x + 2m = 0$中，我们得到： \[ 2 \sin t + \sqrt{3}(\sqrt{3} \cos 2t) + 2m = 0 \] 简化上式，得到： \[ 2 \sin t + 3 \cos 2t + 2m = 0 \] 利用三角恒等式$\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$，我们可以将上式中的$\cos 2t$用$\sin t$表示： \[ 2 \sin t + 3(1 - 2\sin^2 t) + 2m = 0 \] 整理得到关于$\sin t$的二次方程： \[ 6\sin^2 t - 2\sin t + (3 + 2m) = 0 \] 为了使该方程有实数解，其判别式需要大于等于0。计算判别式$\Delta$： \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (3 + 2m) \] \[ \Delta = 4 - 24 - 48m \] \[ \Delta = -20 - 48m \] 要使$\Delta \geq 0$，我们得到： \[ -20 - 48m \geq 0 \] 解这个不等式，得到$m$的取值范围。<eoe> 【答案】解不等式： \[ -20 - 48m \geq 0 \] \[ -48m \geq 20 \] \[ m \leq -\frac{20}{48} \] \[ m \leq -\frac{5}{12} \] 因此，$m$的取值范围是$m \leq -\frac{5}{12}$。<eoa> |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| kimi | (1)【解析】 要将直线 $l$ 的极坐标方程 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$ 转换为直角坐标方程，我们可以使用极坐标和直角坐标之间的转换关系： \[ x = \rho \cos \theta \] \[ y = \rho \sin \theta \] 首先，我们展开极坐标方程中的三角函数： \[ \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) = \rho \left(\sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3}\right) \] \[ = \rho \left(\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta\right) \] 将 $x$ 和 $y$ 的表达式代入上式： \[ \frac{1}{2} y + \frac{\sqrt{3}}{2} x + m = 0 \] 整理得到直角坐标方程： \[ \sqrt{3} x + y + 2m = 0 \]<eoe> 【答案】 \[ \sqrt{3} x + y + 2m = 0 \]<eoa> (2)【解析】 曲线 $C$ 的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos 2 t \\ y=2 \sin t\end{array}\right. \] 我们可以通过消去参数 $t$ 来得到曲线 $C$ 的普通方程。首先，我们使用三角恒等式： \[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \] 将 $x$ 和 $y$ 的表达式代入： \[ \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = \cos^2 2t + \sin^2 t \] 利用二倍角公式： \[ \cos 2t = 1 - 2\sin^2 t \] 代入上式： \[ \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1 - 2\sin^2 t + \sin^2 t \] \[ \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1 - \sin^2 t \] \[ \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = \cos^2 t \] 由于 $y = 2\sin t$，我们有： \[ \frac{x^2}{3} + \frac{(2\sin t)^2}{4} = \cos^2 t \] \[ \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1 \] 现在，我们需要找到直线 $l$ 和曲线 $C$ 的交点。将直线 $l$ 的方程 $\sqrt{3} x + y + 2m = 0$ 代入曲线 $C$ 的方程： \[ \frac{x^2}{3} + \frac{(-\sqrt{3} x - 2m)^2}{4} = 1 \] 这是一个关于 $x$ 的二次方程。为了找到交点，我们需要解这个方程。解得的 $x$ 值需要满足 $-\frac{2\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$，因为这是 $x$ 的取值范围。 解这个二次方程，我们可以得到 $m$ 的取值范围。<eoe> 【答案】 为了找到 $m$ 的取值范围，我们需要解方程： \[ \frac{x^2}{3} + \frac{(-\sqrt{3} x - 2m)^2}{4} = 1 \] 将方程整理为标准二次方程形式： \[ 4x^2 + 3(\sqrt{3} x + 2m)^2 - 12 = 0 \] \[ 4x^2 + 3(3x^2 + 4\sqrt{3}mx + 4m^2) - 12 = 0 \] \[ 15x^2 + 12\sqrt{3}mx + 12m^2 - 12 = 0 \] 这是一个关于 $x$ 的二次方程，其判别式 $\Delta$ 必须非负 |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| wenxinyiyan | (1)【解析】 首先，我们将直线$l$的极坐标方程$\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$进行展开，得到$\rho \left( \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta \right) + m = 0$。 然后，我们利用极坐标与直角坐标的转换公式$\rho = \sqrt{x^2+y^2}$，$x = \rho\cos\theta$，$y = \rho\sin\theta$，将上述方程转化为直角坐标方程，得到$\frac{1}{2}y + \frac{\sqrt{3}}{2}x + m = 0$，即$\sqrt{3}x + y + 2m = 0$。 <eoe> 【答案】 直线$l$的直角坐标方程为$\sqrt{3}x + y + 2m = 0$。 <eoa> (2)【解析】 首先，我们将曲线$C$的参数方程$\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt{3}\cos 2t \\ y = 2\sin t \end{array} \right.$转化为普通方程。利用三角函数的倍角公式，我们有$\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$，所以$x = \sqrt{3}(1 - 2\sin^2 t)$，即$\frac{x}{\sqrt{3}} + 2\sin^2 t = 1$。又因为$y = 2\sin t$，所以我们可以得到曲线$C$的普通方程为$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1$。 然后，我们将直线$l$的方程$\sqrt{3}x + y + 2m = 0$代入曲线$C$的普通方程，得到一个关于$y$的二次方程，即$4y^2 + 8my + 4m^2 - 12 = 0$。 由于直线$l$与曲线$C$有公共点，所以这个二次方程必须有实根，即其判别式$\Delta = (8m)^2 - 4 \times 4 \times (4m^2 - 12) \geq 0$。 解这个不等式，我们得到$m \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$。 <eoe> 【答案】 $m$的取值范围为$[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$。 <eoa> |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| zhipu | (1)【解析】 首先，我们需要将直线 \( l \) 的极坐标方程转换为直角坐标方程。给定的极坐标方程为： \[ \rho \sin \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + m = 0 \] 利用三角函数的和角公式，可以将其展开： \[ \rho \left(\sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3}\right) + m = 0 \] 已知 \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) 和 \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，代入上式得到： \[ \rho \left(\sin \theta \cdot \frac{1}{2} + \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + m = 0 \] \[ \frac{1}{2} \rho \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cos \theta + m = 0 \] 在极坐标系中，\(\rho \cos \theta = x\) 和 \(\rho \sin \theta = y\)，代入上式： \[ \frac{1}{2} y + \frac{\sqrt{3}}{2} x + m = 0 \] 将方程两边同时乘以2，得到： \[ \sqrt{3} x + y + 2m = 0 \] 这就是直线 \( l \) 的直角坐标方程。<eoe> 【答案】 \[ \sqrt{3} x + y + 2m = 0 \]<eoa> (2)【解析】 我们需要找到曲线 \( C \) 与直线 \( l \) 的公共点，即满足两者方程的点。曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \left\{\begin{array}{l} x = \sqrt{3} \cos 2t \\ y = 2 \sin t \end{array}\right. \] 将曲线 \( C \) 的参数方程代入直线 \( l \) 的直角坐标方程 \(\sqrt{3} x + y + 2m = 0\)，得到： \[ \sqrt{3} (\sqrt{3} \cos 2t) + 2 \sin t + 2m = 0 \] \[ 3 \cos 2t + 2 \sin t + 2m = 0 \] 利用三角恒等式 \(\cos 2t = 1 - 2 \sin^2 t\)，将 \(\cos 2t\) 替换： \[ 3 (1 - 2 \sin^2 t) + 2 \sin t + 2m = 0 \] \[ 3 - 6 \sin^2 t + 2 \sin t + 2m = 0 \] \[ -6 \sin^2 t + 2 \sin t + 2m + 3 = 0 \] 整理得到一个关于 \(\sin t\) 的二次方程： \[ -6 \sin^2 t + 2 \sin t + (2m + 3) = 0 \] 令 \( u = \sin t \)，则方程变为： \[ -6u^2 + 2u + (2m + 3) = 0 \] 为了使该方程有实数解，判别式需要非负。判别式为： \[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-6)(2m + 3) \] \[ \Delta = 4 + 24(2m + 3) \] \[ \Delta = 4 + 48m + 72 \] \[ \Delta = 48m + 76 \] 判别式非负，即： \[ 48m + 76 \geq 0 \] \[ 48m \geq -76 \] \[ m \geq -\frac{76}{48} \] \[ m \geq -\frac{19}{12} \] 此外，由于 \(\sin t\) 的取值范围是 \([-1, 1]\)，我们需要进一步确认在此范围内方程有解。考虑二次函数 \( -6u^2 + 2u + (2m + 3) \) 的顶点： \[ u = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-6)} = \frac{1}{6} \] 顶点处的函数值为： \[ -6\left(\frac{1}{6}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{6}\right) + (2m + 3) \] \[ -6 \cdot \frac{1}{36} + \frac{2}{6} + 2m + 3 \] \[ -\frac{1}{6} + \frac{1}{3} + 2m + 3 \] \[ \frac{1}{6} + 2m + 3 \] 由于 \(\sin t\) 的取值范围是 \([-1, 1]\)，我们需要确保该二次方程在 \([-1, 1]\) 内有解。考虑边界值 \( u = -1 \) 和 \( u = 1 \)： 当 \( u = -1 \) 时： \[ -6(-1)^2 + 2(-1) + (2m + 3) = -6 - 2 + 2m + 3 = 2m - 5 \] 当 \( u = 1 \) 时： \[ -6(1)^2 + 2(1) + (2m + 3) = -6 + 2 + 2m + 3 = 2m - 1 \] 为了确保在 \([-1, 1]\) 内有解，需要： \[ 2m - 5 \leq 0 \] \[ 2m \leq 5 \] \[ m \leq \frac{5}{2} \] 综上所述，\( m \) 的取值范围为： \[ -\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2} \]<eoe> 【答案】 \[ -\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2} \]<eoa> |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| gpto1 | 【解析】(1) 直线 \( l \) 的极坐标方程为 \(\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) + m = 0\)。我们可以利用极坐标与直角坐标的转换关系，以及三角函数的和差公式，将极坐标方程转换为直角坐标方程。 首先，利用和角公式展开： \[ \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3} \] 因为 \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)，\(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，代入得到： \[ \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \] 因此，原方程变为： \[ \rho \left( \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right) + m = 0 \] 利用极坐标与直角坐标的关系 \(\rho \cos \theta = x\)，\(\rho \sin \theta = y\)，得： \[ \frac{1}{2} y + \frac{\sqrt{3}}{2} x + m = 0 \] 两边同时乘以 2，得到： \[ y + \sqrt{3} x + 2m = 0 \] 这就是直线 \( l \) 的直角坐标方程。 <eoe> 【答案】(1) 直线 \( l \) 的直角坐标方程为：\( y + \sqrt{3} x + 2m = 0 \)。 <eoa> 【解析】(2) 要使直线 \( l \) 与曲线 \( C \) 有公共点，即它们的方程组有解。将曲线 \( C \) 的参数方程代入直线 \( l \) 的直角坐标方程。 曲线 \( C \) 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = \sqrt{3} \cos 2t \\ y = 2 \sin t \end{cases} \] 将 \( x \) 和 \( y \) 代入直线方程： \[ 2 \sin t + \sqrt{3} \times \sqrt{3} \cos 2t + 2m = 0 \] 化简得到： \[ 2 \sin t + 3 \cos 2t + 2m = 0 \] 利用三倍角公式或三角恒等式将方程化为关于 \(\sin t\) 的二次方程。利用 \(\cos 2t = 1 - 2 \sin^2 t\)： \[ 2 \sin t + 3 (1 - 2 \sin^2 t) + 2m = 0 \] 展开并整理： \[ -6 \sin^2 t + 2 \sin t + (3 + 2m) = 0 \] 两边乘以 -1，得到： \[ 6 \sin^2 t - 2 \sin t - (3 + 2m) = 0 \] 设 \(s = \sin t\)，则方程为： \[ 6 s^2 - 2 s - (3 + 2m) = 0 \] 为使方程有实数解，需判别式 \(D \geq 0\)，并且解满足 \(-1 \leq s \leq 1\)。 计算判别式： \[ D = (-2)^2 - 4 \times 6 \times [- (3 + 2m)] = 4 + 24(3 + 2m) = 4 + 72 + 48m = 76 + 48m \] 令 \(D \geq 0\)，得到： \[ 76 + 48m \geq 0 \Rightarrow m \geq -\frac{19}{12} \] 解方程： \[ s = \frac{2 \pm \sqrt{76 + 48m}}{12} \] 为了使 \(-1 \leq s \leq 1\)，需分别讨论 \(s\) 的取值范围，对应求出 \(m\) 的取值范围。 对于 \(s = \frac{2 + \sqrt{76 + 48m}}{12}\)，要求： \[ \frac{2 + \sqrt{76 + 48m}}{12} \leq 1 \Rightarrow \sqrt{76 + 48m} \leq 10 \Rightarrow 76 + 48m \leq 100 \Rightarrow m \leq \frac{1}{2} \] 对于 \(s = \frac{2 - \sqrt{76 + 48m}}{12}\)，要求： \[ -1 \leq \frac{2 - \sqrt{76 + 48m}}{12} \Rightarrow \sqrt{76 + 48m} \leq 14 \Rightarrow 76 + 48m \leq 196 \Rightarrow m \leq \frac{5}{2} \] 综合以上条件，\(m\) 的取值范围为： \[ -\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2} \] <eoe> 【答案】(2) \( m \) 的取值范围是：\( -\dfrac{19}{12} \leq m \leq \dfrac{5}{2} \)。 <eoa> |
【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-3a5cec24-659d-9b6b-8dcb-9987ebbcab85', 'request_id': '3a5cec24-659d-9b6b-8dcb-9987ebbcab85'} | 【小问 1 详解】} 因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$, 所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$, 又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$, 所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$, 整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 【小问 2 详解】} 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代人 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0$, 所以 $3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ， 化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$, 要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解, 令 $\sin t=a$, 则 $a \in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$, 对称轴为 $a=\frac{1}{6}$, 开口向上, 所以 $f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$, $f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ 所以 $-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ $m$ 的取值范围为 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$. [选修 4-5: 不等式选讲]} |