| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们需要根据列联表中的数据来计算两家公司长途客车准点的概率。 列联表如下： \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{准点班次数} & \text{不准点班次数} \\ \hline A & 240 & 20 \\ \hline B & 210 & 30 \\ \hline \end{array} \] 对于公司 $A$，准点的概率为： \[ P_A = \frac{\text{公司A准点班次数}}{\text{公司A总班次数}} = \frac{240}{240 + 20} = \frac{240}{260} = \frac{12}{13} \] 对于公司 $B$，准点的概率为： \[ P_B = \frac{\text{公司B准点班次数}}{\text{公司B总班次数}} = \frac{210}{210 + 30} = \frac{210}{240} = \frac{7}{8} \] <eoe> 【答案】 公司 $A$ 的准点概率为 $\frac{12}{13}$； 公司 $B$ 的准点概率为 $\frac{7}{8}$。 <eoa> (2)【解析】 我们需要使用卡方检验来判断甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司是否有关。 首先，计算列联表中的各项数据： \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{准点班次数} & \text{不准点班次数} & \text{总计} \\ \hline A & 240 & 20 & 260 \\ \hline B & 210 & 30 & 240 \\ \hline 总计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{array} \] 根据公式 $K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，我们需要计算以下值： \[ a = 240, \quad b = 20, \quad c = 210, \quad d = 30, \quad n = 500 \] 代入公式： \[ K^2 = \frac{500 \times (240 \times 30 - 20 \times 210)^2}{(240 + 20)(210 + 30)(240 + 210)(20 + 30)} \] 计算分子： \[ 240 \times 30 = 7200, \quad 20 \times 210 = 4200 \] \[ ad - bc = 7200 - 4200 = 3000 \] \[ (ad - bc)^2 = 3000^2 = 9000000 \] 计算分母： \[ (240 + 20) = 260, \quad (210 + 30) = 240, \quad (240 + 210) = 450, \quad (20 + 30) = 50 \] \[ (260 \times 240 \times 450 \times 50) = 1404000000 \] 因此： \[ K^2 = \frac{500 \times 9000000}{1404000000} = \frac{4500000000}{1404000000} \approx 3.205 \] 根据附表，$P(K^2 \geq 3.205) \approx 0.050$，而 $P(K^2 \geq 2.706) = 0.100$。 因为 $3.205$ 大于 $2.706$，但小于 $3.841$，所以我们有 $90\%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。 <eoe> 【答案】 有 $90\%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。 <eoa> |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 对于公司A，准点班次数为240，未准点班次数为20，总班次数为240+20=260。准点概率为240/260=12/13≈0.923。 对于公司B，准点班次数为210，未准点班次数为30，总班次数为210+30=240。准点概率为210/240=7/8=0.875。 <eoe> 【答案】 A公司准点概率为$\frac{12}{13}$，B公司准点概率为$\frac{7}{8}$。 <eoa> (2)【解析】 构建列联表： | 公司 | 准点班次 | 未准点班次 | 总计 | |------|----------|------------|------| | A | 240 | 20 | 260 | | B | 210 | 30 | 240 | | 总计 | 450 | 50 | 500 | 计算$K^2$值： $a=240$，$b=20$，$c=210$，$d=30$，$n=500$。 $ad - bc = 240×30 - 20×210 = 3000$， $K^2 = \frac{500×3000^2}{260×240×450×50} ≈ 3.205$。 查表得$\alpha=0.10$对应临界值$2.706$。 因$3.205 > 2.706$，拒绝原假设，认为客车是否准点与公司有关。 <eoe> 【答案】 能，$K^2≈3.205 > 2.706$，故有90%的把握认为客车是否准点与所属公司有关。 <eoa> |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| gpto1 | (1)【解析】根据题目给出的数据，我们首先整理出完整的列联表： \[ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 未准点班次数 & 合计 \\ \hline A & 240 & 20 & 260 \\ \hline B & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} \] 接下来，分别计算 \(A\) 和 \(B\) 两家公司长途客车准点的概率。 对于公司 \(A\)： \[ P_A = \frac{\text{公司 }A\text{ 的准点班次数}}{\text{公司 }A\text{ 的总班次数}} = \frac{240}{260} = \frac{12}{13} \approx 0.9231 \] 对于公司 \(B\)： \[ P_B = \frac{\text{公司 }B\text{ 的准点班次数}}{\text{公司 }B\text{ 的总班次数}} = \frac{210}{240} = \frac{7}{8} = 0.875 \] <eoe> 【答案】 （1）公司 \(A\) 的准点概率为 \(\frac{12}{13} \approx 0.9231\)，公司 \(B\) 的准点概率为 \(\frac{7}{8} = 0.875\)。 <eoa> (2)【解析】要判断长途客车是否准点与客车所属公司是否有关，我们可以进行独立性检验，使用卡方检验的公式： \[ K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)} \] 其中： - \(a\) 是公司 \(A\) 准点班次数，即 \(a = 240\)； - \(b\) 是公司 \(A\) 未准点班次数，即 \(b = 20\)； - \(c\) 是公司 \(B\) 准点班次数，即 \(c = 210\)； - \(d\) 是公司 \(B\) 未准点班次数，即 \(d = 30\)； - \(n\) 是总班次数，即 \(n = 500\)。 计算 \(ad - bc\)： \[ ad - bc = (240 \times 30) - (20 \times 210) = 7200 - 4200 = 3000 \] 计算分母： \[ (a + b) = 240 + 20 = 260 \\ (c + d) = 210 + 30 = 240 \\ (a + c) = 240 + 210 = 450 \\ (b + d) = 20 + 30 = 50 \] 将数据代入 \(K^2\) 的公式： \[ K^2 = \frac{500 \times (3000)^2}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \] 计算分子： \[ 500 \times (3000)^2 = 500 \times 9,000,000 = 4,500,000,000 \] 计算分母： \[ 260 \times 240 \times 450 \times 50 = 62,400 \times 22,500 = 1,404,000,000 \] 因此： \[ K^2 = \frac{4,500,000,000}{1,404,000,000} \approx 3.205 \] 查阅附表，当自由度为1时，在显著性水平 \(\alpha = 0.10\)（即有90\%的把握）时，临界值为 \(K^2_{0.10} = 2.706\)。 由于 \(K^2 = 3.205 > 2.706\)，说明在90\%的把握下，我们拒绝独立性假设，即认为长途客车是否准点与客车所属公司有关。 <eoe> 【答案】 （2）有 \(90\%\) 的把握认为长途客车是否准点与客车所属公司有关。 <eoa> |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| GPT-4o | (1)【解析】 首先，我们来计算两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率。根据题目提供的数据，我们可以构建如下的列联表： \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{准点班次数} & \text{不准点班次数} \\ \hline \text{公司 A} & 240 & 20 \\ \hline \text{公司 B} & 210 & 30 \\ \hline \end{array} \] 公司A的总班次为 $240 + 20 = 260$，其中准点班次数为240。 公司B的总班次为 $210 + 30 = 240$，其中准点班次数为210。 因此，公司的准点概率可以计算如下： 公司A的准点概率： \[ P_A = \frac{240}{260} = \frac{24}{26} \approx 0.923 \] 公司B的准点概率： \[ P_B = \frac{210}{240} = \frac{21}{24} \approx 0.875 \] <eoe> 【答案】公司A的准点概率约为0.923，公司B的准点概率约为0.875。<eoa> (2)【解析】 现在我们需要检验是否有90%的把握认为甲乙两城之间的长途客车准点与否与客车所属公司有关。 我们可以使用卡方检验来检验列联表的数据。卡方统计量的计算公式为： \[ K^{2}=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \] 其中，n是总样本数，a、b、c、d分别是列联表中的四个格子的计数。 根据题目提供的数据，我们有： \[ n = 500, \quad a = 240, \quad b = 20, \quad c = 210, \quad d = 30 \] 首先计算分子部分： \[ ad - bc = 240 \times 30 - 20 \times 210 = 7200 - 4200 = 3000 \] 然后计算分母部分： \[ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 260 \times 240 \times 450 \times 50 \] \[ = 260 \times 240 \times 450 \times 50 = 1404000000 \] 所以卡方统计量为： \[ K^{2} = \frac{500 \times 3000^2}{1404000000} = \frac{4500000000}{1404000000} \approx 3.204 \] 根据附表，查得卡方分布在自由度为1时，显著性水平为0.1时的临界值为2.706。由于3.204大于2.706， 我们有90%的把握认为甲乙两城之间的长途客车准点与否与客车所属公司有关。 <eoe> 【答案】卡方统计量为3.204，有90%的把握认为甲乙两城之间的长途客车准点与否与客车所属公司有关。<eoa> |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】根据列联表,可得A公司的准点率为\frac{240}{500}\times100\%=48\%,B公司的准点率为\frac{210}{500}\times100\%=42\%.(2)由列联表可得n=500,a=240,b=210,c=260,d=30,代入公式,得K^{2}=\frac{500(240\times30-210\times260)^{2}}{(240+210)(260+30)(240+260)(210+30)}=4.8>3.841,所以拒绝H_{0},即有90\%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.【答案】(1)A公司的准点率为48\%,B公司的准点率为42\%.(2)有90\%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| llama3.1-405B-Instruct | （1）由题意可得，A公司长途客车准点的概率为\frac{240}{260}=\frac{24}{26},B公司长途客车准点的概率为\frac{210}{240}=\frac{7}{8}（2）由题意可得，a=240,b=20,c=210,d=30,n=500,则K^{2}=\frac{500\times(240\times30-20\times210)^{2}}{260\times240\times450\times50}=\frac{900}{13}<2.706,即P(K^{2}>K^{2})>0.1,即P(K^{2}>K^{2})>0.1,即不能有90\%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 最终结果是 |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】首先，我们需要根据列联表中的数据来计算两家公司准点的概率。对于公司 $A$，准点班次数为 240，总班次数为 240 + 20 = 260。因此，公司 $A$ 的准点概率为 $\\frac{240}{260}$。对于公司 $B$，准点班次数为 210，总班次数为 210 + 30 = 240。因此，公司 $B$ 的准点概率为 $\\frac{210}{240}$。<eoe>\n【答案】公司 $A$ 的准点概率为 $\\frac{240}{260} \\approx 0.923$，公司 $B$ 的准点概率为 $\\frac{210}{240} \\approx 0.875$。<eoa>\n\n(2)【解析】为了判断甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司是否有关，我们需要计算卡方统计量 $K^2$。根据列联表，我们有：\n- $a = 240$（公司 $A$ 准点班次数）\n- $b = 20$（公司 $A$ 末准点班次数）\n- $c = 210$（公司 $B$ 准点班次数）\n- $d = 30$（公司 $B$ 末准点班次数）\n- $n = 500$（总班次数）\n\n卡方统计量 $K^2$ 的公式为：\n\\[ K^2 = \\frac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\]\n\n代入数据计算：\n\\[ ad - bc = 240 \\times 30 - 20 \\times 210 = 7200 - 4200 = 3000 \\]\n\\[ (a+b) = 240 + 20 = 260 \\]\n\\[ (c+d) = 210 + 30 = 240 \\]\n\\[ (a+c) = 240 + 210 = 450 \\]\n\\[ (b+d) = 20 + 30 = 50 \\]\n\n因此：\n\\[ K^2 = \\frac{500 \\times 3000^2}{260 \\times 240 \\times 450 \\times 50} = \\frac{500 \\times 9000000}{1404000000} = \\frac{4500000000}{1404000000} \\approx 3.205 \\]\n\n根据附表，$P(K^2 \\geq 2.706) = 0.100$，而我们的计算结果 $K^2 \\approx 3.205 > 2.706$，因此我们有 $90\\%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。<eoe>\n【答案】有 $90\\%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。<eoa>" | 【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】\n为了估计$A$和$B$两家公司长途客车准点的概率，我们首先需要确定总的班次数和各自的准点班次数。根据题目给出的列联表，总班次数为500，其中$A$公司的准点班次数为240，$B$公司的准点班次数为210。由于表中只给出了准点班次数和末准点班次数的差值（20），我们可以通过总班次数减去末准点班次数来计算末准点班次数。但题目中并未直接给出总的末准点班次数，我们可以根据已知信息推算。\n\n从表中，我们可以看到$A$公司的末准点班次数为500 - 240 = 260（但这一步骤实际上不需要，因为后面计算概率时，我们直接使用给定的准点班次数），而$B$公司的末准点班次数为500 - 210 = 290（同样，这一步骤不直接用于计算概率，但有助于理解整体情况）。然而，直接使用给出的准点班次数来计算概率更为直接。\n\n【答案】\n$A$公司长途客车准点的概率为$\\frac{240}{500} = 0.48$或$48\\%$。\n\n$B$公司长途客车准点的概率为$\\frac{210}{500} = 0.42$或$42\\%$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n要判断是否有$90\\%$的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关，我们使用卡方检验（$K^2$检验）。首先，根据题目给出的公式计算$K^2$的值。题目中的表格信息给出了$A$和$B$两家公司的准点和末准点班次数，其中$a=240$（$A$公司准点），$b=260$（$A$公司末准点，根据总班次数和准点次数计算得出），$c=210$（$B$公司准点），$d=30$（$B$公司末准点，同样根据总班次数和准点次数计算得出）。将这些值代入公式中计算$K^2$。\n\n【答案】\n首先，计算$K^2$的值：\n\\[K^{2}=\\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} = \\frac{500(240 \\times 30 - 260 \\times 210)^{2}}{(240+260)(210+30)(240+210)(260+30)}\\]\n\n计算得到的$K^2$值需要与题目给出的$90\\%$置信水平下的卡方值进行比较，如果计算出的$K^2$值大于该置信水平下的卡方值，则有$90\\%$的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。\n\n\\[K^{2}=\\frac{500(7200 - 54600)^{2}}{(500)(240)(210)(260+30)} = \\frac{500(-47400)^{2}}{500 \\times 240 \\times 210 \\times 290} = \\frac{500 \\times 224760000}{327360000} \\approx 3.44\\]\n\n根据题目给出的卡方值表，$90\\%$置信水平下的卡方值为$2.706$，因此，由于$3.44 > 2.706$，我们有$90\\%$的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。<eoa>" | 【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| baichuan4 | (1)【解析】要估计两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率，我们可以使用频率来近似概率。对于公司$A$，准点的班次数是240，总共调查的班次数是240+20=260，所以公司$A$的准点概率为$\frac{240}{260}$。同理，公司$B$的准点班次数是210，总共调查的班次数是210+30=240，所以公司$B$的准点概率为$\frac{210}{240}$。 【答案】公司$A$的准点概率约为0.923，公司$B$的准点概率约为0.875。 (2)【解析】要判断甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司是否有关联，可以使用卡方检验。首先，我们需要计算卡方统计量$K^{2}$的值。根据题目中给出的公式，我们有$n=500$，$a=240$，$b=20$，$c=210$，$d=30$。将这些值代入公式中，我们得到： $$ K^{2} = \frac{500(240*30-20*210)^2}{(240+20)(210+30)(240+210)(20+30)} $$ 计算这个值，然后与题目中给出的卡方分布的临界值进行比较。如果计算出的$K^{2}$值大于临界值，那么我们就有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。 【答案】计算$K^{2}$的值： $$ K^{2} = \frac{500(7200-4200)^2}{260*240*450*50} = \frac{500*3000^2}{260*240*450*50} = \frac{4500000000}{1382400000} = 3.256 $$ 由于$K^{2}=3.256$小于临界值2.706，所以我们没有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。 |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| doubao | (1)【解析】对于 A 公司，准点班次数为 240，总班次为 240+20=260，所以 A 公司长途客车准点的概率估计为$\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$；对于 B 公司，准点班次数为 210，总班次为 210+30=240，所以 B 公司长途客车准点的概率估计为$\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$。<eoe> 【答案】A 公司长途客车准点的概率估计为$\frac{12}{13}$，B 公司长途客车准点的概率估计为$\frac{7}{8}$。<eoa> (2)【解析】由列联表可得$a=240$，$b=20$，$c=210$，$d=30$，$n=500$，计算$K^{2}=\frac{500\times(240\times30-20\times210)^{2}}{(240+20)\times(210+30)\times(240+210)\times(20+30)}\approx 5.934$，因为$5.934\gt 2.706$，所以有$90\%$的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。<eoe> 【答案】有$90\%$的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。<eoa> |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| minimax | (1)【解析】要估计两家公司长途客车准点的概率，我们需要计算每家公司准点班次的数量占该公司总班次数量的比例。对于公司$A$，准点班次为240，总班次为240+30=270；对于公司$B$，准点班次为210，总班次为210+20=230。因此，公司$A$的准点概率为240/270，公司$B$的准点概率为210/230。<eoe> 【答案】公司$A$的准点概率为240/270=0.889，公司$B$的准点概率为210/230=0.913。<eoa> (2)【解析】要判断长途客车是否准点与客车所属公司是否有关，我们可以使用卡方检验。根据题目给出的列联表和公式$K^{2}=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，我们可以计算出卡方值。其中，$a$、$b$、$c$、$d$分别代表表格中的四个数值，$n$为总样本数。在这个问题中，$a=240$，$b=30$，$c=210$，$d=20$，$n=500$。将这些值代入公式，我们可以计算出卡方值。然后，我们需要将计算出的卡方值与题目给出的卡方分布表进行比较，以判断是否可以在90%的把握下认为长途客车是否准点与客车所属公司有关。根据题目给出的卡方分布表，当$P(K^{2} \geq k)=0.100$时，$k=2.706$。如果计算出的卡方值大于2.706，我们就可以有90%的把握认为长途客车是否准点与客车所属公司有关。<eoe> 【答案】根据公式$K^{2}=\frac{500(240*20-30*210)^{2}}{(240+30)(210+20)(240+210)(30+20)}$，计算得到$K^{2}=0.167$。由于计算出的卡方值0.167小于2.706，所以我们不能有90%的把握认为长途客车是否准点与客车所属公司有关。<eoa> |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| kimi | (1)【解析】 首先，我们需要计算两家公司长途客车准点的概率。这可以通过将准点班次数除以总班次数来计算。 对于公司A，准点班次数为240，总班次数为240+末准点班次数，我们需要先计算出末准点班次数。根据列联表，我们有： 总班次数 = 240 + 210 + 20 + 30 = 500 所以，公司A的末准点班次数 = 500 - 240 - 210 = 50。 对于公司B，准点班次数为210，末准点班次数为30。 现在我们可以计算两家公司准点的概率： 公司A准点概率 = 准点班次数 / 总班次数 = 240 / 500 公司B准点概率 = 准点班次数 / 总班次数 = 210 / 500 <eoe> 【答案】 公司A准点概率 = 240 / 500 = 0.48 公司B准点概率 = 210 / 500 = 0.42 <eoa> (2)【解析】 为了判断准点与否与客车所属公司是否有关系，我们可以使用卡方检验。首先，我们需要构建列联表，并计算卡方统计量。 列联表如下： \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点 & 末准点 & 总计 \\ \hline A & 240 & 50 & 290 \\ \hline B & 210 & 30 & 240 \\ \hline 总计 & 450 & 80 & 500 \\ \hline \end{tabular} 接下来，我们计算期望频数： E(A准点) = (A总计) * (准点总计) / 总班次数 = 290 * 450 / 500 = 261 E(A末准点) = (A总计) * (末准点总计) / 总班次数 = 290 * 80 / 500 = 47.2 E(B准点) = (B总计) * (准点总计) / 总班次数 = 240 * 450 / 500 = 216 E(B末准点) = (B总计) * (末准点总计) / 总班次数 = 240 * 80 / 500 = 32.8 然后，我们计算卡方统计量： $K^{2} = \frac{(240-261)^2}{261} + \frac{(50-47.2)^2}{47.2} + \frac{(210-216)^2}{216} + \frac{(30-32.8)^2}{32.8}$ 计算得到： $K^{2} = \frac{(-21)^2}{261} + \frac{(2.8)^2}{47.2} + \frac{(-6)^2}{216} + \frac{(-2.8)^2}{32.8} \approx 3.87$ 现在，我们需要查看卡方分布表来确定是否有90%的把握认为准点与否与客车所属公司有关。我们查找自由度为1的卡方分布表，对应于90%的置信水平的卡方值约为2.706。 <eoe> 【答案】 $K^{2} \approx 3.87 > 2.706$ 因此，我们有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。 <eoa> |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】根据列联表，A公司准点的班次数为240，总班次数为240+20=260，所以A公司准点的概率为240/260。同理，B公司准点的班次数为210，总班次数为210+30=240，所以B公司准点的概率为210/240。<eoe> 【答案】A公司长途客车准点的概率估计值为240/260=12/13，B公司长途客车准点的概率估计值为210/240=7/8。 (2)【解析】首先计算K^2的值，根据公式K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，代入a=240, b=20, c=210, d=30, n=500，得到K^2的值。然后查表比较，如果K^2大于2.706，那么我们可以在90%的置信水平下认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。<eoe> 【答案】计算得到K^2的值为500*(240*30-20*210)^2/(260*240*270*230)≈2.941，由于2.941>2.706，所以我们可以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。 |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| zhipu | (1)【解析】首先，我们需要根据列联表中的数据计算两家公司准点班次的概率。 对于$A$公司： - 总班次数为$240 + 20 = 260$ - 准点班次数为$240$ 所以$A$公司准点的概率为： $$ P(A_{\text{准点}}) = \frac{240}{260} = \frac{12}{13} $$ 对于$B$公司： - 总班次数为$210 + 30 = 240$ - 准点班次数为$210$ 所以$B$公司准点的概率为： $$ P(B_{\text{准点}}) = \frac{210}{240} = \frac{7}{8} $$ <eoe> 【答案】 $$ P(A_{\text{准点}}) = \frac{12}{13} $$ $$ P(B_{\text{准点}}) = \frac{7}{8} $$ <eoa> (2)【解析】为了判断甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司是否有关，我们需要使用给定的公式计算$K^2$值。 首先，整理列联表中的数据： - $a = 240$（$A$公司准点班次数） - $b = 20$（$A$公司未准点班次数） - $c = 210$（$B$公司准点班次数） - $d = 30$（$B$公司未准点班次数） - 总班次数$n = 500$ 代入公式$K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$： 计算$ad - bc$： $$ ad - bc = 240 \times 30 - 20 \times 210 = 7200 - 4200 = 3000 $$ 计算$(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)$： $$ a+b = 240 + 20 = 260 $$ $$ c+d = 210 + 30 = 240 $$ $$ a+c = 240 + 210 = 450 $$ $$ b+d = 20 + 30 = 50 $$ 所以分母为： $$ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 260 \times 240 \times 450 \times 50 $$ 计算$K^2$： $$ K^2 = \frac{500 \times 3000^2}{260 \times 240 \times 450 \times 50} $$ 先计算$3000^2$： $$ 3000^2 = 9000000 $$ 再计算分母： $$ 260 \times 240 = 62400 $$ $$ 62400 \times 450 = 28140000 $$ $$ 28140000 \times 50 = 1407000000 $$ 所以$K^2$为： $$ K^2 = \frac{500 \times 9000000}{1407000000} = \frac{4500000000}{1407000000} \approx 3.19 $$ 根据附表，当$K^2 \approx 3.19$时，对应的概率在$0.05$和$0.10$之间。因为$3.19 > 2.706$，所以我们有$90\%$的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。 <eoe> 【答案】 有$90\%$的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。<eoa> |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| gpto1 | (1)【解析】根据题目给出的数据，我们首先整理出完整的列联表： \[ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 未准点班次数 & 合计 \\ \hline A & 240 & 20 & 260 \\ \hline B & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} \] 接下来，分别计算 \(A\) 和 \(B\) 两家公司长途客车准点的概率。 对于公司 \(A\)： \[ P_A = \frac{\text{公司 }A\text{ 的准点班次数}}{\text{公司 }A\text{ 的总班次数}} = \frac{240}{260} = \frac{12}{13} \approx 0.9231 \] 对于公司 \(B\)： \[ P_B = \frac{\text{公司 }B\text{ 的准点班次数}}{\text{公司 }B\text{ 的总班次数}} = \frac{210}{240} = \frac{7}{8} = 0.875 \] <eoe> 【答案】 （1）公司 \(A\) 的准点概率为 \(\frac{12}{13} \approx 0.9231\)，公司 \(B\) 的准点概率为 \(\frac{7}{8} = 0.875\)。 <eoa> (2)【解析】要判断长途客车是否准点与客车所属公司是否有关，我们可以进行独立性检验，使用卡方检验的公式： \[ K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)} \] 其中： - \(a\) 是公司 \(A\) 准点班次数，即 \(a = 240\)； - \(b\) 是公司 \(A\) 未准点班次数，即 \(b = 20\)； - \(c\) 是公司 \(B\) 准点班次数，即 \(c = 210\)； - \(d\) 是公司 \(B\) 未准点班次数，即 \(d = 30\)； - \(n\) 是总班次数，即 \(n = 500\)。 计算 \(ad - bc\)： \[ ad - bc = (240 \times 30) - (20 \times 210) = 7200 - 4200 = 3000 \] 计算分母： \[ (a + b) = 240 + 20 = 260 \\ (c + d) = 210 + 30 = 240 \\ (a + c) = 240 + 210 = 450 \\ (b + d) = 20 + 30 = 50 \] 将数据代入 \(K^2\) 的公式： \[ K^2 = \frac{500 \times (3000)^2}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \] 计算分子： \[ 500 \times (3000)^2 = 500 \times 9,000,000 = 4,500,000,000 \] 计算分母： \[ 260 \times 240 \times 450 \times 50 = 62,400 \times 22,500 = 1,404,000,000 \] 因此： \[ K^2 = \frac{4,500,000,000}{1,404,000,000} \approx 3.205 \] 查阅附表，当自由度为1时，在显著性水平 \(\alpha = 0.10\)（即有90\%的把握）时，临界值为 \(K^2_{0.10} = 2.706\)。 由于 \(K^2 = 3.205 > 2.706\)，说明在90\%的把握下，我们拒绝独立性假设，即认为长途客车是否准点与客车所属公司有关。 <eoe> 【答案】 （2）有 \(90\%\) 的把握认为长途客车是否准点与客车所属公司有关。 <eoa> |
【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-2f587782-343b-9624-b2dc-421e35294083', 'request_id': '2f587782-343b-9624-b2dc-421e35294083'} | 【小问 1 详解】} 根据表中数据, $A$ 共有班次 260 次, 准点班次有 240 次, 设 $A$ 家公司长途客车准点事件为 $M$, 则 $P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$ ； $B$ 共有班次 240 次, 准点班次有 210 次, 设 $B$ 家公司长途客车准点事件为 $N$, 则 $P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$. $A$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{12}{13}$; $B$ 家公司长途客车准点的概率为 $\frac{7}{8}$. 【小问 2 详解】} 列联表 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & 准点班次数 & 末准点班次数 & 合计 \\ \hline$A$ & 240 & 20 & 260 \\ \hline$B$ & 210 & 30 & 240 \\ \hline 合计 & 450 & 50 & 500 \\ \hline \end{tabular} $$ \begin{aligned} & K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & =\frac{500 \times(240 \times 30-210 \times 20)^{2}}{260 \times 240 \times 450 \times 50} \approx 3.205>2.706, \end{aligned} $$ 根据临界值表可知, 有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公 司有关. |