| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | 【解析】 我们需要找到 \((x-y)(x+y)^8\) 的展开式中 \(x^2 y^7\) 的系数。 首先，我们将 \((x-y)(x+y)^8\) 展开。我们可以先考虑 \((x+y)^8\) 的展开式，然后再乘以 \((x-y)\)。 根据二项式定理，\((x+y)^8\) 的展开式为： \[ (x+y)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^k \] 接下来，我们将这个展开式乘以 \((x-y)\)： \[ (x-y)(x+y)^8 = (x-y) \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^k \] 我们需要找到展开式中 \(x^2 y^7\) 的项。我们将 \((x-y)\) 分配到每一项： \[ (x-y) \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^k = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{9-k} y^k - \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^{k+1} \] 我们需要找到 \(x^2 y^7\) 的项，这意味着我们需要找到 \(9-k = 2\) 和 \(k = 7\) 的项，以及 \(8-k = 2\) 和 \(k+1 = 7\) 的项。 对于第一项： \[ 9 - k = 2 \implies k = 7 \] 此时，项为： \[ \binom{8}{7} x^{9-7} y^7 = \binom{8}{7} x^2 y^7 = 8 x^2 y^7 \] 对于第二项： \[ 8 - k = 2 \implies k = 6 \] 此时，项为： \[ \binom{8}{6} x^{8-6} y^{6+1} = \binom{8}{6} x^2 y^7 = 28 x^2 y^7 \] 因此，\(x^2 y^7\) 的系数为： \[ 8 - 28 = -20 \] 【答案】-20<eoa> |
-20 |
| deepseekr1 | 【解析】 要找到展开式 \((x - y)(x + y)^8\) 中 \(x^2 y^7\) 的系数，需要分两步考虑： 1. **展开 \((x + y)^8\)**：根据二项式定理，展开式为 \(\sum_{k=0}^8 \binom{8}{k} x^k y^{8-k}\)。 2. **与 \((x - y)\) 相乘**：将 \((x - y)\) 分别与展开式的各项相乘，并提取产生 \(x^2 y^7\) 的项。 - **来自 \(x \cdot (x + y)^8\) 的贡献**：需要 \((x + y)^8\) 中的 \(x^1 y^7\) 项，其系数为 \(\binom{8}{1} = 8\)，乘以 \(x\) 后得到 \(8x^2 y^7\)。 - **来自 \(-y \cdot (x + y)^8\) 的贡献**：需要 \((x + y)^8\) 中的 \(x^2 y^6\) 项，其系数为 \(\binom{8}{2} = 28\)，乘以 \(-y\) 后得到 \(-28x^2 y^7\)。 将两部分系数相加：\(8 - 28 = -20\)。<eoe> 【答案】-20<eoa> |
-20 |
| gpto1 | 【解析】 先展开$(x - y)(x + y)^8$。 由于$(x - y)(x + y)^8 = x(x + y)^8 - y(x + y)^8$。 展开$(x + y)^8$，利用二项式定理： $(x + y)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8 - k} y^{k}$。 因此， $x(x + y)^8 = x \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8 - k} y^{k} = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{9 - k} y^{k}$， $y(x + y)^8 = y \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8 - k} y^{k} = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8 - k} y^{k+1}$。 所以， $(x - y)(x + y)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{9 - k} y^{k} - \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8 - k} y^{k+1}$。 要找出$x^{2} y^{7}$的系数，需要满足$x$的指数和$y$的指数分别为2和7。 对于第一个和： $9 - k = 2$，解得$k = 7$。 对应的项为$\binom{8}{7} x^{2} y^{7}$。 对于第二个和： $8 - k = 2$，解得$k = 6$。 对应的项为$-\binom{8}{6} x^{2} y^{7}$（注意负号）。 计算组合数： $\binom{8}{7} = 8$， $\binom{8}{6} = \binom{8}{2} = 28$。 因此，$x^{2} y^{7}$的系数为： $8 - 28 = -20$。 <eoe> 【答案】-20<eoa> |
-20 |
| GPT-4o | 【解析】 我们需要找出 $(x-y)(x+y)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{7}$ 的系数。 首先考虑 $(x+y)^{8}$ 的展开式。根据二项式定理： \[ (x + y)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^k \] 我们需要在 $(x-y)(x+y)^{8}$ 中找到 $x^2 y^7$ 的项。注意到 $(x-y)$ 可以写成 $x - y$，我们将其乘入展开式： \[ (x-y)(x+y)^{8} = x(x+y)^{8} - y(x+y)^{8} \] 分别考虑这两项： 1. $x(x+y)^{8}$ 的展开式： \[ x \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^k = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{9-k} y^k \] 2. $-y(x+y)^{8}$ 的展开式： \[ -y \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^k = -\sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^{k+1} \] 我们需要找出这两个展开式中 $x^2 y^7$ 的系数。 对于 $x(x+y)^{8}$，我们需要 $9-k = 2$ 且 $k = 7$。 \[ k = 7 \implies \binom{8}{7} x^{9-7} y^7 = \binom{8}{7} x^2 y^7 = 8 x^2 y^7 \] 对于 $-y(x+y)^{8}$，我们需要 $8-k = 2$ 且 $k+1 = 7$。 \[ k = 6 \implies \binom{8}{6} x^{8-6} y^{6+1} = \binom{8}{6} x^2 y^7 = 28 x^2 y^7 \] 因此，$x^2 y^7$ 的系数为： \[ 8 - 28 = -20 \] 【答案】-20<eoa> |
-20 |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 由题意可知,展开式中x^{2}y^{7}的系数为\binom{8}{7}(-1)^{7}=-8. 最终结果是-8 |
-20 |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是-8*eoa |
-20 |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 我们需要找到 $(x-y)(x+y)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{7}$ 的系数。首先，我们将 $(x-y)$ 和 $(x+y)^{8}$ 分别展开，然后找出乘积中 $x^{2} y^{7}$ 项的系数。\n\n1. 展开 $(x+y)^{8}$：\n $(x+y)^{8}$ 的展开式是二项式定理的结果，即：\n \\[\n (x+y)^{8} = \\sum_{k=0}^{8} \\binom{8}{k} x^{8-k} y^{k}\n \\]\n 其中，$\\binom{8}{k}$ 是二项式系数。\n\n2. 找出 $(x+y)^{8}$ 中 $x^{2}$ 和 $y^{7}$ 的项：\n - $x^{2}$ 项：当 $k=6$ 时，$\\binom{8}{6} x^{2} y^{6}$，系数为 $\\binom{8}{6}$。\n - $y^{7}$ 项：当 $k=7$ 时，$\\binom{8}{7} x^{1} y^{7}$，系数为 $\\binom{8}{7}$。\n\n3. 将 $(x-y)$ 与 $(x+y)^{8}$ 的展开式相乘：\n - $(x-y)$ 中的 $x$ 项与 $(x+y)^{8}$ 中的 $y^{7}$ 项相乘，得到 $x^{1} y^{7}$ 项，系数为 $-\\binom{8}{7}$。\n - $(x-y)$ 中的 $-y$ 项与 $(x+y)^{8}$ 中的 $x^{2}$ 项相乘，得到 $x^{2} y^{1}$ 项，系数为 $-\\binom{8}{6}$。\n\n4. 合并 $x^{2} y^{7}$ 项的系数：\n - $x^{2} y^{7}$ 项的系数为 $-\\binom{8}{7}$。\n\n计算二项式系数：\n\\[\n\\binom{8}{7} = 8\n\\]\n\n因此，$x^{2} y^{7}$ 项的系数为：\n\\[\n-\\binom{8}{7} = -8\n\\]\n\n<eoe>\n【答案】-8<eoa>" | -20 |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】\n要找到$(x-y)(x+y)^{8}$的展开式中$x^{2}y^{7}$的系数，我们可以通过二项式定理来解决这个问题。首先，我们考虑$(x+y)^{8}$的展开式。根据二项式定理，$(x+y)^{8}$的展开式中每一项都可以表示为$\\binom{8}{k}x^{8-k}y^{k}$，其中$k=0,1,2,...,8$。\n\n我们需要找的是$x^{2}y^{7}$的系数，这意味着在$(x-y)(x+y)^{8}$的乘积中，我们需要$x^{2}y^{7}$的项。这可以通过两种方式实现：\n1. 从$(x-y)$中选择$x$，然后从$(x+y)^{8}$中选择$x^{1}y^{7}$的项。\n2. 从$(x-y)$中选择$-y$，然后从$(x+y)^{8}$中选择$x^{3}y^{6}$的项。\n\n对于第一种情况，$(x+y)^{8}$中$x^{1}y^{7}$的系数为$\\binom{8}{7} = 8$。因此，当从$(x-y)$中选择$x$时，这一项的系数为$1 * 8 = 8$。\n\n对于第二种情况，$(x+y)^{8}$中$x^{3}y^{6}$的系数为$\\binom{8}{6} = \\binom{8}{2} = 28$。因此，当从$(x-y)$中选择$-y$时，这一项的系数为$-1 * 28 = -28$。\n\n将这两种情况相加，我们得到$x^{2}y^{7}$的总系数为$8 + (-28) = -20$。<eoe>\n\n【答案】-20<eoa>" | -20 |
| baichuan4 | 【解析】要找到 $(x-y)(x+y)^{8}$ 展开式中 $x^{2}y^{7}$ 的系数，我们可以使用二项式定理来展开 $(x+y)^{8}$，然后将结果乘以 $(x-y)$。 二项式定理告诉我们，$(a+b)^n$ 的展开式是由形如 $C_n^k a^{n-k} b^k$ 的项组成的，其中 $C_n^k$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取 $k$ 个元素的组合数。 对于 $(x+y)^{8}$，我们需要找到 $k=7$ 的情况，即 $C_8^7 y^7 x^{8-7} = C_8^7 y^7 x$。因为只有这一项在乘以 $(x-y)$ 后会产生 $x^{2}y^{7}$ 项。 接下来，我们计算组合数 $C_8^7$： $$ C_8^7 = \frac{8!}{7!(8-7)!} = \frac{8}{1} = 8 $$ 现在，我们将 $(x-y)$ 乘以 $8y^7x$： $$ (x-y) \cdot 8y^7x = 8xy^7 - 8y^8x $$ 注意到，我们只关心 $x^{2}y^{7}$ 项，所以只有第一项 $8xy^7$ 是我们需要的。但是，我们需要的是 $x^{2}y^{7}$，所以我们需要将 $8xy^7$ 乘以 $x$ 来得到正确的项： $$ 8xy^7 \cdot x = 8x^2y^7 $$ 因此，$x^{2}y^{7}$ 的系数是 8。 【答案】8<eoa> |
-20 |
| doubao | 【解析】将$(x+y)^{8}$展开，根据二项式定理可得通项公式为$T_{r+1}=C_{8}^{r}x^{8-r}y^{r}$。要得到$x^{2}y^{7}$，则当从$(x+y)^{8}$中取得$x^{y^{7}}$时，从$(x-y)$中取$x$，此时系数为$C_{8}^{7}$；当从$(x+y)^{8}$中取得$x^{2}y^{6}$时，从$(x-y)$中取$-y$，此时系数为$-C_{8}^{6}$，则$x^{2}y^{7}$的系数为$C_{8}^{7}-C_{8}^{6}$。$C_{8}^{7}=C_{8}^{1}=8$，$C_{8}^{6}=C_{8}^{2}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$，所以系数为$8-28=-20$。<eoe> 【答案】-20<eoa> |
-20 |
| minimax | 【解析】 要找到$(x-y)(x+y)^{8}$展开式中$x^{2}y^{7}$的系数，我们可以先考虑$(x+y)^{8}$的展开式，然后乘以$(x-y)$。 $(x+y)^{8}$是一个二项式展开，根据二项式定理，其展开式中的通项是： $$T_{r+1} = \binom{8}{r}x^{8-r}y^{r}$$ 其中$r$是从0到8的整数，$\binom{8}{r}$是组合数，表示从8个不同元素中取$r$个元素的组合方式的数目。 我们需要找到$x^{2}y^{7}$的项，这意味着在$(x+y)^{8}$的展开式中，我们需要找到$x^{1}y^{7}$的项，因为乘以$(x-y)$后，$x^{1}y^{7}$会变成$x^{2}y^{7}$。 在$(x+y)^{8}$的展开式中，$x^{1}y^{7}$对应的$r$值是7，因此我们有： $$T_{8} = \binom{8}{7}x^{8-7}y^{7} = \binom{8}{7}xy^{7}$$ 现在我们需要计算$\binom{8}{7}$的值，根据组合数的定义： $$\binom{8}{7} = \frac{8!}{7!(8-7)!} = \frac{8}{1} = 8$$ 所以$(x+y)^{8}$的展开式中$x^{1}y^{7}$的系数是8。 接下来，我们将$(x+y)^{8}$的展开式中的$x^{1}y^{7}$项乘以$(x-y)$： $$(x-y)(x+y)^{8} = (x-y)(\binom{8}{7}xy^{7} + \text{其他项})$$ $$= \binom{8}{7}x^{2}y^{7} - \binom{8}{7}xy^{8} + \text{其他项}$$ 我们只关心$x^{2}y^{7}$的系数，所以其他项可以忽略。因此，$x^{2}y^{7}$的系数是$\binom{8}{7}$，即8。 所以，$(x-y)(x+y)^{8}$的展开式中$x^{2}y^{7}$的系数为8。<eoe> 【答案】8<eoa> |
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| kimi | 【解析】 首先，我们需要知道二项式展开的通项公式，即 $(a+b)^n$ 的展开式中第 $r+1$ 项为 $C_n^r a^{n-r}b^r$，其中 $C_n^r$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取 $r$ 个元素的组合数。 题目中给出的表达式是 $(x-y)(x+y)^8$，我们需要找到 $x^2y^7$ 的系数。 首先，我们考虑 $(x+y)^8$ 的展开式。我们需要找到 $x^2y^6$ 和 $x^3y^5$ 这两项，因为它们与 $(x-y)$ 相乘后可以产生 $x^2y^7$ 项。 对于 $(x+y)^8$ 的展开式，我们有： - $x^2y^6$ 项的系数是 $C_8^6 x^2y^6$，即 $\frac{8!}{6!2!}x^2y^6 = 28x^2y^6$。 - $x^3y^5$ 项的系数是 $C_8^5 x^3y^5$，即 $\frac{8!}{5!3!}x^3y^5 = 56x^3y^5$。 接下来，我们将 $(x-y)$ 与这两项相乘： - $(x-y)(x^2y^6) = x^3y^6 - x^2y^7$，这里我们得到 $x^2y^7$ 的系数为 $-1 \times 28 = -28$。 - $(x-y)(x^3y^5) = x^4y^5 - x^3y^6$，这里我们得到 $x^2y^7$ 的系数为 $1 \times 56 = 56$。 最后，我们将这两个系数相加，得到 $x^2y^7$ 的总系数：$-28 + 56 = 28$。 <eoe> 【答案】28<eoa> |
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| wenxinyiyan | 【解析】 根据二项式定理，$(x+y)^{8}$的展开式的通项为$T_{r+1} = C_{8}^{r}x^{8-r}y^{r}$。 我们需要找到使得展开式中出现$x^{2}y^{7}$的$r$值。 考虑$(x-y)(x+y)^{8}$的展开式，其中$x-y$与$(x+y)^{8}$的每一项相乘，我们关心的是乘积中出现$x^{2}y^{7}$的情况。 当$(x-y)$的$x$项与$T_{r+1}$的$y^{7}$项相乘时，即$r=7$，得到$xC_{8}^{7}x^{1}y^{7} = C_{8}^{7}x^{2}y^{7}$。 当$(x-y)$的$-y$项与$T_{r+1}$的$x^{2}y^{6}$项相乘时，即$r=6$，得到$-yC_{8}^{6}x^{2}y^{6} = -C_{8}^{6}x^{2}y^{7}$。 所以，$(x-y)(x+y)^{8}$的展开式中$x^{2}y^{7}$的系数为$C_{8}^{7} - C_{8}^{6}$。 根据组合数的性质，$C_{8}^{7} = C_{8}^{1}$，所以$C_{8}^{7} - C_{8}^{6} = C_{8}^{1} - C_{8}^{6}$。 计算得$C_{8}^{1} - C_{8}^{6} = 8 - 28 = -20$。 <eoe> 【答案】 -20 <eoa> |
-20 |
| zhipu | 【解析】 要找到 $(x-y)(x+y)^8$ 的展开式中 $x^2 y^7$ 的系数，我们可以分两步进行： 第一步：先展开 $(x+y)^8$。 根据二项式定理，$(x+y)^8$ 的展开式为： \[ (x+y)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^k \] 第二步：将 $(x-y)$ 乘以 $(x+y)^8$ 的展开式，并找到 $x^2 y^7$ 的项。 \[ (x-y)(x+y)^8 = x(x+y)^8 - y(x+y)^8 \] 我们需要分别考虑 $x(x+y)^8$ 和 $y(x+y)^8$ 中产生 $x^2 y^7$ 的项。 1. 在 $x(x+y)^8$ 中，$x$ 乘以 $(x+y)^8$ 的某一项需要得到 $x^2 y^7$。 - 具体来说，我们需要 $x \cdot x^1 y^7$，即 $(x+y)^8$ 中 $x^1 y^7$ 的项。 - 根据二项式定理，$x^1 y^7$ 的系数是 $\binom{8}{7} = 8$。 2. 在 $y(x+y)^8$ 中，$y$ 乘以 $(x+y)^8$ 的某一项需要得到 $x^2 y^7$。 - 具体来说，我们需要 $y \cdot x^2 y^6$，即 $(x+y)^8$ 中 $x^2 y^6$ 的项。 - 根据二项式定理，$x^2 y^6$ 的系数是 $\binom{8}{6} = 28$。 将这两部分相减： \[ x(x+y)^8 \text{ 中 } x^2 y^7 \text{ 的系数} = 8 \] \[ y(x+y)^8 \text{ 中 } x^2 y^7 \text{ 的系数} = 28 \] 所以，$(x-y)(x+y)^8$ 中 $x^2 y^7$ 的系数为： \[ 8 - 28 = -20 \] <eoe> 【答案】-20<eoa> |
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| gpto1 | 【解析】 先展开$(x - y)(x + y)^8$。 由于$(x - y)(x + y)^8 = x(x + y)^8 - y(x + y)^8$。 展开$(x + y)^8$，利用二项式定理： $(x + y)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8 - k} y^{k}$。 因此， $x(x + y)^8 = x \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8 - k} y^{k} = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{9 - k} y^{k}$， $y(x + y)^8 = y \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8 - k} y^{k} = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8 - k} y^{k+1}$。 所以， $(x - y)(x + y)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{9 - k} y^{k} - \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8 - k} y^{k+1}$。 要找出$x^{2} y^{7}$的系数，需要满足$x$的指数和$y$的指数分别为2和7。 对于第一个和： $9 - k = 2$，解得$k = 7$。 对应的项为$\binom{8}{7} x^{2} y^{7}$。 对于第二个和： $8 - k = 2$，解得$k = 6$。 对应的项为$-\binom{8}{6} x^{2} y^{7}$（注意负号）。 计算组合数： $\binom{8}{7} = 8$， $\binom{8}{6} = \binom{8}{2} = 28$。 因此，$x^{2} y^{7}$的系数为： $8 - 28 = -20$。 <eoe> 【答案】-20<eoa> |
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| deepseekv3 | 【解析】首先，我们需要展开表达式 $(x - y)(x + y)^8$ 并找到其中 $x^2 y^7$ 项的系数。 1. 先考虑 $(x + y)^8$ 的展开式。根据二项式定理，$(x + y)^8$ 的展开式为： \[ (x + y)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^{k} \] 2. 我们需要找到 $(x + y)^8$ 中 $x^1 y^7$ 和 $x^2 y^6$ 的系数，因为 $(x - y)(x + y)^8$ 的展开式中 $x^2 y^7$ 的系数是由这两个系数组合得到的。 3. 计算 $(x + y)^8$ 中 $x^1 y^7$ 的系数： \[ \binom{8}{7} = 8 \] 4. 计算 $(x + y)^8$ 中 $x^2 y^6$ 的系数： \[ \binom{8}{6} = 28 \] 5. 现在，我们将 $(x - y)$ 与 $(x + y)^8$ 相乘： \[ (x - y)(x + y)^8 = x \cdot (x + y)^8 - y \cdot (x + y)^8 \] 6. 我们需要找到 $x^2 y^7$ 的系数。这可以来自于： - $x \cdot (x + y)^8$ 中的 $x^1 y^7$ 项，其系数为 $8$。 - $-y \cdot (x + y)^8$ 中的 $x^2 y^6$ 项，其系数为 $-28$。 7. 因此，$x^2 y^7$ 的系数为： \[ 8 - 28 = -20 \] <eoe> 【答案】-20<eoa> |
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