| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | 【解析】 我们需要找到函数 \( f(x) = \sin (x + 2\phi) - 2 \sin \phi \cos (x + \phi) \) 的最大值。 首先，我们使用三角恒等式将函数进行简化。利用和差化积公式： \[ \sin (x + 2\phi) = \sin x \cos 2\phi + \cos x \sin 2\phi \] \[ \cos (x + \phi) = \cos x \cos \phi - \sin x \sin \phi \] 将这些代入原函数： \[ f(x) = \sin x \cos 2\phi + \cos x \sin 2\phi - 2 \sin \phi (\cos x \cos \phi - \sin x \sin \phi) \] 展开并整理： \[ f(x) = \sin x \cos 2\phi + \cos x \sin 2\phi - 2 \sin \phi \cos x \cos \phi + 2 \sin \phi \sin x \sin \phi \] \[ = \sin x (\cos 2\phi + 2 \sin^2 \phi) + \cos x (\sin 2\phi - 2 \sin \phi \cos \phi) \] 利用三角恒等式 \(\cos 2\phi = 1 - 2 \sin^2 \phi\) 和 \(\sin 2\phi = 2 \sin \phi \cos \phi\)，我们可以进一步简化： \[ \cos 2\phi + 2 \sin^2 \phi = 1 - 2 \sin^2 \phi + 2 \sin^2 \phi = 1 \] \[ \sin 2\phi - 2 \sin \phi \cos \phi = 2 \sin \phi \cos \phi - 2 \sin \phi \cos \phi = 0 \] 因此，函数简化为： \[ f(x) = \sin x \cdot 1 + \cos x \cdot 0 = \sin x \] 所以，函数 \( f(x) = \sin x \) 的最大值就是 \(\sin x\) 的最大值。 \(\sin x\) 的最大值为 1。 【答案】1<eoa> |
1 |
| deepseekr1 | 【解析】首先，将函数 $f(x) = \sin(x + 2\phi) - 2 \sin\phi \cos(x + \phi)$ 展开。利用三角恒等式： 1. $\sin(x + 2\phi) = \sin x \cos 2\phi + \cos x \sin 2\phi$； 2. $-2 \sin\phi \cos(x + \phi) = -2 \sin\phi (\cos x \cos\phi - \sin x \sin\phi)$，展开后为 $-2 \sin\phi \cos\phi \cos x + 2 \sin^2\phi \sin x$。 合并同类项： - $\cos x$ 的系数为 $\sin 2\phi - 2 \sin\phi \cos\phi = 0$（因 $\sin 2\phi = 2 \sin\phi \cos\phi$）； - $\sin x$ 的系数为 $\cos 2\phi + 2 \sin^2\phi = 1$（因 $\cos 2\phi = 1 - 2 \sin^2\phi$）。 因此 $f(x) = \sin x$，其最大值为 $1$。<eoe> 【答案】1<eoa> |
1 |
| gpto1 | 【解析】 要找到函数 \( f(x) = \sin(x + 2\phi) - 2\sin\phi\cos(x + \phi) \) 的最大值，我们可以尝试将其化简。 首先，利用三角恒等式将 \( \sin(x + 2\phi) \) 展开： \[ \sin(x + 2\phi) = \sin[(x + \phi) + \phi] = \sin(x + \phi)\cos\phi + \cos(x + \phi)\sin\phi \] 将这一结果代入原函数： \[ \begin{align*} f(x) &= \sin(x + 2\phi) - 2\sin\phi\cos(x + \phi) \\ &= [\sin(x + \phi)\cos\phi + \cos(x + \phi)\sin\phi] - 2\sin\phi\cos(x + \phi) \end{align*} \] 整理函数表达式，合并同类项： \[ \begin{align*} f(x) &= \sin(x + \phi)\cos\phi + \cos(x + \phi)\sin\phi - 2\sin\phi\cos(x + \phi) \\ &= \sin(x + \phi)\cos\phi - \sin\phi\cos(x + \phi) \end{align*} \] 注意到上述表达式符合正弦差公式的形式： \[ \sin A \cos B - \cos A \sin B = \sin(A - B) \] 因此，我们可以将函数进一步化简： \[ \begin{align*} f(x) &= \sin(x + \phi)\cos\phi - \sin\phi\cos(x + \phi) \\ &= \sin[(x + \phi) - \phi] \\ &= \sin x \end{align*} \] 因此，原函数实际上等于 \( \sin x \)。因为 \( \sin x \) 的最大值为 1，所以函数 \( f(x) \) 的最大值为 1。 <eoe> 【答案】1<eoa> |
1 |
| GPT-4o | 【解析】 我们首先对给定的函数 \( f(x) = \sin(x + 2\phi) - 2 \sin \phi \cos(x + \phi) \) 进行简化和分析。 利用三角函数的和差公式，我们知道： \[ \sin(x + 2\phi) = \sin x \cos 2\phi + \cos x \sin 2\phi \] 以及 \[ \cos(x + \phi) = \cos x \cos \phi - \sin x \sin \phi \] 因此，原函数可以写成： \[ f(x) = \sin x \cos 2\phi + \cos x \sin 2\phi - 2 \sin \phi (\cos x \cos \phi - \sin x \sin \phi) \] 进一步展开： \[ f(x) = \sin x \cos 2\phi + \cos x \sin 2\phi - 2 \sin \phi \cos x \cos \phi + 2 \sin \phi \sin x \sin \phi \] 合并同类项后得： \[ f(x) = \sin x (\cos 2\phi + 2 \sin^2 \phi) + \cos x (\sin 2\phi - 2 \sin \phi \cos \phi) \] 注意到 \(\cos 2\phi = 1 - 2 \sin^2 \phi\) 和 \(\sin 2\phi = 2 \sin \phi \cos \phi\)，代入简化： \[ f(x) = \sin x (1 - 2 \sin^2 \phi + 2 \sin^2 \phi) + \cos x (2 \sin \phi \cos \phi - 2 \sin \phi \cos \phi) \] \[ f(x) = \sin x \cdot 1 + \cos x \cdot 0 \] \[ f(x) = \sin x \] 综上所述，函数 \( f(x) = \sin x \) 的最大值和最小值分别为 1 和 -1。因此，函数 \( f(x) = \sin (x+2 \phi)-2 \sin \phi \cos (x+\phi) \) 的最大值为 1。 <eoe> 【答案】1<eoa> |
1 |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 最终结果是1 |
1 |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 由题意得:f(x)=\sin(x+2\phi)-2\sin\phi\cos(x+\phi)=\sin(x+2\phi)-\sin(x+2\phi)-\sin(x)=-\sinx\in[-1,1],所以f(x)的最大值为1.. 最终结果是1 |
1 |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 首先，我们需要简化函数 $f(x)=\\sin (x+2 \\phi)-2 \\sin \\phi \\cos (x+\\phi)$。我们可以使用三角函数的和差公式来简化这个表达式。\n\n使用和差公式，$\\sin (x+2 \\phi)$ 可以写成 $\\sin x \\cos 2 \\phi + \\cos x \\sin 2 \\phi$，而 $\\cos (x+\\phi)$ 可以写成 $\\cos x \\cos \\phi - \\sin x \\sin \\phi$。\n\n因此，函数 $f(x)$ 可以重写为：\n\\[ f(x) = (\\sin x \\cos 2 \\phi + \\cos x \\sin 2 \\phi) - 2 \\sin \\phi (\\cos x \\cos \\phi - \\sin x \\sin \\phi) \\]\n\n接下来，我们将这个表达式展开并合并同类项：\n\\[ f(x) = \\sin x \\cos 2 \\phi + \\cos x \\sin 2 \\phi - 2 \\sin \\phi \\cos x \\cos \\phi + 2 \\sin^2 \\phi \\sin x \\]\n\n将 $\\cos 2 \\phi$ 用 $\\cos^2 \\phi - \\sin^2 \\phi$ 替换，$\\sin 2 \\phi$ 用 $2 \\sin \\phi \\cos \\phi$ 替换，我们得到：\n\\[ f(x) = \\sin x (\\cos^2 \\phi - \\sin^2 \\phi) + \\cos x (2 \\sin \\phi \\cos \\phi) - 2 \\sin \\phi \\cos x \\cos \\phi + 2 \\sin^2 \\phi \\sin x \\]\n\n合并同类项后，我们得到：\n\\[ f(x) = \\sin x (\\cos^2 \\phi - \\sin^2 \\phi + 2 \\sin^2 \\phi) + \\cos x (2 \\sin \\phi \\cos \\phi - 2 \\sin \\phi \\cos \\phi) \\]\n\\[ f(x) = \\sin x (\\cos^2 \\phi + \\sin^2 \\phi) \\]\n\n由于 $\\cos^2 \\phi + \\sin^2 \\phi = 1$，所以：\n\\[ f(x) = \\sin x \\]\n\n因此，函数 $f(x)$ 的最大值就是 $\\sin x$ 的最大值。由于 $\\sin x$ 的最大值为 1，所以 $f(x)$ 的最大值也为 1。\n<eoe>\n【答案】1<eoa>" | 1 |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】 首先，我们观察函数 $f(x) = \\sin (x+2\\phi) - 2\\sin\\phi\\cos(x+\\phi)$，尝试将其简化。利用三角恒等式 $\\sin a - \\sin b = 2\\cos\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)\\sin\\left(\\frac{a-b}{2}\\right)$ 和 $\\sin a\\cos b = \\frac{1}{2}[\\sin(a+b) + \\sin(a-b)]$，我们可以将 $f(x)$ 表达式转换为更简单的形式。\n\n首先，我们将 $f(x)$ 中的 $\\sin (x+2\\phi)$ 和 $-2\\sin\\phi\\cos(x+\\phi)$ 用上述恒等式表示。注意到 $-2\\sin\\phi\\cos(x+\\phi)$ 可以写成 $-\\sin((x+\\phi)+\\phi) - \\sin((x+\\phi)-\\phi)$ 的形式，即 $-\\sin(x+2\\phi) - \\sin(x)$。\n\n因此，\n\\[\nf(x) = \\sin (x+2\\phi) - 2\\sin\\phi\\cos(x+\\phi) = \\sin (x+2\\phi) - \\sin(x+2\\phi) - \\sin(x) = -\\sin(x)\n\\]\n\n于是，$f(x) = -\\sin(x)$。显然，$\\sin(x)$ 的最大值为 $1$，因此 $-\\sin(x)$ 的最大值为 $-1$。\n\n但是，由于我们的目标是找到 $f(x)$ 的最大值，而我们发现 $f(x) = -\\sin(x)$，其最大值实际上是 $-\\sin(x)$ 的最小值，即 $-1$ 的相反数，为 $1$。\n\n因此，函数 $f(x)=\\sin (x+2\\phi)-2\\sin\\phi\\cos(x+\\phi)$ 的最大值为 $1$。<eoe>\n\n【答案】1<eoa>" | 1 |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们可以使用三角恒等式来简化函数 $f(x)$。根据和角公式，我们有： $$ \sin(x + 2\phi) = \sin(x)\cos(2\phi) + \cos(x)\sin(2\phi) $$ 和 $$ \cos(x + \phi) = \cos(x)\cos(\phi) - \sin(x)\sin(\phi) $$ 将这些代入原函数 $f(x)$ 中，得到： $$ f(x) = \sin(x)\cos(2\phi) + \cos(x)\sin(2\phi) - 2\sin(\phi)(\cos(x)\cos(\phi) - \sin(x)\sin(\phi)) $$ 进一步化简得： $$ f(x) = \sin(x)\cos(2\phi) + \cos(x)\sin(2\phi) - 2\sin(\phi)\cos(x)\cos(\phi) + 2\sin^2(\phi) $$ 注意到 $\sin(2\phi) = 2\sin(\phi)\cos(\phi)$，所以上式可以简化为： $$ f(x) = \sin(x)\cos(2\phi) + \cos(x)\sin(2\phi) - \cos(x)\sin(2\phi) + 2\sin^2(\phi) $$ 化简后得到： $$ f(x) = \sin(x)\cos(2\phi) + 2\sin^2(\phi) $$ 由于 $\cos(2\phi) = 1 - 2\sin^2(\phi)$，我们有： $$ f(x) = \sin(x)(1 - 2\sin^2(\phi)) + 2\sin^2(\phi) $$ 进一步化简得： $$ f(x) = \sin(x) - 2\sin^3(\phi) + 2\sin^2(\phi) $$ 现在，我们可以看到函数 $f(x)$ 的最大值发生在 $\sin(x) = 1$ 时，因此： $$ f(x)_{\text{max}} = 1 - 2\sin^3(\phi) + 2\sin^2(\phi) $$ 但是，由于 $\sin(x)$ 的取值范围是 $[-1, 1]$，所以 $f(x)$ 的最大值实际上是 $1$，因为当 $\sin(x) = 1$ 时，无论 $\phi$ 的值是多少，$f(x)$ 的最大值都是 $1$。 【答案】$1$ |
1 |
| doubao | 【解析】将$\cos(x+\varphi)=\cos x\cos\varphi-\sin x\sin\varphi$，$\sin(x+2\varphi)=\sin(x+\varphi+\varphi)=\sin(x+\varphi)\cos\varphi+\cos(x+\varphi)\sin\varphi$代入$f(x)$可得： \[ \begin{align*} f(x)&=\sin(x+\varphi)\cos\varphi+\cos(x+\varphi)\sin\varphi-2\sin\varphi\cos(x+\varphi)\\ &=\sin(x+\varphi)\cos\varphi-\cos(x+\varphi)\sin\varphi\\ &=\sin(x+\varphi-\varphi)\\ &=\sin x \end{align*} \] 因为正弦函数的值域为$[-1,1]$，所以$f(x)=\sin x$的最大值为$1$。 <eoe> 【答案】$1$<eoa> |
1 |
| minimax | 【解析】 首先，我们可以利用三角恒等变换来简化函数 $f(x)=\sin (x+2 \phi)-2 \sin \phi \cos (x+\phi)$。 注意到 $\sin(x+2\phi)$ 可以写成 $\sin(x+\phi+\phi)$，根据和角公式，我们有： $$\sin(x+2\phi) = \sin(x+\phi)\cos\phi + \cos(x+\phi)\sin\phi$$ 另外，$\cos(x+\phi)$ 是一个常见的三角函数，不需要进一步变换。 现在，我们可以将原函数 $f(x)$ 重写为： $$f(x) = (\sin(x+\phi)\cos\phi + \cos(x+\phi)\sin\phi) - 2 \sin \phi \cos (x+\phi)$$ 接下来，我们可以将 $\cos(x+\phi)$ 的项合并： $$f(x) = \sin(x+\phi)\cos\phi + (\cos(x+\phi)\sin\phi - 2 \sin \phi \cos (x+\phi))$$ 注意到 $\cos(x+\phi)\sin\phi - 2 \sin \phi \cos (x+\phi)$ 可以写成 $\sin\phi(\cos(x+\phi) - 2\cos (x+\phi))$，即： $$f(x) = \sin(x+\phi)\cos\phi - \sin\phi \cos (x+\phi)$$ 现在，我们可以使用和差化积公式来进一步简化这个表达式。和差化积公式是： $$\sin A \cos B - \cos A \sin B = \sin(A - B)$$ 应用这个公式，我们得到： $$f(x) = \sin((x+\phi) - \phi) = \sin x$$ 因此，函数 $f(x)$ 实际上与 $\sin x$ 相同，其最大值为 1。 所以，函数 $f(x)=\sin (x+2 \phi)-2 \sin \phi \cos (x+\phi)$ 的最大值为 1。<eoe> 【答案】1<eoa> |
1 |
| kimi | 【解析】首先，我们需要使用三角恒等式来简化函数 $f(x)=\sin (x+2 \phi)-2 \sin \phi \cos (x+\phi)$。我们可以使用和差化积公式来简化这个表达式。 我们知道： $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ 将 $A = x + 2\phi$ 和 $B = x + \phi$ 代入上述公式，我们得到： $\sin (x+2\phi) - \sin (x+\phi) = 2\cos\left(\frac{(x+2\phi)+(x+\phi)}{2}\right)\sin\left(\frac{(x+2\phi)-(x+\phi)}{2}\right)$ 简化得到： $\sin (x+2\phi) - \sin (x+\phi) = 2\cos(2\phi)\sin(\phi)$ 现在，我们可以将原函数重写为： $f(x) = 2\cos(2\phi)\sin(\phi) - 2\sin\phi\cos(x+\phi)$ 接下来，我们注意到 $2\sin\phi\cos(x+\phi)$ 可以进一步使用二倍角公式 $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)$ 来简化： $2\sin\phi\cos(x+\phi) = \sin(2\phi)\cos(x) + \cos(2\phi)\sin(x)$ 将这个结果代入原函数，我们得到： $f(x) = 2\cos(2\phi)\sin(\phi) - \sin(2\phi)\cos(x) - \cos(2\phi)\sin(x)$ 现在，我们可以将函数 $f(x)$ 表示为： $f(x) = A\sin(x) + B\cos(x)$ 其中 $A = -\cos(2\phi)$ 和 $B = 2\cos(2\phi)\sin(\phi) - \sin(2\phi)$。 我们知道，对于函数 $f(x) = A\sin(x) + B\cos(x)$，其最大值可以通过 $A^2 + B^2$ 来计算，因为最大值是 $\sqrt{A^2 + B^2}$。 因此，我们需要计算 $A^2 + B^2$ 的值： $A^2 + B^2 = (-\cos(2\phi))^2 + (2\cos(2\phi)\sin(\phi) - \sin(2\phi))^2$ 简化得到： $A^2 + B^2 = \cos^2(2\phi) + (2\cos(2\phi)\sin(\phi) - \sin(2\phi))^2$ 由于 $\cos^2(2\phi) = 1 - \sin^2(2\phi)$，我们可以进一步简化： $A^2 + B^2 = 1 - \sin^2(2\phi) + (2\cos(2\phi)\sin(\phi) - \sin(2\phi))^2$ 现在，我们需要找到 $A^2 + B^2$ 的最大值。由于 $\sin^2(2\phi)$ 和 $\cos^2(2\phi)$ 的最大值都是1，我们可以得出结论，$A^2 + B^2$ 的最大值是4。 因此，函数 $f(x)$ 的最大值是 $\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{4} = 2$。 <eoe> 【答案】2<eoa> |
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| wenxinyiyan | 【解析】 首先，我们将函数$f(x)$进行化简，利用三角函数的和差化积公式，得到： $f(x) = \sin(x + 2\varphi) - 2\sin\varphi\cos(x + \varphi)$ $= \sin\lbrack(x + \varphi) + \varphi\rbrack - 2\sin\varphi\cos(x + \varphi)$ $= \sin(x + \varphi)\cos\varphi + \cos(x + \varphi)\sin\varphi - 2\sin\varphi\cos(x + \varphi)$ $= \sin(x + \varphi)\cos\varphi - \cos(x + \varphi)\sin\varphi$ $= \sin\lbrack(x + \varphi) - \varphi\rbrack$ $= \sin x$ 由此，我们可以看出，函数$f(x)$的最大值为1。 <eoe> 【答案】 1 <eoa> |
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| zhipu | 【解析】 首先，我们对函数 \( f(x) = \sin(x + 2\phi) - 2 \sin \phi \cos(x + \phi) \) 进行化简。利用三角函数的和差公式和倍角公式，我们可以将这个表达式进行转换。 我们知道： \[ \sin(x + 2\phi) = \sin(x + \phi + \phi) = \sin(x + \phi)\cos(\phi) + \cos(x + \phi)\sin(\phi) \] 同时，我们也知道： \[ 2 \sin \phi \cos(x + \phi) = \sin(2\phi + x + \phi - \phi) = \sin(2\phi + x) \] 将这些公式代入原函数： \[ f(x) = \sin(x + 2\phi) - 2 \sin \phi \cos(x + \phi) \] \[ = (\sin(x + \phi)\cos(\phi) + \cos(x + \phi)\sin(\phi)) - 2 \sin \phi \cos(x + \phi) \] \[ = \sin(x + \phi)\cos(\phi) + \cos(x + \phi)\sin(\phi) - 2 \sin \phi \cos(x + \phi) \] \[ = \sin(x + \phi)\cos(\phi) + \cos(x + \phi)\sin(\phi) - \cos(x + \phi)\sin(\phi) - \cos(x + \phi)\sin(\phi) \] \[ = \sin(x + \phi)\cos(\phi) - \cos(x + \phi)\sin(\phi) \] \[ = \sin((x + \phi) - \phi) \] \[ = \sin(x) \] 通过化简，我们发现函数 \( f(x) \) 实际上等于 \( \sin(x) \)。 接下来，我们需要确定 \( \sin(x) \) 的最大值。根据三角函数的性质，\(\sin(x)\) 的取值范围是 \([-1, 1]\)，所以它的最大值为 1。 <eoe> 【答案】1<eoa> |
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| gpto1 | 【解析】 要找到函数 \( f(x) = \sin(x + 2\phi) - 2\sin\phi\cos(x + \phi) \) 的最大值，我们可以尝试将其化简。 首先，利用三角恒等式将 \( \sin(x + 2\phi) \) 展开： \[ \sin(x + 2\phi) = \sin[(x + \phi) + \phi] = \sin(x + \phi)\cos\phi + \cos(x + \phi)\sin\phi \] 将这一结果代入原函数： \[ \begin{align*} f(x) &= \sin(x + 2\phi) - 2\sin\phi\cos(x + \phi) \\ &= [\sin(x + \phi)\cos\phi + \cos(x + \phi)\sin\phi] - 2\sin\phi\cos(x + \phi) \end{align*} \] 整理函数表达式，合并同类项： \[ \begin{align*} f(x) &= \sin(x + \phi)\cos\phi + \cos(x + \phi)\sin\phi - 2\sin\phi\cos(x + \phi) \\ &= \sin(x + \phi)\cos\phi - \sin\phi\cos(x + \phi) \end{align*} \] 注意到上述表达式符合正弦差公式的形式： \[ \sin A \cos B - \cos A \sin B = \sin(A - B) \] 因此，我们可以将函数进一步化简： \[ \begin{align*} f(x) &= \sin(x + \phi)\cos\phi - \sin\phi\cos(x + \phi) \\ &= \sin[(x + \phi) - \phi] \\ &= \sin x \end{align*} \] 因此，原函数实际上等于 \( \sin x \)。因为 \( \sin x \) 的最大值为 1，所以函数 \( f(x) \) 的最大值为 1。 <eoe> 【答案】1<eoa> |
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| deepseekv3 | 【解析】 首先，我们需要简化给定的函数 $f(x) = \sin(x + 2\phi) - 2\sin\phi \cos(x + \phi)$，以便更容易找到它的最大值。 1. **利用三角恒等式简化**： 我们知道 $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$，所以： \[ \sin(x + 2\phi) = \sin x \cos 2\phi + \cos x \sin 2\phi \] 同样，$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$，所以： \[ \cos(x + \phi) = \cos x \cos \phi - \sin x \sin \phi \] 将这两个展开式代入原函数： \[ f(x) = [\sin x \cos 2\phi + \cos x \sin 2\phi] - 2\sin\phi [\cos x \cos \phi - \sin x \sin \phi] \] 2. **展开并合并同类项**： \[ f(x) = \sin x \cos 2\phi + \cos x \sin 2\phi - 2\sin\phi \cos x \cos \phi + 2\sin^2 \phi \sin x \] 将 $\cos 2\phi$ 和 $\sin 2\phi$ 用倍角公式表示： \[ \cos 2\phi = 1 - 2\sin^2 \phi, \quad \sin 2\phi = 2\sin \phi \cos \phi \] 代入上式： \[ f(x) = \sin x (1 - 2\sin^2 \phi) + \cos x (2\sin \phi \cos \phi) - 2\sin \phi \cos x \cos \phi + 2\sin^2 \phi \sin x \] 合并同类项： \[ f(x) = \sin x (1 - 2\sin^2 \phi + 2\sin^2 \phi) + \cos x (2\sin \phi \cos \phi - 2\sin \phi \cos \phi) = \sin x \] 3. **确定最大值**： 简化后的函数为 $f(x) = \sin x$，$\sin x$ 的最大值为 1。 <eoe> 【答案】1<eoa> |
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