| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | 【解析】 我们需要找到 \((2x + \sqrt{x})^5\) 的展开式中 \(x^3\) 的系数。为此，我们使用二项式定理展开这个表达式。 根据二项式定理，\((a + b)^n\) 的展开式为： \[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] 在这个问题中，\(a = 2x\)，\(b = \sqrt{x}\)，\(n = 5\)。我们需要找到展开式中含有 \(x^3\) 的项。 展开式中的一般项为： \[ \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (\sqrt{x})^k \] 我们需要使得指数和为 3，即： \[ (5-k) + \frac{k}{2} = 3 \] 解这个方程： \[ 5 - k + \frac{k}{2} = 3 \] \[ 5 - k + \frac{k}{2} = 3 \] \[ 10 - 2k + k = 6 \] \[ 10 - k = 6 \] \[ k = 4 \] 所以我们需要找到 \(k = 4\) 时的项。代入 \(k = 4\)： \[ \binom{5}{4} (2x)^{5-4} (\sqrt{x})^4 \] \[ \binom{5}{4} (2x)^1 (x^2) \] \[ \binom{5}{4} \cdot 2x \cdot x^2 \] \[ \binom{5}{4} \cdot 2x^3 \] 计算组合数和系数： \[ \binom{5}{4} = 5 \] \[ 5 \cdot 2 = 10 \] 因此，\(x^3\) 的系数是 10。 <eoe> 【答案】10<eoa> |
10 |
| deepseekr1 | 【解析】 根据二项式定理，$(2x + \sqrt{x})^5$ 的展开式通项为 $C(5, k) \cdot (2x)^{5-k} \cdot (\sqrt{x})^k$。其中，$x$ 的指数为 $(5-k) + \frac{k}{2}$。令 $(5-k) + \frac{k}{2} = 3$，解得 $k=4$。此时，对应项的系数为 $C(5,4) \cdot 2^{1} \cdot 1^{4} = 5 \cdot 2 = 10$。<eoe> 【答案】10<eoa> |
10 |
| gpto1 | 【解析】 展开式中，$(2x+\sqrt{x})^5$ 的一般项为： $$ T_k = \binom{5}{k}(2x)^{5-k}(\sqrt{x})^k $$ 其中，$k=0,1,2,3,4,5$。 将 $(2x)^{5-k}$ 和 $(\sqrt{x})^k$ 展开： $$ (2x)^{5-k} = 2^{5-k} x^{5-k} \\ (\sqrt{x})^k = x^{\frac{k}{2}} $$ 因此，一般项为： $$ T_k = \binom{5}{k} 2^{5-k} x^{5 - k} \times x^{\frac{k}{2}} = \binom{5}{k} 2^{5-k} x^{5 - k + \frac{k}{2}} $$ 合并指数： $$ 5 - k + \dfrac{k}{2} = 5 - \dfrac{k}{2} $$ 令指数等于3，求解 $k$： $$ 5 - \dfrac{k}{2} = 3 \\ \dfrac{k}{2} = 2 \\ k = 4 $$ 当 $k = 4$ 时，计算对应的项： $$ T_4 = \binom{5}{4} 2^{5-4} x^{5 - 4 + \frac{4}{2}} = 5 \times 2^1 x^{3} = 10 x^{3} $$ 所以，$x^3$ 的系数是 $10$。 <eoe> 【答案】10<eoa> |
10 |
| GPT-4o | 【解析】 为了求出 \((2x + \sqrt{x})^5\) 展开式中 \(x^3\) 的系数，我们可以使用二项式定理。二项式定理告诉我们，对于 \((a + b)^n\) 的展开式，每一项的形式是 \(\binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)，其中 \(\binom{n}{k}\) 是二项式系数。 在这个题目中，我们有 \(a = 2x\)， \(b = \sqrt{x}\)， \(n = 5\)。我们需要找到使得 \((2x)^{n-k} (\sqrt{x})^k = x^3\) 的 \(k\) 值。 首先，我们需要满足指数的和为3： \[ (2x)^{5-k} (\sqrt{x})^k = x^3 \] \[ (2x)^{5-k} (\sqrt{x})^k = 2^{5-k} x^{5-k} x^{k/2} = 2^{5-k} x^{(5-k) + k/2} \] \[ 2^{5-k} x^{5 - k + k/2} = 2^{5-k} x^{5 - k/2} \] 为使得 \(x^{5 - k/2} = x^3\)，我们需要 \[ 5 - \frac{k}{2} = 3 \] 解这个方程: \[ 5 - \frac{k}{2} = 3 \] \[ 5 - 3 = \frac{k}{2} \] \[ 2 = \frac{k}{2} \] \[ k = 4 \] 因此，\(k = 4\)，我们现在求系数： \[ \binom{5}{4} (2x)^{5-4} (\sqrt{x})^4 \] \[ = \binom{5}{4} (2x)^1 (\sqrt{x})^4 \] \[ = \binom{5}{4} 2x x^2 \] \[ = \binom{5}{4} 2x^3 \] 二项式系数 \(\binom{5}{4} = 5\)，所以系数为： \[ 5 \times 2 = 10 \] 因此，\((2x + \sqrt{x})^5\) 展开式中 \(x^3\) 的系数是10。 <eoe> 【答案】10<eoa> |
10 |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 根据二项式定理,展开式中x^{3}的系数为\binom{5}{2}\times2^{3}\times(\sqrt{x})^{2}=40. 最终结果是40 |
10 |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是40+5*sqrt(2) <eoe> 【答案】 40+5*sqrt(2) <eoa> |
10 |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 我们需要找到 $(2x + \\sqrt{x})^5$ 的展开式中 $x^3$ 的系数。首先，我们使用二项式定理来展开 $(2x + \\sqrt{x})^5$。\n\n根据二项式定理，$(a + b)^n$ 的展开式为：\n\\[\n(a + b)^n = \\sum_{k=0}^{n} \\binom{n}{k} a^{n-k} b^k\n\\]\n\n在这个问题中，$a = 2x$，$b = \\sqrt{x}$，$n = 5$。因此，展开式为：\n\\[\n(2x + \\sqrt{x})^5 = \\sum_{k=0}^{5} \\binom{5}{k} (2x)^{5-k} (\\sqrt{x})^k\n\\]\n\n我们需要找到 $x^3$ 的项。首先，我们计算 $(2x)^{5-k}$ 和 $(\\sqrt{x})^k$ 的指数和：\n\\[\n(2x)^{5-k} = 2^{5-k} x^{5-k}\n\\]\n\\[\n(\\sqrt{x})^k = x^{k/2}\n\\]\n\n将这两个部分相乘，我们得到：\n\\[\n2^{5-k} x^{5-k} \\cdot x^{k/2} = 2^{5-k} x^{5-k + k/2}\n\\]\n\n我们需要使得 $5 - k + \\frac{k}{2} = 3$，即：\n\\[\n5 - k + \\frac{k}{2} = 3\n\\]\n\n将方程整理为：\n\\[\n5 - k + \\frac{k}{2} = 3\n\\]\n\\[\n10 - 2k + k = 6\n\\]\n\\[\n10 - k = 6\n\\]\n\\[\nk = 4\n\\]\n\n当 $k = 4$ 时，$x^3$ 的项为：\n\\[\n\\binom{5}{4} (2x)^{5-4} (\\sqrt{x})^4 = \\binom{5}{4} (2x)^1 (\\sqrt{x})^4\n\\]\n\n计算系数：\n\\[\n\\binom{5}{4} = 5\n\\]\n\\[\n(2x)^1 = 2x\n\\]\n\\[\n(\\sqrt{x})^4 = x^2\n\\]\n\n因此，$x^3$ 的项为：\n\\[\n5 \\cdot 2x \\cdot x^2 = 5 \\cdot 2 \\cdot x^3 = 10x^3\n\\]\n\n所以，$x^3$ 的系数是 10。<eoe>\n【答案】10<eoa>" | 10 |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】\n为了找到 $(2x + \\sqrt{x})^5$ 展开式中 $x^3$ 的系数，我们可以使用二项式定理。二项式定理表明，$(a + b)^n$ 的展开式中，任意项可以表示为 $\\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$，其中 $\\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取 $k$ 个元素的组合数。\n\n在这个情况下，$a = 2x$，$b = \\sqrt{x}$，且 $n = 5$。我们想要找到 $x^3$ 的系数，这意味着我们需要找到 $k$ 的值，使得 $a^{n-k}b^k$ 的形式中 $x$ 的总指数为 3。\n\n因此，我们有 $2x$ 的指数加上 $\\sqrt{x}$ 的指数等于 3。设 $2x$ 的指数为 $n-k$，$\\sqrt{x}$ 的指数为 $k$，则有：\n\\[2(n-k) + \\frac{k}{2} = 3\\]\n\n由于 $n = 5$，代入得：\n\\[2(5-k) + \\frac{k}{2} = 3\\]\n\\[10 - 2k + \\frac{k}{2} = 3\\]\n\\[10 - \\frac{3k}{2} = 3\\]\n\\[\\frac{3k}{2} = 7\\]\n\\[k = \\frac{14}{3}\\]\n\n但是，$k$ 必须是整数，因此上述计算并不直接给出解。然而，我们可以通过尝试不同的 $k$ 值来找到 $x^3$ 的系数。我们注意到 $k$ 必须满足 $2(n-k) + \\frac{k}{2} = 3$，且 $k$ 必须是 $0$ 到 $5$ 之间的整数。\n\n通过尝试，我们可以发现当 $k=2$ 时满足条件：\n\\[2(5-2) + \\frac{2}{2} = 2 \\cdot 3 + 1 = 7\\]\n\n但是，这里的计算实际上表明我们需要的是 $2(n-k) + \\frac{k}{2} = 3$ 中的 $x$ 总指数等于 3 的情况。因此，正确的 $k$ 值应当使得 $2(5-k) + \\frac{k}{2} = 3$。正确的 $k$ 值为 $k=2$（因为 $2(5-2) + 1 = 3$），这样我们就可以计算 $x^3$ 的系数了。\n\n因此，$x^3$ 的系数为：\n\\[\\binom{5}{2}(2x)^3(\\sqrt{x})^2 = 10 \\cdot 8x^3 \\cdot x = 80x^4\\]\n\n但是，我们只关心 $x^3$ 的系数，因此实际的系数为 $80$。\n\n<eoe>\n\n【答案】80<eoa>" | 10 |
| baichuan4 | 【解析】要找到 $(2x + \sqrt{x})^5$ 展开式中 $x^3$ 的系数，我们可以使用二项式定理。二项式定理告诉我们，$(a+b)^n$ 的展开式中的第 $r+1$ 项是 $C_n^r a^{n-r} b^r$，其中 $C_n^r$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取出 $r$ 个元素的组合数。 在这个问题中，$a = 2x$，$b = \sqrt{x}$，$n = 5$。我们需要找到 $r$ 的值，使得 $a^{n-r} b^r$ 包含 $x^3$。因为 $a = 2x$ 和 $b = \sqrt{x}$，我们可以写出： $a^{5-r} b^r = (2x)^{5-r} (\sqrt{x})^r = 2^{5-r} x^{5-r} x^{r/2}$ 我们需要 $5 - r + r/2 = 3$，解这个方程得到 $r = 4$。 所以，我们关注的项是当 $r = 4$ 时的项，即 $C_5^4 (2x)^{5-4} (\sqrt{x})^4 = C_5^4 \cdot 2x \cdot x^2 = C_5^4 \cdot 2x^3$。 组合数 $C_5^4$ 是从5个元素中选择4个元素的方法数，即 $5! / (4!(5-4)!) = 5$。 因此，$x^3$ 的系数是 $5 \cdot 2 = 10$。 【答案】10 |
10 |
| doubao | 【解析】将二项式$(2x+\sqrt{x})^{5}$展开，根据二项式定理$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$，可得：\[ \begin{align*} (2x+\sqrt{x})^{5}&=\sum_{k=0}^{5}C_{5}^{k}(2x)^{5-k}(\sqrt{x})^{k}\\ &=\sum_{k=0}^{5}C_{5}^{k}2^{5-k}x^{5-k}x^{\frac{k}{2}}\\ &=\sum_{k=0}^{5}C_{5}^{k}2^{5-k}x^{5-k+\frac{k}{2}}\\ &=\sum_{k=0}^{5}C_{5}^{k}2^{5-k}x^{5-\frac{k}{2}} \end{align*} \]要求$x^{3}$的系数，令$5-\frac{k}{2}=3$，即$10-k=6$，$k=4$，所以$x^{3}$的系数为$C_{5}^{4}\times2^{5-4}=C_{5}^{4}\times2=5\times2=10$。<eoe> 【答案】10<eoa> |
10 |
| minimax | 【解析】 要找到$(2x+\sqrt{x})^5$展开式中$x^3$的系数，我们可以使用二项式定理。二项式定理表明，$(a+b)^n$的展开式中的通项是$T_{r+1} = \binom{n}{r}a^{n-r}b^r$，其中$\binom{n}{r}$是组合数，表示从$n$个不同元素中取$r$个元素的组合数。 在这个问题中，$a=2x$，$b=\sqrt{x}$，$n=5$。我们需要找到$r$的值，使得$a$和$b$的指数之和等于3，即$(5-r)+\frac{r}{2}=3$。解这个方程得到$r=2$。 现在我们知道$r=2$时，$x^3$的项会出现。我们可以计算这个项的系数： $$T_{3} = \binom{5}{2}(2x)^{5-2}(\sqrt{x})^2 = \binom{5}{2}2^3x^3 = 10 \cdot 8x^3 = 80x^3$$ 因此，$x^3$的系数是80。<eoe> 【答案】80<eoa> |
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| kimi | 【解析】 要找到 $(2x + \sqrt{x})^5$ 展开式中 $x^3$ 的系数，我们可以使用二项式定理。二项式定理告诉我们，对于任意实数 $a$ 和 $b$，以及任意非负整数 $n$，有： \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] 在这个问题中，$a = 2x$，$b = \sqrt{x}$，$n = 5$。 我们需要找到 $x^3$ 的系数，所以我们需要找到 $k$ 的值，使得 $a^{5-k} b^k = x^3$。这可以转化为以下方程： \[ (2x)^{5-k} (\sqrt{x})^k = x^3 \] 简化后得到： \[ 2^{5-k} x^{5-k} x^{k/2} = x^3 \] 由于 $x^{5-k} x^{k/2} = x^{5 - k + k/2}$，我们需要： \[ 5 - k + \frac{k}{2} = 3 \] 解这个方程得到 $k$ 的值： \[ 10 - 2k + k = 6 \] \[ k = 4 \] 现在我们知道 $k = 4$，我们可以计算 $x^3$ 的系数： \[ \binom{5}{4} (2x)^{5-4} (\sqrt{x})^4 = \binom{5}{4} 2x x^2 \] 计算二项式系数： \[ \binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = 5 \] 所以： \[ 5 \cdot 2x \cdot x^2 = 10x^3 \] 因此，$x^3$ 的系数是 10。 <eoe> 【答案】10<eoa> |
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| wenxinyiyan | 【解析】根据二项式定理，$(a+b)^{n}$的展开式的通项为$T_{r + 1} = C_{n}^{r}a^{n - r}b^{r}$，其中$r$是从0到$n$的整数。在本题中，$a = 2x, b = \sqrt{x}, n = 5$。将这些值代入通项公式，得到$T_{r + 1} = C_{5}^{r}(2x)^{5 - r}(\sqrt{x})^{r} = C_{5}^{r} \cdot 2^{5 - r} \cdot x^{5 - \frac{r}{2}}$。为了找到$x^{3}$的系数，需要令$5 - \frac{r}{2} = 3$，解得$r = 4$。然后将$r = 4$代入通项公式，得到$x^{3}$的系数为$C_{5}^{4} \cdot 2^{5 - 4} = 5 \cdot 2 = 10$。 【答案】10 |
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| zhipu | 【解析】 首先，我们需要使用二项式定理来展开表达式 \((2x + \sqrt{x})^5\)。二项式定理的公式是： \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] 在这个题目中，\(a = 2x\)，\(b = \sqrt{x}\)，\(n = 5\)。所以我们可以写出展开式： \[ (2x + \sqrt{x})^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (\sqrt{x})^k \] 我们需要找到展开式中 \(x^3\) 的系数。首先，我们来计算每一项的指数形式： \[ \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (\sqrt{x})^k = \binom{5}{k} 2^{5-k} x^{5-k} x^{k/2} \] 将 \(x\) 的指数合并： \[ x^{5-k + k/2} \] 我们需要这个指数等于3，即： \[ 5 - k + \frac{k}{2} = 3 \] 解这个方程： \[ 5 - k + \frac{k}{2} = 3 \] 两边乘以2消去分数： \[ 10 - 2k + k = 6 \] 简化方程： \[ 10 - k = 6 \] 所以： \[ k = 4 \] 现在我们知道 \(k = 4\) 时，对应的项会有 \(x^3\)。接下来我们计算这一项的系数： \[ \binom{5}{4} (2x)^{5-4} (\sqrt{x})^4 = \binom{5}{4} (2x)^1 (x^2) = \binom{5}{4} \cdot 2 \cdot x^{1+2} = \binom{5}{4} \cdot 2 \cdot x^3 \] 其中 \(\binom{5}{4} = 5\)，所以系数是： \[ 5 \cdot 2 = 10 \] <eoe> 【答案】10<eoa> |
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| gpto1 | 【解析】 展开式中，$(2x+\sqrt{x})^5$ 的一般项为： $$ T_k = \binom{5}{k}(2x)^{5-k}(\sqrt{x})^k $$ 其中，$k=0,1,2,3,4,5$。 将 $(2x)^{5-k}$ 和 $(\sqrt{x})^k$ 展开： $$ (2x)^{5-k} = 2^{5-k} x^{5-k} \\ (\sqrt{x})^k = x^{\frac{k}{2}} $$ 因此，一般项为： $$ T_k = \binom{5}{k} 2^{5-k} x^{5 - k} \times x^{\frac{k}{2}} = \binom{5}{k} 2^{5-k} x^{5 - k + \frac{k}{2}} $$ 合并指数： $$ 5 - k + \dfrac{k}{2} = 5 - \dfrac{k}{2} $$ 令指数等于3，求解 $k$： $$ 5 - \dfrac{k}{2} = 3 \\ \dfrac{k}{2} = 2 \\ k = 4 $$ 当 $k = 4$ 时，计算对应的项： $$ T_4 = \binom{5}{4} 2^{5-4} x^{5 - 4 + \frac{4}{2}} = 5 \times 2^1 x^{3} = 10 x^{3} $$ 所以，$x^3$ 的系数是 $10$。 <eoe> 【答案】10<eoa> |
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| deepseekv3 | 【解析】我们需要在$(2x + \sqrt{x})^5$的展开式中找到$x^3$的系数。为了找到这个系数，我们可以使用二项式定理来展开这个表达式。 二项式定理告诉我们： $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$ 在本题中，$a = 2x$，$b = \sqrt{x}$，$n = 5$。因此，展开式可以写成： $$(2x + \sqrt{x})^5 = \sum_{k=0}^5 \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (\sqrt{x})^k$$ 我们需要找到展开式中$x^3$的系数。为此，我们需要确定$k$的值，使得$(2x)^{5-k} (\sqrt{x})^k$中的$x$的指数等于3。 首先，我们计算$x$的指数： $$(2x)^{5-k} = 2^{5-k} x^{5-k}$$ $$(\sqrt{x})^k = x^{k/2}$$ 因此，$(2x)^{5-k} (\sqrt{x})^k = 2^{5-k} x^{5-k + k/2} = 2^{5-k} x^{5 - \frac{k}{2}}$ 我们需要$5 - \frac{k}{2} = 3$，解这个方程： $$5 - \frac{k}{2} = 3$$ $$\frac{k}{2} = 2$$ $$k = 4$$ 因此，当$k=4$时，展开式中的项为： $$\binom{5}{4} (2x)^{5-4} (\sqrt{x})^4 = \binom{5}{4} (2x)^1 x^2 = 5 \times 2x \times x^2 = 10x^3$$ 所以，$x^3$的系数是10。 <eoe> 【答案】10<eoa> |
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