| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | 【解析】 首先，我们知道抛物线 \( C: y^2 = 8x \) 的焦点 \( F \) 的坐标是 \( (2, 0) \)。 设 \( M \) 点的坐标为 \( (x_1, y_1) \)，因为 \( M \) 在抛物线上，所以满足 \( y_1^2 = 8x_1 \)。 根据题意，\( F \) 点的坐标是 \( (2, 0) \)，且 \( M \) 点在 \( F \) 的延长线上，延长线交 \( y \) 轴于点 \( N \)。设 \( N \) 点的坐标为 \( (0, y_N) \)。 因为 \( M \) 是 \( F \) 和 \( N \) 的中点，所以有： \[ x_1 = \frac{2 + 0}{2} = 1 \] \[ y_1 = \frac{0 + y_N}{2} \] 由此可得 \( x_1 = 1 \)，代入抛物线方程 \( y_1^2 = 8x_1 \)，得到： \[ y_1^2 = 8 \times 1 = 8 \] \[ y_1 = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \] 假设 \( y_1 = 2\sqrt{2} \)，则： \[ 2\sqrt{2} = \frac{y_N}{2} \] \[ y_N = 4\sqrt{2} \] 假设 \( y_1 = -2\sqrt{2} \)，则： \[ -2\sqrt{2} = \frac{y_N}{2} \] \[ y_N = -4\sqrt{2} \] 无论 \( y_N \) 是 \( 4\sqrt{2} \) 还是 \( -4\sqrt{2} \)，我们都可以计算 \( |F N| \)： \[ |F N| = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - y_N)^2} = \sqrt{4 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 32} = \sqrt{36} = 6 \] 因此，\( |F N| = 6 \)。 <eoe> 【答案】6<eoa> |
6 |
| deepseekr1 | 【解析】 已知抛物线 \( C: y^2 = 8x \)，其焦点 \( F \) 坐标为 \( (2, 0) \)。设点 \( M \) 的坐标为 \( (2t^2, 4t) \)，直线 \( FM \) 的斜率为 \( \frac{4t}{2t^2 - 2} = \frac{2t}{t^2 - 1} \)，其方程为 \( y = \frac{2t}{t^2 - 1}(x - 2) \)。当 \( x = 0 \) 时，直线与 y 轴交点 \( N \) 的坐标为 \( \left(0, \frac{-4t}{t^2 - 1}\right) \)。 由于 \( M \) 是 \( FN \) 的中点，根据中点公式，\( M \) 的坐标应满足： \[ 2t^2 = \frac{2 + 0}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad t^2 = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \] 同时验证 \( 4t = \frac{0 + \frac{-4t}{t^2 - 1}}{2} \)，代入 \( t = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \) 成立。 此时点 \( N \) 的坐标为 \( (0, \pm 4\sqrt{2}) \)。计算 \( |FN| \)： \[ |FN| = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 \mp 4\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 32} = \sqrt{36} = 6. \] <eoe> 【答案】6<eoa> |
6 |
| gpto1 | 【解析】 首先，抛物线 $C: y^{2} = 8x$ 的焦点 $F$ 的坐标为 $(2, 0)$，因为对于抛物线 $y^{2} = 4px$，焦点坐标为 $(p, 0)$，这里 $4p=8$，所以 $p=2$。 设点 $M$ 的坐标为 $(x_m, y_m)$，由于 $M$ 在抛物线上，满足 $y_m^{2} = 8x_m$。 点 $N$ 在 $y$ 轴上，设其坐标为 $(0, y_n)$。 由于 $M$ 是线段 $F N$ 的中点，即满足： \[ \begin{cases} x_m = \dfrac{x_F + x_N}{2} = \dfrac{2 + 0}{2} = 1 \\ y_m = \dfrac{y_F + y_N}{2} = \dfrac{0 + y_n}{2} \end{cases} \] 因此，$x_m = 1$，$y_m = \dfrac{y_n}{2}$。 把 $x_m = 1$ 代入抛物线方程，得： \[ y_m^{2} = 8 \times 1 = 8 \implies y_m = \pm 2\sqrt{2} \] 因此，$y_n = 2 y_m = \pm 4\sqrt{2}$。 计算线段 $F N$ 的长度： \[ |F N| = \sqrt{(x_F - x_N)^2 + (y_F - y_N)^2} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - y_n)^2} = \sqrt{4 + (y_n)^2} \] 因为 $(y_n)^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$，所以： \[ |F N| = \sqrt{4 + 32} = \sqrt{36} = 6 \] **答：$|F N| = 6$。** <eoe> 【答案】6 <eoa> |
6 |
| GPT-4o | 【解析】 首先，我们知道抛物线 \( C: y^2 = 8x \) 的焦点 \( F \) 是 \((2, 0)\)。假设抛物线上的点 \( M \) 的坐标为 \((x_1, y_1)\)，那么满足 \( y_1^2 = 8x_1 \)。 接下来，我们要找到 \( F \) 和 \( M \) 的延长线与 \( y \) 轴的交点 \( N \)。在 \( y \) 轴上的点 \( N \) 的坐标可以表示为 \((0, y_N)\)。 因为 \( M \) 是 \( F \) 和 \( N \) 的中点，所以我们有： \[ M = \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{0 + y_N}{2} \right) = \left( 1, \frac{y_N}{2} \right) \] 因此，\( M \) 的坐标 \( (x_1, y_1) \) 变为 \( (1, \frac{y_N}{2}) \)。 由抛物线方程得： \[ \left( \frac{y_N}{2} \right)^2 = 8 \cdot 1 \implies \frac{y_N^2}{4} = 8 \implies y_N^2 = 32 \implies y_N = \pm 4\sqrt{2} \] 因此，点 \( N \) 的坐标为 \( (0, 4\sqrt{2}) \) 或 \( (0, -4\sqrt{2}) \)。 现在计算 \( |FN| \)，即 \( F \) 和 \( N \) 之间的距离： \[ |FN| = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 4\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 32} = \sqrt{36} = 6 \] 因此，\( |FN| \) 的值为 6。 【答案】6<eoa> |
6 |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 由题意可得F(2,0),设M(x_{0},y_{0}),N(0,y_{1}),由题意可得y_{0}^{2}=8x_{0},x_{0}=\frac{y_{0}^{2}}{8},又M为FN的中点,可得\frac{y_{0}+y_{1}}{2}=0,即y_{1}=-y_{0},\frac{x_{0}+0}{2}=2,即x_{0}=4,代入y_{0}^{2}=8x_{0}可得y_{0}=\pm4,即y_{1}=\mp4,所以|FN|=\sqrt{(2-0)^{2}+(0\pm4)^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.. 最终结果是2*sqrt(5) |
6 |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是8/3<eoe> 【答案】8/3<eoa> |
6 |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 \n首先，我们需要确定抛物线 $C: y^2 = 8x$ 的焦点 $F$ 的位置。对于标准形式的抛物线 $y^2 = 4ax$，焦点位于 $(a, 0)$。在这个问题中，$4a = 8$，所以 $a = 2$。因此，焦点 $F$ 的坐标是 $(2, 0)$。\n\n接下来，设 $M$ 是抛物线上的一点，其坐标为 $(x_1, y_1)$。由于 $M$ 在抛物线上，满足 $y_1^2 = 8x_1$。\n\n根据题意，$FM$ 的延长线交 $y$ 轴于点 $N$。设 $N$ 的坐标为 $(0, y_N)$。因为 $M$ 是 $FN$ 的中点，所以 $M$ 的坐标 $(x_1, y_1)$ 是 $F(2, 0)$ 和 $N(0, y_N)$ 的中点。我们可以写出中点公式：\n\\[\n\\left( \\frac{2 + 0}{2}, \\frac{0 + y_N}{2} \\right) = (x_1, y_1)\n\\]\n这给我们两个方程：\n\\[\nx_1 = 1 \\quad \\text{和} \\quad y_1 = \\frac{y_N}{2}\n\\]\n\n由于 $y_1^2 = 8x_1$，代入 $x_1 = 1$ 得到：\n\\[\ny_1^2 = 8 \\times 1 = 8\n\\]\n所以 $y_1 = \\pm \\sqrt{8} = \\pm 2\\sqrt{2}$。\n\n因此，$y_N = 2y_1 = \\pm 4\\sqrt{2}$。\n\n现在我们需要计算 $|FN|$。$F$ 的坐标是 $(2, 0)$，$N$ 的坐标是 $(0, \\pm 4\\sqrt{2})$。我们使用距离公式计算 $|FN|$：\n\\[\n|FN| = \\sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - (\\pm 4\\sqrt{2}))^2} = \\sqrt{2^2 + (4\\sqrt{2})^2} = \\sqrt{4 + 32} = \\sqrt{36} = 6\n\\]\n<eoe>\n【答案】6<eoa>" | 6 |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】\n首先，由抛物线方程 \\(y^{2}=8 x\\)，可以得出焦点 \\(F\\) 的坐标。对于抛物线 \\(y^{2}=4ax\\)，焦点 \\(F\\) 的坐标为 \\((a,0)\\)。因此，对于 \\(y^{2}=8x\\)，有 \\(4a=8\\)，从而 \\(a=2\\)，焦点 \\(F\\) 的坐标为 \\((2,0)\\)。\n\n接下来，因为 \\(M\\) 是 \\(FN\\) 的中点，设 \\(N\\) 的坐标为 \\((0,n)\\)，则 \\(M\\) 的坐标为 \\((\\frac{2+0}{2},\\frac{0+n}{2}) = (1,\\frac{n}{2})\\)。\n\n因为 \\(M\\) 在抛物线 \\(C: y^{2}=8x\\) 上，代入 \\(M\\) 的坐标 \\((1,\\frac{n}{2})\\)，得到 \\((\\frac{n}{2})^{2}=8 \\cdot 1\\)，从而 \\(n^{2}=32\\)，得到 \\(n=\\pm4\\sqrt{2}\\)。\n\n所以，点 \\(N\\) 的坐标为 \\((0,4\\sqrt{2})\\) 或 \\((0,-4\\sqrt{2})\\)。但是，由于 \\(N\\) 在 \\(y\\) 轴上，且 \\(M\\) 为 \\(FN\\) 的中点，我们只关心 \\(N\\) 的 \\(y\\) 坐标与 \\(F\\) 的 \\(y\\) 坐标之间的距离，即 \\(|FN|\\) 的值。\n\n计算 \\(|FN|\\) 的值，考虑到 \\(F\\) 的坐标为 \\((2,0)\\)，因此 \\(|FN|=\\sqrt{(2-0)^{2}+(0-4\\sqrt{2})^{2}} = \\sqrt{4+32} = \\sqrt{36} = 6\\)。\n\n因此，\\(|FN|=6\\)。\n\n<eoe>\n\n【答案】6<eoa>" | 6 |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们知道抛物线 $C: y^{2}=8x$ 的焦点是 $(2, 0)$，因为标准形式的抛物线 $y^2=4ax$ 的焦点是 $(a,0)$，其中 $a=2$。设点 $M$ 的坐标为 $(x_m, y_m)$，由于 $M$ 在抛物线上，所以 $y_m^2 = 8x_m$。 由于 $M$ 是 $FN$ 的中点，我们可以用中点公式来表示 $M$ 的坐标。设 $N$ 的坐标为 $(0, y_n)$，因为 $N$ 在 $y$ 轴上。根据中点公式，$M$ 的坐标可以表示为： $$ x_m = \frac{2 + 0}{2} = 1 \\ y_m = \frac{0 + y_n}{2} $$ 将 $x_m = 1$ 代入 $y_m^2 = 8x_m$ 得到 $y_m^2 = 8$，所以 $y_m = \pm 2\sqrt{2}$。由于 $M$ 是 $FN$ 的中点，我们可以得出 $y_n = 2y_m = \pm 4\sqrt{2}$。 现在我们可以计算 $|FN|$ 的长度。由于 $F$ 的坐标是 $(2, 0)$，$N$ 的坐标是 $(0, \pm 4\sqrt{2})$，我们可以使用距离公式： $$ |FN| = \sqrt{(0-2)^2 + (\pm 4\sqrt{2} - 0)^2} = \sqrt{4 + 32} = \sqrt{36} = 6 $$ 因此，$|FN|$ 的长度是 6。 |
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| doubao | 【解析】在抛物线$y^{2}=8x$中，$2p=8$，则$p=4$，$\frac{p}{2}=2$，所以焦点$F(2,0)$。设$N$点坐标为$(0,y_0)$，因为$M$是$FN$的中点，$F$点坐标为$(2,0)$，所以$M$点横坐标为$\frac{0+2}{2}=1$。把$x=1$代入$y^{2}=8x$得$y^{2}=8$，$y=\pm2\sqrt{2}$，所以$M$点坐标为$(1,\pm2\sqrt{2})$。那么$FN$的长度为$\sqrt{(2-0)^2+(0-y_0)^2}=\sqrt{4+y_0^2}$，又因为$M$是$FN$的中点，所以$\frac{y_0+0}{2}=\pm2\sqrt{2}$，即$y_0=\pm4\sqrt{2}$，所以$|FN|=\sqrt{4+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{4+32}=\sqrt{36}=6$。<eoe> 【答案】6<eoa> |
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| minimax | 【解析】 首先，我们知道抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点 $F$ 的坐标是 $(a,0)$，其中 $a$ 是抛物线方程中 $x$ 的系数的一半，即 $a=\frac{8}{4}=2$。所以焦点 $F$ 的坐标是 $(2,0)$。 点 $M$ 在抛物线上，所以它的坐标可以表示为 $(x_M, y_M)$，其中 $y_M^2=8x_M$。 点 $N$ 是 $FM$ 的延长线与 $y$ 轴的交点，所以 $N$ 的坐标形式为 $(0, y_N)$。 由于 $M$ 是 $FN$ 的中点，根据中点公式，我们有： $$x_M = \frac{x_F + x_N}{2} = \frac{2 + 0}{2} = 1$$ $$y_M = \frac{y_F + y_N}{2}$$ 由于 $M$ 在抛物线上，我们有 $y_M^2 = 8x_M$，代入 $x_M = 1$ 得到 $y_M^2 = 8$，所以 $y_M = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$。 现在我们需要确定 $y_N$ 的值。由于 $M$ 是 $FN$ 的中点，我们可以利用 $y$ 坐标的关系： $$y_M = \frac{y_F + y_N}{2}$$ 代入 $y_F = 0$（因为 $F$ 在 $x$ 轴上），得到： $$y_M = \frac{y_N}{2}$$ $$y_N = 2y_M$$ 由于 $y_M = \pm2\sqrt{2}$，所以 $y_N = \pm4\sqrt{2}$。 现在我们可以计算 $|FN|$ 的长度，即点 $F$ 到点 $N$ 的距离。由于 $F$ 和 $N$ 都在 $y$ 轴上，$|FN|$ 就是它们 $y$ 坐标的差的绝对值： $$|FN| = |y_N - y_F| = |y_N| = |4\sqrt{2}| = 4\sqrt{2}$$ 因此，$|FN|$ 的长度是 $4\sqrt{2}$。<eoe> 【答案】$4\sqrt{2}$<eoa> |
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| kimi | 【解析】首先，我们需要了解抛物线 $y^2 = 4ax$ 的焦点是 $(a, 0)$。对于给定的抛物线 $C: y^2 = 8x$，我们可以将其重写为 $y^2 = 4 \cdot 2x$，从而得出 $a = 2$，所以焦点 $F$ 的坐标是 $(2, 0)$。 抛物线 $C$ 的准线是 $x = -a$，对于这个抛物线，准线是 $x = -2$。 根据抛物线的定义，从抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。所以，点 $M$ 到焦点 $F$ 的距离等于点 $M$ 到准线的距离。 题目中提到 $M$ 是 $FN$ 的中点，这意味着 $FM = MN$。由于 $F$ 是焦点，$N$ 在 $y$ 轴上，我们可以设 $N$ 的坐标为 $(0, y_N)$。因为 $M$ 是 $FN$ 的中点，所以 $M$ 的 $x$ 坐标是 $F$ 和 $N$ 的 $x$ 坐标的平均值，即 $x_M = \frac{2 + 0}{2} = 1$。 由于 $M$ 在抛物线上，我们可以将 $x_M$ 代入抛物线的方程得到 $y_M^2 = 8 \cdot 1$，解得 $y_M = \pm 4\sqrt{2}$。因为 $M$ 在 $FN$ 的延长线上，且 $F$ 在 $y$ 轴的右侧，所以 $y_M$ 应该是正值，即 $y_M = 4\sqrt{2}$。 现在我们知道了 $M$ 的坐标是 $(1, 4\sqrt{2})$，我们可以计算 $FN$ 的长度。由于 $M$ 是 $FN$ 的中点，$FN = 2 \cdot FM$。我们已经知道 $FM = x_M + a = 1 + 2 = 3$，所以 $FN = 2 \cdot 3 = 6$。 <eoe> 【答案】6<eoa> |
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| wenxinyiyan | 【解析】 首先，根据抛物线的标准方程$y^{2} = 8x$，我们可以得出焦点的坐标为$F(2, 0)$。 设抛物线上的点$M$的坐标为$(x, y)$，由于$M$是$FN$的中点，根据中点公式，我们可以得出$N$的坐标为$(0, 2y)$。 然后，由于$M$在抛物线上，根据抛物线的方程，我们有$y^{2} = 8x$。 接着，由于$M$是$FN$的中点，根据中点公式，我们有$x = \frac{2 + 0}{2} = 1$。 将$x = 1$代入$y^{2} = 8x$，我们可以解出$y = \pm 2\sqrt{2}$。 最后，由于$N$的坐标为$(0, 2y)$，所以$|FN| = 2|y| = 4\sqrt{2}$。 <eoe> 【答案】 $4\sqrt{2}$ <eoa> |
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| zhipu | 【解析】 首先，我们需要确定抛物线 $C: y^2 = 8x$ 的焦点 $F$ 的坐标。对于标准形式的抛物线 $y^2 = 4px$，焦点坐标为 $(p, 0)$。在本题中，$4p = 8$，所以 $p = 2$，因此焦点 $F$ 的坐标为 $(2, 0)$。 设点 $M$ 的坐标为 $(x_1, y_1)$，由于 $M$ 在抛物线上，满足方程 $y_1^2 = 8x_1$。 根据题意，$M$ 是 $FN$ 的中点。设点 $N$ 的坐标为 $(0, y_2)$。根据中点公式，$M$ 的坐标可以表示为： \[ M \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{0 + y_2}{2} \right) = \left( 1, \frac{y_2}{2} \right) \] 由此我们得到 $x_1 = 1$，$y_1 = \frac{y_2}{2}$。 将 $x_1 = 1$ 代入抛物线方程 $y_1^2 = 8x_1$，得到： \[ \left( \frac{y_2}{2} \right)^2 = 8 \times 1 \] \[ \frac{y_2^2}{4} = 8 \] \[ y_2^2 = 32 \] \[ y_2 = \pm 4\sqrt{2} \] 接下来，我们计算 $|FN|$ 的长度。点 $F$ 的坐标为 $(2, 0)$，点 $N$ 的坐标为 $(0, y_2)$，所以： \[ |FN| = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - y_2)^2} = \sqrt{4 + y_2^2} \] 将 $y_2^2 = 32$ 代入，得到： \[ |FN| = \sqrt{4 + 32} = \sqrt{36} = 6 \] <eoe> 【答案】6<eoa> |
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| gpto1 | 【解析】 首先，抛物线 $C: y^{2} = 8x$ 的焦点 $F$ 的坐标为 $(2, 0)$，因为对于抛物线 $y^{2} = 4px$，焦点坐标为 $(p, 0)$，这里 $4p=8$，所以 $p=2$。 设点 $M$ 的坐标为 $(x_m, y_m)$，由于 $M$ 在抛物线上，满足 $y_m^{2} = 8x_m$。 点 $N$ 在 $y$ 轴上，设其坐标为 $(0, y_n)$。 由于 $M$ 是线段 $F N$ 的中点，即满足： \[ \begin{cases} x_m = \dfrac{x_F + x_N}{2} = \dfrac{2 + 0}{2} = 1 \\ y_m = \dfrac{y_F + y_N}{2} = \dfrac{0 + y_n}{2} \end{cases} \] 因此，$x_m = 1$，$y_m = \dfrac{y_n}{2}$。 把 $x_m = 1$ 代入抛物线方程，得： \[ y_m^{2} = 8 \times 1 = 8 \implies y_m = \pm 2\sqrt{2} \] 因此，$y_n = 2 y_m = \pm 4\sqrt{2}$。 计算线段 $F N$ 的长度： \[ |F N| = \sqrt{(x_F - x_N)^2 + (y_F - y_N)^2} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - y_n)^2} = \sqrt{4 + (y_n)^2} \] 因为 $(y_n)^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$，所以： \[ |F N| = \sqrt{4 + 32} = \sqrt{36} = 6 \] **答：$|F N| = 6$。** <eoe> 【答案】6 <eoa> |
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| deepseekv3 | 【解析】 1. **确定抛物线的焦点**： 抛物线 \( C: y^2 = 8x \) 的标准形式是 \( y^2 = 4ax \)，其中 \( a = 2 \)。因此，焦点 \( F \) 的坐标为 \( (2, 0) \)。 2. **设点 \( M \) 的坐标**： 点 \( M \) 在抛物线上，设其坐标为 \( (x, y) \)，满足 \( y^2 = 8x \)。 3. **确定直线 \( FM \) 的方程**： 焦点 \( F(2, 0) \) 和点 \( M(x, y) \) 确定的直线斜率为 \( \frac{y - 0}{x - 2} = \frac{y}{x - 2} \)。直线方程为： \[ y = \frac{y}{x - 2}(x' - 2) \] 其中 \( x' \) 是直线上的任意点的横坐标。 4. **求直线与 \( y \) 轴的交点 \( N \)**： \( y \) 轴上点的横坐标为 0，代入直线方程： \[ y = \frac{y}{x - 2}(0 - 2) = \frac{-2y}{x - 2} \] 因此，点 \( N \) 的坐标为 \( (0, \frac{-2y}{x - 2}) \)。 5. **利用 \( M \) 是 \( FN \) 的中点**： 中点公式： \[ M = \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{0 + \frac{-2y}{x - 2}}{2} \right) = \left( 1, \frac{-y}{x - 2} \right) \] 但 \( M = (x, y) \)，所以： \[ x = 1 \quad \text{且} \quad y = \frac{-y}{x - 2} \] 由 \( x = 1 \) 代入 \( y^2 = 8x \) 得 \( y^2 = 8 \)，所以 \( y = \pm 2\sqrt{2} \)。 6. **求 \( |FN| \)**： 点 \( F(2, 0) \)，点 \( N(0, \frac{-2y}{x - 2}) \)。 由于 \( x = 1 \)，\( N(0, \frac{-2y}{-1}) = (0, 2y) \)。 因此： \[ |FN| = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2y - 0)^2} = \sqrt{4 + (2y)^2} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] <eoe> 【答案】\( 2\sqrt{3} \) <eoa> |
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