| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 设 \(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\) 为单位向量，即 \(|\boldsymbol{a}| = 1\) 和 \(|\boldsymbol{b}| = 1\)。根据题意，\(|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 1\)。 我们知道，向量的模平方可以用内积表示： \[ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \] 展开右边的内积： \[ (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} \] 由于 \(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\) 是单位向量，所以 \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = 1\) 和 \(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} = 1\)。因此上式变为： \[ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = 1 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 1 = 2 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \] 根据题意，\(|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 1\)，所以： \[ 1^2 = 2 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \] 解这个方程： \[ 1 = 2 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \] \[ 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -1 \] \[ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\frac{1}{2} \] 现在我们要求 \(|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|\)： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \] 展开右边的内积： \[ (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} - 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} \] 同样地，\(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = 1\) 和 \(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} = 1\)，所以上式变为： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = 1 - 2 \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \] 因此： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{3} \] <eoe> 【答案】\(\sqrt{3}\)<eoa> |
$\sqrt{3}$ |
| deepseekr1 | 【解析】 已知$a, b$为单位向量，且$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$。由向量模长平方公式： $$ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2. $$ 因$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1$，代入得： $$ 1 = 1 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 1 \implies 2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \implies \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\frac{1}{2}. $$ 计算$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$的平方： $$ |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2 = 1 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 3. $$ 故$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = \sqrt{3}$。<eoe> 【答案】$\sqrt{3}$<eoa> |
$\sqrt{3}$ |
| gpto1 | 【解析】 由于 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 是单位向量，所以 $|\boldsymbol{a}|=1$，$|\boldsymbol{b}|=1$。 已知 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$，那么： $$ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2 = 1 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 1 = 2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} $$ 因为 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$，所以： $$ 1^2 = 2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \\ 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 - 2 \\ 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -1 \\ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\dfrac{1}{2} $$ 接下来计算 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$： $$ |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2 = 1 - 2\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 $$ 所以： $$ |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = \sqrt{3} $$ <eoe> 【答案】 $\sqrt{3}$ <eoa> |
$\sqrt{3}$ |
| GPT-4o | 【解析】 我们知道 \( \boldsymbol{a} \) 和 \( \boldsymbol{b} \) 是单位向量，因此它们的模都是1，即 \( |\boldsymbol{a}| = 1 \) 和 \( |\boldsymbol{b}| = 1 \)。 题目要求 \( |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 1 \)，我们可以利用向量的模的性质来解决这个问题。 首先，根据向量的模的平方公式，有： \[ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \] 展开得到： \[ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} \] 因为 \( \boldsymbol{a} \) 和 \( \boldsymbol{b} \) 是单位向量，有 \( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = 1 \) 和 \( \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \)，所以： \[ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = 1 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 1 = 2 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \] 题目给出 \( |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 1 \)，因此： \[ 1 = 2 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \] 解这个方程： \[ 1 = 2 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \implies 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -1 \implies \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\frac{1}{2} \] 接下来，计算 \( |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| \)： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \] 展开得到： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} - 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} \] 同样利用 \( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = 1 \) 和 \( \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \)，所以： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = 1 - 2 \left( -\frac{1}{2} \right) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \] 因此： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{3} \] 【答案】\(\sqrt{3}\)<eoa> |
$\sqrt{3}$ |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 最终结果是{1, sqrt(3)} |
$\sqrt{3}$ |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是sqrt(3)<eoe> 【答案】 sqrt(3)<eoa> |
$\sqrt{3}$ |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 首先，我们知道 $a$ 和 $b$ 是单位向量，因此 $|a| = 1$ 和 $|b| = 1$。题目给出的条件是 $|\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}|=1$。我们可以利用向量的模长公式来处理这个问题。\n\n向量的模长公式告诉我们，对于任意两个向量 $u$ 和 $v$，有 $|u + v| = \\sqrt{(u + v) \\cdot (u + v)}$。在这里，$u = a$ 和 $v = b$，所以我们有：\n\n$$\n|\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}| = \\sqrt{(\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}) \\cdot (\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b})}\n$$\n\n展开内积：\n\n$$\n(\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}) \\cdot (\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}) = \\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{a} + 2 \\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b} + \\boldsymbol{b} \\cdot \\boldsymbol{b}\n$$\n\n由于 $a$ 和 $b$ 是单位向量，$\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{a} = 1$ 和 $\\boldsymbol{b} \\cdot \\boldsymbol{b} = 1$，所以：\n\n$$\n(\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}) \\cdot (\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}) = 1 + 2 \\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b} + 1 = 2 + 2 \\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b}\n$$\n\n题目给出 $|\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}|=1$，因此：\n\n$$\n1 = \\sqrt{2 + 2 \\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b}}\n$$\n\n两边平方得到：\n\n$$\n1 = 2 + 2 \\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b}\n$$\n\n解这个方程：\n\n$$\n2 \\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b} = -1 \\implies \\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b} = -\\frac{1}{2}\n$$\n\n现在我们需要求 $|a - b|$。同样使用向量的模长公式：\n\n$$\n|a - b| = \\sqrt{(a - b) \\cdot (a - b)}\n$$\n\n展开内积：\n\n$$\n(a - b) \\cdot (a - b) = a \\cdot a - 2 a \\cdot b + b \\cdot b\n$$\n\n代入已知值：\n\n$$\n(a - b) \\cdot (a - b) = 1 - 2 \\left(-\\frac{1}{2}\\right) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3\n$$\n\n因此：\n\n$$\n|a - b| = \\sqrt{3}\n$$\n<eoe>\n【答案】$\\sqrt{3}$<eoa>" | $\sqrt{3}$ |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】\n根据题意，向量$\\boldsymbol{a}$和$\\boldsymbol{b}$均为单位向量，即$|\\boldsymbol{a}|=|\\boldsymbol{b}|=1$。\n\n由$|\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}|=1$，可以利用向量的模长的性质进行展开，即\n\\[|\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}|^2 = (\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b})\\cdot(\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}) = 1\\]\n\n根据向量点积的性质，有\n\\[(\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b})\\cdot(\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}) = \\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{a} + 2\\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{b} + \\boldsymbol{b}\\cdot\\boldsymbol{b}\\]\n\n由于$\\boldsymbol{a}$和$\\boldsymbol{b}$都是单位向量，所以$\\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{a}=1$，$\\boldsymbol{b}\\cdot\\boldsymbol{b}=1$，代入上式得\n\\[1 + 2\\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{b} + 1 = 1\\]\n\n化简得\n\\[2\\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{b} = -1\\]\n\n接下来求$|\\boldsymbol{a}-\\boldsymbol{b}|$，可以使用同样的方法，即\n\\[|\\boldsymbol{a}-\\boldsymbol{b}|^2 = (\\boldsymbol{a}-\\boldsymbol{b})\\cdot(\\boldsymbol{a}-\\boldsymbol{b}) = \\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{a} - 2\\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{b} + \\boldsymbol{b}\\cdot\\boldsymbol{b}\\]\n\n代入$\\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{a}=1$，$\\boldsymbol{b}\\cdot\\boldsymbol{b}=1$和$2\\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{b}=-1$，得\n\\[|\\boldsymbol{a}-\\boldsymbol{b}|^2 = 1 - (-1) + 1 = 3\\]\n\n所以，$|\\boldsymbol{a}-\\boldsymbol{b}| = \\sqrt{3}$。\n<eoe>\n\n【答案】$\\sqrt{3}$<eoa>" | $\sqrt{3}$ |
| baichuan4 | 【解析】首先，由于 $a$ 和 $b$ 是单位向量，我们有 $|a|=|b|=1$。接下来，根据向量的模长公式，我们可以计算出 $|a+b|^2=(a+b) \cdot (a+b)=|a|^2+2a \cdot b+|b|^2$。根据题目条件，$|a+b|=1$，所以 $1=|a|^2+2a \cdot b+|b|^2=1+2a \cdot b+1$，从而得到 $a \cdot b=-\frac{1}{2}$。 现在，我们需要计算 $|a-b|$。同样地，我们有 $|a-b|^2=(a-b) \cdot (a-b)=|a|^2-2a \cdot b+|b|^2$。将 $|a|=|b|=1$ 和 $a \cdot b=-\frac{1}{2}$ 代入，得到 $|a-b|^2=1-2(-\frac{1}{2})+1=2$。因此，$|a-b|=\sqrt{2}$。 |
$\sqrt{3}$ |
| doubao | 【解析】已知$a$，$b$为单位向量，即$|a|=|b|=1$。将$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$两边平方可得：$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^2=1$，即$\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=1$，$|a|^2+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+|b|^2=1$，$1+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+1=1$，$2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\frac{1}{2}$。然后$|a-b|=\sqrt{(a-b)^2}=\sqrt{a^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+b^{2}}=\sqrt{|a|^2-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+|b|^2}=\sqrt{1-2\times(-\frac{1}{2})+1}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$。<eoe> 【答案】$\sqrt{3}$<eoa> |
$\sqrt{3}$ |
| minimax | 【解析】 由于 $a, b$ 是单位向量，所以它们的模长都是1，即 $|a|=|b|=1$。 根据向量的模长公式，我们有： $$|a+b|^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a \cdot a + 2a \cdot b + b \cdot b$$ $$|a-b|^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a \cdot a - 2a \cdot b + b \cdot b$$ 由于 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$，所以 $|a+b|^2 = 1^2 = 1$。 又因为 $a, b$ 是单位向量，所以 $a \cdot a = |a|^2 = 1$，$b \cdot b = |b|^2 = 1$。 将这些信息代入上面的公式中，我们得到： $$1 = |a+b|^2 = 1 + 2a \cdot b + 1$$ $$1 = |a-b|^2 = 1 - 2a \cdot b + 1$$ 从第一个等式中解出 $a \cdot b$： $$2a \cdot b = 1 - 1 - 1$$ $$2a \cdot b = -1$$ $$a \cdot b = -\frac{1}{2}$$ 将 $a \cdot b$ 的值代入 $|a-b|^2$ 的公式中，我们得到： $$1 = |a-b|^2 = 1 - 2(-\frac{1}{2}) + 1$$ $$1 = 1 + 1 + 1$$ $$1 = 3$$ 这里出现了矛盾，说明我们的推导过程中有错误。实际上，我们应该注意到 $|a+b|^2 = 1$ 并不意味着 $|a-b|^2 = 1$，因为 $a+b$ 和 $a-b$ 是不同的向量。我们需要重新计算 $|a-b|^2$。 由于 $a \cdot b = -\frac{1}{2}$，我们可以将这个值代入 $|a-b|^2$ 的公式中： $$|a-b|^2 = 1 - 2(-\frac{1}{2}) + 1$$ $$|a-b|^2 = 1 + 1 + 1$$ $$|a-b|^2 = 3$$ 因此，$|a-b|$ 的值为： $$|a-b| = \sqrt{3}$$ <eoe> 【答案】$\sqrt{3}$<eoa> |
$\sqrt{3}$ |
| kimi | 【解析】 首先，我们需要理解题目中的条件。题目告诉我们 $a$ 和 $b$ 是单位向量，这意味着它们的模长都是1。另外，题目还给出了 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$，即向量 $a$ 和向量 $b$ 的和的模长是1。 我们知道，向量的模长可以通过向量的点积来计算，即 $|\boldsymbol{v}| = \sqrt{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v}}$。 根据向量模长的性质，我们有： $$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2$$ 由于 $a$ 和 $b$ 是单位向量，所以 $|\boldsymbol{a}|^2 = |\boldsymbol{b}|^2 = 1$。 将这些值代入上述等式，我们得到： $$1 = 1 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 1$$ $$2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -1$$ $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\frac{1}{2}$$ 现在我们需要找到 $|a-b|$。同样使用向量模长的性质： $$|a-b|^2 = (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2$$ 将已知的值代入： $$|a-b|^2 = 1 - 2(-\frac{1}{2}) + 1$$ $$|a-b|^2 = 1 + 1 + 1$$ $$|a-b|^2 = 3$$ 最后，我们求出 $|a-b|$ 的值： $$|a-b| = \sqrt{3}$$ <eoe> 【答案】$\sqrt{3}$<eoa> |
$\sqrt{3}$ |
| wenxinyiyan | 【解析】 首先，由于$a$和$b$都是单位向量，所以$|a|^2 = |b|^2 = 1$。 然后，根据题目给出的条件$|a+b| = 1$，我们可以求出$(a+b)^2$的值，即$(a+b)^2 = |a+b|^2 = 1^2 = 1$。 接着，我们利用向量的平方和公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$(a+b)^2$展开，得到$1 = 1 + 2ab + 1$，解得$ab = -\frac{1}{2}$。 最后，我们利用向量的平方差公式$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，将$(a-b)^2$展开，得到$(a-b)^2 = 1 - 2(-\frac{1}{2}) + 1 = 3$，所以$|a-b| = \sqrt{3}$。 <eoe> 【答案】 $\sqrt{3}$<eoa> |
$\sqrt{3}$ |
| zhipu | 【解析】 首先，我们知道 \( \boldsymbol{a} \) 和 \( \boldsymbol{b} \) 都是单位向量，即 \( |\boldsymbol{a}| = 1 \) 和 \( |\boldsymbol{b}| = 1 \)。 根据题目给出的条件 \( |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 1 \)，我们可以利用向量的模长公式展开： \[ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \] 展开内积得到： \[ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} \] 由于 \( \boldsymbol{a} \) 和 \( \boldsymbol{b} \) 都是单位向量，所以 \( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = 1 \) 和 \( \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \)，代入上式： \[ 1 = 1 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 1 \] 简化得到： \[ 1 = 2 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \] 进一步解得： \[ 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -1 \] \[ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\frac{1}{2} \] 接下来，我们需要求 \( |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| \)。同样利用向量的模长公式展开： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \] 展开内积得到： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} - 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} \] 同样代入 \( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = 1 \) 和 \( \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \)，以及 \( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\frac{1}{2} \)： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = 1 - 2 \left( -\frac{1}{2} \right) + 1 \] 简化得到： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = 1 + 1 + 1 \] \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = 3 \] 所以： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{3} \] <eoe> 【答案】\(\sqrt{3}\)<eoa> |
$\sqrt{3}$ |
| gpto1 | 【解析】 由于 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 是单位向量，所以 $|\boldsymbol{a}|=1$，$|\boldsymbol{b}|=1$。 已知 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$，那么： $$ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2 = 1 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 1 = 2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} $$ 因为 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$，所以： $$ 1^2 = 2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \\ 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 - 2 \\ 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -1 \\ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\dfrac{1}{2} $$ 接下来计算 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$： $$ |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2 = 1 - 2\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 $$ 所以： $$ |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = \sqrt{3} $$ <eoe> 【答案】 $\sqrt{3}$ <eoa> |
$\sqrt{3}$ |
| deepseekv3 | 【解析】 已知向量 \( \boldsymbol{a} \) 和 \( \boldsymbol{b} \) 都是单位向量，即 \( |\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1 \)，且 \( |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 1 \)。 首先，我们利用向量长度的性质来展开 \( |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| \)： \[ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \] 将已知条件代入： \[ 1^2 = 1^2 + 1^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \] \[ 1 = 1 + 1 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \] \[ 1 = 2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \] 解得： \[ 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -1 \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\frac{1}{2} \] 接下来，我们计算 \( |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| \)： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \] 将已知条件代入： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = 1 + 1 + 1 = 3 \] 因此： \[ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{3} \] <eoe> 【答案】\(\sqrt{3}\)<eoa> |
$\sqrt{3}$ |