| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | 【解析】 我们从题目中已知条件开始分析： 1. 三角形 \( \triangle ABC \) 的面积为 \( \sqrt{3} \)。 2. 内角 \( B = 60^\circ \)。 3. 边长关系 \( a^2 + c^2 = 3ac \)。 首先，利用三角形面积公式： \[ \text{面积} = \frac{1}{2}ab \sin C \] 由于 \( B = 60^\circ \)，我们可以使用 \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)： \[ \sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \sin 60^\circ = \frac{1}{2}ac \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}ac \] \[ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4}ac \] \[ 4 = ac \] \[ ac = 4 \] 接下来，利用已知的边长关系 \( a^2 + c^2 = 3ac \)： \[ a^2 + c^2 = 3ac \] 将 \( ac = 4 \) 代入： \[ a^2 + c^2 = 3 \cdot 4 = 12 \] 我们有两个方程： \[ ac = 4 \] \[ a^2 + c^2 = 12 \] 将 \( c = \frac{4}{a} \) 代入 \( a^2 + c^2 = 12 \)： \[ a^2 + \left(\frac{4}{a}\right)^2 = 12 \] \[ a^2 + \frac{16}{a^2} = 12 \] \[ a^4 + 16 = 12a^2 \] \[ a^4 - 12a^2 + 16 = 0 \] 设 \( x = a^2 \)，则方程变为： \[ x^2 - 12x + 16 = 0 \] 解这个二次方程： \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{5} \] 因此： \[ a^2 = 6 + 2\sqrt{5} \quad \text{或} \quad a^2 = 6 - 2\sqrt{5} \] 由于 \( a \) 和 \( c \) 是正数，我们取正数解： \[ a = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \quad \text{或} \quad a = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \] 同理，\( c = \frac{4}{a} \)： \[ c = \frac{4}{\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}} \quad \text{或} \quad c = \frac{4}{\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}} \] 接下来，利用余弦定理求 \( b \)： \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \] 由于 \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)： \[ b^2 = a^2 + c^2 - ac \] \[ b^2 = 12 - 4 = 8 \] \[ b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 【答案】2\sqrt{2}<eoa> |
$2 \sqrt{2}$ |
| deepseekr1 | 【解析】已知三角形ABC中，角B=60°，面积√3，且a² + c² = 3ac。利用面积公式，有： \[ \frac{1}{2}ac \sin 60° = \sqrt{3} \implies \frac{1}{2}ac \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \implies ac = 4 \] 代入a² + c² = 3ac得： \[ a² + c² = 3×4 = 12 \] 由余弦定理： \[ b² = a² + c² - 2ac \cos B = 12 - 2×4×\frac{1}{2} = 12 - 4 = 8 \implies b = 2\sqrt{2} \] <eoe> 【答案】\(2\sqrt{2}\)<eoa> |
$2 \sqrt{2}$ |
| gpto1 | 【解析】 已知三角形$\triangle ABC$的面积为$\sqrt{3}$，角$B=60^\circ$，且$a^2 + c^2 = 3ac$。 1. 利用面积公式： \[ S = \frac{1}{2}ac\sin B \] 因为$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以： \[ \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot a c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a c \sqrt{3}}{4} \] 两边同时除以$\sqrt{3}$，得到： \[ 1 = \frac{a c}{4} \] \[ \therefore \quad a c = 4 \quad \quad (1) \] 2. 利用余弦定理在$\triangle ABC$中： \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B \] 因为$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$，所以： \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \frac{1}{2} \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - a c \] 根据已知$a^2 + c^2 = 3ac$，代入得到： \[ b^2 = 3 a c - a c = 2 a c \] 由(1)知$a c = 4$，所以： \[ b^2 = 2 \times 4 = 8 \] \[ \therefore \quad b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] <eoe> 【答案】 $2\sqrt{2}$ <eoa> |
$2 \sqrt{2}$ |
| GPT-4o | 【解析】 首先，利用题目信息：$\triangle ABC$ 的内角 \( B = 60^\circ \)，且边 \( a, b, c \) 分别对角 \( A, B, C \)。 根据余弦定理，我们有： \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \] 因为 \( B = 60^\circ \)，所以 \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)，代入公式得： \[ b^2 = a^2 + c^2 - ac \] 题目还给出了 \( a^2 + c^2 = 3ac \)。将这个等式代入上式： \[ b^2 = 3ac - ac = 2ac \] 所以，\( b^2 = 2ac \)，即： \[ b = \sqrt{2ac} \] 接下来，利用三角形的面积公式： \[ \text{面积} = \frac{1}{2} ab \sin C \] 因为 \( \text{面积} = \sqrt{3} \)，且 \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，所以： \[ \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \] \[ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} ab \] \[ 4 = ab \] 我们已经知道 \( b = \sqrt{2ac} \)，代入 \( 4 = ab \) 得： \[ 4 = a \cdot \sqrt{2ac} \] 平方两边得： \[ 16 = a^2 \cdot 2ac \] \[ 16 = 2a^3 c \] \[ 8 = a^3 c \] 再利用 \( a^2 + c^2 = 3ac \)，我们得 \( c = \frac{3ac - a^2}{c} \)，并且 \( a^2 + c^2 = 3ac \)，化简得： \[ c = \frac{3ac - a^2}{c} \] 接下来，使用上面的结果 \( c = \frac{8}{a^3} \) 代入： \[ a^2 + \left(\frac{8}{a^3}\right)^2 = 3a \cdot \frac{8}{a^3} \] \[ a^2 + \frac{64}{a^6} = \frac{24}{a^2} \] 乘以 \( a^6 \)： \[ a^8 + 64 = 24a^4 \] \[ a^8 - 24a^4 + 64 = 0 \] 设 \( x = a^4 \)，则上述方程变为： \[ x^2 - 24x + 64 = 0 \] 求解该二次方程： \[ x = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 64}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2} = \frac{24 \pm 8\sqrt{5}}{2} = 12 \pm 4\sqrt{5} \] 因为 \( x = a^4 \)，所以 \( a^4 = 12 \pm 4\sqrt{5} \)。我们选择正值： \[ a^4 = 12 + 4\sqrt{5} \] 然后 \( c \) 可以表示为： \[ c = \frac{8}{a^3} \] 已经有 \( b = \sqrt{2ac} \)，所以： \[ b = \sqrt{2a \cdot \frac{8}{a^3}} = \sqrt{16/a^2} = 4/a \] 由 \( 4 = ab \)： \[ 4 = a \cdot \frac{4}{a} \] \[ b = 4 \] 【答案】4<eoa> |
$2 \sqrt{2}$ |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 由题意可得\triangleABC为等腰三角形,由余弦定理可得b^{2}=3ac,由正弦定理可得\frac{b}{\sin60^{\circ}}=\frac{a}{\sinA},即b=\frac{a\sqrt{3}}{2\sinA}=\frac{a\sqrt{3}}{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}=a,即b=a=\sqrt{3}.. 最终结果是sqrt(3) |
$2 \sqrt{2}$ |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 由余弦定理得a^{2}+c^{2}-2ac\cosB=b^{2},即b^{2}=3ac-2ac\cos60^{\circ}=2ac,又由S=\frac{1}{2}ac\sinB=\sqrt{3},得ac=2\sqrt{3},所以b^{2}=4\sqrt{3},所以b=2\sqrt[4]{3}. 最终结果是2*3^(1/4) |
$2 \sqrt{2}$ |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 首先，我们知道三角形的面积公式为：\n\\[ \\text{面积} = \\frac{1}{2}ab \\sin C \\]\n在本题中，给定面积为 \\(\\sqrt{3}\\) 和 \\(B = 60^\\circ\\)，我们可以使用这个公式来表示面积：\n\\[ \\sqrt{3} = \\frac{1}{2}ac \\sin 60^\\circ \\]\n因为 \\(\\sin 60^\\circ = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)，所以：\n\\[ \\sqrt{3} = \\frac{1}{2}ac \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\]\n\\[ \\sqrt{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{4}ac \\]\n两边同时乘以4：\n\\[ 4\\sqrt{3} = \\sqrt{3}ac \\]\n两边同时除以 \\(\\sqrt{3}\\)：\n\\[ 4 = ac \\]\n\n接下来，我们使用题目中给出的条件 \\(a^2 + c^2 = 3ac\\)。我们已经知道 \\(ac = 4\\)，所以：\n\\[ a^2 + c^2 = 3 \\cdot 4 = 12 \\]\n\n现在我们使用余弦定理来求 \\(b\\)：\n\\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \\cos B \\]\n因为 \\(B = 60^\\circ\\)，所以 \\(\\cos 60^\\circ = \\frac{1}{2}\\)，代入余弦定理：\n\\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \\cdot \\frac{1}{2} \\]\n\\[ b^2 = a^2 + c^2 - ac \\]\n我们已经知道 \\(a^2 + c^2 = 12\\) 和 \\(ac = 4\\)，所以：\n\\[ b^2 = 12 - 4 = 8 \\]\n因此：\n\\[ b = \\sqrt{8} = 2\\sqrt{2} \\]\n<eoe>\n【答案】2\\sqrt{2}<eoa>" | $2 \sqrt{2}$ |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】\n由题意知，$\\triangle A B C$ 的面积为 $\\sqrt{3}$，角 $B = 60^\\circ$，且有 $a^2 + c^2 = 3ac$。我们首先利用面积公式和余弦定理来解题。\n\n面积公式：在 $\\triangle A B C$ 中，面积 $S$ 可以表示为 $S = \\frac{1}{2}ac\\sin B$。由于 $B = 60^\\circ$，则 $\\sin B = \\sin 60^\\circ = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$。于是面积公式变为 $\\sqrt{3} = \\frac{1}{2}ac\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2}$，从而有 $ac = 4$。\n\n余弦定理：在 $\\triangle A B C$ 中，余弦定理表达为 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\\cos B$。由于 $B = 60^\\circ$，则 $\\cos B = \\cos 60^\\circ = \\frac{1}{2}$。根据题目条件 $a^2 + c^2 = 3ac$，将 $ac = 4$ 代入，得 $a^2 + c^2 = 12$。\n\n将 $a^2 + c^2 = 12$ 和 $ac = 4$ 代入余弦定理中，得 $b^2 = 12 - 2\\cdot4\\cdot\\frac{1}{2} = 12 - 4 = 8$，从而 $b = \\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}$。\n\n<eoe>\n\n【答案】$b = 2\\sqrt{2}$<eoa>" | $2 \sqrt{2}$ |
| baichuan4 | 【解析】 首先，由题意知三角形ABC的面积为 $\sqrt{3}$，且角B为 $60^{\circ}$。根据三角形面积公式，有： $$ \frac{1}{2}ac\sin B = \sqrt{3} $$ 将 $B=60^{\circ}$ 代入，得到： $$ \frac{1}{2}ac\sin 60^{\circ} = \sqrt{3} $$ 因为 $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以有： $$ \frac{1}{2}ac\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $$ 化简得到： $$ ac = 4 $$ 接下来，根据题目中的条件 $a^{2}+c^{2}=3ac$，我们可以利用余弦定理来求边b的长度。余弦定理公式为： $$ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B $$ 将 $B=60^{\circ}$ 代入，得到： $$ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos 60^{\circ} $$ 因为 $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$，所以有： $$ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cdot\frac{1}{2} $$ 将 $a^{2}+c^{2}=3ac$ 代入，得到： $$ b^{2} = 3ac - ac = 2ac $$ 将 $ac=4$ 代入，得到： $$ b^{2} = 2\cdot4 = 8 $$ 所以，边b的长度为： $$ b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$ 【答案】$2\sqrt{2}$ |
$2 \sqrt{2}$ |
| doubao | 【解析】已知三角形面积为$\sqrt{3}$，$B=60^{\circ}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ac\sin B$可得$\sqrt{3}=\frac{1}{2}ac\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}ac\times\frac{\sqrt{3}}{2}$，化简可得$ac=4$。又已知$a^{2}+c^{2}=3ac$，即$a^{2}+c^{2}=12$。根据余弦定理$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$可得$b^{2}=12-2\times4\times\frac{1}{2}=8$，所以$b=2\sqrt{2}$。<eoe> 【答案】$2\sqrt{2}$<eoa> |
$2 \sqrt{2}$ |
| minimax | 【解析】 首先，我们知道三角形的面积公式为 $\frac{1}{2}bc\sin A$，根据题目中给出的面积为 $\sqrt{3}$，我们可以得到： $$\frac{1}{2}bc\sin A = \sqrt{3} \quad \text{(1)}$$ 接下来，由于 $B=60^{\circ}$，我们可以利用正弦定理，即 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$，因为 $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以有： $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \quad \text{(2)}$$ 由于 $a^2 + c^2 = 3ac$，我们可以将其改写为： $$a^2 - 3ac + c^2 = 0 \quad \text{(3)}$$ 这是一个关于 $a$ 的二次方程，我们可以将其看作是 $(a - c)^2 = 0$，这意味着 $a = c$。 现在我们知道了 $a = c$，我们可以回到正弦定理的方程 (2)，并将其改写为： $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow b = \frac{2a\sin A}{\sqrt{3}} \quad \text{(4)}$$ 由于 $a = c$，我们可以将 (1) 式中的 $c$ 替换为 $a$，得到： $$\frac{1}{2}ba\sin A = \sqrt{3} \quad \text{(5)}$$ 现在我们有两个方程 (4) 和 (5)，我们可以将 (4) 式中的 $b$ 代入 (5) 式中，得到： $$\frac{1}{2} \cdot \frac{2a\sin A}{\sqrt{3}} \cdot a\sin A = \sqrt{3}$$ $$a^2\sin^2 A = 3$$ 由于 $a = c$，我们可以利用余弦定理来求解 $b$，余弦定理公式为 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，由于 $a = c$，我们可以得到： $$a^2 = b^2 + a^2 - 2a^2\cos A$$ $$0 = b^2 - a^2\cos A$$ $$b^2 = a^2\cos A$$ 由于 $a^2\sin^2 A = 3$，我们可以得到 $a^2 = \frac{3}{\sin^2 A}$，代入上面的式子得到： $$b^2 = \frac{3}{\sin^2 A}\cos A$$ 由于 $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，我们可以得到 $\sin^2 60^{\circ} = \frac{3}{4}$，因此 $\sin^2 A = \frac{3}{4}$，因为 $A$ 是 $\triangle ABC$ 的内角，所以 $\sin A$ 为正值，我们可以得到 $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$。 现在我们可以计算 $b^2$： $$b^2 = \frac{3}{\sin^2 A}\cos A = \frac{3}{\frac{3}{4}}\cos 60^{\circ} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$ 因此，$b = \sqrt{2}$。 <eoe> 【答案】$\sqrt{2}$<eoa> |
$2 \sqrt{2}$ |
| kimi | 【解析】 首先，我们知道三角形的面积公式为 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$。题目中给出了面积 $S = \sqrt{3}$，以及角 $B = 60^\circ$。我们可以利用这些信息来求解边 $b$。 1. 将已知的面积和角 $B$ 的值代入面积公式： $$\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac\sin 60^\circ$$ 2. 我们知道 $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以可以将公式简化为： $$\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 3. 简化得到： $$2 = ac$$ 4. 接下来，我们使用余弦定理来求解边 $b$。余弦定理公式为： $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$ 5. 题目中给出了 $a^2 + c^2 = 3ac$，以及 $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$，代入余弦定理公式： $$b^2 = 3ac - 2ac \cdot \frac{1}{2}$$ 6. 将 $ac = 2$ 代入上述公式： $$b^2 = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$$ 7. 计算得到： $$b^2 = 6 - 2 = 4$$ 8. 因此，边 $b$ 的长度为： $$b = \sqrt{4} = 2$$ <eoe> 【答案】2<eoa> |
$2 \sqrt{2}$ |
| wenxinyiyan | 【解析】 根据题目给出的条件，我们有$a^{2} + c^{2} = 3ac$，我们可以将这个等式转化为$\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac}$的形式，这样就可以利用余弦定理求出$\cos B$的值。 根据余弦定理，我们有$\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac}$，将$a^{2} + c^{2} = 3ac$代入，得到$\cos B = \frac{3ac - b^{2}}{2ac}$。 又因为题目给出$B=60^{\circ}$，所以$\cos B = \frac{1}{2}$，所以我们有$\frac{3ac - b^{2}}{2ac} = \frac{1}{2}$，解这个等式，我们可以得到$b^{2} = 2ac$。 然后我们可以利用三角形的面积公式$S = \frac{1}{2}ac\sin B$，将$S = \sqrt{3}$和$B=60^{\circ}$代入，得到$\frac{\sqrt{3}}{4}ac = \sqrt{3}$，解这个等式，我们可以得到$ac = 4$。 最后，将$ac = 4$代入$b^{2} = 2ac$，得到$b^{2} = 8$，所以$b = 2\sqrt{2}$。 <eoe> 【答案】 $b = 2\sqrt{2}$ <eoa> |
$2 \sqrt{2}$ |
| zhipu | 【解析】 首先，我们知道三角形的面积公式为： \[ \text{面积} = \frac{1}{2}ac \sin B \] 题目中给出三角形的面积为 \(\sqrt{3}\)，且 \(B = 60^\circ\)，代入公式得到： \[ \frac{1}{2}ac \sin 60^\circ = \sqrt{3} \] 由于 \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以可以进一步简化为： \[ \frac{1}{2}ac \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{4}ac = \sqrt{3} \] 两边同时除以 \(\sqrt{3}\) 得到： \[ \frac{1}{4}ac = 1 \] \[ ac = 4 \] 接下来，利用题目中给出的条件 \(a^2 + c^2 = 3ac\)，将 \(ac = 4\) 代入得到： \[ a^2 + c^2 = 3 \cdot 4 = 12 \] 现在我们使用余弦定理来求 \(b\)，余弦定理的公式为： \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \] 由于 \(B = 60^\circ\)，且 \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)，代入得到： \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \frac{1}{2} \] \[ b^2 = 12 - 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \] \[ b^2 = 12 - 4 \] \[ b^2 = 8 \] 所以 \(b\) 的值为： \[ b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] <eoe> 【答案】2\sqrt{2}<eoa> |
$2 \sqrt{2}$ |
| gpto1 | 【解析】 已知三角形$\triangle ABC$的面积为$\sqrt{3}$，角$B=60^\circ$，且$a^2 + c^2 = 3ac$。 1. 利用面积公式： \[ S = \frac{1}{2}ac\sin B \] 因为$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以： \[ \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot a c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a c \sqrt{3}}{4} \] 两边同时除以$\sqrt{3}$，得到： \[ 1 = \frac{a c}{4} \] \[ \therefore \quad a c = 4 \quad \quad (1) \] 2. 利用余弦定理在$\triangle ABC$中： \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B \] 因为$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$，所以： \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \frac{1}{2} \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - a c \] 根据已知$a^2 + c^2 = 3ac$，代入得到： \[ b^2 = 3 a c - a c = 2 a c \] 由(1)知$a c = 4$，所以： \[ b^2 = 2 \times 4 = 8 \] \[ \therefore \quad b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] <eoe> 【答案】 $2\sqrt{2}$ <eoa> |
$2 \sqrt{2}$ |
| deepseekv3 | 【解析】我们需要在给定条件下求出边 $b$ 的长度。已知 $\triangle ABC$ 的内角 $B = 60^\circ$，面积为 $\sqrt{3}$，且 $a^{2} + c^{2} = 3ac$。 首先，利用面积公式： \[ \text{面积} = \frac{1}{2} \times a \times c \times \sin B \] 代入已知条件： \[ \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times a \times c \times \sin 60^\circ \] 因为 $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以： \[ \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times a \times c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} a c \] 两边同时除以 $\sqrt{3}$： \[ 1 = \frac{1}{4} a c \implies a c = 4 \] 接下来，利用余弦定理： \[ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos B \] 已知 $a^{2} + c^{2} = 3ac$ 且 $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$，代入得： \[ b^{2} = 3ac - 2ac \times \frac{1}{2} = 3ac - ac = 2ac \] 我们已经求得 $a c = 4$，所以： \[ b^{2} = 2 \times 4 = 8 \implies b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] <eoe> 【答案】$2\sqrt{2}$<eoa> |
$2 \sqrt{2}$ |