| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 首先，我们需要将复数 \( z = \frac{2}{-1+i} \) 化为标准形式。 我们可以通过复数的除法运算来简化 \( z \)： \[ z = \frac{2}{-1+i} = \frac{2}{-1+i} \cdot \frac{-1-i}{-1-i} = \frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} = \frac{-2-2i}{1+1} = \frac{-2-2i}{2} = -1-i \] 接下来，我们逐一验证每个命题： 1. \( p_1: |z| = 2 \) \[ |z| = |-1-i| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \] 显然，\( |z| \neq 2 \)，因此 \( p_1 \) 是假命题。 2. \( p_2: z^2 = 2i \) \[ z^2 = (-1-i)^2 = (-1-i)(-1-i) = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \] 因此，\( p_2 \) 是真命题。 3. \( p_3: z \) 的共轭复数为 \( 1+i \) \( z \) 的共轭复数是 \( \overline{-1-i} = -1+i \)，显然不等于 \( 1+i \)，因此 \( p_3 \) 是假命题。 4. \( p_4: z \) 的虚部为 -1 从 \( z = -1-i \) 可以看出，虚部确实是 -1，因此 \( p_4 \) 是真命题。 综上所述，真命题为 \( p_2 \) 和 \( p_4 \)。 <eoe> 【答案】: C <eoa> |
C |
| deepseekr1 | 【解析】首先化简复数 \( z = \frac{2}{-1+i} \)。通过有理化分母，分子分母同乘以 \(-1-i\)，得： \[ z = \frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} = \frac{-2-2i}{1+1} = \frac{-2-2i}{2} = -1 -i \] - **\(p_1: |z|=2\)**：计算模长 \( |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \neq 2 \)，故 \(p_1\) 错误。 - **\(p_2: z^2=2i\)**：计算 \( z^2 = (-1-i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i \)，故 \(p_2\) 正确。 - **\(p_3\)**：\(z\) 的共轭复数为 \(-1+i\)，而非 \(1+i\)，故 \(p_3\) 错误。 - **\(p_4\)**：\(z = -1-i\) 的虚部为 \(-1\)，故 \(p_4\) 正确。 综上，正确命题为 \(p_2\) 和 \(p_4\)，对应选项 C。 <eoe> 【答案】C <eoa> |
C |
| gpto1 | 【解析】 首先计算复数 \( z = \dfrac{2}{-1 + i} \) 。 将分母有理化： \[ z = \dfrac{2}{-1 + i} \times \dfrac{-1 - i}{-1 - i} = \dfrac{2(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} \] 计算分母： \[ (-1 + i)(-1 - i) = (-1)^2 - (i)^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \] 因此： \[ z = \dfrac{2(-1 - i)}{2} = -1 - i \] 所以 \( z = -1 - i \) 。 接下来验证各个命题： 1. \( p_1: |z| = 2 \) 计算 \( |z| \) ： \[ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] 因此，\( |z| = \sqrt{2} \neq 2 \)，故 \( p_1 \) 错误。 2. \( p_2: z^2 = 2i \) 计算 \( z^2 \) ： \[ z^2 = (-1 - i)^2 = (-1)^2 + 2 \times (-1) \times (-i) + (-i)^2 = 1 + 2i + (-1) = 0 + 2i = 2i \] 所以 \( z^2 = 2i \)，\( p_2 \) 正确。 3. \( p_3: z \) 的共轭复数为 \( 1 + i \) \( z = -1 - i \) 的共轭复数为 \( -1 + i \)，而不是 \( 1 + i \)，故 \( p_3 \) 错误。 4. \( p_4: z \) 的虚部为 -1 \( z = -1 - i \)，其虚部为 -1，\( p_4 \) 正确。 综上，真命题为 \( p_2, p_4 \)。 <eoe> 【答案】C <eoa> |
C |
| GPT-4o | 【解析】 我们需要逐一验证命题 \( p_{1} \), \( p_{2} \), \( p_{3} \), 和 \( p_{4} \) 的真假。首先，我们需要计算复数 \( z \) 的值。 复数 \( z = \frac{2}{-1 + i} \)。 为了简化分母，我们将分子和分母同时乘以分母的共轭 \(-1 - i\)： \[ z = \frac{2}{-1 + i} \cdot \frac{-1 - i}{-1 - i} = \frac{2(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} \] 分母： \[ (-1 + i)(-1 - i) = (-1)^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \] 分子： \[ 2(-1 - i) = -2 - 2i \] 因此： \[ z = \frac{-2 - 2i}{2} = -1 - i \] 现在我们有了 \( z = -1 - i \)，可以验证各个命题。 1. \( p_{1}: |z| = 2 \) 计算 \( z \) 的模： \[ |z| = |-1 - i| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] 这个命题是假的。 2. \( p_{2}: z^2 = 2i \) 计算 \( z^2 \): \[ z^2 = (-1 - i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)(-i) + (-i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \] 这个命题是真的。 3. \( p_{3}: z \) 的共轭复数为 \( 1 + i \) \( z = -1 - i \) 的共轭复数是 \( -1 + i \)，而不是 \( 1 + i \)。这个命题是假的。 4. \( p_{4}: z \) 的虚部为 -1 \( z = -1 - i \) 的虚部是 -1。这个命题是真的。 综上所述，真命题是 \( p_{2} \) 和 \( p_{4} \)。 <eoe> 【答案】 C <eoa> |
['C'] |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 由z=\frac{2}{-1+i}=\frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=1-i,可得|z|=\sqrt{2},z^{2}=-2i,z的共轭复数为1+i,z的虚部为-1,所以p_{1}、p_{2}、p_{3}、p_{4}均为真命题,但选项中没有全为真命题的选项,故本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果应为:本题无解. 本题正确结果 |
['C'] |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是C <eoe> 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 首先，我们需要计算复数 \\( z = \\frac{2}{-1+i} \\)。\n\n为了简化这个表达式，我们可以将分母有理化。分母的共轭复数是 \\(-1-i\\)，所以我们有：\n\\[\nz = \\frac{2}{-1+i} \\cdot \\frac{-1-i}{-1-i} = \\frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}\n\\]\n\n计算分母：\n\\[\n(-1+i)(-1-i) = (-1)^2 - (i)^2 = 1 - (-1) = 2\n\\]\n\n计算分子：\n\\[\n2(-1-i) = -2 - 2i\n\\]\n\n因此：\n\\[\nz = \\frac{-2 - 2i}{2} = -1 - i\n\\]\n\n现在我们来验证每个命题：\n\n1. \\( p_1: |z| = 2 \\)\n\\[\n|z| = |-1 - i| = \\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}\n\\]\n所以 \\( p_1 \\) 是假的。\n\n2. \\( p_2: z^2 = 2i \\)\n\\[\nz^2 = (-1 - i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)(-i) + (-i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i\n\\]\n所以 \\( p_2 \\) 是真的。\n\n3. \\( p_3: z \\) 的共轭复数为 \\( 1+i \\)\n\\[\nz = -1 - i \\Rightarrow \\overline{z} = -1 + i\n\\]\n所以 \\( p_3 \\) 是假的。\n\n4. \\( p_4: z \\) 的虚部为 -1\n\\[\nz = -1 - i \\) 的虚部确实是 -1\n\\]\n所以 \\( p_4 \\) 是真的。\n\n综上所述，真命题是 \\( p_2 \\) 和 \\( p_4 \\)。\n\n<eoe>\n【答案】: C <eoa>" | ['C'] |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】\n首先，我们要化简复数 $z=\\frac{2}{-1+i}$。为了去除分母中的虚部，我们可以乘以分母的共轭复数，即：\n\\[z=\\frac{2}{-1+i} \\cdot \\frac{-1-i}{-1-i} = \\frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} = \\frac{-2-2i}{1+1} = \\frac{-2-2i}{2} = -1-i\\]\n\n接下来，我们逐一验证命题的真假。\n\n$p_{1}:|z|=2$，计算 $z$ 的模，即：\n\\[|z| = |-1-i| = \\sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \\sqrt{2} \\neq 2\\]\n因此，$p_{1}$ 是假命题。\n\n$p_{2}: z^{2}=2i$，计算 $z^2$，即：\n\\[z^2 = (-1-i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i\\]\n因此，$p_{2}$ 是真命题。\n\n$p_{3}: z$ 的共轭复数为 $1+i$，计算 $z$ 的共轭复数，即：\n\\[z^* = -1+i \\neq 1+i\\]\n因此，$p_{3}$ 是假命题。\n\n$p_{4}: z$ 的虚部为 $-1$，由于我们已经计算出 $z = -1-i$，其虚部确实为 $-1$。\n因此，$p_{4}$ 是真命题。\n\n综上所述，真命题为 $p_{2}$ 和 $p_{4}$。\n<eoe>\n【答案】 C. $\\mathrm{p}_{2}, \\mathrm{p}_{4}$ <eoa>" | ['C'] |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们需要简化复数 $z=\frac{2}{-1+i}$。为了去除分母中的复数，我们可以乘以分母的共轭复数，即 $(-1-i)$。这样我们得到： $$ z = \frac{2}{-1+i} \cdot \frac{-1-i}{-1-i} = \frac{-2-2i}{1+1} = \frac{-2-2i}{2} = -1-i $$ 现在我们可以逐个检查每个命题： - $p_{1}: |z|=2$。计算 $z$ 的模长：$|-1-i| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$。因此，$p_{1}$ 是错误的。 - $p_{2}: z^{2}=2i$。计算 $z^2$：$(-1-i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$。因此，$p_{2}$ 是正确的。 - $p_{3}: z$ 的共轭复数为 $1+i$。$z$ 的共轭复数是 $-1+i$，而不是 $1+i$。因此，$p_{3}$ 是错误的。 - $p_{4}: z$ 的虚部为 -1。我们已经得出 $z = -1-i$，所以虚部确实是 -1。因此，$p_{4}$ 是正确的。 综上所述，正确的答案是 $p_{2}$ 和 $p_{4}$。 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| doubao | 【解析】先对复数$z=\frac{2}{-1+i}$化简：$z=\frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=\frac{2(-1-i)}{2}=-1-i$。 $|z|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$，所以$p_1$错误； $z^2=(-1-i)^2=1+2i+i^2=2i$，所以$p_2$正确； $z$的共轭复数为$-1+i$，所以$p_3$错误； $z$的虚部为$-1$，所以$p_4$正确。 综上，真命题为$p_2$，$p_4$。<eoe> 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| minimax | 【解析】首先，我们需要计算复数 $z=\frac{2}{-1+i}$ 的值。为了去除分母中的虚部，我们可以将分子和分母同时乘以分母的共轭复数 $-1-i$，得到： $$ z = \frac{2}{-1+i} \cdot \frac{-1-i}{-1-i} = \frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} = \frac{-2-2i}{1+1} = \frac{-2-2i}{2} = -1-i. $$ 现在我们来验证每个命题的真假。 $p_{1}:|z|=2$。复数 $z$ 的模定义为 $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是复数的实部和虚部。对于 $z=-1-i$，我们有 $a=-1$ 和 $b=-1$，所以 $$ |z| = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \neq 2. $$ 因此，命题 $p_{1}$ 是错误的。 $p_{2}: z^{2}=2i$。我们计算 $z^2$： $$ z^2 = (-1-i)^2 = (-1-i)(-1-i) = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i. $$ 因此，命题 $p_{2}$ 是正确的。 $p_{3}: z$ 的共轭复数为 $1+i$。复数 $z$ 的共轭复数定义为将虚部的符号取反，所以 $z=-1-i$ 的共轭复数是 $-1+i$。因此，命题 $p_{3}$ 是错误的。 $p_{4}: z$ 的虚部为 -1。复数 $z$ 的虚部是 $-1$，所以命题 $p_{4}$ 是正确的。 综上所述，正确的命题是 $p_{2}$ 和 $p_{4}$。 <eoe> 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| kimi | 【解析】首先，我们需要将复数 $z=\frac{2}{-1+i}$ 化简。为了去除分母中的虚部，我们可以将分子和分母都乘以分母的共轭复数 $(-1-i)$。 $z = \frac{2}{-1+i} \cdot \frac{-1-i}{-1-i} = \frac{2(-1-i)}{(-1)^2 - (i)^2} = \frac{-2 - 2i}{1 + 1} = \frac{-2 - 2i}{2} = -1 - i$ 接下来，我们验证四个命题： $p_{1}$: $|z|=2$，计算 $z$ 的模，$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$，所以 $p_{1}$ 是假命题。 $p_{2}$: $z^2 = 2i$，计算 $z^2$，$(-1 - i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$，所以 $p_{2}$ 是真命题。 $p_{3}$: $z$ 的共轭复数为 $1+i$，$z$ 的共轭复数是 $-1 + i$，所以 $p_{3}$ 是假命题。 $p_{4}$: $z$ 的虚部为 -1，$z = -1 - i$ 的虚部确实是 -1，所以 $p_{4}$ 是真命题。 综上所述，真命题为 $p_{2}$ 和 $p_{4}$。 <eoe> 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| wenxinyiyan | 【解析】 首先，我们需要将复数 $z=\frac{2}{-1+i}$ 化为标准形式 $a+bi$。 $z=\frac{2}{-1+i}=\frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=\frac{-2-2i}{1+1}=-\frac{2+2i}{2}=-1-i$ 接下来，我们逐一判断四个命题的真假： $p_{1}:|z|=2$ $|z|=|-1-i|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2} \neq 2$，所以 $p_{1}$ 是假命题。 $p_{2}:z^{2}=2i$ $z^{2}=(-1-i)^{2}=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$，所以 $p_{2}$ 是真命题。 $p_{3}:z$ 的共轭复数为 $1+i$ $z=-1-i$，其共轭复数为 $-1+i \neq 1+i$，所以 $p_{3}$ 是假命题。 $p_{4}:z$ 的虚部为 -1 $z=-1-i$，其虚部为 $-1$，所以 $p_{4}$ 是真命题。 综上，真命题为 $p_{2}$ 和 $p_{4}$。 【答案】 C |
['C'] |
| zhipu | 【解析】 首先，我们需要化简复数 \( z = \frac{2}{-1+i} \)。 1. **化简 \( z \)**: \[ z = \frac{2}{-1+i} \times \frac{-1-i}{-1-i} = \frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} = \frac{-2-2i}{1+1} = \frac{-2-2i}{2} = -1 - i \] 所以，\( z = -1 - i \)。 2. **验证命题 \( p_1 \): \( |z| = 2 \)**: \[ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] 显然，\( \sqrt{2} \neq 2 \)，所以 \( p_1 \) 是假命题。 3. **验证命题 \( p_2 \): \( z^2 = 2i \)**: \[ z^2 = (-1 - i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \] 所以 \( p_2 \) 是真命题。 4. **验证命题 \( p_3 \): \( z \) 的共轭复数为 \( 1+i \)**: \[ \text{共轭复数} \overline{z} = \overline{-1 - i} = -1 + i \] 显然，\( -1 + i \neq 1 + i \)，所以 \( p_3 \) 是假命题。 5. **验证命题 \( p_4 \): \( z \) 的虚部为 -1**: \[ z = -1 - i \text{ 的虚部是 } -1 \] 所以 \( p_4 \) 是真命题。 综上所述，真命题是 \( p_2 \) 和 \( p_4 \)。 <eoe> 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| gpto1 | 【解析】 首先计算复数 \( z = \dfrac{2}{-1 + i} \) 。 将分母有理化： \[ z = \dfrac{2}{-1 + i} \times \dfrac{-1 - i}{-1 - i} = \dfrac{2(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} \] 计算分母： \[ (-1 + i)(-1 - i) = (-1)^2 - (i)^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \] 因此： \[ z = \dfrac{2(-1 - i)}{2} = -1 - i \] 所以 \( z = -1 - i \) 。 接下来验证各个命题： 1. \( p_1: |z| = 2 \) 计算 \( |z| \) ： \[ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] 因此，\( |z| = \sqrt{2} \neq 2 \)，故 \( p_1 \) 错误。 2. \( p_2: z^2 = 2i \) 计算 \( z^2 \) ： \[ z^2 = (-1 - i)^2 = (-1)^2 + 2 \times (-1) \times (-i) + (-i)^2 = 1 + 2i + (-1) = 0 + 2i = 2i \] 所以 \( z^2 = 2i \)，\( p_2 \) 正确。 3. \( p_3: z \) 的共轭复数为 \( 1 + i \) \( z = -1 - i \) 的共轭复数为 \( -1 + i \)，而不是 \( 1 + i \)，故 \( p_3 \) 错误。 4. \( p_4: z \) 的虚部为 -1 \( z = -1 - i \)，其虚部为 -1，\( p_4 \) 正确。 综上，真命题为 \( p_2, p_4 \)。 <eoe> 【答案】C <eoa> |
C |
| deepseekv3 | 【解析】 首先计算复数 $z=\frac{2}{-1+i}$ 的值。 1. **计算 $z$ 的值**： \[ z = \frac{2}{-1 + i} = \frac{2(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{-2 - 2i}{1 + 1} = \frac{-2 - 2i}{2} = -1 - i \] 2. **验证 $p_1$：$|z|=2$**： \[ |z| = |-1 - i| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \neq 2 \] 所以 $p_1$ 为假。 3. **验证 $p_2$：$z^2=2i$**： \[ z^2 = (-1 - i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)(-i) + (-i)^2 = 1 + 2i + (-1) = 2i \] 所以 $p_2$ 为真。 4. **验证 $p_3$：$z$ 的共轭复数为 $1+i$**： \[ \overline{z} = -1 + i \neq 1 + i \] 所以 $p_3$ 为假。 5. **验证 $p_4$：$z$ 的虚部为 -1**： \[ z = -1 - i \Rightarrow \text{虚部为} -1 \] 所以 $p_4$ 为真。 综上，真命题为 $p_2$ 和 $p_4$。 <eoe> 【答案】C <eoa> |
C |