| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 我们需要逐项分析每个选项，找出在 $a>b>1,0<c<1$ 条件下哪一个不等式成立。 1. **选项 A: $a^{c}<b^{c}$** 考虑指数函数 $f(x) = x^c$，其中 $0 < c < 1$。对于 $x > 1$，函数 $f(x)$ 是递增的。因此，如果 $a > b > 1$，则 $a^c > b^c$。所以选项 A 不成立。 2. **选项 B: $a b^{c}<b a^{c}$** 我们可以通过比较 $a b^{c}$ 和 $b a^{c}$ 来判断。将两边除以 $ab$，得到 $b^{c-1} < a^{c-1}$。由于 $c < 1$，所以 $c-1 < 0$。因此，$b^{c-1} > a^{c-1}$，这与 $a b^{c}<b a^{c}$ 矛盾。所以选项 B 不成立。 3. **选项 C: $a \log _{b} c<b \log _{a} c$** 我们可以利用对数的性质来分析。首先，注意到 $\log_b c < 0$ 和 $\log_a c < 0$，因为 $0 < c < 1$。对数的变换公式 $\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}$ 可以帮助我们比较。由于 $a > b > 1$，所以 $\log_a b < 1$。因此，$\frac{\log_a c}{\log_a b} > \log_a c$。这意味着 $a \log _{b} c > b \log _{a} c$，所以选项 C 不成立。 4. **选项 D: $\log _{a} c<\log _{b} c$** 由于 $0 < c < 1$，所以 $\log_a c < 0$ 和 $\log_b c < 0$。对数的变换公式 $\log_a c = \log_b c \cdot \log_a b$ 可以帮助我们比较。由于 $a > b > 1$，所以 $\log_a b < 1$。因此，$\log_a c > \log_b c$，所以选项 D 不成立。 通过以上分析，我们发现选项 A、B、C、D 都不成立。因此，题目可能存在错误或需要重新审视。 【答案】: 无正确答案 <eoa> |
C |
| deepseekr1 | 【解析】 对于选项C，考虑$a \log_b c$和$b \log_a c$。由于$0 < c < 1$，$\log_b c$和$\log_a c$均为负数。通过换底公式，$\log_b c = \frac{\ln c}{\ln b}$，$\log_a c = \frac{\ln c}{\ln a}$。比较$a \cdot \frac{\ln c}{\ln b}$和$b \cdot \frac{\ln c}{\ln a}$，因$\ln c <0$，可简化为比较$\frac{a}{\ln b}$和$\frac{b}{\ln a}$。取$a=4$，$b=2$，$\frac{4}{\ln 2} \approx 5.77$，$\frac{2}{\ln 4} \approx 1.44$，显然$\frac{a}{\ln b} > \frac{b}{\ln a}$，故$a \log_b c < b \log_a c$成立。其他选项通过反例验证均不成立。 <eoe> 【答案】 C <eoa> |
C |
| gpto1 | 【解析】 已知$a > b > 1$，且$0 < c < 1$。 **选项A**：$a^{c} < b^{c}$。 当$x > 0$且$c > 0$时，函数$y = x^{c}$是增函数。因此，当$a > b$时，有$a^{c} > b^{c}$。所以选项A错误。 --- **选项B**：$a b^{c} < b a^{c}$。 将不等式变形： 左边：$a b^{c} = a \cdot b^{c}$。 右边：$b a^{c} = b \cdot a^{c}$。 考虑两边取对数： $\ln(a b^{c}) = \ln a + c \ln b$， $\ln(b a^{c}) = \ln b + c \ln a$。 因此，不等式变为： $\ln a + c \ln b < \ln b + c \ln a$。 整理： $\ln a - \ln b < c (\ln a - \ln b)$。 提取$\ln a - \ln b$（注意$\ln a - \ln b > 0$）： $(1 - c)(\ln a - \ln b) < 0$。 因为$1 - c > 0$（$c \in (0,1)$），且$\ln a - \ln b > 0$（因为$a > b > 1$），所以左边为正数，右边为0。由此得到不等式不成立，即： $(1 - c)(\ln a - \ln b) > 0$。 因此，原不等式成立，选项B正确。 --- **选项C**：$a \log_b c < b \log_a c$。 将对数换底： $a \cdot \dfrac{\ln c}{\ln b} < b \cdot \dfrac{\ln c}{\ln a}$。 由于$\ln c < 0$（因为$0 < c < 1$），所以两边同乘负数$\ln c$会改变不等号方向： $a \cdot \dfrac{1}{\ln b} > b \cdot \dfrac{1}{\ln a}$。 因为$a > b > 1$，所以$\ln a > \ln b > 0$，因此$\dfrac{1}{\ln b} > \dfrac{1}{\ln a}$。 但$a > b$，所以$a \cdot \dfrac{1}{\ln b} > b \cdot \dfrac{1}{\ln a}$不一定成立，选项C错误。 --- **选项D**：$\log_a c < \log_b c$。 同样利用换底公式： $\log_a c = \dfrac{\ln c}{\ln a}$， $\log_b c = \dfrac{\ln c}{\ln b}$。 由于$\ln c < 0$，$\ln a > \ln b > 0$，所以$\dfrac{\ln c}{\ln a} < \dfrac{\ln c}{\ln b}$，即： $\log_a c > \log_b c$。 所以选项D错误。 综上所述，只有选项B正确。 <eoe> 【答案】B<eoa> |
C |
| GPT-4o | 【解析】 我们逐项分析各个选项。 A. \(a^c < b^c\) 因为 \(a > b > 1\) 且 \(0 < c < 1\)，对数函数在 \( (0, 1) \) 区间是递增的，所以 \(a^c > b^c\)，选项A不正确。 B. \(a b^c < b a^c\) 考虑 \(a b^c\) 和 \(b a^c\)，我们可以写成： \[ a b^c = b^c a \] \[ b a^c = a^c b \] 因为 \(a > b\) 且 \(0 < c < 1\)，所以 \(a^c > b^c\)。因此： \[ a^c b > b^c a \] 选项B不正确。 C. \(a \log_b c < b \log_a c\) 我们考虑对数函数的性质。因为 \(a > b > 1\) 且 \(0 < c < 1\)，我们需要比较 \(a \log_b c\) 和 \(b \log_a c\)。注意到： \[ \log_b c = \frac{\log c}{\log b} \] \[ \log_a c = \frac{\log c}{\log a} \] 因为 \(\log_b c\) 和 \(\log_a c\) 都是负数（因为 \(0 < c < 1\)），且 \(\log a > \log b\)，所以 \(\frac{1}{\log b} > \frac{1}{\log a}\)，因此： \[ \log_b c < \log_a c \] \[ a \log_b c < b \log_a c \] 所以选项C正确。 D. \(\log_a c < \log_b c\) 因为 \(a > b > 1\) 且 \(0 < c < 1\)，对数函数是单调递减的，所以 \(\log_a c > \log_b c\)，选项D不正确。 综合以上分析，只有选项C是正确的。 <eoe> 【答案】 C <eoa> |
['C'] |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 由题意可得a^{c}>b^{c},a^{c}>1,b^{c}>1,所以\frac{a^{c}}{b^{c}}>\frac{b^{c}}{a^{c}},即\frac{a}{b}>\frac{b}{a},所以\log_{a}b>\log_{b}a,所以\log_{a}b\cdot\log_{b}c>\log_{b}a\cdot\log_{a}c,所以\log_{b}c>\log_{a}c,所以b\log_{a}c>a\log_{b}c,所以C正确. 最终结果是C |
['C'] |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是D <eoe> 【答案】 D <eoa> |
['C'] |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 \n首先，我们需要分析每个选项，看看在给定条件下 $a>b>1, 0<c<1$ 是否成立。\n\nA. $a^{c}<b^{c}$\n由于 $0<c<1$，我们知道 $c$ 是一个小于1的正数。对于 $a>b>1$，当 $c$ 取小于1的值时，$a^{c}$ 和 $b^{c}$ 的值都会小于 $a$ 和 $b$ 本身，但 $a^{c}$ 仍然大于 $b^{c}$，因为 $a$ 比 $b$ 大。因此，$a^{c}<b^{c}$ 不成立。\n\nB. $a b^{c}<b a^{c}$\n我们可以将这个不等式重新排列为 $a b^{c} < b a^{c}$，即 $a/b < a^{c}/b^{c}$。由于 $a>b$，$a/b > 1$，而 $a^{c}/b^{c}$ 由于 $c<1$，$a^{c}<a$ 和 $b^{c}<b$，所以 $a^{c}/b^{c} < a/b$。因此，$a b^{c}<b a^{c}$ 不成立。\n\nC. $a \\log _{b} c<b \\log _{a} c$\n我们知道 $\\log _{b} c$ 和 $\\log _{a} c$ 都是负数，因为 $0<c<1$ 且 $a, b > 1$。我们可以将不等式重新排列为 $a/b < \\log _{a} c / \\log _{b} c$。由于 $\\log _{a} c$ 和 $\\log _{b} c$ 都是负数，且 $\\log _{a} c$ 的绝对值大于 $\\log _{b} c$ 的绝对值（因为 $a>b$），所以 $\\log _{a} c / \\log _{b} c < 1$。因此，$a \\log _{b} c<b \\log _{a} c$ 成立。\n\nD. $\\log _{a} c<\\log _{b} c$\n由于 $a>b>1$，$\\log _{a} c$ 和 $\\log _{b} c$ 都是负数，但 $\\log _{a} c$ 的绝对值大于 $\\log _{b} c$ 的绝对值，因为 $a$ 比 $b$ 大。因此，$\\log _{a} c<\\log _{b} c$ 不成立。\n\n综上所述，只有选项 C 成立。\n<eoe>\n【答案】: C <eoa>" | ['C'] |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】\n本题主要考察指数函数、对数函数的性质以及不等式的应用。给定条件是 $a>b>1$ 和 $0<c<1$。\n\n首先，我们来逐一分析选项：\nA. $a^{c}<b^{c}$。由于 $c>0$，且 $a>b>1$，指数函数在正实数区间内是单调递增的，故 $a^{c}>b^{c}$，因此选项A错误。\n\nB. $a b^{c}<b a^{c}$。通过简单的变形，可以将不等式写为 $\\frac{a}{a^{c}}<\\frac{b}{b^{c}}$，即 $a^{1-c}<b^{1-c}$。由于 $0<c<1$，则 $1-c>0$。因为 $a>b>1$，所以 $a^{1-c}>b^{1-c}$，故选项B错误。\n\nC. $a \\log _{b} c<b \\log _{a} c$。利用换底公式 $\\log _{b} c=\\frac{\\log _{a} c}{\\log _{a} b}$，代入原式，得 $a \\frac{\\log _{a} c}{\\log _{a} b}<b \\log _{a} c$。由于 $0<c<1$，则 $\\log _{a} c<0$（因为$a>1$，所以对数函数在$(0,1)$区间内是单调递减的）。同时，因为 $a>b>1$，则 $\\log _{a} b>1$。所以，原不等式可以转化为 $a < b \\log _{a} b$，由于 $a>b>1$ 和 $\\log _{a} b>1$，原不等式成立，故选项C正确。\n\nD. $\\log _{a} c<\\log _{b} c$。由于 $0<c<1$，$\\log _{a} c$ 和 $\\log _{b} c$ 都是负数。因为 $a>b>1$，所以 $\\log _{a} c>\\log _{b} c$（对数函数在$(0,1)$区间内是单调递减的，底数越大，函数值越大）。故选项D错误。\n\n【答案】: C <eoa>" | ['C'] |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们知道 $a>b>1$，这意味着 $a$ 和 $b$ 都是大于1的正数，且 $a$ 大于 $b$。接下来，$0<c<1$ 表示 $c$ 是一个介于0和1之间的正数。 选项A：$a^{c}<b^{c}$。由于指数函数 $f(x)=x^c$ 在 $x>0$ 时是单调递增的（因为 $0<c<1$），而 $a>b$，根据单调性，我们有 $a^{c}>b^{c}$。因此，选项A错误。 选项B：$a b^{c}<b a^{c}$。由于 $a>b>1$，乘以 $b^c$ 或 $a^c$ 不会改变不等式的方向，所以 $a b^{c}>b a^{c}$。因此，选项B错误。 选项C：$a \log _{b} c<b \log _{a} c$。这个不等式可以通过换底公式转化为 $\frac{\log c}{\log b}<\frac{\log c}{\log a}$。由于 $a>b>1$，$\log a > \log b$，且 $\log c < 0$（因为 $0<c<1$），所以两边同时乘以 $\log c$（负数），不等号方向会反转，得到 $\frac{\log c}{\log b}>\frac{\log c}{\log a}$。这与原不等式矛盾，因此选项C错误。 选项D：$\log _{a} c<\log _{b} c$。由于 $a>b>1$，且 $0<c<1$，根据对数函数的性质，当底数大于1时，对数函数是单调递增的。因此，较小的 $c$ 对应较小的对数值。所以 $\log _{a} c<\log _{b} c$ 成立。 综上所述，正确答案是选项D。 |
['C'] |
| doubao | 【解析】：逐一分析选项。 对于 A 项，利用幂函数的性质，当指数小于 0 时，底数越大值越小，因为$a>b>1$，$0<c<1$，所以$a^{c}>b^{c}$，A 项错误。 对于 B 项，将$ab^{c}$与$ba^{c}$作商可得$\frac{a{b}^{c}}{b{a}^{c}}=\frac{a}{b}\cdot(\frac{b}{a})^{c}=\frac{a}{b}\cdot(\frac{1}{\frac{a}{b}})^{c}=\frac{a}{b}\cdot(\frac{b}{a})^{-c}=\frac{a}{b}\cdot(\frac{a}{b})^{c-1}$，因为$a>b>1$，所以$\frac{a}{b}>1$，$c-1<0$，所以$(\frac{a}{b})^{c-1}<1$，即$\frac{a{b}^{c}}{b{a}^{c}}<1$，所以$ab^{c}<ba^{c}$，B 项错误。 对于 C 项，$a\log_{b}c<b\log_{a}c$可化为$\frac{\log_{b}c}{b}<\frac{\log_{a}c}{a}$，令$f(x)=\frac{\log_{x}c}{x}(x>1)$，则$f'(x)=\frac{1-\ln x\cdot\log_{x}c}{x^{2}\ln x}$，因为$x>1$，$0<c<1$，所以$\ln x>0$，$\log_{x}c<0$，$1-\ln x\cdot\log_{x}c>0$，所以$f'(x)>0$，即$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，因为$a>b>1$，所以$f(a)>f(b)$，即$\frac{\log_{a}c}{a}>\frac{\log_{b}c}{b}$，所以$a\log_{b}c<b\log_{a}c$，C 项正确。 对于 D 项，当$a=3$，$b=2$，$c=\frac{1}{2}$时，$\log_{a}c=\log_{3}\frac{1}{2}=-\log_{3}2$，$\log_{b}c=\log_{2}\frac{1}{2}=-1$，此时$\log_{a}c>\log_{b}c$，D 项错误。 <eoe> 【答案】：C <eoa> |
['C'] |
| minimax | 【解析】 首先，我们来分析每个选项。 A. $a^{c}<b^{c}$ 由于 $a>b>1$，且 $0<c<1$，我们知道 $a$ 和 $b$ 都是大于1的数，而 $c$ 是一个小于1的正数。当底数大于1时，指数函数随着指数的增加而增加。因此，$a^{c}$ 和 $b^{c}$ 都是正数，且 $a^{c}$ 大于 $b^{c}$。所以选项A是错误的。 B. $a b^{c}<b a^{c}$ 这个选项可以重写为 $a/b < b^{c}/a^{c}$，即 $a/b < (b/a)^{-c}$。由于 $a>b>1$，则 $a/b>1$。而 $0<c<1$，所以 $-c<0$，这意味着 $(b/a)^{-c}$ 是一个小于1的正数。因此，$a/b$ 不可能小于 $(b/a)^{-c}$。所以选项B是错误的。 C. $a \log _{b} c<b \log _{a} c$ 这个选项可以重写为 $a \log _{b} c - b \log _{a} c < 0$。我们可以使用换底公式 $\log _{b} c = \frac{\log c}{\log b}$ 和 $\log _{a} c = \frac{\log c}{\log a}$ 来重写不等式： $a \frac{\log c}{\log b} - b \frac{\log c}{\log a} < 0$ 由于 $0<c<1$，我们知道 $\log c < 0$。同时，由于 $a>b>1$，我们知道 $\log a > \log b > 0$。因此，$\frac{\log c}{\log b}$ 和 $\frac{\log c}{\log a}$ 都是负数。但是，由于 $a>b$，$a$ 乘以一个负数会比 $b$ 乘以一个更大的负数要小。因此，$a \frac{\log c}{\log b}$ 会比 $b \frac{\log c}{\log a}$ 小，所以 $a \log _{b} c < b \log _{a} c$。因此，选项C是正确的。 D. $\log _{a} c<\log _{b} c$ 由于 $0<c<1$，我们知道 $\log _{a} c$ 和 $\log _{b} c$ 都是负数。但是，由于 $a>b>1$，我们知道 $\log _{a} c$ 的绝对值会比 $\log _{b} c$ 的绝对值大，因为底数越大，相同的真数对应的对数值越小（在真数小于1的情况下）。因此，$\log _{a} c$ 实际上比 $\log _{b} c$ 更小（更负），所以选项D是错误的。 综上所述，只有选项C是正确的。 <eoe> 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| kimi | 【解析】首先，我们来分析每个选项： A. $a^{c}<b^{c}$：由于$a>b>1$，且$0<c<1$，根据指数函数的性质，当底数大于1时，指数越大，函数值越大。所以，$a^c$应该大于$b^c$，因此选项A是错误的。 B. $a b^{c}<b a^{c}$：我们可以将这个不等式重写为$\frac{a}{b}<\left(\frac{b}{a}\right)^c$。由于$a>b>1$，我们可以得出$\frac{a}{b}>1$，而$0<c<1$，所以$\left(\frac{b}{a}\right)^c<\frac{b}{a}<1$。因此，$\frac{a}{b}$大于$\left(\frac{b}{a}\right)^c$，所以选项B也是错误的。 C. $a \log _{b} c<b \log _{a} c$：我们可以将这个不等式重写为$\frac{\log _{b} c}{\log _{a} c}<\frac{b}{a}$。由于$0<c<1$，我们知道$\log _{b} c<0$和$\log _{a} c<0$。因此，$\frac{\log _{b} c}{\log _{a} c}$是一个负数，而$\frac{b}{a}$是一个正数，所以不等式不成立。因此选项C是错误的。 D. $\log _{a} c<\log _{b} c$：由于$0<c<1$，我们知道$\log _{a} c<0$和$\log _{b} c<0$。根据对数函数的性质，当底数大于1时，底数越大，对数越小。因此，$\log _{a} c$应该小于$\log _{b} c$，所以选项D是正确的。 <eoe> 【答案】: D <eoa> |
['C'] |
| wenxinyiyan | 【解析】 对于选项A： 由于$0<c<1$，函数$y=x^c$在$(0,+\infty)$上是减函数。 因为$a>b>1$，所以$a^c<b^c$，故A正确。 对于选项B： 由于$a>b>1$，且$0<c<1$， 则$a^c<b^c$，且$a>b$。 因此，$ab^c<ba^c$，故B正确。 对于选项C： 令$c=\frac{1}{2}$，$a=4$，$b=2$， 则$a\log_b c=4\log_2 \frac{1}{2}=-4$， $b\log_a c=2\log_4 \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$， 显然，$-4<-\frac{1}{2}$，故C错误。 对于选项D： 由于$0<c<1$，$\log_c x$是减函数。 因为$a>b>1$，所以$\log_a c<\log_b c$，故D正确。 综上，正确答案是ABD。 【答案】ABD<eoa> |
['C'] |
| zhipu | 【解析】 首先，我们分析每个选项的条件和结论。 A. \(a^c < b^c\) 由于 \(a > b > 1\) 且 \(0 < c < 1\)，我们知道指数函数 \(f(x) = x^c\) 在 \(x > 1\) 时是递减的。因此，当 \(a > b\) 时，\(a^c < b^c\)。所以选项A是正确的。 B. \(ab^c < ba^c\) 我们可以将这个不等式重新排列为 \(\frac{a}{a^c} < \frac{b}{b^c}\)，即 \(a^{1-c} < b^{1-c}\)。由于 \(0 < c < 1\)，所以 \(1 - c > 0\)，此时幂函数 \(g(x) = x^{1-c}\) 在 \(x > 1\) 时是递增的。因此，当 \(a > b\) 时，\(a^{1-c} > b^{1-c}\)，所以选项B是错误的。 C. \(a \log_b c < b \log_a c\) 我们可以利用对数的换底公式，将不等式转换为 \(a \frac{\log c}{\log b} < b \frac{\log c}{\log a}\)。由于 \(a > b > 1\) 且 \(0 < c < 1\)，所以 \(\log c < 0\)。此时不等式变为 \(a \frac{\log c}{\log b} < b \frac{\log c}{\log a}\)，即 \(\frac{a}{\log b} < \frac{b}{\log a}\)。由于 \(a > b\) 且 \(\log a > \log b\)，所以 \(\frac{a}{\log b} > \frac{b}{\log a}\)，因此选项C是错误的。 D. \(\log_a c < \log_b c\) 利用对数的换底公式，我们可以将不等式转换为 \(\frac{\log c}{\log a} < \frac{\log c}{\log b}\)。由于 \(0 < c < 1\)，所以 \(\log c < 0\)。此时不等式变为 \(\frac{\log c}{\log a} < \frac{\log c}{\log b}\)，即 \(\frac{1}{\log a} > \frac{1}{\log b}\)。由于 \(a > b > 1\)，所以 \(\log a > \log b\)，因此 \(\frac{1}{\log a} < \frac{1}{\log b}\)，所以选项D是错误的。 综上所述，只有选项A是正确的。 <eoe> 【答案】: A <eoa> |
['C'] |
| gpto1 | 【解析】 已知$a > b > 1$，且$0 < c < 1$。 **选项A**：$a^{c} < b^{c}$。 当$x > 0$且$c > 0$时，函数$y = x^{c}$是增函数。因此，当$a > b$时，有$a^{c} > b^{c}$。所以选项A错误。 --- **选项B**：$a b^{c} < b a^{c}$。 将不等式变形： 左边：$a b^{c} = a \cdot b^{c}$。 右边：$b a^{c} = b \cdot a^{c}$。 考虑两边取对数： $\ln(a b^{c}) = \ln a + c \ln b$， $\ln(b a^{c}) = \ln b + c \ln a$。 因此，不等式变为： $\ln a + c \ln b < \ln b + c \ln a$。 整理： $\ln a - \ln b < c (\ln a - \ln b)$。 提取$\ln a - \ln b$（注意$\ln a - \ln b > 0$）： $(1 - c)(\ln a - \ln b) < 0$。 因为$1 - c > 0$（$c \in (0,1)$），且$\ln a - \ln b > 0$（因为$a > b > 1$），所以左边为正数，右边为0。由此得到不等式不成立，即： $(1 - c)(\ln a - \ln b) > 0$。 因此，原不等式成立，选项B正确。 --- **选项C**：$a \log_b c < b \log_a c$。 将对数换底： $a \cdot \dfrac{\ln c}{\ln b} < b \cdot \dfrac{\ln c}{\ln a}$。 由于$\ln c < 0$（因为$0 < c < 1$），所以两边同乘负数$\ln c$会改变不等号方向： $a \cdot \dfrac{1}{\ln b} > b \cdot \dfrac{1}{\ln a}$。 因为$a > b > 1$，所以$\ln a > \ln b > 0$，因此$\dfrac{1}{\ln b} > \dfrac{1}{\ln a}$。 但$a > b$，所以$a \cdot \dfrac{1}{\ln b} > b \cdot \dfrac{1}{\ln a}$不一定成立，选项C错误。 --- **选项D**：$\log_a c < \log_b c$。 同样利用换底公式： $\log_a c = \dfrac{\ln c}{\ln a}$， $\log_b c = \dfrac{\ln c}{\ln b}$。 由于$\ln c < 0$，$\ln a > \ln b > 0$，所以$\dfrac{\ln c}{\ln a} < \dfrac{\ln c}{\ln b}$，即： $\log_a c > \log_b c$。 所以选项D错误。 综上所述，只有选项B正确。 <eoe> 【答案】B<eoa> |
C |
| deepseekv3 | 【解析】 我们需要逐一分析选项，判断其正确性。 已知条件： - \( a > b > 1 \) - \( 0 < c < 1 \) **选项A**：\( a^{c} < b^{c} \) 由于 \( a > b > 1 \) 且 \( 0 < c < 1 \)，幂函数 \( x^{c} \) 在 \( x > 1 \) 时是递增函数，因此 \( a^{c} > b^{c} \)。所以选项A错误。 **选项B**：\( a b^{c} < b a^{c} \) 将不等式两边同时除以 \( b^{c} a^{c} \)，得到 \( \frac{a}{a^{c}} < \frac{b}{b^{c}} \)，即 \( a^{1-c} < b^{1-c} \)。由于 \( a > b \) 且 \( 1 - c > 0 \)，幂函数 \( x^{1-c} \) 是递增函数，因此 \( a^{1-c} > b^{1-c} \)。所以选项B错误。 **选项C**：\( a \log _{b} c < b \log _{a} c \) 由于 \( 0 < c < 1 \)，\( \log_{b} c \) 和 \( \log_{a} c \) 都是负数。由于 \( a > b \)，\( \log_{b} c > \log_{a} c \)。但是 \( a > b \) 会使得 \( a \log_{b} c \) 和 \( b \log_{a} c \) 的大小关系不明确，因此无法直接判断选项C的正确性。 **选项D**：\( \log _{a} c < \log _{b} c \) 由于 \( a > b > 1 \) 和 \( 0 < c < 1 \)，对数函数 \( \log_{x} c \) 在 \( x > 1 \) 时是递减函数，因此 \( \log_{a} c < \log_{b} c \)。所以选项D正确。 <eoe> 【答案】D <eoa> |
C |