| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 首先，我们知道双曲线的渐近线方程为 $y = \frac{\sqrt{5}}{2} x$。渐近线的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$。 双曲线的渐近线方程形式为 $y = \pm \frac{b}{a} x$。由此可得 $\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。 其次，双曲线和椭圆有公共焦点。椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$。椭圆的焦点坐标为 $(c, 0)$，其中 $c = \sqrt{12 - 3} = 3$。 因此，双曲线的焦点坐标也为 $(c, 0)$，其中 $c = 3$。 双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，且 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$。 已知 $c = 3$，所以 $a^{2}+b^{2}=9$。 我们有两个方程： 1. $\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ 2. $a^{2}+b^{2}=9$ 将第一个方程平方得到 $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{5}{4}$，即 $b^{2} = \frac{5}{4} a^{2}$。 代入第二个方程得到 $a^{2} + \frac{5}{4} a^{2} = 9$，即 $\frac{9}{4} a^{2} = 9$。 解得 $a^{2} = 4$，所以 $a = 2$。 再用 $b^{2} = \frac{5}{4} a^{2}$ 得到 $b^{2} = \frac{5}{4} \times 4 = 5$，所以 $b = \sqrt{5}$。 因此，双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$。 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
B |
| deepseekr1 | 【解析】 已知椭圆方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$，其长半轴$a^2=12$，短半轴$b^2=3$，焦距$c^2=a^2 - b^2=9$，故椭圆焦点为$(\pm3, 0)$。双曲线$C$与椭圆有公共焦点，故双曲线焦距$c=3$，即满足$c^2=a^2+b^2=9$。双曲线渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，由题知$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，即$b=\frac{\sqrt{5}}{2}a$。代入$c^2=a^2+b^2$得： \[ a^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{2}a\right)^2 = 9 \implies a^2 + \frac{5}{4}a^2 = 9 \implies \frac{9}{4}a^2 = 9 \implies a^2=4 \] 故$a=2$，$b=\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 2 = \sqrt{5}$，则$b^2=5$。因此双曲线方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$，对应选项B。 <eoe> 【答案】B <eoa> |
B |
| gpto1 | 【解析】 首先，已知双曲线 \( C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \) 的一条渐近线方程为 \( y = \frac{\sqrt{5}}{2} x \)。 对双曲线来说，渐近线方程为 \( y = \pm \frac{b}{a} x \)，因此有： \[ \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{\sqrt{5}}{2} a \] 其次，已知双曲线 \( C \) 与椭圆 \( \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1 \) 有公共焦点。 先求椭圆的焦距。椭圆的半长轴和半短轴分别为： \[ a_{\text{椭}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}, \quad b_{\text{椭}} = \sqrt{3} \] 椭圆的焦距为： \[ c_{\text{椭}} = \sqrt{a_{\text{椭}}^{2} - b_{\text{椭}}^{2}} = \sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3 \] 所以椭圆的焦点坐标为 \( (\pm 3, 0) \)。 双曲线的焦距为： \[ c_{\text{双}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left( \frac{\sqrt{5}}{2} a \right)^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{5a^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{9a^{2}}{4}} = \frac{3a}{2} \] 因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以它们的焦距相等，即： \[ \frac{3a}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \] 代入 \( b = \frac{\sqrt{5}}{2} a \)： \[ b = \frac{\sqrt{5}}{2} \times 2 = \sqrt{5} \] 因此，双曲线的方程为： \[ \frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{y^{2}}{(\sqrt{5})^{2}} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1 \] 与选项对比，正确答案为 B. <eoe> 【答案】 B <eoa> |
B |
| GPT-4o | 【解析】 已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{\sqrt{5}}{2} x$。根据双曲线的渐近线方程的形式，我们知道渐近线的斜率是 $\pm \frac{b}{a}$，所以 $\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。因此，$b = \frac{\sqrt{5}}{2} a$。 另外，题目中提到双曲线和椭圆有公共焦点。椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$，我们知道椭圆的焦点在 $x$ 轴上，其焦距 $c_{\text{椭圆}} = \sqrt{12-3} = \sqrt{9} = 3$。 因此，双曲线的焦距 $c_{\text{双曲线}}$ 也应为 3。对于双曲线，焦距 $c$ 满足 $c^2 = a^2 + b^2$。将 $b = \frac{\sqrt{5}}{2} a$ 带入，我们有 \[ c^2 = a^2 + \left( \frac{\sqrt{5}}{2} a \right)^2 \] \[ 9 = a^2 + \frac{5}{4} a^2 \] \[ 9 = \frac{4a^2 + 5a^2}{4} \] \[ 9 = \frac{9a^2}{4} \] \[ a^2 = 4 \] 从而 $a = 2$ 或 $a = -2$ 取正值 $a = 2$。此时，$b = \frac{\sqrt{5}}{2} \times 2 = \sqrt{5}$。 所以双曲线的方程为 \[ \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1 \] 综上所述，正确答案是 B。 <eoe> 【答案】 B <eoa> |
['B'] |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 由题意可得\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2},椭圆\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1的焦点为(\pm3,0),所以a^{2}+b^{2}=9,解得a^{2}=4,b^{2}=5,所以C的方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1. 最终结果是x^2/4-y^2/5=1 |
['B'] |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是x^2/4-y^2/5=1 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
['B'] |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 \n首先，我们知道双曲线的渐近线方程为 $y=\\pm \\frac{b}{a} x$。题目中给出的渐近线方程为 $y=\\frac{\\sqrt{5}}{2} x$，因此我们有 $\\frac{b}{a} = \\frac{\\sqrt{5}}{2}$，即 $b = \\frac{\\sqrt{5}}{2} a$。\n\n其次，双曲线和椭圆有公共焦点。椭圆的方程为 $\\frac{x^{2}}{12}+\\frac{y^{2}}{3}=1$，其焦点在 $x$ 轴上，焦距为 $2\\sqrt{12-3} = 2\\sqrt{9} = 6$，所以焦点坐标为 $(\\pm 3, 0)$。\n\n双曲线的焦点也在 $x$ 轴上，焦距为 $2\\sqrt{a^2 + b^2}$。由于双曲线和椭圆有公共焦点，所以 $2\\sqrt{a^2 + b^2} = 6$，即 $\\sqrt{a^2 + b^2} = 3$。\n\n将 $b = \\frac{\\sqrt{5}}{2} a$ 代入 $\\sqrt{a^2 + b^2} = 3$，得到 $\\sqrt{a^2 + (\\frac{\\sqrt{5}}{2} a)^2} = 3$，即 $\\sqrt{a^2 + \\frac{5}{4} a^2} = 3$，即 $\\sqrt{\\frac{9}{4} a^2} = 3$，即 $\\frac{3}{2} a = 3$，所以 $a = 2$。\n\n然后，将 $a = 2$ 代入 $b = \\frac{\\sqrt{5}}{2} a$，得到 $b = \\frac{\\sqrt{5}}{2} \\times 2 = \\sqrt{5}$。\n\n所以，双曲线的方程为 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，即 $\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{5}=1$。\n\n综上，正确答案为 B。\n<eoe>\n【答案】: B <eoa>" | ['B'] |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】\n首先，双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的渐近线方程为 $y=\\pm\\frac{b}{a}x$。题目中给出的渐近线方程是 $y=\\frac{\\sqrt{5}}{2} x$，因此我们可以得出 $\\frac{b}{a}=\\frac{\\sqrt{5}}{2}$，即 $b=\\frac{\\sqrt{5}}{2}a$。\n\n接着，考虑椭圆的焦点。椭圆 $\\frac{x^{2}}{12}+\\frac{y^{2}}{3}=1$ 的半长轴为 $\\sqrt{12}$，半短轴为 $\\sqrt{3}$，因此焦距 $2c$ 满足 $c^2 = a^2 - b^2 = 12 - 3 = 9$，即 $c = 3$。双曲线与椭圆有公共焦点，意味着双曲线的焦距也等于 $2c = 6$。\n\n双曲线的焦距由 $2c = 2\\sqrt{a^2 + b^2}$ 给出，将 $b=\\frac{\\sqrt{5}}{2}a$ 代入，得到 $6 = 2\\sqrt{a^2 + (\\frac{\\sqrt{5}}{2}a)^2}$，即 $3 = \\sqrt{a^2 + \\frac{5}{4}a^2} = \\sqrt{\\frac{9}{4}a^2}$，从而 $a^2 = 4$，进而 $b^2 = 5$。\n\n因此，双曲线 $C$ 的方程为 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，将 $a^2 = 4$ 和 $b^2 = 5$ 代入，得到 $\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{5}=1$。\n\n【答案】: B <eoa>" | ['B'] |
| baichuan4 | 【解析】首先，根据双曲线的标准方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，其渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。题目中给出的渐近线方程为 $y=\frac{\sqrt{5}}{2} x$，因此我们可以得出 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。 接下来，由于双曲线和椭圆有公共焦点，我们知道对于椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$，其焦距为 $2c$，其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{12-3}=3$。因此，双曲线的焦距也是 $2c=6$，即 $c=3$。 现在我们有两个方程： 1. $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 2. $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=3$ 将第一个方程变形为 $b=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，代入第二个方程得到： $$\sqrt{a^{2}+\left(\frac{\sqrt{5}}{2}a\right)^{2}}=3$$ $$\sqrt{a^{2}+\frac{5}{4}a^{2}}=3$$ $$\sqrt{\frac{9}{4}a^{2}}=3$$ $$\frac{3}{2}a=3$$ $$a=2$$ 由此可得 $b=\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 2=\sqrt{5}$，所以双曲线的方程为： $$\frac{x^{2}}{2^{2}}-\frac{y^{2}}{\sqrt{5}^{2}}=1$$ $$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$$ 因此，正确答案是选项 B。 |
['B'] |
| doubao | 【解析】：对于双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，其渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，已知一条渐近线方程为$y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，则$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，即$b=\frac{\sqrt{5}}{2}a$。椭圆$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$中，$a^{2}=12$，$b^{2}=3$，则$c^2=a^2-b^2=12-3=9$，$c=3$，双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线中$c=3$。又因为$c^2=a^2+b^2$，即$9=a^2+\frac{5}{4}a^2=\frac{9}{4}a^2$，解得$a^2=4$，$b^2=\frac{5}{4}a^2=5$，所以双曲线方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$。<eoe> 【答案】：B <eoa> |
['B'] |
| minimax | 【解析】 首先，我们知道双曲线的渐近线方程为 $y=\pm\frac{b}{a}x$。题目中给出了一条渐近线的方程为 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，因此我们可以得出 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。 接下来，我们需要找出双曲线和椭圆的公共焦点。椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$，其标准形式为 $\frac{x^{2}}{a_{e}^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{e}^{2}}=1$，其中 $a_{e}^{2}=12$，$b_{e}^{2}=3$。椭圆的焦距（两焦点之间的距离）为 $2c$，其中 $c=\sqrt{a_{e}^{2}-b_{e}^{2}}=\sqrt{12-3}=\sqrt{9}=3$。因此，椭圆的焦点坐标为 $(\pm3,0)$。 双曲线的焦点坐标为 $(\pm c,0)$，其中 $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。由于双曲线和椭圆有公共焦点，我们可以得出 $c=3$。 现在我们有两个方程： 1. $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 2. $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=3$ 我们可以将第一个方程中的 $b$ 用 $a$ 表示出来，即 $b=\frac{\sqrt{5}}{2}a$。然后将这个表达式代入第二个方程中，得到： $c=\sqrt{a^{2}+\left(\frac{\sqrt{5}}{2}a\right)^{2}}=3$ $c=\sqrt{a^{2}+\frac{5}{4}a^{2}}$ $c=\sqrt{\frac{9}{4}a^{2}}$ $c=\frac{3}{2}a$ 由于我们已经知道 $c=3$，我们可以解出 $a$： $3=\frac{3}{2}a$ $a=2$ 现在我们有了 $a$ 的值，我们可以解出 $b$： $b=\frac{\sqrt{5}}{2}a$ $b=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot2$ $b=\sqrt{5}$ 最后，我们可以写出双曲线的方程： $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $\frac{x^{2}}{2^{2}}-\frac{y^{2}}{(\sqrt{5})^{2}}=1$ $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$ 因此，双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$。 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
['B'] |
| kimi | 【解析】 首先，根据题目给出的双曲线的渐近线方程 $y=\frac{\sqrt{5}}{2} x$，我们可以知道双曲线的渐近线斜率 $k=\frac{\sqrt{5}}{2}$，由此可以得出双曲线的 $a$ 和 $b$ 的关系为 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。 其次，题目中提到双曲线与椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 有公共焦点。椭圆的焦点可以通过公式 $c^2 = a^2 - b^2$ 计算得出，其中 $a^2 = 12$ 和 $b^2 = 3$，所以 $c^2 = 12 - 3 = 9$，因此椭圆的焦点为 $(±3, 0)$。 双曲线的焦点到中心的距离也是 $c$，因此双曲线的 $c^2 = a^2 + b^2$ 也等于 9。现在我们有两个方程： 1. $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 2. $a^2 + b^2 = 9$ 我们可以通过这两个方程解出 $a^2$ 和 $b^2$。将第一个方程平方得到 $\frac{b^2}{a^2} = \frac{5}{4}$，然后将其代入第二个方程，得到 $a^2 + \frac{5}{4}a^2 = 9$，解得 $a^2 = 4$。 由于 $\frac{b^2}{a^2} = \frac{5}{4}$，我们可以解得 $b^2 = 5$。 所以，双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$。 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
['B'] |
| wenxinyiyan | 【解析】 根据双曲线和椭圆有公共焦点的条件，我们有： $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 9$ 其中，c 是公共焦点的距离，a 和 b 分别是双曲线的半轴长。 再根据双曲线的一条渐近线方程 $y = \frac{\sqrt{5}}{2}x$，我们可以得到： $\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ 联立以上两个方程，我们可以解出 a 和 b 的值： $a = 2, b = \sqrt{5}$ 将 a 和 b 的值代入双曲线的标准方程，得到： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 【答案】 B. $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ <eoa> |
['B'] |
| zhipu | 【解析】 首先，我们需要利用双曲线的渐近线方程来找到参数 \(a\) 和 \(b\) 的关系。已知双曲线 \(C\) 的渐近线方程为 \(y = \frac{\sqrt{5}}{2} x\)。 对于标准形式的双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其渐近线方程为 \(y = \pm \frac{b}{a} x\)。因此，我们可以得到： \[ \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] 即： \[ b = \frac{\sqrt{5}}{2} a \] 接下来，我们需要利用椭圆的焦点信息。已知椭圆的方程为 \(\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{3} = 1\)。对于标准形式的椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，焦距 \(c\) 可以通过以下公式计算： \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \] 在此椭圆中，\(a^2 = 12\)，\(b^2 = 3\)，所以焦距 \(c\) 为： \[ c = \sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3 \] 由于双曲线与椭圆有公共焦点，双曲线的焦距也为3。对于双曲线，焦距 \(c\) 的公式为： \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] 将 \(b = \frac{\sqrt{5}}{2} a\) 代入上式，得到： \[ c = \sqrt{a^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{2} a\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{5}{4} a^2} = \sqrt{\frac{9}{4} a^2} = \frac{3}{2} a \] 已知 \(c = 3\)，所以： \[ \frac{3}{2} a = 3 \implies a = 2 \] 然后，计算 \(b\)： \[ b = \frac{\sqrt{5}}{2} a = \frac{\sqrt{5}}{2} \times 2 = \sqrt{5} \] 因此，双曲线的方程为： \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \implies \frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{(\sqrt{5})^2} = 1 \implies \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1 \] 综上所述，正确答案是 B。 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
['B'] |
| gpto1 | 【解析】 首先，已知双曲线 \( C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \) 的一条渐近线方程为 \( y = \frac{\sqrt{5}}{2} x \)。 对双曲线来说，渐近线方程为 \( y = \pm \frac{b}{a} x \)，因此有： \[ \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{\sqrt{5}}{2} a \] 其次，已知双曲线 \( C \) 与椭圆 \( \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1 \) 有公共焦点。 先求椭圆的焦距。椭圆的半长轴和半短轴分别为： \[ a_{\text{椭}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}, \quad b_{\text{椭}} = \sqrt{3} \] 椭圆的焦距为： \[ c_{\text{椭}} = \sqrt{a_{\text{椭}}^{2} - b_{\text{椭}}^{2}} = \sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3 \] 所以椭圆的焦点坐标为 \( (\pm 3, 0) \)。 双曲线的焦距为： \[ c_{\text{双}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left( \frac{\sqrt{5}}{2} a \right)^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{5a^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{9a^{2}}{4}} = \frac{3a}{2} \] 因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以它们的焦距相等，即： \[ \frac{3a}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \] 代入 \( b = \frac{\sqrt{5}}{2} a \)： \[ b = \frac{\sqrt{5}}{2} \times 2 = \sqrt{5} \] 因此，双曲线的方程为： \[ \frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{y^{2}}{(\sqrt{5})^{2}} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1 \] 与选项对比，正确答案为 B. <eoe> 【答案】 B <eoa> |
B |
| deepseekv3 | 【解析】 首先，已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{\sqrt{5}}{2} x$。双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{b}{a}x$，因此可以得到： \[ \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{a\sqrt{5}}{2} \] 其次，双曲线与椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 有公共焦点。椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a_e^2} + \frac{y^{2}}{b_e^2} = 1$，其中 $a_e^2 = 12$，$b_e^2 = 3$。椭圆的焦距 $c_e$ 满足： \[ c_e^2 = a_e^2 - b_e^2 = 12 - 3 = 9 \quad \Rightarrow \quad c_e = 3 \] 因此，椭圆的焦点在 $(\pm 3, 0)$。 双曲线的焦距 $c$ 满足： \[ c^2 = a^2 + b^2 \] 由于双曲线与椭圆有公共焦点，所以 $c = 3$，即： \[ c^2 = 9 = a^2 + b^2 \] 将 $b = \frac{a\sqrt{5}}{2}$ 代入上式： \[ 9 = a^2 + \left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{5a^2}{4} = \frac{9a^2}{4} \] 解得： \[ a^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \] 因此： \[ b = \frac{2 \times \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad b^2 = 5 \] 综上所述，双曲线的方程为： \[ \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1 \] <eoe> 【答案】 B <eoa> |
B |