| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 首先，我们需要分析函数 \( f(x) = x^2 - 2x + a(e^{x-1} + e^{-x+1}) \) 的零点情况。 1. **考虑函数的对称性**： 函数 \( f(x) \) 可以分为两部分：\( x^2 - 2x \) 和 \( a(e^{x-1} + e^{-x+1}) \)。 - \( x^2 - 2x \) 是一个抛物线，开口向上，对称轴在 \( x = 1 \)。 - \( e^{x-1} + e^{-x+1} \) 是一个偶函数，因为 \( e^{x-1} + e^{-x+1} = e^{x-1} + e^{-(x-1)} \)。 2. **零点唯一性**： 由于 \( e^{x-1} + e^{-x+1} \) 是一个偶函数，它在 \( x = 1 \) 处取得最小值。因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处也可能取得极值。 3. **计算 \( f(1) \)**： \[ f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + a(e^{1-1} + e^{-1+1}) = 1 - 2 + a(1 + 1) = -1 + 2a \] 要使 \( f(x) \) 有唯一零点，\( f(1) = 0 \)。 4. **求解 \( a \)**： \[ -1 + 2a = 0 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2} \] 因此，唯一满足条件的 \( a \) 是 \( \frac{1}{2} \)。 <eoe> 【答案】: C <eoa> |
C |
| deepseekr1 | 【解析】 函数$f(x)=x^{2}-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})$需有唯一零点。首先，计算导数$f'(x)=2x-2+a(e^{x-1}-e^{-x+1})$。令$x=1$，则$f'(1)=0$，说明$x=1$是临界点。此时函数值为$f(1)=-1+2a$。若$f(1)=0$，解得$a=\frac{1}{2}$（选项C）。进一步验证二阶导数$f''(x)=2+a(e^{x-1}+e^{-x+1})$，当$a=\frac{1}{2}$时，$f''(1)=3>0$，说明$x=1$为极小值点且$f(1)=0$。由于$x^2$主导函数在无穷远处的增长，函数整体在$x=1$处唯一零点，其他点均大于0。其他$a$值会导致极值点函数值不为零或存在多个零点。 <eoe> 【答案】 C <eoa> |
C |
| gpto1 | 【解析】 已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + a\left( e^{x-1} + e^{-x+1} \right) \)。 注意到： \[ e^{x-1} + e^{-x+1} = e^{x-1} + e^{-(x-1)} = 2\cosh(x - 1) \] 其中 \( \cosh(x) = \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2} \)。 因此，函数可化为： \[ f(x) = x^2 - 2x + 2a\cosh(x - 1) \] 为了求函数的零点数量，考虑函数的最小值。 首先，求导数： \[ f'(x) = 2x - 2 + 2a\sinh(x - 1) \] 其中 \( \sinh(x) = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2} \)。 令导数为零，求极值点： \[ f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x - 2 + 2a\sinh(x - 1) = 0 \] 这方程比较复杂，但注意到当 \( x = 1 \) 时，\( \sinh(0) = 0 \)，则： \[ f'(1) = 2 \times 1 - 2 + 0 = 0 \] 即 \( x = 1 \) 是一个驻点。 计算二阶导数： \[ f''(x) = 2 + 2a\cosh(x - 1) \] 在 \( x = 1 \) 处： \[ f''(1) = 2 + 2a\cosh(0) = 2 + 2a \times 1 = 2 + 2a \] 当 \( a > 0 \) 时，\( f''(1) > 0 \)，因此 \( x = 1 \) 是极小值点。 计算函数值： \[ f(1) = (1)^2 - 2 \times 1 + 2a\cosh(0) = 1 - 2 + 2a \times 1 = -1 + 2a \] 为使函数有唯一零点，需使极小值点的函数值为零，即： \[ f(1) = 0 \quad \Rightarrow \quad -1 + 2a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{1}{2} \] 因此，当 \( a = \dfrac{1}{2} \) 时，函数在 \( x = 1 \) 处取得唯一的零点。 综上所述，\( a = \dfrac{1}{2} \)。 <eoe> 【答案】C <eoa> |
C |
| GPT-4o | 【解析】 我们要找的是函数 \( f(x) = x^2 - 2x + a\left(e^{x-1} + e^{-x+1}\right) \) 有唯一零点时的 \( a \) 值。 1. 首先，我们分析 \( e^{x-1} + e^{-x+1} \) 的特性： \[ e^{x-1} + e^{-x+1} = e^{x-1} + e^{1-x} \] 这是一个对称函数，因为 \( e^{x-1} \) 和 \( e^{1-x} \) 在 \( x = 1 \) 时对称。 2. 分析对称点 \( x = 1 \)： \[ e^{1-1} + e^{1-1} = e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2 \] 3. 将 \( x = 1 \) 带入函数 \( f(x) \)： \[ f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + a \cdot 2 = 1 - 2 + 2a = 2a - 1 \] 4. 由于函数 \( f(x) \) 有唯一零点，说明 \( f(1) = 0 \) 时，函数图像在该点触碰横轴，即： \[ 2a - 1 = 0 \] 解此方程得： \[ 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2} \] 5. 进一步验证： \[ f(x) = x^2 - 2x + \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{-x+1}) \] 因为 \( e^{x-1} + e^{-x+1} \) 是一个对称且在 \( x = 1 \) 时取最小值的函数（等于 2），我们知道 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取零值且函数在其他地方不可能再次取零值，因为 \( x^2 - 2x \) 是一个开口向上的抛物线。 综上所述，\( a = \frac{1}{2} \) 是使得 \( f(x) \) 有唯一零点的值。 <eoe> 【答案】 C <eoa> |
['C'] |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 最终结果是{1/2, -1/2} |
['C'] |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是(1, +oo) <eoe> 【答案】: D <eoa> |
['C'] |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 首先，我们需要找到函数 \\( f(x) = x^2 - 2x + a(e^{x-1} + e^{-x+1}) \\) 的零点。为了使 \\( f(x) \\) 有唯一零点，我们需要分析函数的性质。\n\n1. **求导数**：我们先求 \\( f(x) \\) 的导数 \\( f'(x) \\)：\n \\[\n f'(x) = \\frac{d}{dx} \\left( x^2 - 2x + a(e^{x-1} + e^{-x+1}) \\right)\n \\]\n \\[\n f'(x) = 2x - 2 + a \\left( e^{x-1} - e^{-x+1} \\right)\n \\]\n\n2. **分析导数的零点**：为了使 \\( f(x) \\) 有唯一零点，\\( f'(x) \\) 应该有唯一的零点。我们设 \\( f'(x) = 0 \\)：\n \\[\n 2x - 2 + a \\left( e^{x-1} - e^{-x+1} \\right) = 0\n \\]\n \\[\n 2x - 2 = -a \\left( e^{x-1} - e^{-x+1} \\right)\n \\]\n\n3. **特殊点分析**：考虑 \\( x = 1 \\) 时：\n \\[\n f'(1) = 2(1) - 2 + a \\left( e^{1-1} - e^{-1+1} \\right) = 0 + a(1 - 1) = 0\n \\]\n 这表明 \\( x = 1 \\) 是 \\( f'(x) = 0 \\) 的一个解。\n\n4. **唯一零点条件**：为了使 \\( f(x) \\) 有唯一零点，\\( f'(x) \\) 在 \\( x = 1 \\) 处应该有唯一的零点，并且 \\( f(x) \\) 在 \\( x = 1 \\) 处的值应该为零。我们计算 \\( f(1) \\)：\n \\[\n f(1) = 1^2 - 2(1) + a(e^{1-1} + e^{-1+1}) = 1 - 2 + a(1 + 1) = -1 + 2a\n \\]\n 为了使 \\( f(1) = 0 \\)，我们有：\n \\[\n -1 + 2a = 0\n \\]\n \\[\n 2a = 1\n \\]\n \\[\n a = \\frac{1}{2}\n \\]\n\n综上所述，满足条件的 \\( a \\) 值为 \\( \\frac{1}{2} \\)。\n<eoe>\n【答案】: C <eoa>" | ['C'] |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】\n首先，要确定函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\\right)$ 的零点数目，我们可以通过分析其导数来了解函数的增减性，进而判断零点的唯一性。\n\n求导得 $f'(x) = 2x - 2 + a(e^{x-1} - e^{-x+1})$。\n\n为了函数 $f(x)$ 有唯一零点，其导数 $f'(x)$ 必须在零点处改变符号，并且只能改变一次。这意味着 $f'(x)$ 从正变负或从负变正，即 $f'(x)$ 本身要么无零点，要么有唯一零点。\n\n观察 $f'(x)$，注意到 $e^{x-1} - e^{-x+1}$ 是增函数，而 $2x - 2$ 也是增函数。因此，$f'(x)$ 的符号变化取决于 $a$ 的值。当 $a>0$ 时，$f'(x)$ 从负到正变化；当 $a<0$ 时，$f'(x)$ 从正到负变化。为了 $f'(x)$ 有唯一零点，即 $f(x)$ 有唯一极值点，我们考虑 $a$ 的值。\n\n我们考虑 $f'(x) = 0$ 的情况，即 $2x - 2 + a(e^{x-1} - e^{-x+1}) = 0$。\n\n令 $u = e^{x-1}$，则 $e^{-x+1} = 1/u$，代入上式得 $2x - 2 + a(u - 1/u) = 0$。我们注意到，对于 $a$ 的选择，我们希望这个方程只有一个解，即 $f'(x)$ 只有一个零点，从而 $f(x)$ 有唯一极值点，进而有唯一零点。\n\n考虑 $f(x)$ 在 $x=1$ 时的值，$f(1) = 1^2 - 2*1 + a(e^{1-1} + e^{-1+1}) = -1 + 2a$。要使 $f(x)$ 在 $x=1$ 附近改变符号，$f(1)$ 必须小于0（因为 $f(x)$ 在 $x$ 趋于正无穷或负无穷时趋于正无穷），这意味着 $-1 + 2a < 0$，即 $a < \\frac{1}{2}$。\n\n接下来，考虑 $f'(x) = 0$ 的情况，即 $2x - 2 + a(e^{x-1} - e^{-x+1}) = 0$。对于 $a = \\frac{1}{2}$，我们有 $2x - 2 + \\frac{1}{2}(e^{x-1} - e^{-x+1}) = 0$。观察 $u = e^{x-1}$，方程变为 $2x - 2 + \\frac{1}{2}(u - 1/u) = 0$。为了使 $f'(x)$ 有唯一零点，即方程有唯一解，我们需要 $a = \\frac{1}{2}$，这样方程在 $u = 1$ 时有解（即 $x = 1$），且在 $u > 1$ 或 $u < 1$ 时，方程的左边为单调函数，从而不会有其他解。\n\n因此，综合分析，$a = \\frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 有唯一零点。\n\n<eoe>\n【答案】: C. $\\frac{1}{2}$ <eoa>" | ['C'] |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们知道函数 $f(x)$ 有唯一零点意味着方程 $f(x) = 0$ 有唯一解。这可以通过判断函数的导数在某一点为零，并且该点是导函数的极值点来实现。因此，我们首先求出 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$： $$ f'(x) = 2x - 2 + a(e^{x-1} - e^{-x+1}) $$ 为了找到唯一零点，我们需要找到 $f'(x)$ 的零点，即： $$ 2x - 2 + a(e^{x-1} - e^{-x+1}) = 0 $$ 由于函数有唯一零点，这个导数方程也应该有唯一解。我们可以通过观察导数函数的行为来找到 $a$ 的值。注意到当 $x$ 趋向于无穷大时，$e^{x-1}$ 项将主导导数的正无穷大行为；而当 $x$ 趋向于负无穷大时，$-e^{-x+1}$ 项将主导导数的负无穷大行为。因此，为了保证导数方程有唯一解，$a$ 必须取一个特定的值使得导数函数在某个点处改变符号。 我们可以通过代入选项中的 $a$ 值来检查哪个值能使得导数函数有唯一零点。经过计算，我们发现当 $a = \frac{1}{2}$ 时，导数函数有一个零点，并且满足函数有唯一零点的条件。 因此，正确答案是 C。 |
['C'] |
| doubao | 【解析】令$f(x)=x^{2}-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})=0$，可得$a(e^{x-1}+e^{-x+1})=-x^{2}+2x$。设$g(x)=e^{x-1}+e^{-x+1}$，则$g'(x)=e^{x-1}-e^{-x+1}=e^{x-1}-\frac{1}{e^{x-1}}=\frac{e^{2(x-1)}-1}{e^{x-1}}$，当$g'(x)=0$时，$e^{2(x-1)}-1=0$，即$e^{2(x-1)}=1$，$2(x-1)=0$，$x=1$。当$x<1$时，$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减；当$x>1$时，$g'(x)>0$，$g(x)$单调递增，所以$g(x)\geq g(1)=e^{0}+e^{0}=2$。设$h(x)=-x^{2}+2x$，其图象是开口向下的抛物线，对称轴为$x=1$，最大值为$h(1)=1$。要使函数$f(x)$有唯一零点，则$y=a(e^{x-1}+e^{-x+1})$的图象与$y=-x^{2}+2x$的图象只有一个交点，所以$a=\frac{1}{2}$。<eoe> 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| minimax | 【解析】 首先，我们需要理解题目中的“唯一零点”意味着什么。对于函数 $f(x)$ 来说，如果它有唯一零点，那么它在实数域上只有一个交点与 $x$ 轴。这意味着函数 $f(x)$ 在 $x$ 轴的正侧和负侧的符号必须不同，即 $f(x)$ 在 $x$ 轴的两侧分别趋向于正无穷和负无穷，或者相反。 我们来分析函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$。首先，我们可以看到 $x^2 - 2x$ 是一个开口向上的抛物线，其顶点在 $x=1$ 处，此时 $f(x)$ 取得最小值 $f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + a(e^0 + e^0) = 1 - 2 + 2a = 2a - 1$。 接下来，我们考虑 $a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 这部分。由于 $e^{x-1}$ 和 $e^{-x+1}$ 分别在 $x>1$ 和 $x<1$ 时趋向于正无穷，而在 $x<1$ 和 $x>1$ 时趋向于 0，这意味着 $a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 在 $x=1$ 处取得局部极小值，且这个极小值为 $2a$。 为了使得 $f(x)$ 有唯一零点，我们需要 $f(x)$ 在 $x=1$ 处从负值变为正值，或者从正值变为负值。这意味着 $2a - 1$ 必须小于 0，因为如果 $2a - 1 \geq 0$，那么 $f(x)$ 在 $x=1$ 处就会有一个局部最小值，且这个最小值为正，这将导致 $f(x)$ 在 $x=1$ 的左侧和右侧都有零点，违反了唯一零点的条件。 因此，我们得到不等式 $2a - 1 < 0$，解这个不等式得到 $a < \frac{1}{2}$。 现在我们需要确定 $a$ 的确切值。由于 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的值为 $2a - 1$，我们需要这个值为负，但是要尽可能接近于零，因为如果 $2a - 1$ 的绝对值太大，那么 $f(x)$ 在 $x=1$ 的左侧和右侧的值将不会足够接近于零，从而导致 $f(x)$ 在 $x=1$ 的两侧都有零点。 因此，我们需要找到一个 $a$ 的值，使得 $2a - 1$ 尽可能接近于零，但仍然小于零。这个值就是 $a = \frac{1}{2}$，因为这会使得 $2a - 1 = 0$，但是由于 $a < \frac{1}{2}$，我们实际上需要取 $a$ 的最大可能值，即 $a = \frac{1}{2}$。 综上所述，$a$ 的值应该是 $\frac{1}{2}$。 <eoe> 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| kimi | 【解析】首先，我们需要分析函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 的性质。为了找到使得函数有唯一零点的 $a$ 的值，我们可以通过分析函数的导数来确定函数的极值点和单调性。 1. 求导数：$f'(x) = 2x - 2 + a\left(e^{x-1} - e^{-x+1}\right)$。 2. 令 $f'(x) = 0$，解得 $2x - 2 + a\left(e^{x-1} - e^{-x+1}\right) = 0$。 3. 简化方程，得到 $2x - 2 = a\left(e^{-x+1} - e^{x-1}\right)$。 接下来，我们需要分析 $a$ 的值对函数零点的影响。 1. 当 $a = 0$ 时，$f(x) = x^2 - 2x$ 是一个开口向上的二次函数，有且仅有一个零点。 2. 当 $a \neq 0$ 时，我们需要进一步分析 $f'(x) = 0$ 的解的情况。 由于函数 $f(x)$ 有唯一零点，这意味着函数要么在某个点达到极值后单调递增或递减，要么在某个点达到极值后单调递增再递减或递减再递增。我们需要找到一个 $a$ 的值，使得函数满足这个条件。 考虑到 $e^{x-1} + e^{-x+1}$ 总是大于0，我们可以分析 $a$ 的符号对函数的影响： 1. 如果 $a > 0$，那么 $a\left(e^{x-1} + e^{-x+1}\right)$ 总是正的，这意味着函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处达到极小值，因为 $f'(x)$ 在 $x=1$ 处由负变正。 2. 如果 $a < 0$，那么 $a\left(e^{x-1} + e^{-x+1}\right)$ 总是负的，这意味着函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处达到极大值。 由于函数有唯一零点，我们需要找到一个 $a$ 的值，使得函数在 $x=1$ 处达到极值，并且这个极值点是唯一的零点。这意味着我们需要找到一个 $a$ 的值，使得 $f(1) = 0$。 将 $x=1$ 代入原函数，得到 $f(1) = 1^2 - 2*1 + a(e^{1-1} + e^{-1+1}) = 1 - 2 + a(1 + 1) = -1 + 2a$。 为了使 $f(1) = 0$，我们需要 $-1 + 2a = 0$，解得 $a = \frac{1}{2}$。 因此，我们得出结论，$a = \frac{1}{2}$ 时，函数有唯一零点。 <eoe> 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| wenxinyiyan | 【解析】 首先，我们考虑函数$f(x) = x^{2} - 2x + a\left(e^{x - 1} + e^{-x + 1}\right)$，为了研究其零点，我们可以先研究其导数$f^{\prime}(x)$。 求导得： $f^{\prime}(x) = 2x - 2 + a\left(e^{x - 1} - e^{-x + 1}\right)$ 为了判断$f(x)$的单调性，我们考虑$f^{\prime}(x)$的符号。由于$e^{x - 1}$和$e^{-x + 1}$都是正的，所以$f^{\prime}(x)$的符号取决于$2x - 2$和$a\left(e^{x - 1} - e^{-x + 1}\right)$的相对大小。 当$a = \frac{1}{2}$时，我们可以进一步化简$f^{\prime}(x)$为： $f^{\prime}(x) = 2x - 2 + \frac{1}{2}\left(e^{x - 1} - e^{-x + 1}\right)$ $= 2(x - 1) + \frac{1}{2}\left(e^{x - 1} - e^{-x + 1}\right)$ 此时，我们可以发现$f^{\prime}(x)$在$x = 1$处为0，且在$x < 1$时为负，在$x > 1$时为正。因此，$f(x)$在$x = 1$处取得极小值。 由于题目要求$f(x)$有唯一零点，那么这个零点必然是$f(x)$的极小值点，即$x = 1$。将$x = 1$代入$f(x)$，得： $f(1) = 1^2 - 2 \times 1 + \frac{1}{2}\left(e^{1 - 1} + e^{-1 + 1}\right) = 0$ 因此，当$a = \frac{1}{2}$时，$f(x)$有唯一零点。 【答案】C |
['C'] |
| zhipu | 【解析】 首先，我们需要找到函数 $f(x) = x^2 - 2x + a(e^{x-1} + e^{-x+1})$ 的零点。即，我们需要解方程 $f(x) = 0$。 考虑函数 $g(x) = x^2 - 2x$ 和 $h(x) = a(e^{x-1} + e^{-x+1})$，则 $f(x) = g(x) + h(x)$。 1. 分析 $g(x)$： $g(x) = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$，这是一个开口向上的抛物线，其顶点在 $(1, -1)$，且在 $x=1$ 处取得最小值 $-1$。 2. 分析 $h(x)$： $h(x) = a(e^{x-1} + e^{-x+1})$，注意到 $e^{x-1} + e^{-x+1}$ 是一个偶函数，因为 $e^{x-1} + e^{-x+1} = e^{x-1} + \frac{1}{e^{x-1}}$，且在 $x=1$ 处取得最小值 $2$（因为 $e^0 + e^0 = 2$）。 所以，$h(x)$ 在 $x=1$ 处的值为 $h(1) = a \cdot 2 = 2a$。 3. 结合 $f(x) = g(x) + h(x)$： 为了使 $f(x)$ 有唯一零点，$f(x)$ 在 $x=1$ 处的值必须为0，即 $f(1) = 0$。 计算 $f(1)$： \[ f(1) = g(1) + h(1) = -1 + 2a \] 令 $f(1) = 0$，则： \[ -1 + 2a = 0 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2} \] 综上所述，当 $a = \frac{1}{2}$ 时，函数 $f(x)$ 有唯一零点。 <eoe> 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| gpto1 | 【解析】 已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + a\left( e^{x-1} + e^{-x+1} \right) \)。 注意到： \[ e^{x-1} + e^{-x+1} = e^{x-1} + e^{-(x-1)} = 2\cosh(x - 1) \] 其中 \( \cosh(x) = \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2} \)。 因此，函数可化为： \[ f(x) = x^2 - 2x + 2a\cosh(x - 1) \] 为了求函数的零点数量，考虑函数的最小值。 首先，求导数： \[ f'(x) = 2x - 2 + 2a\sinh(x - 1) \] 其中 \( \sinh(x) = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2} \)。 令导数为零，求极值点： \[ f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x - 2 + 2a\sinh(x - 1) = 0 \] 这方程比较复杂，但注意到当 \( x = 1 \) 时，\( \sinh(0) = 0 \)，则： \[ f'(1) = 2 \times 1 - 2 + 0 = 0 \] 即 \( x = 1 \) 是一个驻点。 计算二阶导数： \[ f''(x) = 2 + 2a\cosh(x - 1) \] 在 \( x = 1 \) 处： \[ f''(1) = 2 + 2a\cosh(0) = 2 + 2a \times 1 = 2 + 2a \] 当 \( a > 0 \) 时，\( f''(1) > 0 \)，因此 \( x = 1 \) 是极小值点。 计算函数值： \[ f(1) = (1)^2 - 2 \times 1 + 2a\cosh(0) = 1 - 2 + 2a \times 1 = -1 + 2a \] 为使函数有唯一零点，需使极小值点的函数值为零，即： \[ f(1) = 0 \quad \Rightarrow \quad -1 + 2a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{1}{2} \] 因此，当 \( a = \dfrac{1}{2} \) 时，函数在 \( x = 1 \) 处取得唯一的零点。 综上所述，\( a = \dfrac{1}{2} \)。 <eoe> 【答案】C <eoa> |
C |
| deepseekv3 | 【解析】 我们需要找到参数 \( a \) 的值，使得函数 \( f(x) = x^{2} - 2x + a\left(e^{x-1} + e^{-x+1}\right) \) 有唯一的零点。 首先，我们观察函数 \( f(x) \) 的形式。函数可以分为两部分：二次项 \( x^{2} - 2x \) 和指数项 \( a\left(e^{x-1} + e^{-x+1}\right) \)。 函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得最小值，因为二次项 \( x^{2} - 2x \) 在 \( x = 1 \) 处取得最小值。我们计算 \( f(1) \)： \[ f(1) = 1^{2} - 2 \times 1 + a\left(e^{1-1} + e^{-1+1}\right) = 1 - 2 + a(1 + 1) = -1 + 2a \] 为了函数 \( f(x) \) 有唯一的零点，函数在 \( x = 1 \) 处必须与 \( x \)-轴相切，即 \( f(1) = 0 \)： \[ -1 + 2a = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \] 因此，\( a = \frac{1}{2} \) 时，函数 \( f(x) \) 有唯一的零点。 <eoe> 【答案】 C <eoa> |
C |