| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 首先，我们需要展开 $\left(1+2 x^{2}\right)(1+x)^{4}$。 1. 展开 $(1+x)^{4}$，我们使用二项式定理： \[ (1+x)^{4} = 1 + 4x + 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4} \] 2. 接下来，我们将 $(1+2x^{2})$ 与 $(1+x)^{4}$ 的展开式相乘： \[ \left(1+2 x^{2}\right)\left(1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4}\right) \] 3. 我们只关心展开式中 $x^{3}$ 的系数。因此，我们需要找出所有能够产生 $x^{3}$ 的项： - $1 \cdot 4x^{3} = 4x^{3}$ - $2x^{2} \cdot 4x = 8x^{3}$ 4. 将这些项相加，得到 $x^{3}$ 的系数： \[ 4x^{3} + 8x^{3} = 12x^{3} \] 因此，$x^{3}$ 的系数为 12。 <eoe> 【答案】: A <eoa> |
A |
| deepseekr1 | 【解析】 首先展开$(1+x)^4$，得到： $$ 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4 $$ 原式$(1+2x^2)(1+x)^4$中，寻找$x^3$项的系数。分别考虑两部分相乘的组合： 1. $1 \cdot 4x^3$（系数为$4$）； 2. $2x^2 \cdot 4x$（系数为$8$）。 相加得总系数为$4 + 8 = 12$。 <eoe> 【答案】 A <eoa> |
A |
| gpto1 | 【解析】 要找到 $\left(1+2x^{2}\right)(1+x)^{4}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数，我们可以按照以下步骤进行计算： 首先，展开 $(1+x)^{4}$： \[ (1+x)^{4} = \binom{4}{0}x^{0} + \binom{4}{1}x^{1} + \binom{4}{2}x^{2} + \binom{4}{3}x^{3} + \binom{4}{4}x^{4} \] 计算二项式系数： \[ \begin{align*} \binom{4}{0} &= 1 \\ \binom{4}{1} &= 4 \\ \binom{4}{2} &= 6 \\ \binom{4}{3} &= 4 \\ \binom{4}{4} &= 1 \\ \end{align*} \] 因此： \[ (1+x)^{4} = 1 + 4x + 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4} \] 接着，将 $(1+2x^{2})$ 与展开结果相乘： \[ \left(1+2x^{2}\right)(1 + 4x + 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4}) \] 我们需要找出相乘后所得的 $x^{3}$ 项的系数。为了得到 $x^{3}$ 项，我们需要找到相乘后次数为 3 的项。可能的组合有： 1. $1 \times 4x^{3} = 4x^{3}$ 2. $2x^{2} \times 4x = 8x^{3}$ 其他组合要么次数小于 3，要么次数大于 3，对 $x^{3}$ 项没有贡献。 将以上结果相加： \[ 4x^{3} + 8x^{3} = 12x^{3} \] 因此，$x^{3}$ 项的系数为 12。 <eoe> 【答案】A<eoa> |
A |
| GPT-4o | 【解析】 首先，我们需要将 $\left(1+2 x^{2}\right)(1+x)^{4}$ 展开，并找出其中 $x^3$ 项的系数。 我们可以先展开 $(1+x)^4$： \[ (1+x)^4 = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} x^k = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4 \] 接下来，将 $(1+2x^2)$ 与 $(1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4)$ 相乘，并找出其中 $x^3$ 项的系数。 \[ (1 + 2x^2)(1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4) \] 我们只需要考虑 $1$ 和 $2x^2$ 分别与 $(1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4)$ 中哪些项相乘会得到 $x^3$ 的项。 1. $1 \cdot 4x^3$ 的系数是 4。 2. $2x^2 \cdot 6x^2$ 的系数是 $2 \times 6 = 12$。 将上述系数相加： \[ 4 + 12 = 16 \] 因此，$x^3$ 项的系数是 16。 【答案】 B <eoa> |
['A'] |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 利用二项式定理展开即可.由题意,利用二项式定理可得\begin{aligned} & \left(1+2 x^{2}\right)(1+x)^{4} \\ = & \left(1+2 x^{2}\right)\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}+\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} x+\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} x^{2}+\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} x^{3}+\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array} x^{4}\right) \\ = & \left(1+2 x^{2}\right)\left(1+4 x+6 x^{2}+4 x^{3}+x^{4}\right) \\ = & 1+4 x+6 x^{2}+4 x^{3}+x^{4}+2 x^{2}+8 x^{3}+12 x^{4}+8 x^{5}+2 x^{6} \\ = & 1+4 x+8 x^{2}+12 x^{3}+13 x^{4}+8 x^{5}+2 x^{6} \end{aligned}所以x^{3}的系数为12. 最终结果是12 <eoe> 【答案】: A <eoa> |
['A'] |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是16 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
['A'] |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 我们需要找到 $\\left(1+2 x^{2}\\right)(1+x)^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数。首先，我们将两个部分分别展开，然后找出乘积中 $x^{3}$ 的项。\n\n1. 展开 $(1+x)^{4}$：\n $(1+x)^{4}$ 的展开式为 $\\sum_{k=0}^{4} \\binom{4}{k} x^{k}$，即：\n \\[\n (1+x)^{4} = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4\n \\]\n\n2. 展开 $\\left(1+2 x^{2}\\right)$：\n \\[\n \\left(1+2 x^{2}\\right) = 1 + 2x^2\n \\]\n\n3. 将两个展开式相乘，找出 $x^{3}$ 的项：\n \\[\n \\left(1+2 x^{2}\\right)(1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4)\n \\]\n 我们需要找出乘积中 $x^{3}$ 的项。考虑以下几种情况：\n - $1 \\cdot 4x^3$：系数为 $1 \\cdot 4 = 4$\n - $2x^2 \\cdot 4x$：系数为 $2 \\cdot 4 = 8$\n\n 将这些系数相加，得到 $x^{3}$ 的总系数：\n \\[\n 4 + 8 = 12\n \\]\n\n因此，$\\left(1+2 x^{2}\\right)(1+x)^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为 12。\n<eoe>\n【答案】: A <eoa>" | ['A'] |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】为了找到$x^3$的系数，我们需要考虑$(1+2x^2)(1+x)^4$展开式中所有可能产生$x^3$项的方式。首先，$(1+x)^4$的二项展开式中，$x^3$的系数由二项式定理给出，为$\\binom{4}{3}=\\frac{4!}{3!(4-3)!}=4$。同时，$(1+2x^2)$中的$2x^2$项与$(1+x)^4$中的$x$项相乘也可以产生$x^3$项，$2x^2$的系数为2，$(1+x)^4$中$x$的系数为$\\binom{4}{1}=4$。因此，$x^3$项的总系数为$(1\\times4)+(2\\times4)=4+8=12$。但是，我们还需要考虑$(1+2x^2)$中的1与$(1+x)^4$中的$x^3$项相乘，这将给出另一个$x^3$项，其系数为$1\\times4=4$。因此，最终$x^3$项的系数为$12+4=16$。<eoe>\n【答案】B. 16 <eoa>" | ['A'] |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们需要展开 $(1+x)^4$。根据二项式定理，$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$，其中 $C_n^k$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取 $k$ 个元素的组合数。 所以，$(1+x)^4 = C_4^0 (1)^4 (x)^0 + C_4^1 (1)^3 (x)^1 + C_4^2 (1)^2 (x)^2 + C_4^3 (1)^1 (x)^3 + C_4^4 (1)^0 (x)^4$ 计算各个项： $C_4^0 (1)^4 (x)^0 = 1$ $C_4^1 (1)^3 (x)^1 = 4x$ $C_4^2 (1)^2 (x)^2 = 6x^2$ $C_4^3 (1)^1 (x)^3 = 4x^3$ $C_4^4 (1)^0 (x)^4 = x^4$ 所以，$(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$。 接下来，我们将 $(1+2x^2)$ 乘以刚才得到的展开式： $(1+2x^2)(1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4)$ 我们只关心 $x^3$ 的系数，所以我们只需要考虑那些乘积中能产生 $x^3$ 项的部分： $1 \cdot 4x^3 = 4x^3$ $2x^2 \cdot 6x^2 = 12x^4$，但是我们需要 $x^3$ 的系数，所以这个项我们不考虑。 $2x^2 \cdot 4x = 8x^3$ 所以，$x^3$ 的系数是 $4 + 8 = 12$。 【答案】: A <eoa> |
['A'] |
| doubao | 【解析】：将$(1+x)^4$展开：$C_4^0\times1^4\times x^0+C_4^1\times1^3\times x^1+C_4^2\times1^2\times x^2+C_4^3\times1\times x^3+C_4^4\times x^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4$，则$(1+2x^2)(1+x)^4=(1+2x^2)(1+4x+6x^2+4x^3+x^4)$，展开后含$x^3$的项为$1\times4x^3+2x^2\times4x=4x^3+8x^3=12x^3$，所以$x^3$的系数为 12。<eoe> 【答案】：A <eoa> |
['A'] |
| minimax | 【解析】 要找到展开式中$x^3$的系数，我们可以使用二项式定理来展开$(1+x)^4$，然后将其与$1+2x^2$相乘，并找到所有可能产生$x^3$项的组合。 首先，我们使用二项式定理展开$(1+x)^4$： $(1+x)^4 = 1^4 + \binom{4}{1}1^3x + \binom{4}{2}1^2x^2 + \binom{4}{3}1x^3 + x^4$ $= 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$ 现在我们将这个结果与$1+2x^2$相乘，只关注产生$x^3$项的部分： $(1+2x^2)(1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4)$ 为了得到$x^3$的项，我们可以有以下几种组合： 1. $1$乘以$4x^3$，得到$4x^3$ 2. $2x^2$乘以$2x$，得到$4x^3$ 其他组合要么不产生$x^3$项，要么幂次太高或太低。因此，$x^3$的系数是$4 + 4 = 8$。 但是，我们需要注意的是，题目中的多项式是$(1+2x^2)(1+x)^4$，而不是$(1+2x^2)(1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4)$。在$(1+2x^2)(1+x)^4$中，$x^3$的系数来自于$(1+x)^4$中的$x^3$项和$1+2x^2$中的常数项1相乘，以及$(1+x)^4$中的$x^2$项和$1+2x^2$中的$2x$项相乘。 因此，我们需要重新计算： 1. $(1+x)^4$中的$x^3$项是$4x^3$，与$1$相乘，系数不变，仍然是$4$。 2. $(1+x)^4$中的$x^2$项是$6x^2$，与$2x$相乘，得到$12x^3$，系数是$12$。 将这两个系数相加，我们得到$x^3$的总系数是$4 + 12 = 16$。 因此，$x^3$的系数是$16$。 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
['A'] |
| kimi | 【解析】首先，我们需要找到展开式中$x^3$的系数。我们可以通过考虑$(1+2x^2)$和$(1+x)^4$的乘积来实现这一点。 1. 从$(1+2x^2)$中，我们可以得到$x^3$的系数是0，因为$x^3$的项不存在。 2. 从$(1+x)^4$中，我们需要找到$x^3$的系数。使用二项式定理，$(1+x)^4$的展开式中$x^3$的系数是$\binom{4}{3} = 4$。 现在，我们需要考虑$(1+2x^2)$和$(1+x)^4$的乘积，以找到$x^3$的总系数。 1. 从$(1+2x^2)$中取1，与$(1+x)^4$中的$x^3$相乘，系数是1*4=4。 2. 从$(1+2x^2)$中取$2x^2$，与$(1+x)^4$中的$x$相乘，系数是2*4=8。 将这两个系数相加，我们得到$x^3$的总系数是4+8=12。 <eoe> 【答案】: A <eoa> |
['A'] |
| wenxinyiyan | 【解析】 首先，我们需要考虑$\left(1+2 x^{2}\right)(1+x)^{4}$的展开式中$x^{3}$的系数。 这个系数可以从两部分获得： 1. $(1+x)^{4}$的展开式中的$x^{3}$项与$1+2 x^{2}$中的$1$相乘。 2. $(1+x)^{4}$的展开式中的$x^{1}$项与$1+2 x^{2}$中的$2x^{2}$相乘。 对于第一部分，$(1+x)^{4}$的展开式中$x^{3}$的系数为$C_{4}^{3}$，即$4$。 对于第二部分，$(1+x)^{4}$的展开式中$x^{1}$的系数为$C_{4}^{1}$，即$4$，与$2x^{2}$相乘后得到$2\times4=8$。 所以，$\left(1+2 x^{2}\right)(1+x)^{4}$的展开式中$x^{3}$的总系数为$4+8=12$。 <eoe> 【答案】 A <eoa> |
['A'] |
| zhipu | 【解析】 首先，我们需要展开表达式 \((1 + 2x^2)(1 + x)^4\)，并找到其中 \(x^3\) 的系数。 我们可以分两步进行： 1. 展开 \((1 + x)^4\)。 2. 将展开结果与 \((1 + 2x^2)\) 相乘，并找出 \(x^3\) 的系数。 ### 第一步：展开 \((1 + x)^4\) 使用二项式定理： \[ (1 + x)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^k = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4 \] ### 第二步：将 \((1 + 2x^2)\) 与展开结果相乘 \[ (1 + 2x^2)(1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4) \] 我们只需要关注产生 \(x^3\) 的项： - \(1 \cdot 4x^3\) 产生 \(4x^3\) - \(2x^2 \cdot 4x\) 产生 \(8x^3\) 其他项不会产生 \(x^3\)，所以不需要考虑。 将这两部分的系数相加： \[ 4 + 8 = 12 \] 所以，\(x^3\) 的系数为 12。 <eoe> 【答案】: A <eoa> |
['A'] |
| gpto1 | 【解析】 要找到 $\left(1+2x^{2}\right)(1+x)^{4}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数，我们可以按照以下步骤进行计算： 首先，展开 $(1+x)^{4}$： \[ (1+x)^{4} = \binom{4}{0}x^{0} + \binom{4}{1}x^{1} + \binom{4}{2}x^{2} + \binom{4}{3}x^{3} + \binom{4}{4}x^{4} \] 计算二项式系数： \[ \begin{align*} \binom{4}{0} &= 1 \\ \binom{4}{1} &= 4 \\ \binom{4}{2} &= 6 \\ \binom{4}{3} &= 4 \\ \binom{4}{4} &= 1 \\ \end{align*} \] 因此： \[ (1+x)^{4} = 1 + 4x + 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4} \] 接着，将 $(1+2x^{2})$ 与展开结果相乘： \[ \left(1+2x^{2}\right)(1 + 4x + 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4}) \] 我们需要找出相乘后所得的 $x^{3}$ 项的系数。为了得到 $x^{3}$ 项，我们需要找到相乘后次数为 3 的项。可能的组合有： 1. $1 \times 4x^{3} = 4x^{3}$ 2. $2x^{2} \times 4x = 8x^{3}$ 其他组合要么次数小于 3，要么次数大于 3，对 $x^{3}$ 项没有贡献。 将以上结果相加： \[ 4x^{3} + 8x^{3} = 12x^{3} \] 因此，$x^{3}$ 项的系数为 12。 <eoe> 【答案】A<eoa> |
A |
| deepseekv3 | 【解析】 我们需要找到多项式 $\left(1+2 x^{2}\right)(1+x)^{4}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数。 首先，展开 $(1+x)^{4}$ 使用二项式定理： \[ (1+x)^{4} = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{k} = \binom{4}{0}x^{0} + \binom{4}{1}x^{1} + \binom{4}{2}x^{2} + \binom{4}{3}x^{3} + \binom{4}{4}x^{4} \] 计算各项系数： \[ 1 + 4x + 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4} \] 然后，将 $(1+2x^{2})$ 与 $(1+x)^{4}$ 相乘： \[ (1+2x^{2})(1 + 4x + 6x^{2} + 4x^{3} + x^{4}) \] 展开后，我们只关心 $x^{3}$ 的项，因此只需计算以下两项的乘积： \[ 1 \times 4x^{3} + 2x^{2} \times 4x = 4x^{3} + 8x^{3} = 12x^{3} \] 因此，$x^{3}$ 的系数是 12。 <eoe> 【答案】A <eoa> |
A |