| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 1. 首先，将直线 $x=2$ 代入抛物线方程 $y^{2}=2 p x(p>0)$，得到 $y^{2}=4 p$。 2. 由于 $OD \perp OE$，且 $O$ 为坐标原点，我们可以假设 $D$ 的坐标为 $(2, 2\sqrt{p})$，$E$ 的坐标为 $(2, -2\sqrt{p})$。 3. 由于 $OD \perp OE$，所以 $\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE} = 0$。 4. 计算 $\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE} = (2, 2\sqrt{p}) \cdot (2, -2\sqrt{p}) = 4 - 4p = 0$。 5. 解方程 $4 - 4p = 0$，得到 $p = 1$。 6. 因此，抛物线的方程为 $y^{2}=2 x$，其焦点坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$。 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
B |
| deepseekr1 | 【解析】 将直线 \(x=2\) 代入抛物线 \(C: y^2=2px\)，得 \(y^2=4p\)，解得 \(y= \pm 2\sqrt{p}\)。因此交点 \(D\) 和 \(E\) 的坐标为 \((2, 2\sqrt{p})\) 和 \((2, -2\sqrt{p})\)。向量 \(\overrightarrow{OD}\) 和 \(\overrightarrow{OE}\) 分别为 \((2, 2\sqrt{p})\) 和 \((2, -2\sqrt{p})\)。根据垂直条件，点积为零： \[ 2 \cdot 2 + (2\sqrt{p}) \cdot (-2\sqrt{p}) = 4 - 4p = 0 \implies p=1. \] 抛物线 \(C\) 的焦点坐标为 \(\left(\frac{p}{2}, 0\right)\)，代入 \(p=1\) 得焦点为 \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\)，对应选项 B。 <eoe> 【答案】B <eoa> |
B |
| gpto1 | 【解析】 直线 \( x=2 \) 与抛物线 \( y^2=2px \)（\( p>0 \)）的交点为 \( D \) 和 \( E \)。 将 \( x=2 \) 代入抛物线方程，得到： \[ y^2 = 2p \times 2 = 4p \] 所以： \[ y = \pm 2\sqrt{p} \] 因此，点 \( D(2, 2\sqrt{p}) \)，点 \( E(2, -2\sqrt{p}) \)。 向量 \( \overrightarrow{OD} = (2, 2\sqrt{p}) \)，向量 \( \overrightarrow{OE} = (2, -2\sqrt{p}) \)。 根据题意，\( \overrightarrow{OD} \) 与 \( \overrightarrow{OE} \) 垂直，即： \[ \overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE} = 0 \] 计算内积： \[ (2, 2\sqrt{p}) \cdot (2, -2\sqrt{p}) = 2 \times 2 + 2\sqrt{p} \times (-2\sqrt{p}) = 4 - 4p = 0 \] 解方程： \[ 4 - 4p = 0 \implies p = 1 \] 所以抛物线方程为 \( y^2 = 2x \)。 抛物线的焦点坐标为 \( (p, 0) \)，因此焦点坐标为 \( (1, 0) \)。 **故选择 C。** <eoe> 【答案】 C <eoa> |
B |
| GPT-4o | 【解析】 1. 设抛物线 $C: y^2 = 2px$，其中 $p > 0$。直线 $x=2$ 与抛物线的交点 $D$ 和 $E$ 满足 $x = 2$，即： \[ y^2 = 2p \cdot 2 \implies y^2 = 4p \] 因此，交点 $D$ 和 $E$ 的坐标分别为 $(2, 2\sqrt{p})$ 和 $(2, -2\sqrt{p})$。 2. 根据题意，$O D \perp O E$，即向量 $OD$ 和 $OE$ 垂直。向量 $OD$ 和 $OE$ 的坐标分别为 $(2, 2\sqrt{p})$ 和 $(2, -2\sqrt{p})$。 3. 两个向量垂直的条件是它们的点积为零。向量 $OD$ 和 $OE$ 的点积为： \[ (2, 2\sqrt{p}) \cdot (2, -2\sqrt{p}) = 2 \cdot 2 + 2\sqrt{p} \cdot (-2\sqrt{p}) \] 计算点积： \[ = 4 - 4p \] 根据垂直条件，点积应为零： \[ 4 - 4p = 0 \implies p = 1 \] 4. 知道了 $p=1$ 后，可以确定抛物线的标准方程为 $y^2 = 2x$。根据抛物线的标准形式 $y^2 = 2px$，焦点的坐标为 $(\frac{p}{2}, 0)$。 5. 代入 $p = 1$，焦点坐标为： \[ \left(\frac{1}{2}, 0\right) \] 【答案】 B <eoa> |
['B'] |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 由题意,设D(2,y_{1}),E(2,y_{2}),则y_{1}y_{2}=-4p,由OD\botOE,得y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=8p,即y_{1}^{2}+\frac{16p^{2}}{y_{1}^{2}}=8p,即y_{1}^{4}-8py_{1}^{2}+16p^{2}=0,解得y_{1}^{2}=4p,即p=2,所以C的焦点坐标为(1,0).<eoe>【答案】: C <eoa> |
['B'] |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是(1,0) <eoe> 【答案】 C <eoa> |
['B'] |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】\n首先，我们需要找到直线 \\( x = 2 \\) 与抛物线 \\( y^2 = 2px \\) 的交点。将 \\( x = 2 \\) 代入抛物线方程，得到：\n\\[ y^2 = 2p \\cdot 2 \\]\n\\[ y^2 = 4p \\]\n因此，交点 \\( D \\) 和 \\( E \\) 的坐标分别为 \\( (2, \\sqrt{4p}) \\) 和 \\( (2, -\\sqrt{4p}) \\)。\n\n接下来，我们需要验证 \\( OD \\perp OE \\)。点 \\( O \\) 是原点 \\( (0, 0) \\)，点 \\( D \\) 的坐标是 \\( (2, \\sqrt{4p}) \\)，点 \\( E \\) 的坐标是 \\( (2, -\\sqrt{4p}) \\)。\n\n向量 \\( \\overrightarrow{OD} \\) 和 \\( \\overrightarrow{OE} \\) 分别为：\n\\[ \\overrightarrow{OD} = (2, \\sqrt{4p}) \\]\n\\[ \\overrightarrow{OE} = (2, -\\sqrt{4p}) \\]\n\n向量 \\( \\overrightarrow{OD} \\) 和 \\( \\overrightarrow{OE} \\) 的点积为：\n\\[ \\overrightarrow{OD} \\cdot \\overrightarrow{OE} = 2 \\cdot 2 + \\sqrt{4p} \\cdot (-\\sqrt{4p}) \\]\n\\[ = 4 - 4p \\]\n\n为了使 \\( OD \\perp OE \\)，点积必须为零：\n\\[ 4 - 4p = 0 \\]\n\\[ 4p = 4 \\]\n\\[ p = 1 \\]\n\n现在我们知道 \\( p = 1 \\)，所以抛物线的方程为 \\( y^2 = 2x \\)。抛物线的焦点坐标为 \\( \\left( \\frac{p}{2}, 0 \\right) \\)，即：\n\\[ \\left( \\frac{1}{2}, 0 \\right) \\]\n\n因此，抛物线 \\( y^2 = 2x \\) 的焦点坐标为 \\( \\left( \\frac{1}{2}, 0 \\right) \\)。\n<eoe>\n【答案】: B <eoa>" | ['B'] |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】\n首先，我们需要找到直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2px$ 的交点 $D$ 和 $E$。将 $x=2$ 代入抛物线方程，得到 $y^{2}=4p$，所以 $y=\\pm 2\\sqrt{p}$。因此，交点 $D$ 和 $E$ 的坐标分别是 $(2, 2\\sqrt{p})$ 和 $(2, -2\\sqrt{p})$。\n\n接下来，要验证 $OD \\perp OE$，即向量 $\\overrightarrow{OD}$ 与 $\\overrightarrow{OE}$ 的点乘为0。向量 $\\overrightarrow{OD} = (2, 2\\sqrt{p})$，向量 $\\overrightarrow{OE} = (2, -2\\sqrt{p})$。它们的点乘为 $2*2 + 2\\sqrt{p}*(-2\\sqrt{p}) = 4 - 4p$。要使 $\\overrightarrow{OD} \\perp \\overrightarrow{OE}$，需要 $4 - 4p = 0$，从而解得 $p = 1$。\n\n抛物线 $y^{2}=2px$ 的焦点坐标是 $(\\frac{p}{2}, 0)$。将 $p = 1$ 代入，得到焦点坐标为 $(\\frac{1}{2}, 0)$。\n\n【答案】: B. $\\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)$ <eoa>" | ['B'] |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们知道抛物线 $C: y^{2}=2px$ 的焦点坐标是 $(\frac{p}{2}, 0)$。直线 $x=2$ 与抛物线交于 $D, E$ 两点，说明这两点的横坐标都是2。将 $x=2$ 代入抛物线方程得到 $y^{2}=4p$，即 $y=\pm 2\sqrt{p}$。因此，$D, E$ 两点的坐标分别是 $(2, 2\sqrt{p})$ 和 $(2, -2\sqrt{p})$。 由于 $OD \perp OE$，根据直角三角形的性质，斜率之积应该等于-1。$OD$ 和 $OE$ 分别是从原点到点 $D$ 和 $E$ 的连线，它们的斜率分别是 $\frac{2\sqrt{p}}{2}=\sqrt{p}$ 和 $\frac{-2\sqrt{p}}{2}=-\sqrt{p}$。因此，我们有 $\sqrt{p} \cdot (-\sqrt{p}) = -1$，即 $p=1$。 所以，抛物线的焦点坐标是 $(\frac{1}{2}, 0)$。 |
['B'] |
| doubao | 【解析】：把$x=2$代入抛物线方程$y^{2}=2px$可得$y^{2}=4p$，则$y=\pm 2\sqrt{p}$，所以$D(2,2\sqrt{p})$，$E(2,-2\sqrt{p})$或$D(2,-2\sqrt{p})$，$E(2,2\sqrt{p})$。因为$OD\perp OE$，所以$\overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{OE}=0$，即$(2,2\sqrt{p})\cdot(2,-2\sqrt{p})=4-4p=0$，解得$p=1$，则抛物线方程为$y^{2}=2x$，焦点坐标为$(\frac{1}{2},0)$。<eoe> 【答案】：B <eoa> |
['B'] |
| minimax | 【解析】 首先，我们知道抛物线 $C: y^{2}=2px$ 的焦点坐标是 $(\frac{p}{2}, 0)$。 由于直线 $x=2$ 与抛物线相交，我们可以将 $x=2$ 代入抛物线方程中得到交点的 $y$ 坐标。代入后得到 $y^{2}=2p(2)$，即 $y^{2}=4p$。因此，交点 $D$ 和 $E$ 的坐标分别是 $(2, \sqrt{4p})$ 和 $(2, -\sqrt{4p})$。 由于 $OD \perp OE$，即 $OD$ 和 $OE$ 是垂直的，我们可以利用勾股定理来求解 $p$ 的值。在直角三角形 $ODA$ 中，$OA$ 是原点到 $x$ 轴的垂线，所以 $OA=0$，$OD$ 的长度是 $\sqrt{4p}$，$DA$ 的长度是 $2$（因为 $x$ 坐标是 $2$）。根据勾股定理，我们有 $OD^2 + OA^2 = DA^2$，即 $(\sqrt{4p})^2 + 0^2 = 2^2$。 解这个方程得到 $4p = 4$，所以 $p = 1$。 因此，抛物线 $C$ 的焦点坐标是 $(\frac{p}{2}, 0)$，将 $p=1$ 代入得到焦点坐标为 $(\frac{1}{2}, 0)$。 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
['B'] |
| kimi | 【解析】首先，我们需要找到直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^2 = 2px$ 的交点 $D$ 和 $E$。 1. 将 $x=2$ 代入抛物线方程，得到 $y^2 = 2p \cdot 2 = 4p$。 2. 解得 $y = \pm 2\sqrt{p}$，所以交点 $D$ 和 $E$ 的坐标分别为 $(2, 2\sqrt{p})$ 和 $(2, -2\sqrt{p})$。 接下来，我们需要利用条件 $OD \perp OE$ 来求解 $p$。 3. 根据垂直条件，$OD$ 和 $OE$ 的斜率乘积为 $-1$。$OD$ 的斜率为 $\frac{2\sqrt{p}}{2} = \sqrt{p}$，$OE$ 的斜率为 $\frac{-2\sqrt{p}}{2} = -\sqrt{p}$。 4. 斜率乘积为 $\sqrt{p} \cdot (-\sqrt{p}) = -p$，由于 $OD \perp OE$，所以 $-p = -1$，解得 $p = 1$。 最后，我们需要找到抛物线 $C$ 的焦点坐标。 5. 抛物线 $y^2 = 2px$ 的焦点坐标为 $(\frac{p}{2}, 0)$。 6. 代入 $p = 1$，得到焦点坐标为 $(\frac{1}{2}, 0)$。 【答案】: B <eoa> |
['B'] |
| wenxinyiyan | 【解析】 首先，由题意知直线$x=2$与抛物线$C: y^{2}=2px(p>0)$交于$D, E$两点，解这个联立方程可以得到$D$和$E$的坐标。 联立方程为： $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\y^{2} = 2px \\ \end{array} \right.$ 解得： $\left\{ \begin{array}{l} x_{1} = 2 \\y_{1} = 2\sqrt{p} \\ \end{array} \right.$ 和 $\left\{ \begin{array}{l} x_{2} = 2 \\y_{2} = -2\sqrt{p} \\ \end{array} \right.$ 所以，$D(2,2\sqrt{p})$，$E(2,-2\sqrt{p})$。 然后，根据题意$OD \perp OE$，即向量$\overset{\longrightarrow}{OD}$和$\overset{\longrightarrow}{OE}$垂直，根据向量垂直的性质，有$\overset{\longrightarrow}{OD} \cdot \overset{\longrightarrow}{OE} = 0$。 即$(2,2\sqrt{p}) \cdot (2,-2\sqrt{p}) = 4 - 4p = 0$， 解得$p = 1$。 最后，根据抛物线的性质，焦点坐标为$(\frac{p}{2},0)$，代入$p=1$，得到焦点坐标为$(\frac{1}{2},0)$。 故选B。 【答案】 B |
['B'] |
| zhipu | 【解析】 首先，我们确定直线 \(x = 2\) 与抛物线 \(C: y^2 = 2px\) 的交点。将 \(x = 2\) 代入抛物线方程 \(y^2 = 2px\)，得到： \[ y^2 = 2p \cdot 2 = 4p \] 所以，交点 \(D\) 和 \(E\) 的坐标分别为 \((2, 2\sqrt{p})\) 和 \((2, -2\sqrt{p})\)。 接下来，我们需要利用条件 \(OD \perp OE\)。点 \(O\) 为原点 \((0, 0)\)，所以向量 \(\overrightarrow{OD}\) 和 \(\overrightarrow{OE}\) 分别为： \[ \overrightarrow{OD} = (2, 2\sqrt{p}) \] \[ \overrightarrow{OE} = (2, -2\sqrt{p}) \] 两个向量垂直的条件是它们的点积为零，即： \[ \overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE} = 2 \cdot 2 + 2\sqrt{p} \cdot (-2\sqrt{p}) = 4 - 4p = 0 \] 解这个方程得到： \[ 4 - 4p = 0 \] \[ p = 1 \] 现在，我们需要确定抛物线 \(C: y^2 = 2px\) 的焦点坐标。抛物线的标准形式 \(y^2 = 2px\) 中，焦点的坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。由于我们已经求得 \(p = 1\)，所以焦点坐标为： \[ \left(\frac{1}{2}, 0\right) \] 综上所述，正确答案是 B。 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
['B'] |
| gpto1 | 【解析】 直线 \( x=2 \) 与抛物线 \( y^2=2px \)（\( p>0 \)）的交点为 \( D \) 和 \( E \)。 将 \( x=2 \) 代入抛物线方程，得到： \[ y^2 = 2p \times 2 = 4p \] 所以： \[ y = \pm 2\sqrt{p} \] 因此，点 \( D(2, 2\sqrt{p}) \)，点 \( E(2, -2\sqrt{p}) \)。 向量 \( \overrightarrow{OD} = (2, 2\sqrt{p}) \)，向量 \( \overrightarrow{OE} = (2, -2\sqrt{p}) \)。 根据题意，\( \overrightarrow{OD} \) 与 \( \overrightarrow{OE} \) 垂直，即： \[ \overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE} = 0 \] 计算内积： \[ (2, 2\sqrt{p}) \cdot (2, -2\sqrt{p}) = 2 \times 2 + 2\sqrt{p} \times (-2\sqrt{p}) = 4 - 4p = 0 \] 解方程： \[ 4 - 4p = 0 \implies p = 1 \] 所以抛物线方程为 \( y^2 = 2x \)。 抛物线的焦点坐标为 \( (p, 0) \)，因此焦点坐标为 \( (1, 0) \)。 **故选择 C。** <eoe> 【答案】 C <eoa> |
B |
| deepseekv3 | 【解析】 首先，我们找到直线 \( x = 2 \) 与抛物线 \( C: y^2 = 2px \) 的交点 \( D \) 和 \( E \)。 将 \( x = 2 \) 代入抛物线的方程，得到 \( y^2 = 2p \times 2 = 4p \)，所以 \( y = 2\sqrt{p} \) 或 \( y = -2\sqrt{p} \)。因此，交点 \( D \) 和 \( E \) 的坐标分别为 \( D(2, 2\sqrt{p}) \) 和 \( E(2, -2\sqrt{p}) \)。 接下来，根据题意，向量 \( \overrightarrow{OD} \) 和 \( \overrightarrow{OE} \) 互相垂直，即它们的点积为零。 向量 \( \overrightarrow{OD} = (2, 2\sqrt{p}) \)，向量 \( \overrightarrow{OE} = (2, -2\sqrt{p}) \)。 它们的点积为： \[ \overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE} = 2 \times 2 + 2\sqrt{p} \times (-2\sqrt{p}) = 4 - 4p \] 根据垂直条件，点积为零： \[ 4 - 4p = 0 \Rightarrow p = 1 \] 抛物线的焦点坐标为 \( \left( \frac{p}{2}, 0 \right) \)，代入 \( p = 1 \)，得到焦点坐标为 \( \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \)。 因此，正确答案是 B。 <eoe> 【答案】B <eoa> |
B |