| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | 【解析】 首先，我们需要展开 $\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x+y)^{5}$。注意到 $\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)$ 可以写成 $x + \frac{y^{2}}{x}$。 我们需要找到展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数。为此，我们需要考虑 $(x+y)^{5}$ 的展开式中的项，并与 $x + \frac{y^{2}}{x}$ 相乘。 $(x+y)^{5}$ 的展开式中，我们关注的是 $x^{2}y^{3}$ 和 $x^{4}y$ 这两项，因为它们分别与 $x$ 和 $\frac{y^{2}}{x}$ 相乘后能得到 $x^{3}y^{3}$。 $(x+y)^{5}$ 的二项式展开式中，$x^{2}y^{3}$ 的系数是 $\binom{5}{3} = 10$，$x^{4}y$ 的系数是 $\binom{5}{1} = 5$。 因此，展开 $\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x+y)^{5}$ 时，$x^{3}y^{3}$ 的系数是： - $x \cdot x^{2}y^{3}$ 的系数是 $1 \cdot 10 = 10$ - $\frac{y^{2}}{x} \cdot x^{4}y$ 的系数是 $1 \cdot 5 = 5$ 总的 $x^{3}y^{3}$ 的系数是 $10 + 5 = 15$。 <eoe> 【答案】: C <eoa> |
C |
| deepseekr1 | 【解析】 首先将原式拆分为两个部分：A = x 和 B = y²/x，分别与 (x + y)^5 的展开式相乘，再合并同类项。 1. **处理 A*(x + y)^5**： - 需要找到 (x + y)^5 展开式中 x²y³ 项（因为乘以 x 后变为 x³y³）。 - 该项对应组合数 C(5,3) = 10，故 A 部分的系数为 10。 2. **处理 B*(x + y)^5**： - 需要找到 (x + y)^5 展开式中 x⁴y¹ 项（因为乘以 y²/x 后变为 x³y³）。 - 该项对应组合数 C(5,1) = 5，故 B 部分的系数为 5。 两部分系数相加：10 + 5 = 15。 <eoe> 【答案】 C <eoa> |
C |
| gpto1 | 【解析】 首先将原式展开： $P(x, y) = \left(x + \dfrac{y^{2}}{x}\right)(x + y)^{5}$ 将 $\left(x + \dfrac{y^{2}}{x}\right)$ 分成两部分： $P(x, y) = x(x + y)^{5} + \dfrac{y^{2}}{x}(x + y)^{5}$ 对第一部分 $x(x + y)^{5}$ 展开： $(x + y)^{5} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5 - k} y^{k}$ 乘以 $x$ 后： $x(x + y)^{5} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{6 - k} y^{k}$ 要找到$x^{3} y^{3}$ 的项，需要满足： $6 - k = 3$ 且 $k = 3$ 解得 $k = 3$ 所以第一部分对应的系数为： $C_{5}^{3} = 10$ 对第二部分 $\dfrac{y^{2}}{x}(x + y)^{5}$ 展开： $\dfrac{y^{2}}{x}(x + y)^{5} = \dfrac{y^{2}}{x} \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5 - k} y^{k} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{4 - k} y^{k + 2}$ 要找到$x^{3} y^{3}$ 的项，需要满足： $4 - k = 3$ 且 $k + 2 = 3$ 解得 $k = 1$ 所以第二部分对应的系数为： $C_{5}^{1} = 5$ 将两部分系数相加，得到： $10 + 5 = 15$ 因此，$x^{3} y^{3}$ 的系数为 $15$。 <eoe> 【答案】C <eoa> |
C |
| GPT-4o | 【解析】 我们要找到 $\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x+y)^{5}$ 展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数。 首先，我们将 $(x + \frac{y^2}{x})$ 和 $(x + y)^5$ 分别展开。 1. $(x + y)^5$ 的展开式根据二项式定理为： \[ (x + y)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} y^k \] 2. 我们需要考虑 $(x + \frac{y^2}{x})(x + y)^5$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的项。假设 $(x + \frac{y^2}{x})$ 中的 $x$ 项与 $(x + y)^5$ 展开的某一项相乘，结果中包含 $x^3 y^3$。 首先考虑 $x$ 项： - $x \times \text{某一项} = x^3 y^3$ \[ x \times x^{5-k} y^k = x^{6-k} y^k \] 使 $6-k = 3$ 和 $k = 3$，得到 $k = 3$。 \[ x \times x^{2} y^3 = x^3 y^3 \] 这时，$x$ 项的系数为 $\binom{5}{3} = 10$。 接下来考虑 $\frac{y^2}{x}$ 项： - $\frac{y^2}{x} \times \text{某一项} = x^3 y^3$ \[ \frac{y^2}{x} \times x^{5-k} y^k = x^{4-k} y^{k+2} \] 使 $4-k = 3$ 和 $k+2 = 3$，得到 $k = 1$。 \[ \frac{y^2}{x} \times x^{4} y^1 = x^3 y^3 \] 这时，$\frac{y^2}{x}$ 项的系数为 $\binom{5}{1} = 5$。 将两个结果相加： \[ 10 + 5 = 15 \] 因此，系数为 15。 <eoe> 【答案】 C <eoa> |
['C'] |
| llama3.1-70B-Instruct | 【解析】 由题意可知,展开式中x^{3}y^{3}的系数为\binom{5}{3}+\binom{5}{2}=10. 最终结果是10 <eoe> 【答案】B <eoa> |
['C'] |
| llama3.1-405B-Instruct | 【解析】 最终结果是10 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
['C'] |
| DeepSeek-Coder-V2 | "【解析】 我们需要找到 $\\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right)(x+y)^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数。\n\n首先，我们将 $\\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right)$ 和 $(x+y)^{5}$ 分别展开，然后找出它们的乘积中 $x^{3} y^{3}$ 的项。\n\n1. 展开 $\\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right)$：\n \\[\n \\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right) = x + \\frac{y^{2}}{x}\n \\]\n\n2. 展开 $(x+y)^{5}$：\n \\[\n (x+y)^{5} = \\sum_{k=0}^{5} \\binom{5}{k} x^{5-k} y^{k}\n \\]\n 其中，$\\binom{5}{k}$ 是二项式系数。\n\n3. 将 $\\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right)$ 和 $(x+y)^{5}$ 相乘，并找出 $x^{3} y^{3}$ 的项：\n \\[\n \\left(x + \\frac{y^{2}}{x}\\right) \\sum_{k=0}^{5} \\binom{5}{k} x^{5-k} y^{k}\n \\]\n\n 我们需要考虑两种情况：\n - $x \\cdot \\text{某项}$\n - $\\frac{y^{2}}{x} \\cdot \\text{某项}$\n\n 具体展开如下：\n \\[\n x \\sum_{k=0}^{5} \\binom{5}{k} x^{5-k} y^{k} + \\frac{y^{2}}{x} \\sum_{k=0}^{5} \\binom{5}{k} x^{5-k} y^{k}\n \\]\n\n 对于 $x \\cdot \\text{某项}$，我们需要 $5-k = 2$，即 $k = 3$：\n \\[\n x \\cdot \\binom{5}{3} x^{2} y^{3} = \\binom{5}{3} x^{3} y^{3} = 10 x^{3} y^{3}\n \\]\n\n 对于 $\\frac{y^{2}}{x} \\cdot \\text{某项}$，我们需要 $5-k = 4$，即 $k = 1$：\n \\[\n \\frac{y^{2}}{x} \\cdot \\binom{5}{1} x^{4} y^{1} = \\binom{5}{1} x^{3} y^{3} = 5 x^{3} y^{3}\n \\]\n\n 将这两部分相加：\n \\[\n 10 x^{3} y^{3} + 5 x^{3} y^{3} = 15 x^{3} y^{3}\n \\]\n\n因此，$x^{3} y^{3}$ 的系数为 15。\n<eoe>\n【答案】: C <eoa>" | ['C'] |
| Qwen2-72B-Instruct | "【解析】 首先，我们观察给定的表达式 \\(\\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right)(x+y)^{5}\\)。为了找到 \\(x^{3}y^{3}\\) 的系数，我们需要在展开式中寻找所有可能产生 \\(x^{3}y^{3}\\) 项的组合。我们可以将问题分为两个部分：第一部分是 \\(\\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right)\\)，第二部分是 \\((x+y)^{5}\\)。\n\n在 \\((x+y)^{5}\\) 的展开中，根据二项式定理，要得到 \\(x^{3}y^{3}\\) 的项，我们需要从 \\((x+y)^{5}\\) 中选取 \\(x^{3}y^{2}\\) 的项，因为当与 \\(\\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right)\\) 中的 \\(y^{2}/x\\) 项相乘时，可以得到 \\(x^{3}y^{3}\\)。从 \\((x+y)^{5}\\) 中选取 \\(x^{3}y^{2}\\) 的系数可以通过二项式系数 \\(\\binom{5}{2}\\) 获得，等于 10。\n\n接下来，考虑 \\(\\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right)\\) 部分。为了与 \\((x+y)^{5}\\) 中的 \\(x^{3}y^{2}\\) 项相乘得到 \\(x^{3}y^{3}\\)，我们需要从 \\(\\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right)\\) 中选取 \\(\\frac{y^{2}}{x}\\) 的项，因为 \\(\\frac{y^{2}}{x} \\cdot x^{3}y^{2} = x^{2}y^{4}\\)，而 \\(\\frac{y^{2}}{x} \\cdot x^{3}y^{2}\\) 的系数为 1。\n\n因此，\\(x^{3}y^{3}\\) 的总系数为 \\((x+y)^{5}\\) 中 \\(x^{3}y^{2}\\) 的系数与 \\(\\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right)\\) 中 \\(\\frac{y^{2}}{x}\\) 的系数的乘积，即 \\(10 \\cdot 1 = 10\\)。\n\n【答案】: B <eoa>" | ['C'] |
| baichuan4 | 【解析】首先，我们需要将表达式 $(x+\frac{y^{2}}{x})(x+y)^{5}$ 展开。为了找到 $x^{3}y^{3}$ 的系数，我们可以使用二项式定理来展开 $(x+y)^{5}$。 二项式定理告诉我们，$(a+b)^n$ 的展开式是由形如 $C_n^k a^{n-k} b^k$ 的项组成的，其中 $C_n^k$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个元素的组合数。 因此，$(x+y)^{5}$ 的展开式为： $$x^5 + C_5^1 x^4 y + C_5^2 x^3 y^2 + C_5^3 x^2 y^3 + C_5^4 x y^4 + y^5$$ 接下来，我们需要将 $(x+\frac{y^{2}}{x})$ 与上面的每一项相乘，然后找到所有可能产生 $x^{3}y^{3}$ 项的组合。 - 当我们将 $x+\frac{y^{2}}{x}$ 与 $x^5$ 相乘时，无法得到 $x^{3}y^{3}$ 项。 - 当我们将 $x+\frac{y^{2}}{x}$ 与 $C_5^1 x^4 y$ 相乘时，只有 $\frac{y^{2}}{x} \cdot x^4 y$ 能产生 $x^{3}y^{3}$ 项，其系数为 $C_5^1 = 5$。 - 当我们将 $x+\frac{y^{2}}{x}$ 与 $C_5^2 x^3 y^2$ 相乘时，$x \cdot x^3 y^2$ 和 $\frac{y^{2}}{x} \cdot x^3 y^2$ 都能产生 $x^{3}y^{3}$ 项，其系数分别为 $C_5^2 = 10$ 和 $C_5^2 = 10$。 - 当我们将 $x+\frac{y^{2}}{x}$ 与 $C_5^3 x^2 y^3$ 相乘时，只有 $x \cdot x^2 y^3$ 能产生 $x^{3}y^{3}$ 项，其系数为 $C_5^3 = 10$。 - 当我们将 $x+\frac{y^{2}}{x}$ 与 $C_5^4 x y^4$ 或 $y^5$ 相乘时，无法得到 $x^{3}y^{3}$ 项。 因此，$x^{3}y^{3}$ 的系数为 $5 + 10 + 10 + 10 = 35$。 然而，这与题目中的选项不符。让我们再次检查计算过程。我们发现在计算 $(x+\frac{y^{2}}{x})(x+y)^{5}$ 时，我们应该只考虑 $(x+y)^{5}$ 中的 $x^3y^2$ 和 $x^2y^3$ 项，因为其他项在乘以 $x+\frac{y^{2}}{x}$ 后不会产生 $x^{3}y^{3}$ 项。 因此，我们应该只计算 $C_5^2 x^3 y^2$ 和 $C_5^3 x^2 y^3$ 项的贡献： - $C_5^2 x^3 y^2$ 项的系数为 $10$，乘以 $x$ 得到 $x^{3}y^{2}$，再乘以 $\frac{y^{2}}{x}$ 得到 $x^{3}y^{3}$，贡献系数为 $10$。 - $C_5^3 x^2 y^3$ 项的系数为 $10$，乘以 $x$ 得到 $x^{3}y^{3}$，贡献系数为 $10$。 所以，$x^{3}y^{3}$ 的系数为 $10 + 10 = 20$。 【答案】: D <eoa> |
['C'] |
| doubao | 【解析】：将$(x+y)^{5}$展开，根据二项式定理可得$(x+y)^{5}=C_{5}^{0}x^{5}+C_{5}^{1}x^{4}y+C_{5}^{2}x^{3}y^{2}+C_{5}^{3}x^{2}y^{3}+C_{5}^{4}xy^{4}+C_{5}^{5}y^{5}$。要得到$x^{3}y^{3}$，则从$(x+\frac{y^{2}}{x})$中取$x$与$(x+y)^{5}$中$C_{5}^{3}x^{2}y^{3}$相乘可得$10x^{3}y^{3}$，从$(x+\frac{y^{2}}{x})$中取$\frac{y^{2}}{x}$与$(x+y)^{5}$中$C_{5}^{1}x^{4}y$相乘可得$5x^{3}y^{3}$，所以$x^{3}y^{3}$的系数为$10+5=15$。<eoe> 【答案】：C <eoa> |
['C'] |
| minimax | 【解析】为了找到$x^3y^3$的系数，我们需要考虑在展开$(x+\frac{y^2}{x})(x+y)^5$时，所有可能产生$x^3y^3$项的组合。 首先，我们注意到$x^3y^3$项可以通过以下两种方式产生： 1. 从第一个因子$x+\frac{y^2}{x}$中取$x$，然后从$(x+y)^5$中取$x^2y^3$项。 2. 从第一个因子$x+\frac{y^2}{x}$中取$\frac{y^2}{x}$，然后从$(x+y)^5$中取$x^3y$项。 对于第一种情况，我们需要在$(x+y)^5$中找到$x^2y^3$的系数。根据二项式定理，$(x+y)^5$的展开式中$x^2y^3$的系数是$\binom{5}{3}$，因为我们需要选择3个$y$，剩下的2个自然是$x$。所以$x^2y^3$的系数是$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = 10$。 对于第二种情况，我们需要在$(x+y)^5$中找到$x^3y$的系数。同样根据二项式定理，$(x+y)^5$的展开式中$x^3y$的系数是$\binom{5}{1}$，因为我们需要选择1个$y$，剩下的4个自然是$x$。所以$x^3y$的系数是$\binom{5}{1} = 5$。 现在，我们需要将这两种情况的系数相加，因为它们都会产生$x^3y^3$项。但是，我们还需要考虑第一个因子中的$\frac{y^2}{x}$，它会与$x^3y$相乘产生$x^2y^3$项。因此，我们需要将第二种情况的系数乘以$\frac{y^2}{x}$的系数，即乘以1（因为$\frac{y^2}{x}$的系数是1）。 所以，$x^3y^3$的总系数是$10 + 5 = 15$。 因此，正确答案是C。 <eoe> 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| kimi | 【解析】首先，我们需要将给定的表达式展开，然后找出 $x^3 y^3$ 的系数。 表达式为：$\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x+y)^{5}$ 我们可以将其重写为：$\left(\frac{x^2 + y^2}{x}\right)(x+y)^5$ 接下来，我们需要使用二项式定理来展开 $(x+y)^5$。二项式定理告诉我们，$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$。 对于 $(x+y)^5$，我们有： $(x+y)^5 = \binom{5}{0} x^5 y^0 + \binom{5}{1} x^4 y^1 + \binom{5}{2} x^3 y^2 + \binom{5}{3} x^2 y^3 + \binom{5}{4} x^1 y^4 + \binom{5}{5} x^0 y^5$ 现在，我们需要找出 $x^3 y^3$ 的系数。这将来自于以下两种情况： 1. 从 $\frac{x^2 + y^2}{x}$ 中选择 $x^2$，然后从 $(x+y)^5$ 中选择 $x y^3$。 2. 从 $\frac{x^2 + y^2}{x}$ 中选择 $y^2$，然后从 $(x+y)^5$ 中选择 $x^3 y$。 对于第一种情况： - 从 $\frac{x^2 + y^2}{x}$ 中选择 $x^2$ 得到 $x^2$。 - 从 $(x+y)^5$ 中选择 $\binom{5}{3} x^2 y^3$ 得到 $10 x^2 y^3$。 对于第二种情况： - 从 $\frac{x^2 + y^2}{x}$ 中选择 $y^2$ 得到 $\frac{y^2}{x}$。 - 从 $(x+y)^5$ 中选择 $\binom{5}{2} x^3 y^2$ 得到 $10 x^3 y^2$。 现在，我们将这两种情况相乘： 1. $x^2 \cdot 10 x^2 y^3 = 10 x^4 y^3$ 2. $\frac{y^2}{x} \cdot 10 x^3 y^2 = 10 x^2 y^4$ 我们需要的是 $x^3 y^3$ 的系数，所以我们需要将第一种情况的 $x^4 y^3$ 除以 $x$，得到 $10 x^3 y^3$。 因此，$x^3 y^3$ 的系数是 $10$。 <eoe> 【答案】: B <eoa> |
['C'] |
| wenxinyiyan | 【解析】 首先，根据二项式定理，$(x+y)^{5}$的展开式的通项为$T_{r+1} = C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r}$。 我们需要找到使得乘积中出现$x^{3}y^{3}$的项。 考虑第一个因子$x$与$(x+y)^{5}$的展开式中的$T_{r+1}$相乘，得到$x C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r} = C_{5}^{r} x^{6-r} y^{r}$。为了得到$x^{3}y^{3}$，需要$6-r=3$和$r=3$，即$r=3$。 再考虑第二个因子$\frac{y^{2}}{x}$与$(x+y)^{5}$的展开式中的$T_{r+1}$相乘，得到$\frac{y^{2}}{x} C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r} = C_{5}^{r} x^{4-r} y^{r+2}$。为了得到$x^{3}y^{3}$，需要$4-r=3$和$r+2=3$，即$r=1$。 因此，$x^{3}y^{3}$的系数由两部分组成： 1. $x$与$T_{4}$的乘积，系数为$C_{5}^{3}$。 2. $\frac{y^{2}}{x}$与$T_{2}$的乘积，系数为$C_{5}^{1}$。 所以，$x^{3}y^{3}$的总系数为$C_{5}^{3} + C_{5}^{1} = 10 + 5 = 15$。 【答案】C <eoa> |
['C'] |
| zhipu | 【解析】 首先，我们需要展开表达式 \(\left(x + \frac{y^2}{x}\right)(x + y)^5\) 并找到其中 \(x^3 y^3\) 的系数。 1. **展开 \((x + y)^5\)：** 根据二项式定理，\((x + y)^5\) 的展开式为： \[ (x + y)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} y^k \] 其中，\(\binom{5}{k}\) 是二项式系数。 2. **考虑 \(\left(x + \frac{y^2}{x}\right)\) 乘以 \((x + y)^5\)：** 我们需要将 \(\left(x + \frac{y^2}{x}\right)\) 逐项乘以 \((x + y)^5\) 的展开式： \[ \left(x + \frac{y^2}{x}\right) \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} y^k \] 这相当于： \[ x \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} y^k + \frac{y^2}{x} \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} y^k \] 3. **寻找 \(x^3 y^3\) 项：** - 对于第一部分 \(x \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} y^k\)： \[ x \cdot \binom{5}{k} x^{5-k} y^k = \binom{5}{k} x^{6-k} y^k \] 我们需要 \(6-k = 3\) 且 \(k = 3\)，所以这一部分的贡献是： \[ \binom{5}{3} x^3 y^3 = 10 x^3 y^3 \] - 对于第二部分 \(\frac{y^2}{x} \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} y^k\)： \[ \frac{y^2}{x} \cdot \binom{5}{k} x^{5-k} y^k = \binom{5}{k} x^{4-k} y^{k+2} \] 我们需要 \(4-k = 3\) 且 \(k+2 = 3\)，所以 \(k = 1\)，这一部分的贡献是： \[ \binom{5}{1} x^3 y^3 = 5 x^3 y^3 \] 4. **合并两部分的贡献：** \[ 10 x^3 y^3 + 5 x^3 y^3 = 15 x^3 y^3 \] 因此，\(x^3 y^3\) 的系数为 15。 <eoe> 【答案】: C <eoa> |
['C'] |
| gpto1 | 【解析】 首先将原式展开： $P(x, y) = \left(x + \dfrac{y^{2}}{x}\right)(x + y)^{5}$ 将 $\left(x + \dfrac{y^{2}}{x}\right)$ 分成两部分： $P(x, y) = x(x + y)^{5} + \dfrac{y^{2}}{x}(x + y)^{5}$ 对第一部分 $x(x + y)^{5}$ 展开： $(x + y)^{5} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5 - k} y^{k}$ 乘以 $x$ 后： $x(x + y)^{5} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{6 - k} y^{k}$ 要找到$x^{3} y^{3}$ 的项，需要满足： $6 - k = 3$ 且 $k = 3$ 解得 $k = 3$ 所以第一部分对应的系数为： $C_{5}^{3} = 10$ 对第二部分 $\dfrac{y^{2}}{x}(x + y)^{5}$ 展开： $\dfrac{y^{2}}{x}(x + y)^{5} = \dfrac{y^{2}}{x} \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5 - k} y^{k} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{4 - k} y^{k + 2}$ 要找到$x^{3} y^{3}$ 的项，需要满足： $4 - k = 3$ 且 $k + 2 = 3$ 解得 $k = 1$ 所以第二部分对应的系数为： $C_{5}^{1} = 5$ 将两部分系数相加，得到： $10 + 5 = 15$ 因此，$x^{3} y^{3}$ 的系数为 $15$。 <eoe> 【答案】C <eoa> |
C |
| deepseekv3 | 【解析】 我们需要在表达式 $\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x+y)^{5}$ 的展开式中找到 $x^{3} y^{3}$ 的系数。 首先，展开 $(x + y)^5$： $$(x + y)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5 - k} y^{k}$$ 然后，将原式拆分为两项相乘： $$\left(x + \frac{y^{2}}{x}\right)(x + y)^5 = x(x + y)^5 + \frac{y^{2}}{x}(x + y)^5$$ 我们分别计算这两项中 $x^{3} y^{3}$ 的系数。 1. 第一项 $x(x + y)^5$： 我们需要在 $x(x + y)^5$ 中找到 $x^{3} y^{3}$ 的系数。这意味着在 $(x + y)^5$ 中需要找到 $x^{2} y^{3}$ 的系数，因为 $x$ 乘以 $x^{2} y^{3}$ 得到 $x^{3} y^{3}$。 在 $(x + y)^5$ 中，$x^{2} y^{3}$ 的系数是 $\binom{5}{3} = 10$。 2. 第二项 $\frac{y^{2}}{x}(x + y)^5$： 我们需要在 $\frac{y^{2}}{x}(x + y)^5$ 中找到 $x^{3} y^{3}$ 的系数。这意味着在 $(x + y)^5$ 中需要找到 $x^{4} y^{1}$ 的系数，因为 $\frac{y^{2}}{x}$ 乘以 $x^{4} y^{1}$ 得到 $x^{3} y^{3}$。 在 $(x + y)^5$ 中，$x^{4} y^{1}$ 的系数是 $\binom{5}{1} = 5$。 将两个部分的系数相加： $$10 + 5 = 15$$ 因此，$x^{3} y^{3}$ 的系数是 15。 <eoe> 【答案】C <eoa> |
C |