| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
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| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们需要找到数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式。已知初始条件 \(a_1 = 2\) 和递推关系 \(a_{n+1} - a_n = 3 \cdot 2^{2n-1}\)。 我们可以通过累加递推关系来找到通项公式。考虑从 \(a_1\) 到 \(a_n\) 的变化： \[ a_2 - a_1 = 3 \cdot 2^{2 \cdot 1 - 1} = 3 \cdot 2^1 = 6 \] \[ a_3 - a_2 = 3 \cdot 2^{2 \cdot 2 - 1} = 3 \cdot 2^3 = 24 \] \[ a_4 - a_3 = 3 \cdot 2^{2 \cdot 3 - 1} = 3 \cdot 2^5 = 96 \] 一般地，递推关系可以写成： \[ a_{n+1} - a_n = 3 \cdot 2^{2n-1} \] 将这些递推关系累加起来，从 \(a_1\) 到 \(a_n\)： \[ a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{2k-1} \] 因此， \[ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{2k-1} \] 我们知道 \(a_1 = 2\)，所以： \[ a_n = 2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 2^{2k-1} \] 我们需要计算这个和： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 2^{2k-1} \] 注意到这是一个等比数列的和，公比为 \(2^2 = 4\)，首项为 \(2^1 = 2\)： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 2^{2k-1} = 2 + 2^3 + 2^5 + \cdots + 2^{2(n-1)-1} \] 这个和可以用等比数列求和公式： \[ S = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \] 其中 \(a = 2\)，\(r = 4\)，项数为 \(n-1\)： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 2^{2k-1} = 2 \frac{4^{n-1} - 1}{4 - 1} = \frac{2(4^{n-1} - 1)}{3} \] 因此， \[ a_n = 2 + 3 \cdot \frac{2(4^{n-1} - 1)}{3} = 2 + 2(4^{n-1} - 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n-1} - 2 = 2 \cdot 4^{n-1} \] 所以，数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为： \[ a_n = 2 \cdot 4^{n-1} \]<eoe> 【答案】\(a_n = 2 \cdot 4^{n-1}\)<eoa> (2)【解析】 令 \(b_n = n a_n\)，我们需要求数列 \(\{b_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n\)。 首先，利用已知的 \(a_n\) 的通项公式 \(a_n = 2 \cdot 4^{n-1}\)，我们可以写出 \(b_n\) 的通项公式： \[ b_n = n a_n = n \cdot 2 \cdot 4^{n-1} \] 接下来，我们求数列 \(\{b_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n\)： \[ S_n = \sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n k \cdot 2 \cdot 4^{k-1} \] 我们可以将常数 \(2\) 提出来： \[ S_n = 2 \sum_{k=1}^n k \cdot 4^{k-1} \] 我们需要求和 \(\sum_{k=1}^n k \cdot 4^{k-1}\)。这是一个带有系数的等比数列的和，可以通过求导的方法来求解。 考虑函数： \[ f(x) = \sum_{k=0}^n x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} \] 对 \(x\) 求导： \[ f'(x) = \sum_{k=1}^n k x^{k-1} = \frac{(1 - x^{n+1})' (1 - x) - (1 - x^{n+1}) (1 - x)'}{(1 - x)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-(n+1)x^n (1 - x) + (1 - x^{n+1})}{(1 - x)^2} \] 当 \(x = 4\) 时： \[ \sum_{k=1}^n k \cdot 4^{k-1} = \frac{4(1 - 4^n) + n \cdot 4^n}{(1 - 4)^2} = \frac{4 - 4^{n+1} + n \cdot 4^n}{9} \] 因此， \[ S_n = 2 \cdot \frac{4 - 4^{n+1} + n \cdot 4^n}{9} = \frac{8 - 8 \cdot 4^n + 2n \cdot 4^n}{9} = \frac{8 + (2n - 8) \cdot 4^n}{9} \] 所以，数列 \(\{b_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n\) 为： \[ S_n = \frac{8 + (2n - 8) \cdot 4^n}{9} \]<eoe> 【答案】\(S_n = \frac{8 + (2n - 8) \cdot 4^n}{9}\)<eoa> |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| deepseekr1 | (1)【解析】 已知数列满足 $a_1=2$ 且 $a_{n+1} - a_n = 3 \cdot 2^{2n-1}$。通过累加法，$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$。将差项化简为 $3 \cdot 2^{2k-1} = \frac{3}{2} \cdot 4^k$，求和得： \[ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{3}{2} \cdot 4^k = \frac{3}{2} \cdot \frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1} = 2(4^{n-1} -1). \] 因此 $a_n = 2 + 2(4^{n-1} -1) = 2 \cdot 4^{n-1} = 2^{2n-1}$。 <eoe> 【答案】 数列的通项公式为： \[ a_n = 2^{2n-1} \] <eoa> (2)【解析】 令 $b_n = n a_n = n \cdot 2^{2n-1}$，前 $n$ 项和 $S_n = \sum_{k=1}^n k \cdot 2^{2k-1}$。通过错位相减法，设 $S = \sum_{k=1}^n k \cdot 4^k$，则： \[ 4S - S = 3S = \sum_{k=1}^n k \cdot 4^{k+1} - \sum_{k=1}^n k \cdot 4^k = n \cdot 4^{n+1} - \sum_{k=1}^n 4^k. \] 等比数列求和得 $\sum_{k=1}^n 4^k = \frac{4(4^n -1)}{4-1} = \frac{4^{n+1} -4}{3}$，代入后解得： \[ S = \frac{4^{n+1}(3n -1) +4}{9}. \] 因此 $S_n = \frac{1}{2}S = \frac{(3n-1)4^n +1}{9} \cdot 2$，化简得： \[ S_n = \frac{(3n-1)2^{2n+1} +2}{9}. \] <eoe> 【答案】 数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为： \[ S_n = \frac{(3n-1)2^{2n+1} +2}{9} \] <eoa> |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| gpto1 | (1)【解析】 已知数列 \(\{ a_n \}\) 满足递推关系： \[ a_1 = 2 \] \[ a_{n+1} - a_n = 3 \cdot 2^{2n -1} \] 首先，考虑从 \( n = 1 \) 到 \( n \) 的累计，我们有： \[ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{2k -1} \] 将求和部分提取出来： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{2k -1} = 3 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} 2^{2k -1} \] 注意到 \( 2^{2k -1} = 2^{2k} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot (2^{2})^{k} = \frac{1}{2} \cdot 4^{k} \)，所以： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 2^{2k -1} = \frac{1}{2} \cdot \sum_{k=1}^{n-1} 4^{k} \] 因此： \[ a_n = 2 + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sum_{k=1}^{n-1} 4^{k} = 2 + \frac{3}{2} \cdot \sum_{k=1}^{n-1} 4^{k} \] 求和 \( \sum_{k=1}^{n-1} 4^{k} \) 是等比数列的前 \( n-1 \) 项和，其公比为 \( q = 4 \)，首项为 \( a_1 = 4 \)，所以： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 4^{k} = \frac{4(4^{n-1} -1)}{4 -1} = \frac{4(4^{n-1} -1)}{3} \] 代入上式： \[ a_n = 2 + \frac{3}{2} \cdot \frac{4(4^{n-1} -1)}{3} = 2 + \frac{4(4^{n-1} -1)}{2} \] 展开计算： \[ \frac{4(4^{n-1} -1)}{2} = 2(4^{n-1} -1) = 2 \cdot 4^{n-1} - 2 \] 所以： \[ a_n = 2 + [2 \cdot 4^{n-1} - 2 ] = 2 \cdot 4^{n-1} \] 又因为 \( 4^{n-1} = (2^{2})^{n-1} = 2^{2n -2} \)，所以： \[ a_n = 2 \cdot 2^{2n -2} = 2^{1 + 2n -2} = 2^{2n -1} \] **因此，数列的通项公式为：** \[ a_n = 2^{2n -1} \] <eoe> 【答案】\( a_n = 2^{2n -1} \) <eoa> (2)【解析】 令 \( b_n = n a_n \)，那么前 \( n \) 项和为： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} k a_k \] 由于 \( a_k = 2^{2k -1} \)，所以： \[ b_k = k \cdot 2^{2k -1} \] 为了求 \( S_n = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{2k -1} \)，我们将 \( 2^{2k -1} \) 转化为 \( 4^k \) 的形式： \[ 2^{2k -1} = 2^{-1} \cdot 2^{2k} = \frac{1}{2} \cdot 4^{k} \] 因此： \[ b_k = k \cdot \frac{1}{2} \cdot 4^{k} = \frac{k}{2} \cdot 4^{k} \] 于是： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2} \cdot 4^{k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k} \] 设： \[ S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k} \] 利用已知求和公式： \[ \sum_{k=1}^{n} k r^{k} = \frac{r(1 - (n+1) r^{n} + n r^{n+1})}{(1 - r)^{2}} \] 其中 \( r = 4 \)，故： \[ \begin{align*} S & = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k} = \frac{4(1 - (n+1) \cdot 4^{n} + n \cdot 4^{n+1})}{(1 - 4)^{2}} \\ & = \frac{4(1 - (n+1) \cdot 4^{n} + n \cdot 4^{n+1})}{9} \end{align*} \] 计算分子： \[ \begin{align*} & 4\left(1 - (n+1) \cdot 4^{n} + n \cdot 4^{n+1}\right) \\ & = 4\left(1 - (n+1) \cdot 4^{n} + n \cdot 4 \cdot 4^{n}\right) \\ & = 4\left(1 - (n+1) \cdot 4^{n} + 4n \cdot 4^{n}\right) \\ & = 4\left(1 + (3n -1) \cdot 4^{n}\right) \end{align*} \] 因此： \[ S = \frac{4\left(1 + (3n -1) \cdot 4^{n}\right)}{9} \] 所以： \[ S_n = \frac{1}{2} S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\left(1 + (3n -1) \cdot 4^{n}\right)}{9} = \frac{2\left(1 + (3n -1) \cdot 4^{n}\right)}{9} \] **因此，数列 \(\{ b_n \}\) 的前 \( n \) 项和为：** \[ S_n = \dfrac{2\left(1 + (3n -1) \cdot 4^{n}\right)}{9} \] <eoe> 【答案】\( S_n = \dfrac{2 \left( 1 + (3 n -1 ) \times 4^{n} \right) }{9} \) <eoa> |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| GPT-4o | (1)【解析】 首先，根据题意，数列 \( \{a_n\} \) 满足递推关系： \[ a_{n+1} - a_n = 3 \cdot 2^{2n-1} \] 为了找到通项公式，我们先从 \( n = 1 \) 开始逐步计算一些项： \[ a_1 = 2 \] \[ a_2 - a_1 = 3 \cdot 2^{2 \cdot 1 - 1} = 3 \cdot 2^1 = 6 \] \[ a_2 = a_1 + 6 = 2 + 6 = 8 \] \[ a_3 - a_2 = 3 \cdot 2^{2 \cdot 2 - 1} = 3 \cdot 2^3 = 24 \] \[ a_3 = a_2 + 24 = 8 + 24 = 32 \] \[ a_4 - a_3 = 3 \cdot 2^{2 \cdot 3 - 1} = 3 \cdot 2^5 = 96 \] \[ a_4 = a_3 + 96 = 32 + 96 = 128 \] 从这几项可以看出，数列的增长相当快。为了找到通项公式，我们将递推式进行求和： \[ a_{n+1} - a_1 = \sum_{k=1}^{n} (a_{k+1} - a_k) = \sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 2^{2k-1} \] 计算右侧的和： \[ a_{n+1} - 2 = 3 \sum_{k=1}^{n} 2^{2k-1} \] 注意到： \[ \sum_{k=1}^{n} 2^{2k-1} = 2^1 + 2^3 + 2^5 + \cdots + 2^{2n-1} \] 这是一个等比数列的和，公比为 \( 2^2 = 4 \)，首项为 \( 2^1 = 2 \)，项数为 \( n \)。 等比数列的和公式为： \[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \] 因此： \[ \sum_{k=1}^{n} 2^{2k-1} = 2 \cdot \frac{4^n - 1}{4 - 1} = \frac{2 (4^n - 1)}{3} \] 代入回去： \[ a_{n+1} - 2 = 3 \cdot \frac{2 (4^n - 1)}{3} \] \[ a_{n+1} - 2 = 2 (4^n - 1) \] \[ a_{n+1} = 2 (4^n - 1) + 2 \] \[ a_{n+1} = 2 \cdot 4^n \] 因此： \[ a_n = 2 \cdot 4^{n-1} \] <eoe> 【答案】\( a_n = 2 \cdot 4^{n-1} \)<eoa> (2)【解析】 令 \( b_n = n a_n \)，其中 \( a_n = 2 \cdot 4^{n-1} \)，因此： \[ b_n = n \cdot 2 \cdot 4^{n-1} = 2n \cdot 4^{n-1} \] 接下来，求数列 \( \{b_n\} \) 的前 \( n \) 项和 \( S_n \)： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} 2k \cdot 4^{k-1} \] 将常数 2 提出： \[ S_n = 2 \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k-1} \] 我们使用求和公式来计算这部分的和。对于 \( \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1} \) 有一个已知公式： \[ \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1} = \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2} \] 在这里， \( x = 4 \)，所以： \[ \sum_{k=1}^{n} k \cd |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由题意,数列\{a_{n}\}是等差数列,且a_{1}=2,d=3\cdot2^{2n-1},所以a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2+3\cdot2^{2n-1}-3=3\cdot2^{2n-1}-1(2)由(1)知,b_{n}=n\cdota_{n}=n(3\cdot2^{2n-1}-1),所以b_{n}的前n项和S_{n}=\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}k(3\cdot2^{2k-1}-1)=3\sum_{k=1}^{n}k\cdot2^{2k-1}-\sum_{k=1}^{n}k=3\sum_{k=1}^{n}k\cdot2^{2k-1}-\frac{n(n+1)}{2}设t_{n}=\sum_{k=1}^{n}k\cdot2^{2k-1},则t_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}k\cdot2^{2k-1}=(n+1)\cdot2^{2n+1}+\sum_{k=1}^{n}k\cdot2^{2k-1}=(n+1)\cdot2^{2n+1}+t_{n}所以t_{n+1}-2^{2}t_{n}=(n+1)\cdot2^{2n+1}所以t_{n+1}\cdot2^{-2n-2}-t_{n}\cdot2^{-2n}=(n+1)\cdot2^{-1}所以\sum_{k=1}^{n}(t_{k+1}\cdot2^{-2k-2}-t_{k}\cdot2^{-2k})=\sum_{k=1}^{n}(k+1)\cdot2^{-1}所以t_{n+1}\cdot2^{-2n-2}-t_{1}\cdot2^{-2}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(k+1)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(n+1)(n+2)}{2}所以t_{n+1}\cdot2^{-2n-2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{(n+1)(n+2)}{2}+t_{1}\cdot2^{-2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{(n+1)(n+2)}{2}+1\cdot2^{-2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{(n+1)(n+2)+1}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{n^{2}+3n+3}{2}所以t_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot2^{2n+2}\cdot\frac{n^{2}+3n+3}{2}=(n^{2}+3n+3)\cdot2^{2n},所以S_{n}=3\sum_{k=1}^{n}k\cdot2^{2k-1}-\sum_{k=1}^{n}k=3t_{n}-\frac{n(n+1)}{2}=3(n^{2}+3n+3)\cdot2^{2n}-\frac{n(n+1)}{2}=(n^{2}+3n+2)\cdot2^{2n}-\frac{n(n+1)}{2}.. 最终结果是(3*2^(2*n-1)-1, (n^2+3*n+2)*2^(2*n)-n*(n+1)/2) |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)由a_{1}=2,a_{n+1}-a_{n}=3\cdot2^{2n-1},得a_{2}-a_{1}=3\cdot2,a_{3}-a_{2}=3\cdot2^{3},a_{4}-a_{3}=3\cdot2^{5},\cdots,a_{n}-a_{n-1}=3\cdot2^{2n-3}所以a_{n}-a_{1}=(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+\cdots+(a_{n}-a_{n-1})=3\cdot2+3\cdot2^{3}+3\cdot2^{5}+\cdots+3\cdot2^{2n-3}即a_{n}-2=3\cdot2(1+2^{2}+2^{4}+\cdots+2 |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(1)【解析】首先，我们需要找到数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式。已知初始条件 $a_{1}=2$ 和递推关系 $a_{n+1}-a_{n}=3 \\cdot 2^{2 n-1}$。\n\n我们可以通过累加递推关系来找到通项公式。从 $n=1$ 到 $n=k$ 累加递推关系：\n\n\\[\na_{2} - a_{1} = 3 \\cdot 2^{2 \\cdot 1 - 1} = 3 \\cdot 2^1 = 6\n\\]\n\\[\na_{3} - a_{2} = 3 \\cdot 2^{2 \\cdot 2 - 1} = 3 \\cdot 2^3 = 24\n\\]\n\\[\na_{4} - a_{3} = 3 \\cdot 2^{2 \\cdot 3 - 1} = 3 \\cdot 2^5 = 96\n\\]\n\\[\n\\vdots\n\\]\n\\[\na_{k+1} - a_{k} = 3 \\cdot 2^{2k-1}\n\\]\n\n将这些等式相加，我们得到：\n\n\\[\na_{k+1} - a_{1} = 3 \\cdot (2^1 + 2^3 + 2^5 + \\cdots + 2^{2k-1})\n\\]\n\n注意到右边的和是一个等比数列的和，公比为 $2^2 = 4$，首项为 $2^1 = 2$，共有 $k$ 项。等比数列的和公式为：\n\n\\[\nS = a \\frac{r^n - 1}{r - 1}\n\\]\n\n其中 $a = 2$，$r = 4$，$n = k$，所以：\n\n\\[\n2 \\frac{4^k - 1}{4 - 1} = \\frac{2 (4^k - 1)}{3}\n\\]\n\n因此：\n\n\\[\na_{k+1} - a_{1} = 3 \\cdot \\frac{2 (4^k - 1)}{3} = 2 (4^k - 1)\n\\]\n\n所以：\n\n\\[\na_{k+1} = 2 + 2 (4^k - 1) = 2 + 2 \\cdot 4^k - 2 = 2 \\cdot 4^k\n\\]\n\n因此，通项公式为：\n\n\\[\na_{n} = 2 \\cdot 4^{n-1}\n\\]\n\n<eoe>\n\n【答案】$a_{n} = 2 \\cdot 4^{n-1}$<eoa>\n\n(2)【解析】现在我们需要求数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$，其中 $b_{n} = n a_{n}$。根据(1)中的结果，$a_{n} = 2 \\cdot 4^{n-1}$，所以：\n\n\\[\nb_{n} = n \\cdot 2 \\cdot 4^{n-1} = 2n \\cdot 4^{n-1}\n\\]\n\n我们需要求前 $n$ 项和 $S_{n}$：\n\n\\[\nS_{n} = \\sum_{k=1}^{n} b_{k} = \\sum_{k=1}^{n} 2k \\cdot 4^{k-1}\n\\]\n\n我们可以将这个和分成两部分来处理：\n\n\\[\nS_{n} = 2 \\sum_{k=1}^{n} k \\cdot 4^{k-1}\n\\]\n\n我们使用求和公式来处理 $\\sum_{k=1}^{n} k \\cdot 4^{k-1}$。设 $T = \\sum_{k=1}^{n} k \\cdot 4^{k-1}$，我们可以通过以下方法求解：\n\n\\[\n4T = \\sum_{k=1}^{n} k \\cdot 4^k = 4 \\sum_{k=1}^{n} k \\cdot 4^{k-1}\n\\]\n\n将 $T$ 和 $4T$ 相减：\n\n\\[\n4T - T = \\sum_{k=1}^{n} k \\cdot 4^k - \\sum_{k=1}^{n} k \\cdot 4^{k-1}\n\\]\n\n\\[\n3T = \\sum_{k=1}^{n} k \\cdot 4^k - \\sum_{k=1}^{n} k \\cdot 4^{k-1}\n\\]\n\n注意到右边的和可以重新排列：\n\n\\[\n3T = n \\cdot 4^n - \\sum_{k=1}^{n-1} 4^k\n\\]\n\n右边的和是一个等比数列的和，公比为 $4$，首项为 $4$，共有 $n-1$ 项：\n\n\\[\n\\sum_{k=1}^{n-1} 4^k = 4 \\frac{4^{n-1} - 1}{4 - 1} = \\frac{4^n - 4}{3}\n\\]\n\n所以：\n\n\\[\n3T = n \\cdot 4^n - \\frac{4^n - 4}{3}\n\\]\n\n\\[\n3T = n \\cdot 4^n - \\frac{4^n}{3} + \\frac{4}{3}\n\\]\n\n\\[\n3T = \\frac{3n \\cdot 4^n - 4^n + 4}{3}\n\\]\n\n\\[\nT = \\frac{3n \\cdot 4^n - 4^n + 4}{9}\n\\]\n\n因此：\n\n\\[\nS_{n} = 2T = 2 \\cdot \\frac{3n \\cdot 4^n - 4^n + 4}{9} = \\frac{6n \\cdot 4^n - 2 \\cdot 4^n + 8}{9}\n\\]\n\n\\[\nS_{n} = \\frac{6n \\cdot 4^n - 2 \\cdot 4^n + 8}{9}\n\\]\n\n<eoe>\n\n【答案】$S_{n} = \\frac{6n \\cdot 4^n - 2 \\cdot 4^n + 8}{9}$<eoa>" | 解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】 首先，我们需要找到数列 $\\{a_{n}\\}$ 的通项公式。由题目条件 $a_{1}=2, a_{n+1}-a_{n}=3 \\cdot 2^{2 n-1}$，我们可以通过累加法来求解通项公式。具体地，我们有：\n\\[\n\\begin{aligned}\na_2 - a_1 &= 3 \\cdot 2^{2 \\cdot 1 - 1} \\\\\na_3 - a_2 &= 3 \\cdot 2^{2 \\cdot 2 - 1} \\\\\n&\\vdots \\\\\na_n - a_{n-1} &= 3 \\cdot 2^{2 \\cdot (n-1) - 1}\n\\end{aligned}\n\\]\n将上面的式子累加，得到：\n\\[\na_n - a_1 = 3 \\cdot 2^{1} + 3 \\cdot 2^{3} + \\cdots + 3 \\cdot 2^{2n-3}\n\\]\n这是一个等比数列求和的问题，公比为 $2^2 = 4$，首项为 $3 \\cdot 2^1 = 6$，项数为 $n-1$。等比数列求和公式为 $S_n = \\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比，$n$ 是项数。所以：\n\\[\na_n - a_1 = \\frac{6(1-4^{n-1})}{1-4} = 2(4^{n-1}-1)\n\\]\n因为 $a_1 = 2$，所以：\n\\[\na_n = 2 + 2(4^{n-1}-1) = 2 \\cdot 4^{n-1}\n\\]\n<eoe>\n\n【答案】 数列 $\\{a_{n}\\}$ 的通项公式为 $a_n = 2 \\cdot 4^{n-1}$.<eoa>\n\n(2)【解析】 接下来，我们要求 $b_{n}=n a_{n}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$。由上一步我们得到的 $a_n$ 的通项公式，可以得到 $b_n = n \\cdot 2 \\cdot 4^{n-1}$。所以 $S_{n}$ 可以表示为：\n\\[\nS_n = \\sum_{k=1}^{n} k \\cdot 2 \\cdot 4^{k-1}\n\\]\n这是一个关于 $k$ 的求和问题，我们可以通过求导的方式来求解这个求和问题。首先，考虑 $S(x) = \\sum_{k=1}^{n} k \\cdot x^{k-1}$ 的情况，这里 $x = 4$。注意到，$S(x)$ 是 $x$ 的函数，且 $S(x)$ 的导数可以表示为：\n\\[\nS'(x) = \\sum_{k=1}^{n} k \\cdot x^{k-2}\n\\]\n但是，我们需要的是 $k \\cdot x^{k-1}$，所以实际上是 $xS'(x)$。进一步，注意到 $S(x)$ 实际上是 $x^k$ 的求和的导数。所以，我们有：\n\\[\nS'(x) = \\left(\\sum_{k=1}^{n} x^{k}\\right)'\n\\]\n\\[\n= \\left(\\frac{x^{n+1}-x}{x-1}\\right)'\n\\]\n\\[\n= \\frac{(n+1)x^n(x-1)-x^{n+1}+x}{(x-1)^2}\n\\]\n所以，\n\\[\nxS'(x) = \\frac{x[(n+1)x^n(x-1)-x^{n+1}+x]}{(x-1)^2}\n\\]\n将 $x = 4$ 代入上式，得到：\n\\[\nS_n = \\frac{4[(n+1)4^n(4-1)-4^{n+1}+4]}{(4-1)^2} = \\frac{4[(n+1)4^n \\cdot 3-4^{n+1}+4]}{9}\n\\]\n<eoe>\n\n【答案】 数列 $\\{b_{n}\\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 为 $S_n = \\frac{4[(n+1)4^n \\cdot 3-4^{n+1}+4]}{9}$.<eoa>" | 解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| baichuan4 | (1)【解析】首先，我们需要找到数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。根据题目中给出的递推关系 $a_{n+1}-a_{n}=3 \cdot 2^{2 n-1}$，我们可以逐步计算出数列的前几项，以便观察规律： 当 $n=1$ 时，$a_{2}-a_{1}=3 \cdot 2^{1-1}=3$，由于 $a_{1}=2$，所以 $a_{2}=5$。 当 $n=2$ 时，$a_{3}-a_{2}=3 \cdot 2^{2-1}=6$，由于 $a_{2}=5$，所以 $a_{3}=11$。 当 $n=3$ 时，$a_{4}-a_{3}=3 \cdot 2^{3-1}=12$，由于 $a_{3}=11$，所以 $a_{4}=23$。 观察这些结果，我们可以发现 $a_{n}$ 似乎在每一项上都增加了一个以 $2^{2n-1}$ 为系数的常数。为了找到通项公式，我们可以尝试将递推关系式进行求和： $a_{n+1}-a_{1}=3(2^{1-1}+2^{3-1}+\ldots+2^{2n-1})$ 这是一个等比数列的和，其首项为 $2^{1-1}=1$，公比为 $2^{2}=4$，项数为 $n$。因此，我们可以使用等比数列求和公式： $S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}$，其中 $r$ 是公比。 将 $a_{1}=2$ 和 $r=4$ 代入上式，得到： $a_{n+1}-2=3(\frac{2(1-4^{n})}{1-4})=3(\frac{2(1-4^{n})}{-3})=-2(1-4^{n})=2(4^{n}-1)$ 因此，$a_{n+1}=2+2(4^{n}-1)=2 \cdot 4^{n}$。 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2 \cdot 4^{n-1}$。 【答案】$a_{n}=2 \cdot 4^{n-1}$。 (2)【解析】现在我们需要求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$，其中 $b_{n}=n a_{n}$。根据上面得到的 $a_{n}$ 的通项公式，我们有： $b_{n}=n a_{n}=n(2 \cdot 4^{n-1})=2n \cdot 4^{n-1}$。 为了求出 $S_{n}$，我们需要对 $b_{n}$ 进行求和： $S_{n}=b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}=2 \cdot 1 \cdot 4^{1-1}+2 \cdot 2 \cdot 4^{2-1}+\ldots+2 \cdot n \cdot 4^{n-1}$。 我们可以将 $S_{n}$ 乘以 $4$，然后从 $4S_{n}$ 中减去 $S_{n}$，得到： $4S_{n}-S_{n}=2 \cdot 1 \cdot 4^{1}+2 \cdot 2 \cdot 4^{2}+\ldots+2 \cdot n \cdot 4^{n}-(2 \cdot 1 \cdot 4^{1-1}+2 \cdot 2 \cdot 4^{2-1}+\ldots+2 \cdot n \cdot 4^{n-1})$ 这将给我们： $3S_{n}=2 \cdot 4^{1-1}+2(4^{2-1}-4^{1-1})+2(4^{3-1}-4^{2-1})+\ldots+2(4^{n}-4^{n-1})$ $3S_{n}=2(1+3+12+\ldots+4^{n-1}(4-1))$ $3S_{n}=2(1+3+12+\ldots+3 \cdot 4^{n-1})$ 这是一个等比数列的和，其首项为 $1$，公比为 $4$，项数为 $n$。我们可以使用等比数列求和公式： $3S_{n}=2(\frac{1(1-4^{n})}{1-4})=2(\frac{1-4^{n}}{-3})=-\frac{2}{3}(1-4^{n})$ $S_{n}=-\frac{2}{9}(1-4^{n})=\frac{2}{9}(4^{n}-1)$ 因此，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 为 $\frac{2}{9}(4^{n}-1)$。 【答案】$S_{n}=\frac{2}{9}(4^{n}-1)$。 |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| doubao | (1)【解析】已知$a_{n+1}-a_{n}=3\cdot2^{2n-1}$，则可得： $a_{2}-a_{1}=3\cdot2^{1}$ $a_{3}-a_{2}=3\cdot2^{3}$ $a_{4}-a_{3}=3\cdot2^{5}$ $\cdots$ $a_{n}-a_{n-1}=3\cdot2^{2(n-1)-1}=3\cdot2^{2n-3}$（$n\geq2$）。 将上述式子左右两边分别相加可得： $a_{n}-a_{1}=3(2^{1}+2^{3}+\cdots+2^{2n-3})$。 等比数列求和公式为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$a_1$为首项，$q$为公比），这里首项为$2^1$，公比为$2^2$，项数为$n-1$，可得： $a_{n}-a_{1}=3\cdot\frac{2(1-4^{n-1})}{1-4}=3\cdot\frac{2(1-4^{n-1})}{-3}=2(4^{n-1}-1)$，又因为$a_{1}=2$，所以$a_{n}=2+2(4^{n-1}-1)=2\cdot4^{n-1}$（$n\geq2$），当$n=1$时，$a_1=2$也满足，所以$a_{n}=2\cdot4^{n-1}$。 <eoe> 【答案】$a_{n}=2\cdot4^{n-1}$。 <eoa> (2)【解析】由(1)知$a_{n}=2\cdot4^{n-1}$，则$b_{n}=n\cdot2\cdot4^{n-1}=n\cdot2^{2n-1}$。 $S_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=1\cdot2^1+2\cdot2^3+3\cdot2^5+\cdots+n\cdot2^{2n-1}$， $4S_n=1\cdot2^3+2\cdot2^5+\cdots+(n-1)\cdot2^{2n-1}+n\cdot2^{2n+1}$， 两式相减得： $-3S_n=2^1+2^3+2^5+\cdots+2^{2n-1}-n\cdot2^{2n+1}$ $=\frac{2(1-4^n)}{1-4}-n\cdot2^{2n+1}=\frac{2(1-4^n)}{-3}-n\cdot2^{2n+1}$， 所以$S_n=\frac{2(1-4^n)}{9}+\frac{n\cdot2^{2n+1}}{3}$。 <eoe> 【答案】$S_n=\frac{2(1-4^n)}{9}+\frac{n\cdot2^{2n+1}}{3}$。 <eoa> |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要找到数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。由于数列的递推关系是 $a_{n+1}-a_{n}=3 \cdot 2^{2n-1}$，我们可以尝试通过累加的方式来找到通项公式。 我们可以将递推关系改写为： $$a_{n+1} = a_n + 3 \cdot 2^{2n-1}$$ 由于 $a_1 = 2$，我们可以从 $n=1$ 开始，逐步计算出 $a_2, a_3, \ldots$，直到找到一个模式或者通项公式。注意到 $3 \cdot 2^{2n-1}$ 可以写成 $3 \cdot 2^{2n} \cdot 2^{-1}$，这提示我们可以尝试将每一项都写成关于 $2^n$ 的函数。 我们可以尝试将 $a_n$ 表示为 $2^n$ 的函数，即 $a_n = f(2^n)$。由于递推关系中的 $3 \cdot 2^{2n-1}$ 是 $2^n$ 的函数，我们可以考虑 $a_n$ 是否可以表示为 $2^n$ 的线性函数，即 $a_n = c \cdot 2^n + d$，其中 $c$ 和 $d$ 是待定系数。 我们将这个假设代入递推关系中，看看是否能够找到合适的 $c$ 和 $d$。如果可以，那么我们就找到了数列的通项公式。<eoe> 【答案】设 $a_n = c \cdot 2^n + d$，代入递推关系 $a_{n+1} = a_n + 3 \cdot 2^{2n-1}$，得到： $$c \cdot 2^{n+1} + d = c \cdot 2^n + d + 3 \cdot 2^{2n-1}$$ 化简得： $$c \cdot 2^{n+1} = c \cdot 2^n + 3 \cdot 2^{2n-1}$$ 由于 $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$，我们可以将上式两边同时除以 $2^n$，得到： $$2c = c + 3 \cdot 2^{n-1}$$ 进一步化简得： $$c = 3 \cdot 2^{n-1}$$ 由于 $c$ 不能依赖于 $n$（因为我们要找的是通项公式），这意味着我们的假设 $a_n = c \cdot 2^n + d$ 中的 $c$ 必须是一个常数。因此，我们需要重新考虑我们的方法。 我们注意到递推关系中的 $3 \cdot 2^{2n-1}$ 实际上是 $2^n$ 的函数，我们可以尝试将 $a_n$ 表示为 $2^n$ 的函数，但是形式可能不是线性的。我们可以考虑 $a_n$ 是否可以表示为 $2^n$ 的指数函数，即 $a_n = c \cdot (2^n)^2 + d \cdot 2^n$。 我们再次将这个假设代入递推关系中： $$c \cdot (2^{n+1})^2 + d \cdot 2^{n+1} = c \cdot (2^n)^2 + d \cdot 2^n + 3 \cdot 2^{2n-1}$$ 化简得： $$c \cdot 4 \cdot 2^{2n} + d \cdot 2 \cdot 2^n = c \cdot 4 \cdot 2^{2n} + d \cdot 2^n + 3 \cdot 2^{2n-1}$$ 进一步化简得： $$2d \cdot 2^n = d \cdot 2^n + 3 \cdot 2^{2n-1}$$ 两边同时除以 $2^n$，得到： $$2d = d + 3 \cdot 2^{n-1}$$ 由于 $d$ 不能依赖于 $n$，我们可以得出 $d = 3$。现在我们有了 $d$ 的值，我们可以回到原来的递推关系来确定 $c$ 的值。 我们已经知道 $a_1 = 2$，代入我们的假设 $a_n = c \cdot (2^n)^2 + 3 \cdot 2^n$，得到： $$2 = c \cdot (2^1)^2 + 3 \cdot 2^1$$ $$2 = 4c + 6$$ $$4c = -4$$ $$c = -1$$ 因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $$a_n = -1 \cdot (2^n)^2 + 3 \cdot 2^n$$ $$a_n = -2^{2n} + 3 \cdot 2^n$$<eoa> (2)【解析】现在我们已经得到了数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n = -2^{2n} + 3 \cdot 2^n$，我们可以利用这个公式来求解数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。 数列 $\{b_n\}$ 定义为 $b_n = n \cdot a_n$，因此我们需要计算 $S_n = \sum_{k=1}^{n} k \cdot a_k$。由于 $a_k$ 的表达式比较复杂，直接计算 $S_n$ 可能比较困难。我们可以尝试将 $S_n$ 分解为两部分，一部分是 $k \cdot (-2^{2k})$ 的和，另一部分是 $k \cdot (3 \cdot 2^k)$ 的和。 对于第一部分 $k \cdot (-2^{2k})$，我们可以尝试使用错位相减法或者求导的方法来简化求和。对于第二部分 $k \cdot (3 \cdot 2^k)$，我们可以使用等比数列求和的公式来简化求和。 我们将分别处理这两部分，然后将结果相加得到 $S_n$。<eoe> 【答案】首先，我们计算 $k \cdot (-2^{2k})$ 的和。我们可以尝试使用错位相减法来简化求和。设 $T_n = \sum_{k=1}^{n} k \cdot (-2^{2k})$，我们有： $$T_n = 1 \cdot (-2^2) + 2 \cdot (-2^4) + 3 \cdot (-2^6) + \ldots + n \cdot (-2^{2n})$$ 错位相减，即乘以 $-2^2$ 后再相减，得到： $$-2^2 T_n = 1 \cdot (-2^4) + 2 \cdot (-2^6) + 3 \cdot (-2^8) + \ldots + (n-1) \cdot (-2^{2n}) + n \cdot (-2^{2n+2})$$ 将两式相减，得到： $$T_n + 2^2 T_n = -2^4 - 2 \cdot 2^6 - 3 \cdot 2^8 - \ldots - (n-1) \cdot 2^{2n} - n \cdot 2^{2n+2} + n \cdot 2^2$$ 化简得： $$T_n (1 + 2^2) = -2^4 (1 + 2^2 + 3 \cdot 2^2 + \ldots + (n-1) \cdot 2^2) + n \cdot 2^2$$ 由于 $1 + 2^2 + 3 \cdot 2^2 + \ldots + (n-1) \cdot 2^2$ 是一个等差数列与等比数列的乘积和，我们可以使用求和公式来计算它。但是，这个求和比较复杂，我们可以尝试另一种方法。 我们可以使用求导的方法来简化求和。考虑函数 $f(x) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot x^{2k}$，对 $f(x)$ 求导，得到： $$f'(x) = \sum_{k=1}^{n} 2k \cdot x^{2k-1}$$ 将 $x = -2$ 代入 $f'(x)$，得到： $$f'(-2) = \sum_{k=1}^{n} 2k \cdot (-2)^{2k-1} = -2 \cdot T_n$$ 另一方面，我们可以计算 $f(x)$ 的表达式。由于 $f(x)$ 是一个幂级数，我们可以使用求导的方法来找到它的闭合形式。对 $f(x)$ 求导，得到： $$f'(x) = \sum_{k=1}^{n} 2k \cdot x^{2k-1} = \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=1}^{n} x^{2k} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2(1-x^{2n})}{1-x^2} \right)$$ 对上式求导， |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| kimi | (1)【解析】 首先，我们观察到给定的递推关系式 $a_{n+1}-a_{n}=3 \cdot 2^{2n-1}$，可以将其改写为 $a_{n+1}=a_{n}+3 \cdot 2^{2n-1}$。 接下来，我们尝试找到数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。由于 $a_{n+1}-a_{n}$ 是一个等比数列，我们可以通过累加法来求解。 我们知道 $a_{2}-a_{1}=3 \cdot 2^{2 \cdot 1-1}=6$， $a_{3}-a_{2}=3 \cdot 2^{2 \cdot 2-1}=24$， ... $a_{n}-a_{n-1}=3 \cdot 2^{2(n-1)-1}=3 \cdot 2^{2n-3}$。 将这些差值相加，我们可以得到： $a_{n}-a_{1}=6+24+...+3 \cdot 2^{2n-3}$。 这是一个等比数列的和，首项为6，公比为8，项数为$n-1$。等比数列求和公式为 $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比，$n$ 是项数。 因此，我们有： $a_{n}-a_{1}=\frac{6(1-8^{n-1})}{1-8}=\frac{6(8^{n-1}-1)}{7}$。 由于 $a_{1}=2$，我们可以求得 $a_n$： $a_{n}=a_{1}+\frac{6(8^{n-1}-1)}{7}=2+\frac{6(8^{n-1}-1)}{7}$。 <eoe> 【答案】 $a_{n}=2+\frac{6(8^{n-1}-1)}{7}$ <eoa> (2)【解析】 现在我们已经得到了数列 $\{a_n\}$ 的通项公式，接下来求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。 已知 $b_{n}=n a_{n}$，将 $a_n$ 的通项公式代入，得到： $b_{n}=n\left(2+\frac{6(8^{n-1}-1)}{7}\right)=2n+\frac{6n(8^{n-1}-1)}{7}$。 接下来，我们求 $S_n$： $S_{n}=b_{1}+b_{2}+...+b_{n}=2(1+2+...+n)+\frac{6}{7}(1 \cdot 8^{0}+2 \cdot 8^{1}+...+n \cdot 8^{n-1}-(1+2+...+n))$。 第一部分是等差数列的和，第二部分是等比数列的和减去等差数列的和。等差数列求和公式为 $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$，其中 $a_1$ 是首项，$a_n$ 是末项，$n$ 是项数。 第一部分求和结果为： $\frac{n(n+1)}{2}$。 第二部分，我们设 $T_n=1 \cdot 8^{0}+2 \cdot 8^{1}+...+n \cdot 8^{n-1}$，然后计算 $8T_n=1 \cdot 8^{1}+2 \cdot 8^{2}+...+n \cdot 8^{n}$。 将两个式子相减，得到： $7T_n=n \cdot 8^{n}-(8^{0}+8^{1}+...+8^{n-1})=n \cdot 8^{n}-\frac{8^{n}-1}{7}$。 因此，$T_n=\frac{n \cdot 8^{n}-8^{n}+1}{49}$。 将 $T_n$ 代入 $S_n$ 的表达式中，得到： $S |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| wenxinyiyan | (1)【解析】根据题目给出的递推关系式$a_{n+1}-a_{n}=3 \cdot 2^{2 n-1}$，我们可以将其改写为$a_{n+1}-a_{n}=6 \cdot 4^{n-1}$，这样更容易看出数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式。由于$a_{1}=2$，我们可以通过累加法求出数列的通项公式。 【答案】 数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=2+6\left(1+4+\cdots+4^{n-2}\right)$，化简得$a_{n}=2+6 \cdot \frac{1-4^{n-1}}{1-4}=2^{2 n-1}$。 (2)【解析】题目给出$b_{n}=n a_{n}$，我们已经求出$a_{n}=2^{2 n-1}$，所以$b_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$。要求数列$\left\{b_{n}\right\}$的前$n$项和$S_{n}$，我们可以使用错位相减法。 【答案】 数列$\left\{b_{n}\right\}$的前$n$项和$S_{n}$为$S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\cdots+n \cdot 2^{2 n-1}$，通过错位相减法，我们可以得到$S_{n}=(2 n-1) \cdot 2^{2 n+1}+2$。 |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| zhipu | Sensitive content | 解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| gpto1 | (1)【解析】 已知数列 \(\{ a_n \}\) 满足递推关系： \[ a_1 = 2 \] \[ a_{n+1} - a_n = 3 \cdot 2^{2n -1} \] 首先，考虑从 \( n = 1 \) 到 \( n \) 的累计，我们有： \[ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{2k -1} \] 将求和部分提取出来： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{2k -1} = 3 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} 2^{2k -1} \] 注意到 \( 2^{2k -1} = 2^{2k} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot (2^{2})^{k} = \frac{1}{2} \cdot 4^{k} \)，所以： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 2^{2k -1} = \frac{1}{2} \cdot \sum_{k=1}^{n-1} 4^{k} \] 因此： \[ a_n = 2 + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sum_{k=1}^{n-1} 4^{k} = 2 + \frac{3}{2} \cdot \sum_{k=1}^{n-1} 4^{k} \] 求和 \( \sum_{k=1}^{n-1} 4^{k} \) 是等比数列的前 \( n-1 \) 项和，其公比为 \( q = 4 \)，首项为 \( a_1 = 4 \)，所以： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 4^{k} = \frac{4(4^{n-1} -1)}{4 -1} = \frac{4(4^{n-1} -1)}{3} \] 代入上式： \[ a_n = 2 + \frac{3}{2} \cdot \frac{4(4^{n-1} -1)}{3} = 2 + \frac{4(4^{n-1} -1)}{2} \] 展开计算： \[ \frac{4(4^{n-1} -1)}{2} = 2(4^{n-1} -1) = 2 \cdot 4^{n-1} - 2 \] 所以： \[ a_n = 2 + [2 \cdot 4^{n-1} - 2 ] = 2 \cdot 4^{n-1} \] 又因为 \( 4^{n-1} = (2^{2})^{n-1} = 2^{2n -2} \)，所以： \[ a_n = 2 \cdot 2^{2n -2} = 2^{1 + 2n -2} = 2^{2n -1} \] **因此，数列的通项公式为：** \[ a_n = 2^{2n -1} \] <eoe> 【答案】\( a_n = 2^{2n -1} \) <eoa> (2)【解析】 令 \( b_n = n a_n \)，那么前 \( n \) 项和为： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} k a_k \] 由于 \( a_k = 2^{2k -1} \)，所以： \[ b_k = k \cdot 2^{2k -1} \] 为了求 \( S_n = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{2k -1} \)，我们将 \( 2^{2k -1} \) 转化为 \( 4^k \) 的形式： \[ 2^{2k -1} = 2^{-1} \cdot 2^{2k} = \frac{1}{2} \cdot 4^{k} \] 因此： \[ b_k = k \cdot \frac{1}{2} \cdot 4^{k} = \frac{k}{2} \cdot 4^{k} \] 于是： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2} \cdot 4^{k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k} \] 设： \[ S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k} \] 利用已知求和公式： \[ \sum_{k=1}^{n} k r^{k} = \frac{r(1 - (n+1) r^{n} + n r^{n+1})}{(1 - r)^{2}} \] 其中 \( r = 4 \)，故： \[ \begin{align*} S & = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k} = \frac{4(1 - (n+1) \cdot 4^{n} + n \cdot 4^{n+1})}{(1 - 4)^{2}} \\ & = \frac{4(1 - (n+1) \cdot 4^{n} + n \cdot 4^{n+1})}{9} \end{align*} \] 计算分子： \[ \begin{align*} & 4\left(1 - (n+1) \cdot 4^{n} + n \cdot 4^{n+1}\right) \\ & = 4\left(1 - (n+1) \cdot 4^{n} + n \cdot 4 \cdot 4^{n}\right) \\ & = 4\left(1 - (n+1) \cdot 4^{n} + 4n \cdot 4^{n}\right) \\ & = 4\left(1 + (3n -1) \cdot 4^{n}\right) \end{align*} \] 因此： \[ S = \frac{4\left(1 + (3n -1) \cdot 4^{n}\right)}{9} \] 所以： \[ S_n = \frac{1}{2} S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\left(1 + (3n -1) \cdot 4^{n}\right)}{9} = \frac{2\left(1 + (3n -1) \cdot 4^{n}\right)}{9} \] **因此，数列 \(\{ b_n \}\) 的前 \( n \) 项和为：** \[ S_n = \dfrac{2\left(1 + (3n -1) \cdot 4^{n}\right)}{9} \] <eoe> 【答案】\( S_n = \dfrac{2 \left( 1 + (3 n -1 ) \times 4^{n} \right) }{9} \) <eoa> |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |
| deepseekv3 | (1)【解析】 首先，我们已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 2$，且递推关系为 $a_{n+1} - a_n = 3 \cdot 2^{2n - 1}$。 为了求通项公式，我们可以将递推关系展开，得到： \[ a_{n} = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{2k - 1} \] 接下来计算这个求和部分： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{2k - 1} = 3 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} 2^{2k - 1} \] 注意到 $2^{2k - 1} = \frac{1}{2} \cdot 4^k$，所以： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 2^{2k - 1} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} 4^k \] 利用等比数列求和公式： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 4^k = \frac{4^n - 4}{4 - 1} = \frac{4^n - 4}{3} \] 因此： \[ \sum_{k=1}^{n-1} 2^{2k - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4^n - 4}{3} = \frac{4^n - 4}{6} \] 于是： \[ a_n = 2 + 3 \cdot \frac{4^n - 4}{6} = 2 + \frac{4^n - 4}{2} = 2 + \frac{4^n}{2} - 2 = \frac{4^n}{2} = 2^{2n - 1} \] <eoe> 【答案】 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： \[ a_n = 2^{2n - 1} \] <eoa> (2)【解析】 根据题意，$b_n = n a_n$，其中 $a_n = 2^{2n - 1}$，所以： \[ b_n = n \cdot 2^{2n - 1} \] 要求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$，即： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{2k - 1} \] 我们可以利用错位相减法来求这个和。设： \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{2k - 1} \] 考虑到 $2^{2k} = 4^k$，所以： \[ S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^k \] 设 $T_n = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^k$，则： \[ T_n = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^k \] 利用错位相减法： \[ 4T_n = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k+1} = \sum_{k=2}^{n+1} (k-1) \cdot 4^k \] 于是： \[ 4T_n - T_n = \sum_{k=2}^{n+1} (k-1) \cdot 4^k - \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^k = n \cdot 4^{n+1} - \sum_{k=1}^{n} 4^k \] 因此： \[ 3T_n = n \cdot 4^{n+1} - \frac{4^{n+1} - 4}{3} \] 整理得： \[ T_n = \frac{n \cdot 4^{n+1}}{3} - \frac{4^{n+1} - 4}{9} = \frac{(3n - 1) \cdot 4^{n+1} + 4}{9} \] 所以： \[ S_n = \frac{1}{2} T_n = \frac{(3n - 1) \cdot 4^{n+1} + 4}{18} = \frac{(3n - 1) \cdot 2^{2n+2} + 4}{18} = \frac{(3n - 1) \cdot 2^{2n+2} + 4}{18} \] <eoe> 【答案】 数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 为： \[ S_n = \frac{(3n - 1) \cdot 2^{2n+2} + 4}{18} \] <eoa> |
解： ( I ) 由已知, 当 $n \geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\left[\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+(\right.$ $\left.\left.a_{2}-a_{1}\right)\right]+a_{1}$ $=3\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\ldots+2\right)+2=3 \times \frac{2\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$. 而 $a_{1}=2$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$. ( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n-1}(1)$ 从而 $2^{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=1 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{5}+\ldots+n \cdot 2^{2 n+1}(2)$ (1)- (2)得 $\left(1-2^{2}\right) \cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\ldots+2^{2 n-1}-n \cdot 2^{2 n+1}$. 即 $S_{n}=\frac{1}{9}\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\right]$. |