| 模型 | 模型答案 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 金声玉亮2.0 | (1)【解析】 首先，我们需要求出点 $B$ 的坐标。由于 $B$ 点在直线 $y = -3$ 上，所以 $B$ 点的坐标可以表示为 $(x, -3)$。 接下来，我们知道 $\overrightarrow{MB} \parallel \overrightarrow{OA}$，这意味着 $\overrightarrow{MB}$ 和 $\overrightarrow{OA}$ 的方向相同。$\overrightarrow{OA}$ 的方向向量为 $(0, -1)$，所以 $\overrightarrow{MB}$ 的方向向量也应为 $(0, -k)$，其中 $k$ 是一个常数。 设 $M$ 点的坐标为 $(x_1, y_1)$，则 $\overrightarrow{MB} = (x - x_1, -3 - y_1)$。由于 $\overrightarrow{MB} \parallel \overrightarrow{OA}$，所以我们有： \[ (x - x_1, -3 - y_1) = k(0, -1) \] 这意味着 $x - x_1 = 0$ 和 $-3 - y_1 = -k$。因此，$x = x_1$ 和 $y_1 = -3 + k$。 接下来，我们利用条件 $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$。首先计算各个向量： \[ \overrightarrow{MA} = (0 - x_1, -1 - y_1) = (-x_1, -1 - (-3 + k)) = (-x_1, 2 - k) \] \[ \overrightarrow{AB} = (x - 0, -3 - (-1)) = (x, -2) \] \[ \overrightarrow{MB} = (x - x_1, -3 - y_1) = (0, -k) \] \[ \overrightarrow{BA} = (0 - x, -1 - (-3)) = (-x, 2) \] 根据条件 $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$，我们有： \[ (-x_1, 2 - k) \cdot (x, -2) = (0, -k) \cdot (-x, 2) \] 计算左边： \[ -x_1 \cdot x + (2 - k) \cdot (-2) = -x_1 x - 4 + 2k \] 计算右边： \[ 0 \cdot (-x) + (-k) \cdot 2 = -2k \] 因此，我们有： \[ -x_1 x - 4 + 2k = -2k \] 整理得： \[ -x_1 x - 4 + 2k = -2k \] \[ -x_1 x - 4 = -4k \] \[ -x_1 x = -4k + 4 \] \[ x_1 x = 4k - 4 \] 由于 $x = x_1$，所以我们有： \[ x^2 = 4k - 4 \] \[ k = \frac{x^2 + 4}{4} \] 代入 $y_1 = -3 + k$，我们得到： \[ y_1 = -3 + \frac{x^2 + 4}{4} = -3 + \frac{x^2}{4} + 1 = \frac{x^2}{4} - 2 \] 因此，$M$ 点的轨迹方程为： \[ y = \frac{x^2}{4} - 2 \] <eoe> 【答案】$C$ 的方程为 $y = \frac{x^2}{4} - 2$。<eoa> (2)【解析】 我们已经知道 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2}{4} - 2$。设 $P$ 点的坐标为 $(x_0, y_0)$，则 $y_0 = \frac{x_0^2}{4} - 2$。 求 $C$ 在 $P$ 点处的切线方程。首先，我们求出 $C$ 的导数： \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{4} - 2 \right) = \frac{x}{2} \] 在 $P(x_0, y_0)$ 处的切线斜率为 $\frac{x_0}{2}$。因此，切线方程为： \[ y - y_0 = \frac{x_0}{2} (x - x_0) \] 将 $y_0 = \frac{x_0^2}{4} - 2$ 代入，得到： \[ y - \left( \frac{x_0^2}{4} - 2 \right) = \frac{x_0}{2} (x - x_0) \] \[ y = \frac{x_0}{2} x - \frac{x_0^2}{2} + \frac{x_0^2}{4} - 2 \] \[ y = \frac{x_0}{2} x - \frac{x_0^2}{4} - 2 \] 我们需要求 $O(0, 0)$ 点到这条切线的距离。设切线方程为 $Ax + By + C = 0$ 的形式，其中 $A = \frac{x_0}{2}$，$B = -1$，$C = -\frac{x_0^2}{4} - 2$。则 $O$ 点到切线的距离为： \[ d = \frac{|A \cdot 0 + B \cdot 0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|\frac{x_0^2}{4} + 2|}{\sqrt{\left( \frac{x_0}{2} \right)^2 + (-1)^2}} = \frac{\frac{x_0^2}{4} + 2}{\sqrt{\frac{x_0^2}{4} + 1}} \] 令 $t = \frac{x_0^2}{4}$，则距离公式变为： \[ d = \frac{t + 2}{\sqrt{t + 1}} \] 我们需要求 $d$ 的最小值。设 $f(t) = \frac{t + 2}{\sqrt{t + 1}}$，求其导数： \[ f'(t) = \frac{(t + 2)' \cdot \sqrt{t + 1} - (t + 2) \cdot (\sqrt{t + 1})'}{(\sqrt{t + 1})^2} = \frac{\sqrt{t + 1} - \frac{t + 2}{2\sqrt{t + 1}}}{t + 1} \] \[ f'(t) = \frac{2(t + 1) - (t + 2)}{2(t + 1)\sqrt{t + 1}} = \frac{2t + 2 - t - 2}{2(t + 1)\sqrt{t + 1}} = \frac{t}{2(t + 1)\sqrt{t + 1}} \] 令 $f'(t) = 0$，则 $t = 0$。当 $t = 0$ 时，$d = \frac{0 + 2}{\sqrt{0 + 1}} = 2$。 因此，$O$ 点到切线的最小距离为 $2$。 <eoe> 【答案】$O$ 点到 $C$ 在 $P$ 点处的切线的最小距离为 $2$。<eoa> |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| deepseekr1 | (1)【解析】 首先，点B在直线y=-3上，设为B(t, -3)。向量MB需平行于OA向量(0, -1)，故MB的x分量为0，即t = x，因此B(x, -3)。向量MA为(-x, -1-y)，向量AB为(x, -2)，点积为 -x² + 2(1+y)。向量MB为(0, -3-y)，向量BA为(-x, 2)，点积为 -6 -2y。根据条件： $$ -x² + 2(1+y) = -6 -2y $$ 解得： $$ x² = 4(y + 2) $$ 即曲线C的方程为抛物线y = (1/4)x² - 2。 <eoe> 【答案】 (I) 曲线C的方程为 $x^2 = 4(y + 2)$。<eoa> (2)【解析】 设P(x₀, y₀)在C上，则切线方程为 $x_0 x = 2(y + y_0 + 4)$。原点O到切线的距离为： $$ d = \frac{| -x_0^2/2 -4 |}{\sqrt{x_0^2 +4}} = \frac{x_0^2/2 +4}{\sqrt{x_0^2 +4}} $$ 令 $t = x_0^2 +4$，则 $d = \frac{t +4}{2\sqrt{t}}$。求导得最小值当t=4时，d=2。此时x₀=0，对应点P(0,-2)，切线为y=-2，距离为2。 <eoe> 【答案】 (II) O点到切线距离的最小值为2。<eoa> |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| gpto1 | **(1)** 【解析】 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(0,-1)$，点 $B$ 在直线 $y=-3$ 上，即 $B$ 点的坐标为 $(x_B, -3)$，其中 $x_B$ 为任意实数。 设点 $M$ 的坐标为 $(x, y)$。 根据条件 $\overrightarrow{MB} // \overrightarrow{OA}$，即向量 $\overrightarrow{MB}$ 与 $\overrightarrow{OA}$ 共线。 计算 $\overrightarrow{OA} = A - O = (0 - 0, -1 - 0) = (0, -1)$ 因此，$\overrightarrow{MB}$ 与 $(0, -1)$ 共线，所以： $\overrightarrow{MB} = k \cdot \overrightarrow{OA} = k(0, -1) = (0, -k)$ 那么 $\overrightarrow{MB} = B - M$，即 $(x_B - x, -3 - y) = (0, -k)$ 因此： \[ \begin{cases} x_B - x = 0 \\ -3 - y = -k \end{cases} \] 所以 $x_B = x$ 也就是说，$B$ 和 $M$ 的 $x$ 坐标相同，即 $B(x, -3)$ 再根据条件 $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$ 首先计算向量： \[ \overrightarrow{MA} = A - M = (0 - x, -1 - y) = (-x, -1 - y) \] \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (x - 0, -3 - (-1)) = (x, -2) \] \[ \overrightarrow{MB} = B - M = (x - x, -3 - y) = (0, -3 - y) \] \[ \overrightarrow{BA} = A - B = (0 - x, -1 - (-3)) = (-x, 2) \] 计算点积： \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = (-x)(x) + (-1 - y)(-2) = -x^2 + 2(1 + y) \] \[ \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA} = (0)(-x) + (-3 - y)(2) = 0 + 2(-3 - y) = -6 - 2y \] 根据条件，有： \[ - x^2 + 2(1 + y) = -6 - 2y \] 整理得： \[ - x^2 + 2 + 2y + 6 + 2y = 0 \\ - x^2 + 8 + 4y = 0 \] 移项得： \[ x^2 = 4y + 8 \] 因此，曲线 $C$ 的方程为： \[ x^2 = 4y + 8 \] <eoe> 【答案】 曲线 $C$ 的方程为：$x^2 = 4y + 8$。<eoa> **(2)** 【解析】 首先，计算曲线 $C$ 的切线，在点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程，其中 $x_0^2 = 4y_0 + 8$。 对曲线方程 $x^2 = 4y + 8$ 两边关于 $x$ 求导，得到： \[ 2x = 4 \frac{dy}{dx} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2} \] 因此，切线的斜率为 $k = \frac{x_0}{2}$ 切线方程为： \[ (y - y_0) = \frac{x_0}{2} (x - x_0) \] 将其整理为一般式： \[ - \frac{x_0}{2} x + y + \left( - y_0 + \frac{x_0^2}{2} \right) = 0 \] 利用曲线方程： \[ x_0^2 = 4y_0 + 8 \\ \Rightarrow y_0 = \frac{x_0^2 - 8}{4} \] 代入上式，计算常数项： \[ - y_0 + \frac{x_0^2}{2} = - \left( \frac{x_0^2 - 8}{4} \right) + \frac{x_0^2}{2} = \frac{- x_0^2 + 8 + 2 x_0^2}{4} = \frac{x_0^2 + 8}{4} \] 因此，方程变为： \[ - \frac{x_0}{2} x + y + \frac{x_0^2 + 8}{4} = 0 \] 点 $O(0, 0)$ 到直线的距离为： \[ d = \frac{\left| - \frac{x_0}{2} \cdot 0 + 0 + \frac{x_0^2 + 8}{4} \right|}{\sqrt{\left( - \frac{x_0}{2} \right)^2 + 1}} = \frac{\frac{x_0^2 + 8}{4}}{\sqrt{\left( \frac{x_0}{2} \right)^2 + 1}} \] 计算分母： \[ \sqrt{\left( \frac{x_0}{2} \right)^2 + 1} = \sqrt{\frac{x_0^2}{4} + 1} = \frac{\sqrt{x_0^2 + 4}}{2} \] 所以距离为： \[ d = \frac{\frac{x_0^2 + 8}{4}}{\frac{\sqrt{x_0^2 + 4}}{2}} = \frac{x_0^2 + 8}{4} \times \frac{2}{\sqrt{x_0^2 + 4}} = \frac{x_0^2 + 8}{2 \sqrt{x_0^2 + 4}} \] 进一步简化： \[ d = \frac{x_0^2 + 8}{2 \sqrt{x_0^2 + 4}} = \frac{x_0^2 + 8}{2 (x_0^2 + 4 )^{1/2}} \] 为了求 $d$ 的最小值，令$f(x_0) = \frac{x_0^2 + 8}{2 (x_0^2 + 4 )^{1/2}}$ 我们可以将其看作关于 $x_0^2$ 的函数，令 $t = x_0^2 \geq 0$，则： \[ f(t) = \frac{t + 8}{2 \sqrt{t + 4}} \] 为了求 $f(t)$ 的最小值，对 $t$ 求导： \[ f'(t) = \frac{ (1)(2 \sqrt{t + 4}) - (t + 8) \left( \frac{1}{\sqrt{t + 4}} \right) }{ (2 \sqrt{t + 4})^2 } = \frac{ 2 \sqrt{t + 4} - \frac{t + 8}{\sqrt{t + 4}} }{4 (t + 4) } \] 使分子为零，求得： \[ 2 \sqrt{t + 4} - \frac{t + 8}{\sqrt{t + 4}} = 0 \\ \Rightarrow 2 (t + 4) - (t + 8) = 0 \\ \Rightarrow 2t + 8 - t - 8 = 0 \\ \Rightarrow t = 0 \] 因此，当 $t = 0$ 时，$f(t)$ 取得极值。 计算此时的距离： \[ d_{\min} = f(0) = \frac{0 + 8}{2 \sqrt{0 + 4}} = \frac{8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2 \] 因此，$d$ 的最小值为 $2$。 <eoe> 【答案】 (II) 点 $O$ 到切线 $l$ 的距离的最小值为 $2$。<eoa> |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| GPT-4o | (1)【解析】 首先，我们知道点 \( B \) 在直线 \( y = -3 \) 上，所以 \( B \) 的坐标可以表示为 \( (x_B, -3) \)。 点 \( M \) 满足 \( \overrightarrow{MB} \parallel \overrightarrow{OA} \)，则有： \[ \overrightarrow{MB} = k \overrightarrow{OA} \] 其中 \( k \) 是一个常数。由于 \( \overrightarrow{OA} = (0, -1) \)，我们有： \[ \overrightarrow{MB} = k (0, -1) = (0, -k) \] 点 \( M \) 的坐标可以表示为 \( (x_M, y_M) \)。根据矢量 \( \overrightarrow{MB} \) 的定义，我们有： \[ (x_M - x_B, y_M + 3) = (0, -k) \] 这意味着： \[ x_M = x_B \] \[ y_M + 3 = -k \] \[ y_M = -k - 3 \] 接下来，使用条件 \( \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA} \)。 \[ \overrightarrow{MA} = (x_M - 0, y_M + 1) = (x_M, y_M + 1) \] \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - 0, -3 + 1) = (x_B, -2) \] \[ \overrightarrow{MB} = (x_M - x_B, y_M + 3) = (0, -k) \] \[ \overrightarrow{BA} = (0 - x_B, -1 + 3) = (-x_B, 2) \] 因此有： \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = (x_M \cdot x_B + (y_M + 1) \cdot (-2)) \] \[ \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA} = (0 \cdot (-x_B) + (-k) \cdot 2) = -2k \] 于是： \[ x_M \cdot x_B - 2(y_M + 1) = -2k \] 将 \( y_M = -k - 3 \) 代入得到： \[ x_M \cdot x_B - 2(-k - 3 + 1) = -2k \] \[ x_M \cdot x_B + 2k + 4 = -2k \] \[ x_M \cdot x_B + 4 = -4k \] 由于 \( x_M = x_B \)，我们可以得到： \[ x_B^2 + 4 = -4k \] 此时我们可以消去 \( k \)： \[ k = -\frac{x_B^2 + 4}{4} \] 而 \( y_M = -k - 3 \)，所以： \[ y_M = \frac{x_B^2 + 4}{4} - 3 \] \[ y_M = \frac{x_B^2 + 4 - 12}{4} \] \[ y_M = \frac{x_B^2 - 8}{4} \] 因此，点 \( M \) 的坐标为： \[ (x_M, \frac{x_M^2 - 8}{4}) \] 所以，曲线 \( C \) 的方程为： \[ y = \frac{x^2 - 8}{4} \] <eoe> 【答案】\( \frac{x^2}{4} - 2 \) <eoa> (2)【解析】 我们已知曲线 \( C \) 的方程为 \( y = \frac{x^2 - 8}{4} \)。为了找到点 \( O \) 到切线 \( I \) 的最小距离，我们首先需要找到曲线在某点 \( P \) 处的切线。 设点 \( P \) 的坐标为 \( (x_0, y_0) \)，其中 \( y_0 = \frac{x_0^2 - 8}{4} \)。 曲线的导数 \( y' \) 为： \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 8}{4} \right) = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2} \] 表示切线的斜率为 \( \frac{x_0}{2} \)。切线方程为： \[ y - y_0 = \frac{x_ |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| llama3.1-70B-Instruct | (1)【解析】由题意,设M(x,y),B(x_{0},-3),由\overrightarrow{MB}//\overrightarrow{OA},得\frac{y+3}{x-x_{0}}=\frac{1}{0},解得x=x_{0},即M点的横坐标与B点的横坐标相同,设M(x_{0},y),由\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{BA},得(x_{0},y+1)\cdot(x_{0},2)=(-3-y,0)\cdot(-x_{0},-3-y),化简得y^{2}+4y+3=0,解得y=-1或y=-3,当y=-1时,M点的轨迹为x轴上x>0的射线,方程为y=-1(x>0);当y=-3时,M点的轨迹为直线y=-3上x>0的线段,方程为y=-3(x>0).综上,曲线C的方程为y=-1(x>0)或y=-3(x>0).(2)由(1)可知,曲线C的方程为y=-1(x>0)或y=-3(x>0),当y=-1(x>0)时,曲线C在P点处的切线不存在;当y=-3(x>0)时,曲线C在P点处的切线方程为y=-3,则O点到l的距离为3,故O点到l的距离的最小值为3. 最终结果是y=-1(x>0)或y=-3(x>0) 3 |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| llama3.1-405B-Instruct | (1)设M(x,y),B(m,-3),由\overrightarrow{MB}平行于\overrightarrow{OA},得\frac{y+3}{x-m}=\frac{-1}{0},所以x=m,即M,B在同一条与y轴平行的直线上,所以M点的横坐标为m,即M(m,y),所以\overrightarrow{MA}=(0-m,-1-y),\overrightarrow{AB}=(m-0,-3+1),\overrightarrow{MB}=(m-m,-3-y),\overrightarrow{BA}=(0-m,1+3)由\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{BA},得-m(m-0)+(-1-y)(-3+1)=0\cdot(m-0)+(-3-y)(1+3),化简 |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| DeepSeek-Coder-V2 | "(I)【解析】首先，我们需要确定点 \\( M \\) 的轨迹方程。已知点 \\( A(0, -1) \\)，点 \\( B \\) 在直线 \\( y = -3 \\) 上，设 \\( B(x_B, -3) \\)。点 \\( M \\) 满足 \\( \\overrightarrow{MB} \\parallel \\overrightarrow{OA} \\)，即 \\( \\overrightarrow{MB} \\) 的方向与 \\( \\overrightarrow{OA} \\) 的方向相同。由于 \\( \\overrightarrow{OA} = (0, -1) \\)，所以 \\( \\overrightarrow{MB} \\) 的方向也是垂直于 \\( x \\) 轴的，即 \\( M \\) 和 \\( B \\) 的 \\( x \\) 坐标相同，设 \\( M(x_B, y_M) \\)。\n\n接下来，利用条件 \\( \\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{MB} \\cdot \\overrightarrow{BA} \\)。首先计算各向量：\n\\[\n\\overrightarrow{MA} = (0 - x_B, -1 - y_M) = (-x_B, -1 - y_M)\n\\]\n\\[\n\\overrightarrow{AB} = (x_B - 0, -3 - (-1)) = (x_B, -2)\n\\]\n\\[\n\\overrightarrow{MB} = (x_B - x_B, -3 - y_M) = (0, -3 - y_M)\n\\]\n\\[\n\\overrightarrow{BA} = (0 - x_B, -1 - (-3)) = (-x_B, 2)\n\\]\n\n计算内积：\n\\[\n\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{AB} = (-x_B) \\cdot x_B + (-1 - y_M) \\cdot (-2) = -x_B^2 + 2 + 2y_M\n\\]\n\\[\n\\overrightarrow{MB} \\cdot \\overrightarrow{BA} = (0) \\cdot (-x_B) + (-3 - y_M) \\cdot 2 = -6 - 2y_M\n\\]\n\n根据条件 \\( \\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{MB} \\cdot \\overrightarrow{BA} \\)，得到：\n\\[\n-x_B^2 + 2 + 2y_M = -6 - 2y_M\n\\]\n\\[\n-x_B^2 + 2 + 2y_M + 2y_M = -6\n\\]\n\\[\n-x_B^2 + 4y_M + 2 = -6\n\\]\n\\[\n-x_B^2 + 4y_M = -8\n\\]\n\\[\nx_B^2 - 4y_M = 8\n\\]\n\n因此，点 \\( M \\) 的轨迹方程为：\n\\[\nx^2 - 4y = 8\n\\]\n<eoe>\n【答案】\\( x^2 - 4y = 8 \\)<eoa>\n\n(II)【解析】设 \\( P \\) 为曲线 \\( C \\) 上的动点，其坐标为 \\( (x_0, y_0) \\)，满足 \\( x_0^2 - 4y_0 = 8 \\)。曲线 \\( C \\) 在点 \\( P \\) 处的切线方程为：\n\\[\ny - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\n\\]\n其中 \\( f(x) = \\frac{x^2}{4} - 2 \\)，所以 \\( f'(x) = \\frac{x}{2} \\)。因此，切线方程为：\n\\[\ny - y_0 = \\frac{x_0}{2}(x - x_0)\n\\]\n\n将 \\( y_0 = \\frac{x_0^2}{4} - 2 \\) 代入，得到：\n\\[\ny - \\left(\\frac{x_0^2}{4} - 2\\right) = \\frac{x_0}{2}(x - x_0)\n\\]\n\\[\ny - \\frac{x_0^2}{4} + 2 = \\frac{x_0}{2}x - \\frac{x_0^2}{2}\n\\]\n\\[\ny = \\frac{x_0}{2}x - \\frac{x_0^2}{2} + \\frac{x_0^2}{4} - 2\n\\]\n\\[\ny = \\frac{x_0}{2}x - \\frac{x_0^2}{4} - 2\n\\]\n\n求原点 \\( O(0, 0) \\) 到切线的距离。切线方程为 \\( \\frac{x_0}{2}x - y - \\frac{x_0^2}{4} - 2 = 0 \\)，距离公式为：\n\\[\nd = \\frac{|\\frac{x_0}{2} \\cdot 0 - 0 - \\frac{x_0^2}{4} - 2|}{\\sqrt{\\left(\\frac{x_0}{2}\\right)^2 + 1}} = \\frac{|\\frac{x_0^2}{4} + 2|}{\\sqrt{\\frac{x_0^2}{4} + 1}} = \\frac{\\frac{x_0^2}{4} + 2}{\\sqrt{\\frac{x_0^2 + 4}{4}}} = \\frac{\\frac{x_0^2}{4} + 2}{\\frac{\\sqrt{x_0^2 + 4}}{2}} = \\frac{2(\\frac{x_0^2}{4} + 2)}{\\sqrt{x_0^2 + 4}} = \\frac{x_0^2 + 8}{2\\sqrt{x_0^2 + 4}}\n\\]\n\n为了使距离最小，考虑分子 \\( x_0^2 + 8 \\) 和分母 \\( 2\\sqrt{x_0^2 + 4} \\) 的关系。显然，当 \\( x_0 = 0 \\) 时，距离最小：\n\\[\nd = \\frac{0^2 + 8}{2\\sqrt{0^2 + 4}} = \\frac{8}{4} = 2\n\\]\n<eoe>\n【答案】2<eoa>" | 解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| Qwen2-72B-Instruct | "(1)【解析】\n首先，我们需要确定点 $M$ 的轨迹方程，即曲线 $C$ 的方程。由题意知，点 $A(0,-1)$，点 $B$ 在直线 $y=-3$ 上，故点 $B$ 的坐标可表示为 $(x_B, -3)$。点 $M$ 满足 $\\overrightarrow{M B} / / \\overrightarrow{O A}$，即 $\\overrightarrow{M B}$ 和 $\\overrightarrow{O A}$ 方向相同，说明 $\\overrightarrow{M B}$ 的方向向量与 $\\overrightarrow{O A}$ 的方向向量相同，故可以表示为 $k\\overrightarrow{O A}$ 的形式，其中 $k$ 为非零常数。由于 $\\overrightarrow{O A} = (0, -1)$，则 $\\overrightarrow{M B} = k(0, -1) = (0, -k)$。\n\n接下来，我们利用 $\\overrightarrow{M A} \\cdot \\overrightarrow{A B}=\\overrightarrow{M B} \\cdot \\overrightarrow{B A}$ 这个条件来确定点 $M$ 的坐标。设 $M(x_M, y_M)$，则有：\n\\[\n\\overrightarrow{M A} = (x_M, y_M + 1), \\quad \\overrightarrow{A B} = (x_B, -2), \\quad \\overrightarrow{M B} = (x_B - x_M, -3 - y_M), \\quad \\overrightarrow{B A} = (-x_B, 2)\n\\]\n根据向量点乘的定义，有：\n\\[\n(x_M, y_M + 1) \\cdot (x_B, -2) = (x_B - x_M, -3 - y_M) \\cdot (-x_B, 2)\n\\]\n\\[\nx_M x_B - 2(y_M + 1) = -x_B^2 + x_B x_M - 2(-3 - y_M)\n\\]\n\\[\nx_B^2 = 4 + 4y_M\n\\]\n由于 $x_B^2$ 可以表示为 $x_M$ 和 $y_M$ 的函数，即 $x_B^2 = 4 + 4y_M$，而 $x_B$ 和 $y_M$ 的关系就是点 $M$ 轨迹的方程。但是，我们知道 $M$ 点的坐标与 $B$ 点的坐标相关，而 $B$ 点在直线 $y=-3$ 上，故 $x_B$ 是任意的，因此 $M$ 点的轨迹方程为 $4 + 4y_M$，简化为 $y_M = x_M^2/4 - 1$。\n\n<eoe>\n【答案】\n曲线 $C$ 的方程为 $y = x^2/4 - 1$。\n\n<eoa>\n\n(2)【解析】\n接下来，我们考虑第二问，即求 $O$ 点到 $C$ 在 $P$ 点处的切线 $I$ 的距离的最小值。首先，我们需要找到曲线 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程。已知曲线 $C$ 的方程为 $y = x^2/4 - 1$，其导数（即斜率）为 $dy/dx = x/2$。\n\n设 $P(x_P, y_P)$ 为曲线 $C$ 上的任意一点，则切线的斜率为 $dy/dx|_{x=x_P} = x_P/2$。因此，切线的方程为 $y - y_P = (x_P/2)(x - x_P)$，其中 $y_P = x_P^2/4 - 1$。\n\n接下来，我们需要计算原点 $O$ 到切线 $I$ 的距离。原点到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离公式为 $d = |Ax_0 + By_0 + C|/\\sqrt{A^2 + B^2}$，其中 $(x_0, y_0)$ 是原点坐标，即 $(0, 0)$。将切线方程转换为一般形式，得到 $-x_P/2 \\cdot x + y - y_P + x_P^2/2 = 0$，即 $-x_P/2 \\cdot x + y + (x_P^2/4 - 1) - x_P^2/2 = 0$。\n\n因此，原点到切线的距离为：\n\\[\nd = \\frac{|-x_P \\cdot 0 + 1 \\cdot 0 + (x_P^2/4 - 1) - x_P^2/2|}{\\sqrt{(-x_P/2)^2 + 1^2}} = \\frac{|-x_P^2/4 - 1|}{\\sqrt{x_P^2/4 + 1}}\n\\]\n\\[\nd = \\frac{|x_P^2/4 + 1|}{\\sqrt{x_P^2/4 + 1}} = \\sqrt{x_P^2/4 + 1}\n\\]\n要使 $d$ 最小，即 $\\sqrt{x_P^2/4 + 1}$ 最小，显然当 $x_P = 0$ 时取得最小值，此时 $d_{\\text{min}} = 1$。\n\n<eoe>\n【答案】\n$O$ 点到 $I$ 距离的最小值为 $1$。\n\n<eoa>" | 解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| baichuan4 | (I) 【解析】 首先，由于点B在直线$y=-3$上，我们可以设点B的坐标为$(b, -3)$。由于$\overrightarrow{MB} / / \overrightarrow{OA}$，且$\overrightarrow{OA}$的方向向量为$(0, -1)$，我们可以得出$\overrightarrow{MB}$的方向向量也是$(0, -1)$。因此，点M的坐标可以表示为$(b, -2)$。 接下来，根据题目中的条件$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$，我们可以列出等式： $$(b, -2-(-1)) \cdot (b, -3-(-1)) = (b, -2-(-3)) \cdot (0, -3-(-1))$$ 即： $$b^2 + 2 \cdot 2 = b \cdot 0 + 1 \cdot 2$$ 化简得： $$b^2 + 4 = 2$$ $$b^2 = -2$$ 这个等式显然是错误的，因为$b^2$应该是非负的。因此，我们需要重新审视我们的推导过程。 我们知道$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$，所以我们应该这样计算： $$(b, -2) - (0, -1) \cdot (b, -3) - (0, -1) = (b, -2) - (b, -3) \cdot (0, -1) - (b, -3)$$ 即： $$(b, 1) \cdot (b, -2) = (0, 1) \cdot (-b, 1)$$ $$b^2 - 2 = -b + 1$$ $$b^2 + b - 3 = 0$$ 这是一个关于b的二次方程，我们可以求出其解。 现在我们来求解这个方程： $$b^2 + b - 3 = 0$$ 使用求根公式得： $$b = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}$$ $$b = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2}$$ $$b = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$$ 由于b是点的横坐标，我们取正值： $$b = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$$ 因此，点M的坐标为$(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, -2)$。 由于点M在曲线C上，且曲线C是点M的轨迹，我们可以得出曲线C的方程为： $$y = -2$$ 这是一个水平直线，因为点M的纵坐标始终为-2。 【答案】 曲线C的方程为$y = -2$。 (II) 【解析】 由于曲线C是一条直线，其上的任意一点P的坐标可以表示为$(x, -2)$。曲线C在P点处的切线I也是一条水平直线，其方程为$y = -2$。 要求O点到切线I的距离的最小值，由于切线I是水平直线，O点到切线I的距离就是O点到直线$y = -2$的距离。这个距离是一个常数，不随P点的变化而变化。 我们可以用点到直线的距离公式来计算这个距离： $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ 其中，$(x_0, y_0)$是点O的坐标，$Ax + By + C = 0$是直线的方程。在这个情况下，$A = 0, B = 1, C = -(-2)$，所以： $$d = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}}$$ $$d = \frac{2}{\sqrt{1}}$$ $$d = 2$$ 【答案】 O点到切线I距离的最小值为2。 |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| doubao | (1)【解析】设$M(x,y)$，$B(x_0,-3)$。因为$\overrightarrow{MB}=(x_0-x,-3-y)$，$\overrightarrow{OA}=(0,-1)$，且$\overrightarrow{MB}\parallel\overrightarrow{OA}$，所以可得$(x_0-x)\times(-1)-0\times(-3-y)=0$，即$x=x_0$。又因为$\overrightarrow{MA}=(-x,-1-y)$，$\overrightarrow{AB}=(x_0,-2)$，由$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{BA}$可得$-x\times x_0+(-1-y)\times(-2)=(x_0-x)\times(-x_0)+(-3-y)\times2$，将$x=x_0$代入化简可得$y^2=4x$，所以曲线$C$的方程为$y^2=4x$。 【答案】曲线$C$的方程为$y^2=4x$。 <eoa> (2)【解析】设$P(x_1,y_1)$在曲线$C$上，对$y^2=4x$两边求导得$2y\cdot y^\prime=4$，则$y^\prime=\frac{2}{y}$，所以在$P$点处的切线斜率为$\frac{2}{y_1}$，切线方程为$y-y_1=\frac{2}{y_1}(x-x_1)$，即$y=\frac{2}{y_1}x+\frac{y_1}{2}$。$O$点到切线的距离$d=\frac{\vert 0\times\frac{2}{y_1}+0+\frac{y_1}{2}\vert}{\sqrt{(\frac{2}{y_1})^2+1}}=\frac{\vert \frac{y_1}{2}\vert}{\sqrt{\frac{4}{y_1^2}+1}}=\frac{\vert y_1\vert}{2\sqrt{1+\frac{4}{y_1^2}}}$。因为$y_1^2=4x_1\geq0$，所以当$y_1^2=4$时，$d$取得最小值，$d_{\min}=\frac{\vert 2\vert}{2\sqrt{1+\frac{4}{4}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 【答案】$O$点到$I$距离的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。 <eoa> |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| minimax | (1)【解析】首先，我们需要找到点M的坐标。由于向量$\overrightarrow{MB}$平行于向量$\overrightarrow{OA}$，我们可以知道向量$\overrightarrow{MB}$的方向与向量$\overrightarrow{OA}$的方向相同，即向量$\overrightarrow{MB}$的方向是沿着y轴负方向的。设点M的坐标为$(x,y)$，则向量$\overrightarrow{MB}$可以表示为$(x-x_B, y+3)$，向量$\overrightarrow{OA}$可以表示为$(0,1)$。由于$\overrightarrow{MB}$平行于$\overrightarrow{OA}$，我们有： \[ \frac{x - x_B}{0} = \frac{y + 3}{1} \] 由于分母不能为零，我们得到$x = x_B$。这意味着点M在直线$x = x_B$上。 接下来，我们需要利用条件$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$。向量$\overrightarrow{MA}$可以表示为$(x, y + 1)$，向量$\overrightarrow{AB}$可以表示为$(x_B, 3)$。因此，我们有： \[ (x, y + 1) \cdot (x_B, 3) = (x - x_B, y + 3) \cdot (x_B, -3) \] \[ xx_B + (y + 1)3 = (x - x_B)(x_B) + (y + 3)(-3) \] \[ xx_B + 3y + 3 = x x_B - x_B^2 + (-3y - 9) \] \[ 3y + 3 = -3y - 9 - x_B^2 \] \[ 6y = -12 - x_B^2 \] \[ y = -2 - \frac{x_B^2}{6} \] 由于点M在直线$x = x_B$上，我们可以将$y$的表达式代入得到M点的轨迹方程： \[ y = -2 - \frac{x^2}{6} \] 这就是曲线C的方程。<eoe> 【答案】曲线C的方程为$y = -2 - \frac{x^2}{6}$。<eoa> (2)【解析】为了求出点O到曲线C在P点处的切线I的距离的最小值，我们需要先求出曲线C在任意点$(x, y)$处的切线方程。由于曲线C的方程为$y = -2 - \frac{x^2}{6}$，我们可以求出其导数来得到切线的斜率： \[ y' = -\frac{2x}{6} = -\frac{x}{3} \] 切线的斜率为$-\frac{x}{3}$，切线方程可以表示为： \[ y - y_1 = -\frac{x_1}{3}(x - x_1) \] 其中$(x_1, y_1)$是曲线上的点P的坐标。由于P点在曲线C上，我们有$y_1 = -2 - \frac{x_1^2}{6}$。 现在我们需要求出点O到这条切线的距离。点O的坐标是$(0,0)$，切线的一般形式为$Ax + By + C = 0$。我们可以将切线方程重写为： \[ y + \frac{x_1}{3}x - y_1 - \frac{x_1^2}{3} = 0 \] \[ y + \frac{x_1}{3}x + 2 + \frac{x_1^2}{6} - \frac{x_1^2}{3} = 0 \] \[ y + \frac{x_1}{3}x + 2 - \frac{x_1^2}{6} = 0 \] 因此，$A = \frac{x_1}{3}$，$B = -1$，$C = 2 - \frac{x_1^2}{6}$。 点到直线的距离公式为： \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] 其中$(x_0, y_0)$是点O的坐标，代入我们得到： \[ d = \frac{|\frac{x_1}{3} \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 2 - \frac{x_1^2}{6}|}{\sqrt{(\frac{x_1}{3})^2 + (-1)^2}} \] \[ d = \frac{|2 - \frac{x_1^2}{6}|}{\sqrt{\frac{x_1^2}{9} + 1}} \] \[ d = \frac{|2 - \frac{x_1^2}{6}|}{\sqrt{\frac{x_1^2 + 9}{9}}} \] \[ d = \frac{|2 - \frac{x_1^2}{6}|}{\frac{\sqrt{x_1^2 + 9}}{3}} \] \[ d = 3 \cdot \frac{|2 - \frac{x_1^2}{6}|}{\sqrt{x_1^2 + 9}} \] 为了找到距离的最小值，我们需要最小化函数$f(x_1) = 3 \cdot \frac{|2 - \frac{x_1^2}{6}|}{\sqrt{x_1^2 + 9}}$。注意到函数$f(x_1)$在$x_1 = 0$时取得最小值，因为当$x_1$增加时，分子中的绝对值项会增加，而分母增加的速度较慢。因此，当$x_1 = 0$时，$y_1 = -2$，点P是曲线C上的点$(0, -2)$。 将$x_1 = 0$代入距离公式中，我们得到最小距离： \[ d_{\text{min}} = 3 \cdot \frac{|2 - \frac{0^2}{6}|}{\sqrt{0^2 + 9}} \] \[ d_{\text{min}} = 3 \cdot \frac{2}{3} \] \[ d_{\text{min}} = 2 \]<eoe> 【答案】点O到曲线C在P点处的切线I的距离的最小值为2。<eoa> |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| kimi | (1)【解析】首先，设点M的坐标为(x, y)，点B的坐标为(b, -3)。由于向量$\overrightarrow{MB}$与向量$\overrightarrow{OA}$平行，我们可以得到$\overrightarrow{MB} = (b-x, -3-y)$，向量$\overrightarrow{OA} = (0, -1)$，因此有$-3-y = k(b-x)$，其中k为常数。 接下来，根据题目中的条件$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$，我们可以得到$(x, y+1) \cdot (b, -2) = (b-x, -3-y) \cdot (-b, -2)$。展开这个等式，我们得到$xb - 2y = -b^2 + bx + 2y + 6$。 现在，我们有两个方程： 1. $-3-y = k(b-x)$ 2. $xb - 2y = -b^2 + bx + 2y + 6$ 将第一个方程中的k用第二个方程表示，我们得到$k = \frac{-3-y}{b-x}$。将这个k代入第二个方程，得到$xb - 2y = -b^2 + bx + 2y + 6$。 通过消去b，我们可以得到点M的轨迹方程。由于点B在直线$y=-3$上，我们可以将b设为任意实数，然后解出x和y的关系，得到曲线C的方程。 <eoe> 【答案】曲线C的方程为$x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$。<eoa> (2)【解析】首先，我们需要找到曲线C的导数，以确定在点P处的切线斜率。曲线C的方程为$x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$，可以重写为$x^2 + (y+1)^2 = 4$，这是一个以(0, -1)为圆心，半径为2的圆。 设点P的坐标为$(x_0, y_0)$，则$x_0^2 + (y_0+1)^2 = 4$。点P处的切线斜率为$-\frac{x_0}{y_0+1}$。 接下来，我们需要找到切线方程。切线方程为$y - y_0 = -\frac{x_0}{y_0+1}(x - x_0)$，化简得到$y = -\frac{x_0}{y_0+1}x + \frac{x_0^2}{y_0+1} + y_0$。 现在，我们需要找到原点O(0,0)到切线的距离。原点到切线的距离公式为$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$，其中A、B、C是切线方程的系数。将切线方程代入距离公式，我们得到$d = \frac{|-x_0^2 + y_0(y_0+1)|}{\sqrt{1 + (y_0+1)^2}}$。 为了找到距离的最小值，我们需要找到使得$d$最小的$x_0$和$y_0$。由于$x_0^2 + (y_0+1)^2 = 4$，我们可以通过求导或者利用几何性质来找到最小值。 <eoe> 【答案】原点O到切线I的距离的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。<eoa> |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| wenxinyiyan | (I)设$M(x, y)$，$B(x_{1}, -3)$，则向量$\overrightarrow{MB} = (x_{1} - x, -3 - y)$，向量$\overrightarrow{OA} = (0, -1)$。 由于$\overrightarrow{MB} // \overrightarrow{OA}$，所以$(x_{1} - x)\cdot(-1) - (-3 - y)\cdot0 = 0$，即$x_{1} = x$。 所以，$B(x, -3)$，$\overrightarrow{MA} = (-x, -1 - y)$，$\overrightarrow{MB} = (0, -3 - y)$。 由于$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$，所以$(-x, -1 - y)\cdot(x, 2) = (0, -3 - y)\cdot(-x, 2)$，即$-x^2 - 2y - 2 = 0$。 所以，曲线C的方程为$x^2 = 2y + 2$。 (II)设$P(x_{0}, y_{0})$，则曲线C在P点处的切线方程为$y - y_{0} = k(x - x_{0})$，其中k为切线的斜率。 联立切线方程和曲线C的方程，得到$x^2 - 2kx + 2ky_{0} - 2 = 0$。 由于切线只有一个交点，所以判别式$\Delta = 0$，即$4k^2 - 8y_{0} + 8 = 0$。 解得$k = \frac{x_{0}}{2}$，所以切线方程为$y - y_{0} = \frac{x_{0}}{2}(x - x_{0})$。 化简得$x_{0}x - 2y - 2 = 0$。 O点到切线的距离$d = \frac{|0\cdot x_{0} - 2\cdot0 - 2|}{\sqrt{x_{0}^2 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{x_{0}^2 + 4}}$。 当$x_{0} = 0$时，d取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$。 |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| zhipu | (1)【解析】 首先，设点 \( M \) 的坐标为 \( (x, y) \)，点 \( B \) 的坐标为 \( (b, -3) \)。 根据题意，向量 \(\overrightarrow{MB}\) 平行于 \(\overrightarrow{OA}\)，即 \[ \overrightarrow{MB} = k \overrightarrow{OA} \] 其中 \( k \) 是一个常数。因为 \(\overrightarrow{OA} = (0, -1)\)，所以 \[ \overrightarrow{MB} = (b - x, -3 - y) = k(0, -1) = (0, -k) \] 由此得到 \[ b - x = 0 \quad \text{和} \quad -3 - y = -k \] 所以 \[ b = x \quad \text{和} \quad k = -3 - y \] 接下来，根据题意 \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}\)，计算各向量： \[ \overrightarrow{MA} = (x - 0, y + 1) = (x, y + 1) \] \[ \overrightarrow{AB} = (b - 0, -3 + 1) = (b, -2) = (x, -2) \] \[ \overrightarrow{BA} = (-x, 2) \] 于是有 \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = x \cdot x + (y + 1) \cdot (-2) = x^2 - 2(y + 1) \] \[ \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA} = (0, -k) \cdot (-x, 2) = 0 \cdot (-x) + (-k) \cdot 2 = -2k = -2(-3 - y) = 6 + 2y \] 根据题意 \[ x^2 - 2(y + 1) = 6 + 2y \] 整理得到 \[ x^2 - 2y - 2 = 6 + 2y \] \[ x^2 - 4y - 8 = 0 \] 即 \[ x^2 = 4(y + 2) \] 所以曲线 \( C \) 的方程为 \[ x^2 = 4(y + 2) \] <eoe> 【答案】 曲线 \( C \) 的方程为 \( x^2 = 4(y + 2) \)<eoa> (2)【解析】 设曲线 \( C \) 上的一点 \( P \) 的坐标为 \( (a, b) \)，根据曲线方程有 \[ a^2 = 4(b + 2) \] 曲线 \( C \) 的方程 \( x^2 = 4(y + 2) \) 可以写成 \( y = \frac{1}{4}x^2 - 2 \)。求其导数得到 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x \] 在点 \( P(a, b) \) 处的切线斜率为 \( \frac{1}{2}a \)，切线方程为 \[ y - b = \frac{1}{2}a (x - a) \] 整理得 \[ y = \frac{1}{2}a x - \frac{1}{2}a^2 + b \] 因为 \( b = \frac{1}{4}a^2 - 2 \)，代入得到 \[ y = \frac{1}{2}a x - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{4}a^2 - 2 \] \[ y = \frac{1}{2}a x - \frac{1}{4}a^2 - 2 \] 切线方程为 \[ \frac{1}{2}a x - y - \frac{1}{4}a^2 - 2 = 0 \] 求原点 \( O(0, 0) \) 到该切线的距离，使用点到直线的距离公式 \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] 其中 \( A = \frac{1}{2}a \)，\( B = -1 \)，\( C = -\frac{1}{4}a^2 - 2 \)，\( (x_1, y_1) = (0, 0) \)，所以 \[ d = \frac{|\frac{1}{2}a \cdot 0 - 1 \cdot 0 - \frac{1}{4}a^2 - 2|}{\sqrt{(\frac{1}{2}a)^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{1}{4}a^2 + 2|}{\sqrt{\frac{1}{4}a^2 + 1}} \] 设 \( u = \frac{1}{4}a^2 \)，则上式变为 \[ d = \frac{|u + 2|}{\sqrt{u + 1}} \] 令 \( f(u) = \frac{u + 2}{\sqrt{u + 1}} \)，求其最小值。计算导数 \[ f'(u) = \frac{(u + 1)^{1/2} - (u + 2) \cdot \frac{1}{2}(u + 1)^{-1/2}}{(u + 1)} \] \[ = \frac{(u + 1) - \frac{1}{2}(u + 2)}{(u + 1)^{3/2}} \] \[ = \frac{2(u + 1) - (u + 2)}{2(u + 1)^{3/2}} \] \[ = \frac{u}{2(u + 1)^{3/2}} \] 令 \( f'(u) = 0 \)，得 \( u = 0 \)。 当 \( u = 0 \) 时， \[ d = \frac{0 + 2}{\sqrt{0 + 1}} = 2 \] 所以 \( O \) 点到切线 \( I \) 的距离的最小值为 2。 <eoe> 【答案】 \( O \) 点到切线 \( I \) 的距离的最小值为 2<eoa> |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| gpto1 | **(1)** 【解析】 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(0,-1)$，点 $B$ 在直线 $y=-3$ 上，即 $B$ 点的坐标为 $(x_B, -3)$，其中 $x_B$ 为任意实数。 设点 $M$ 的坐标为 $(x, y)$。 根据条件 $\overrightarrow{MB} // \overrightarrow{OA}$，即向量 $\overrightarrow{MB}$ 与 $\overrightarrow{OA}$ 共线。 计算 $\overrightarrow{OA} = A - O = (0 - 0, -1 - 0) = (0, -1)$ 因此，$\overrightarrow{MB}$ 与 $(0, -1)$ 共线，所以： $\overrightarrow{MB} = k \cdot \overrightarrow{OA} = k(0, -1) = (0, -k)$ 那么 $\overrightarrow{MB} = B - M$，即 $(x_B - x, -3 - y) = (0, -k)$ 因此： \[ \begin{cases} x_B - x = 0 \\ -3 - y = -k \end{cases} \] 所以 $x_B = x$ 也就是说，$B$ 和 $M$ 的 $x$ 坐标相同，即 $B(x, -3)$ 再根据条件 $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$ 首先计算向量： \[ \overrightarrow{MA} = A - M = (0 - x, -1 - y) = (-x, -1 - y) \] \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (x - 0, -3 - (-1)) = (x, -2) \] \[ \overrightarrow{MB} = B - M = (x - x, -3 - y) = (0, -3 - y) \] \[ \overrightarrow{BA} = A - B = (0 - x, -1 - (-3)) = (-x, 2) \] 计算点积： \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = (-x)(x) + (-1 - y)(-2) = -x^2 + 2(1 + y) \] \[ \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA} = (0)(-x) + (-3 - y)(2) = 0 + 2(-3 - y) = -6 - 2y \] 根据条件，有： \[ - x^2 + 2(1 + y) = -6 - 2y \] 整理得： \[ - x^2 + 2 + 2y + 6 + 2y = 0 \\ - x^2 + 8 + 4y = 0 \] 移项得： \[ x^2 = 4y + 8 \] 因此，曲线 $C$ 的方程为： \[ x^2 = 4y + 8 \] <eoe> 【答案】 曲线 $C$ 的方程为：$x^2 = 4y + 8$。<eoa> **(2)** 【解析】 首先，计算曲线 $C$ 的切线，在点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程，其中 $x_0^2 = 4y_0 + 8$。 对曲线方程 $x^2 = 4y + 8$ 两边关于 $x$ 求导，得到： \[ 2x = 4 \frac{dy}{dx} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2} \] 因此，切线的斜率为 $k = \frac{x_0}{2}$ 切线方程为： \[ (y - y_0) = \frac{x_0}{2} (x - x_0) \] 将其整理为一般式： \[ - \frac{x_0}{2} x + y + \left( - y_0 + \frac{x_0^2}{2} \right) = 0 \] 利用曲线方程： \[ x_0^2 = 4y_0 + 8 \\ \Rightarrow y_0 = \frac{x_0^2 - 8}{4} \] 代入上式，计算常数项： \[ - y_0 + \frac{x_0^2}{2} = - \left( \frac{x_0^2 - 8}{4} \right) + \frac{x_0^2}{2} = \frac{- x_0^2 + 8 + 2 x_0^2}{4} = \frac{x_0^2 + 8}{4} \] 因此，方程变为： \[ - \frac{x_0}{2} x + y + \frac{x_0^2 + 8}{4} = 0 \] 点 $O(0, 0)$ 到直线的距离为： \[ d = \frac{\left| - \frac{x_0}{2} \cdot 0 + 0 + \frac{x_0^2 + 8}{4} \right|}{\sqrt{\left( - \frac{x_0}{2} \right)^2 + 1}} = \frac{\frac{x_0^2 + 8}{4}}{\sqrt{\left( \frac{x_0}{2} \right)^2 + 1}} \] 计算分母： \[ \sqrt{\left( \frac{x_0}{2} \right)^2 + 1} = \sqrt{\frac{x_0^2}{4} + 1} = \frac{\sqrt{x_0^2 + 4}}{2} \] 所以距离为： \[ d = \frac{\frac{x_0^2 + 8}{4}}{\frac{\sqrt{x_0^2 + 4}}{2}} = \frac{x_0^2 + 8}{4} \times \frac{2}{\sqrt{x_0^2 + 4}} = \frac{x_0^2 + 8}{2 \sqrt{x_0^2 + 4}} \] 进一步简化： \[ d = \frac{x_0^2 + 8}{2 \sqrt{x_0^2 + 4}} = \frac{x_0^2 + 8}{2 (x_0^2 + 4 )^{1/2}} \] 为了求 $d$ 的最小值，令$f(x_0) = \frac{x_0^2 + 8}{2 (x_0^2 + 4 )^{1/2}}$ 我们可以将其看作关于 $x_0^2$ 的函数，令 $t = x_0^2 \geq 0$，则： \[ f(t) = \frac{t + 8}{2 \sqrt{t + 4}} \] 为了求 $f(t)$ 的最小值，对 $t$ 求导： \[ f'(t) = \frac{ (1)(2 \sqrt{t + 4}) - (t + 8) \left( \frac{1}{\sqrt{t + 4}} \right) }{ (2 \sqrt{t + 4})^2 } = \frac{ 2 \sqrt{t + 4} - \frac{t + 8}{\sqrt{t + 4}} }{4 (t + 4) } \] 使分子为零，求得： \[ 2 \sqrt{t + 4} - \frac{t + 8}{\sqrt{t + 4}} = 0 \\ \Rightarrow 2 (t + 4) - (t + 8) = 0 \\ \Rightarrow 2t + 8 - t - 8 = 0 \\ \Rightarrow t = 0 \] 因此，当 $t = 0$ 时，$f(t)$ 取得极值。 计算此时的距离： \[ d_{\min} = f(0) = \frac{0 + 8}{2 \sqrt{0 + 4}} = \frac{8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2 \] 因此，$d$ 的最小值为 $2$。 <eoe> 【答案】 (II) 点 $O$ 到切线 $l$ 的距离的最小值为 $2$。<eoa> |
解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |
| deepseekv3 | server error: Error code: 400 - {'error': {'code': 'RequestTimeOut', 'param': None, 'message': 'Request timed out, please try again later.', 'type': 'RequestTimeOut'}, 'id': 'chatcmpl-cf2ad08e-8fc6-9a7e-865a-a5f157b8da13', 'request_id': 'cf2ad08e-8fc6-9a7e-865a-a5f157b8da13'} | 解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \overrightarrow{A B}=(x,-2)$. 再由题意可知 $(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \cdot(x,-2)=0$. 所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\frac{1}{4} x^{2}-2$. (II) 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线 $C: y=\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\frac{1}{2} x_{0}$, 因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$. 则 0 点到I的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\right|}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$, 所以 $d=\frac{\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\right) \geqslant 2$, 所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 . |